文档内容
5.1 认识二元一次方程组 教学设计
1.教学内容
本节课选自北师大版 2024 年八年级上册第五章第一节，是在学生已掌握一元一次方程概念、解法及
应用的基础上展开的。教材通过 “雉兔同笼” 历史问题、绿植栽种、公园门票购买三个情境，引导学生
从实际问题中抽象出含两个未知数的方程，进而归纳二元一次方程、二元一次方程组及其解的定义，为后
续学习二元一次方程组的解法和实际应用奠定基础。
2.内容解析
从知识逻辑来看，本节课是 “一元一次方程” 到 “多元方程” 的过渡，核心是让学生理解 “引入第
二个未知数” 解决实际问题的必要性，初步建立 “多元问题转化” 的数学思想，同时培养从实际情境
中提取等量关系的能力。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念；根据实际
情境列二元一次方程组。
1. 教学目标
(1) 理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义，能准确判断一个方程是否为二元一次方程、一组
数是否为方程组的解。
(2) 能根据实际情境中的等量关系，列出二元一次方程组，提升数学建模能力。
(3) 经历从实际问题抽象出数学概念的过程，感受数学与生活的联系，培养抽象思维和逻辑推理能力。
2. 目标解析
(1) 理解层面：能说出二元一次方程 “含两个未知数、未知数项次数为 1” 的核心特征，明确方程组中
“同一字母代表同一量” 的要求，以及方程组的解 “需同时满足所有方程” 的本质。
(2) 应用层面：面对类似 “购票”“分配” 的实际问题，能先找出关键量（如人数、单价、数量），再
梳理出 2 个及以上等量关系，最终列出规范的二元一次方程组。
(3) 素养层面：通过对比 “一元一次方程” 与 “二元一次方程组” 解决问题的思路，初步体会 “引入
新未知数” 简化问题的优势，为后续 “消元法” 的学习埋下思维伏笔。（一）学生已有知识及掌握情况
学生在七年级已系统学习一元一次方程，能熟练从实际问题中找等量关系、列一元一次方程，具备一
定的数学建模基础；同时，学生已掌握 “方程的解” 的概念，知道 “使方程左右两边相等的未知数的
值是方程的解”，这为理解 “二元一次方程（组）的解” 提供了迁移基础。
但学生此前接触的均为 “一元” 问题，习惯用一个未知数表示未知量，对于 “为何需要两个未知
数”“如何同时处理两个方程” 等问题可能存在困惑，且在抽象概括二元一次方程和方程组的特征时，
可能会忽略 “整式方程” 这一关键条件，或对 “未知数的次数为 1” 理解不透彻（例如误将 “xy =
5” 视为二元一次方程，因未意识到 “xy” 的次数为 2）。
（二）预估教学中遇到的困难以及解决困难的办法
1. 困难 1：难以理解 “为何需要两个未知数”，习惯用一元一次方程解决问题（如设一个未知数，用含
该未知数的式子表示另一个量）。
解决办法：通过 “绿植栽种” 情境对比教学 —— 先让学生用一元一次方程求解（设小颖种 y 株，小
明种 y+2 株），再引导尝试设两个未知数（x 株、y 株）列方程，让学生直观感受 “两个未知数更直接
表达等量关系”，降低思维复杂度。
2. 困难 2：混淆 “二元一次方程的解” 与 “二元一次方程组的解”，误以为满足其中一个方程的解就
是方程组的解。
解决办法：结合 “公园门票” 例题，先让学生找出方程 x+y=8 的多个解（如 (6,2)、(5,3)、(4,4)），再
代入方程 5x+3y=34 检验，发现只有 (5,3) 同时满足两个方程，通过 “筛选” 过程强化 “公共解” 的
概念。
3. 困难 3：从实际问题中提取两个独立的等量关系时，容易遗漏或重复。
解决办法：教学中提供 “量的梳理表”，让学生先列出情境中的所有关键量（如 “邮票问题” 中的
“总枚数”“总金额”“50 分邮票枚数”“80 分邮票枚数”），再对应找出 “枚数关系”“金额关
系”，用 “找关键词”（如 “共”“比…… 多”“花费”）的方式辅助提炼等量关系。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解二元一次方程组的解 “需同时满足所有方程” 的本
质；从复杂实际情境中准确提取两个独立的等量关系。
1.情景引入
1.回顾旧知：提问 “什么是方程？什么是一元一次方程？”，引导学生回忆 “方程是含有未知数的等式”“一元一次方程是含有一个未知数，且未知数次数为 1 的整式方程”，并举例（如 “2x + 3 =
7”），为后续对比 “二元” 做铺垫。
2.展示《孙子算经》中 “雉兔同笼” 问题：“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问
雉兔各几何？”
3.引导学生思考：若用一元一次方程求解，如何设未知数？（设鸡 x 只，兔 35-x 只，列方程 2x+4 (35-
x)=94）；若想直接表示 “鸡的数量” 和 “兔的数量”，能否用两个未知数？
(设计意图：通过历史名题激发兴趣，同时对比 “一元” 与 “二元” 的思考方式，自然引出本节
