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专题 5.1 二元一次方程组
目录
二元一次方程的定义.........................................................................................................................1
二元一次方程求参数.........................................................................................................................2
二元一次方程的解.............................................................................................................................3
整数解.................................................................................................................................................5
二元一次方程组的定义.....................................................................................................................6
二元一次方程组的解.........................................................................................................................8
解二元一次方程组...........................................................................................................................11
二元一次方程组与绝对值...............................................................................................................14
二元一次方程组与相反数...............................................................................................................15
同解方程组.......................................................................................................................................17
错解问题...........................................................................................................................................19
二元一次方程组与一次函数...........................................................................................................21
用待定系数法求一次函数...............................................................................................................23
二元一次方程的定义
含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程
注意：
(1)方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数.
(2)含有未知数的项的次数都是1.
(3)二元一次方程的左右两边都必须是等式.
【例1】下列式子中是二元一次方程的是
A． B． C． D．
【解答】解： ． 是一元一次方程，故本选项不合题意；
． 是二元二次方程，故本选项不合题意；
． 是二元一次方程，故本选项符合题意；． 是代数式，不是方程，故本选项不合题意．
故选： ．
【变式训练1】下列各式是二元一次方程的是
A． B． C． D．
【解答】解：含有两个未知数，且未知数的次数是1的整式方程就是二元一次方程．
，符合二元一次方程的定义，
符合题意．
是代数式，不是方程，
不合题意．
，方程中含有分式，不是二元一次方程，
不合题意．
，含有未知数的项的次数是2，不是二元一次方程，
不合题意．
故选： ．
【变式训练2】已知方程：① ；② ；③ ；④ ；
⑤ ．其中为二元一次方程的是
A．②④ B．②④⑤ C．①④ D．④⑤
【解答】解：① ，不是整式方程，所以不是二元一次方程；
② ，是二元一次方程；
③ ，不是整式方程，所以不是二元一次方程；
④ ，是二元一次方程；⑤ ，是二元二次方程．
所以其中为二元一次方程的是②④．
故选： ．
【变式训练3】方程 ， ， ， ， 中，
二元一次方程的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解： 是分式方程，不是二元一次方程；
是二元一次方程；
是二元二次方程；
是二元一次方程；
是一元二次方程．
所以二元一次方程有2个．
故选： ．