课主题 —— 需要用两个未知数解决此类问题。)
(教学建议：给学生 1-2 分钟独立思考，鼓励学生分享一元一次方程的解法，再提出 “两个未知
数” 的思路，避免直接灌输，让学生产生认知需求。)
探究点1 二元一次方程的概念
1.呈现 “绿植栽种” 情境：小明栽种的绿植比小颖多 2 株；小颖减 1 株、小明加 1 株后，小明的数
量是小颖的 2 倍。
2.引导学生梳理量与等量关系：关键量为 “小明的株数（x）”“小颖的株数（y）”，等量关系①x-
y=2；②x+1=2 (y-1)。
3.让学生观察两个方程的共同特征，小组讨论后归纳：含两个未知数，且未知数项的次数都是 1，进而得
出 “二元一次方程” 的定义。
（设计意图：从具体情境抽象方程，再通过观察归纳概念，符合学生 “从具体到抽象” 的认知规律，
同时强化 “等量关系→方程” 的建模思路。）
（教学建议：用 “反例” 辅助理解，如给出 x²+y=3（次数不符）、x+2=5（未知数个数不符），让
学生判断是否为二元一次方程，巩固概念核心特征。）
探究点2 二元一次方程组的概念
1.呈现 “公园门票” 情境：8 人买票花 34 元，成人票 5 元 / 张，学生票 3 元 / 张。
2.学生独立列方程：设成人 x 人、学生 y 人，得 x+y=8，5x+3y=34。
3.提问：两个方程中的 x、y 含义是否相同？（均代表 “成人数量”“学生数量”），进而说明 “需将
两个方程联立，组成方程组”，得出 “二元一次方程组” 的定义。
（设计意图：通过 “同一字母代表同一量” 的关键提问，让学生理解方程组的 “联立必要性”，
避免将方程组简单视为 “两个方程的堆砌”。）
（教学建议：强调方程组的书写规范（大括号连接），并让学生举例生活中 “需要两个方程描述的
问题”，如 “买笔和本子，总数量和总花费”，加深对概念的理解。）
探究点3 二元一次方程（组）的解1.探究二元一次方程的解：以 “x + y = 8” 为例，提问 “x=6，y=2 满足方程吗？x=5，y=3 呢？
x=4，y=4 呢？”，让学生代入验证，得出 “这些都是方程的解”，再追问 “还能找到其他解吗？”，
引导学生发现二元一次方程有无数个解，总结 “二元一次方程的解是使方程左右两边相等的一组未知数
的值”。2.探究二元一次方程组的解：提问 “在‘公园门票’情境中，哪组 x、y 的值能同时满足 x +
y = 8 和 5x + 3y = 34？”，让学生将 “x + y = 8” 的几组解（如 x=6,y=2；x=5,y=3；x=4,y=4）代
入 “5x + 3y = 34” 验证，发现只有 “x=5，y=3” 同时满足两个方程，总结 “二元一次方程组的解
是方程组中各个方程的公共解”。
3.检验方法总结：“代入验证法”—— 将未知数的值代入方程（组），若左右两边相等，则为解。
（设计意图：通过 “找解→检验→筛选” 的过程，让学生自主发现 “方程组的解” 与 “方程的
解” 的区别，突破教学难点。）
（教学建议：在探究 “无数解” 时，可引导学生用含一个未知数的代数式表示另一个未知数（如由
x + y = 8 得 y = 8 - x），说明 “x 取任意值，y 都有对应值”，从而理解 “无数解” 的原因；探
究 “公共解” 时，可结合数轴或表格，直观呈现两个方程解的交集，帮助学生理解 “公共” 的含
义。）
1.下列方程中，是二元一次方程的是 ( B )
2.下面四组数值中，哪些是二元一次方程2x+y=10的解？ (（2） （4） )
3.二元一次方程组 的解是 C 。
4.下列五组值中，是二元一次方程 的解是 B C D 。
5.小明从邮局买了面值50分和80分的邮票共9枚，花了6.3元。两种邮票小明各买了多少枚？解：设小明买了面值50分的邮票x枚，面值80分的邮票y枚，
可列方程组：
6.
解析：把x＝3，y＝4分别代入方程①②可得：
方程①左边的值是3×3+2×4=17，方程①右边的值也是17；
方程②左边的值为3×3-2×4=1，方程②右边的值也是1。
因此， 是这个二元一次方程组的解。
设计意图：通过回顾和
提问，帮助学生梳理本节课知识，形成清晰的知识框架；对比 “一元” 与 “二元”，深化对知识的理
解，为后续学习做好衔接。
1. 必做题：教材课后习题 1、2、3 题（巩固概念、检验解、列方程组）。
2.探究性作业：尝试用二元一次方程组解决 “雉兔同笼” 问题，并与一元一次方程解法对比，说说
两种方法的优缺点。
5.1 认识二元一次方程（组）
1.二元一次方程（组）的概念：
(1) 二元一次方程：①两个未知数；②未知数次数为 1；③整式方程一次函数；(2) 二元一次方程组：共含两个未知数的两个一次方程组成的一组方程。
2.二元一次方程（组）的解：
(1) 二元一次方程：①使方程左右两边相等的一组未知数的值；②无数个解；
(2) 二元一次方程组：①方程组中所有方程的公共解；②通常一个解。
(3) 检验方法：代入验证法。
3.列方程组步骤：
（1）找关键量（2）提等量关系（3）设未知数，列方程（联立成方程组）
4．核心思想：归纳总结、方程思想等。
5. 例题区：（学生板演区域）