二元一次方程求参数
含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为 1。 即若axm+byn=c是二元一
次方程，则a≠0，b≠0且m=1,n=1
【例2】若 是关于 ， 的二元一次方程，则 的值是
A．1 B． C．1或 D．0
【解答】解：由题意得： ，且 ，
解得 ，
故选： ．【变式训练1】若 是关于 ， 的二元一次方程，则 ， 的值分别是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：根据题意得：
，
解得： ．
故选： ．
【变式训练2】已知方程 是二元一次方程，求 ， 的值．
【解答】解：由题意得： ， ，
解得： ，
， ，
解得： ．
【变式训练3】是否存在 值，使方程 是关于 ，
的二元一次方程？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解： 方程 是关于 ， 的二元一次方程，
， ， ，
解得： ．
故当 时，方程 是关于 ， 的二元一次方程．
二元一次方程的解
【例3】下面各组数值中，二元一次方程 的解是A． B． C． D．
【解答】解： 选项， ，故该选项不符合题意；
选项， ，故该选项符合题意；
选项， ，故该选项不符合题意；
选项， ，故该选项不符合题意；
故选： ．
【变式训练1】已知 是方程 的解，则代数式 的值为
．
【解答】解： 是方程 的解，
，
，
故答案为： ．
【变式训练2】如果关于 ， 的二元一次方程 的一组解是 ，那么 的
值为 ．
【解答】解： 是方程 的一组解，
，
解得 ，
故答案为： ．【变式训练3】已知 是方程 的解，则代数式 的值是 7 ．
【解答】解： 把 代入方程 得出 ，
．
故答案为：7
整数解
【例4】方程 有 个正整数解．
A．1 B．2 C．3 D．无数
【解答】解： ，当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
则方程的正整数解是： ， 共有2个．
故选： ．
【变式训练1】关于 ， 的二元一次方程 的非负整数解的个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：方程 ，
解得： ，
当 时， ； ， ； ， ； ， ，共4个，
故选： ．
【变式训练2】方程 的正整数解的对数是A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【解答】解：方程 ，
解得： ，
当 时， ； 时， ； 时， ，
则正整数解的个数是3个，
故选： ．
【变式训练3】二元一次方程 的正整数解的个数是
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解： ，
由于 、 都是正整数，
所以
可取1、2、3、4、5
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 、4时， 不是正整数舍去．
满足条件的正整数解有三对．
故选： ．
二元一次方程组的定义
二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了
一个二元一次方程组。
【例5】以下方程组中，是二元一次方程组的是A． B．
C． D．
【解答】解： ．含有三个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
．第一个方程是二次方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
．第一个方程是分式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
．是二元一次方程组，故本选项符合题意；
故选： ．
【变式训练1】下列方程组为二元一次方程组的是
A． B． C． D．
【解答】解： ，第2个方程中 的次数是2，此选项不符合题意；
，此方程符合二元一次方程组的定义，此选项符合题意；
，此选项第2个方程不是整式方程，此选项不符合题意；
，此方程含有3个未知数，此选项不符合题意；
故选： ．
【变式训练2】下列方程组中，属于二元一次方程组的是
A． B．C． D．
【解答】解： 、 属于二元一次方程组，符合题意；
、 不属于二元一次方程组，不符合题意；
、 属于二元二次方程组，不符合题意；
、 属于二元二次方程组，不符合题意，
故选： ．
【变式训练3】下列方程组中属于二元一次方程组的是
① ，② ，③ ，④ ．
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
【解答】解：① 是二元一次方程组；
② 不是二元一次方程组；
③ 不是二元一次方程组；
④ 是二元一次方程组；
故选： ．二元一次方程组的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，
二元一次方程有无数个解
【例6】已知一个二元一次方程组的解是 ，则这个方程组可以是
A． B．
C． D．
【解答】解： 选项， ， ，故该选项符合题意；
选项， ，故该选项不符合题意；
选项， ，故该选项不符合题意；
选项， ，故该选项不符合题意；
故选： ．
【变式训练1】二元一次方程组 的解是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
由②得 ③，
把③代入①得 ，
解得 ，把 代入③得 ，
方程组的解为 ，
故选： ．
【变式训练2】解为 的方程组是
A． B．
C． D．
【解答】解：将 分别代入 、 、 、 四个选项进行检验，
能使每个方程的左右两边相等的 、 的值即是方程的解．
、 、 均不符合，
只有 满足．
故选： ．
【变式训练3】下列二元一次方程组的解为 的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 ，
① ②得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
则方程组的解为 ，不符合题意；、 ，
① ②得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
则方程组的解为 ，不符合题意；
、 ，
① ②得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
则方程组的解为 ，符合题意；
、 ，
① ②得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
则方程组的解为 ，不符合题意，
故选： ．解二元一次方程组
我们通过代入消去一个未知数，将方程组转化为一个一元一次方程来解，这种解法
叫做代入消元法。
定义：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边
分别相加减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程这种方法叫做加减消元
法 ，简称加减法。
【例7】解方程组：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1） ，
把①代入②，得 ，
解得： ，
把 代入①，得 ，
所以原方程组的解是 ；
（2） ，
① ②，得 ，
解得： ，
把 代入①，得 ，
解得： ，所以原方程组的解是 ．
【变式训练1】解方程组：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1） ，
① ②，得 ，
解得 ，
把 代入①，得 ，
此方程组的解 ；
（2）原方程组可化为 ，
① ②，得 ，
把 代入①，得 ，
此方程组的解 ．
【变式训练2】解方程组：
（1） ；（2） ．
【解答】解：（1） ，
② 得， ③，
① ③得， ，
解得 ，
把 代入①得， ，
解得 ，
所以方程组的解为 ；
（2）化简方程组得 ，
① ②得 ，
解得 ，
把 代入①得， ，
解得 ，
所以方程组的解为 ．
【变式训练3】解方程组：
（1） ；
（2） ．【解答】解：（1） ，
① ②得，
，
即 ，
解得 ，
把 代入②得， ，
解得 ，
方程组的解为 ；
（2）原方程组可变为， ，
① ② 得， ，
把 代入②得， ，
方程组的解为 ．
二元一次方程组与绝对值
【例8】已知： ，则 的值为
A．1 B． C．2 D．
【解答】解： ，
，
① ②得： ，解得： ，
把 代入①得： ，
则原式 ．
故选： ．
【变式训练1】若 ，则 的值是
A．5 B．0 C．15 D．
【解答】解： ，
，
① ②，得 ，
，
故选： ．
【变式训练2】若 ，则 、 的值为
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【解答】解：依题意得： ，
由（1）得： （3），
将（3）代入（2）中得： ，
（4）．
将（4）代入（3）得： ．
故选： ．【变式训练3】如果 ，那么 3 ．
【解答】解：由题意得：
，
② ①得： ，
，
把 代入②得： ，
，
原方程组的解为： ，
故答案为：3
二元一次方程组与相反数
【例9】若满足方程组 的 与 互为相反数，则 的值为
A．1 B． C．11 D．
【解答】解：由题意得： ，
代入方程组得： ，
消去 得： ，即 ，
解得： ，
故选： ．
【变式训练1】已知关于 ， 的方程组 的解 和 互为相反数，则 的
值为A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：解方程组 得： ，
和 互为相反数，
，
则 ，
解得： ，
故选： ．
【变式训练2】已知 ，如果 与 互为相反数，那么
A． B． C． D．
【解答】解：已知 ，
解得 ，
与 互为相反数，
，
即 ．
故选： ．
【变式训练3】已知方程组 中， ， 互为相反数，则 的值是
A．4 B． C．0 D．8
【解答】解：因为 ， 互为相反数，
所以 ，即 ，
代入方程组得： ，解得： ，
故选： ．
同解方程组
【例10】已知方程组 和方程组 有相同的解，则 的值是 5
．
【解答】解：解方程组 ，
得 ，
代入 得， ．
【变式训练1】如果方程组 与方程组 有相同的解，则 1
．
【解答】解：解方程组 ，得 ．
把 ， 分别代入方程组的其余两个方程，得 ，
解得 ．
．
【变式训练2】已知方程组 与 有相同的解，求 ， 的值．
【解答】解： 方程组 与 有相同的解，与原两方程组同解．
由 可得： ，
将 代入 ，则 ．
再将 代入 ，则 ．
将 代入 得：
，
将① ②得： ，
将 代入②得： ．
， ．
【变式训练3】已知关于 ， 的方程组 和 有相同解，求
值．
【解答】解：因为两组方程组有相同的解，所以原方程组可化为
，
解方程组（1）得 ，
代入（2）得 ，
解得： ．所以 ．
错解问题
【例11】两位同学在解方程组时，甲同学由 正确地解出 ，乙同学因把
写错了解得 ，则 的值为
A．3 B．0 C．1 D．7
【解答】解：把 代入方程组得：由 ，
把 代入 得： ，即 ，
联立得： ，
解得： ，
由 ，得到 ，
则 ．
故选： ．
【变式训练1】在解方程组由于粗心，甲看错了方程组 中的 ，得到的解为
，乙看错了方程组中的 ，得解 ，则原方程组中的正确的解为
A． B． C． D．【解答】解：将 代入 ，将 代入 ，
得 ，
，
原方程组为
解得 ，
故选： ．
【变式训练2】解方程组 时，甲同学因看错 符号，从而求得解为 ，乙因
看漏 ，从而求得解为 ，试求 ， ， 的值．
【解答】解： 甲同学因看错 符号，
把 ， 代入 ，
得 ，
．
乙因看漏 ，
把 ， 代入 ，
得 ，
得 ，
解得， ， ；综上所述， ， ， ．
【变式训练3】甲、乙两同学同时解方程组 ，甲看错了方程①中的 ，得
到的方程组的解为 ，乙看错了方程②中的 ，得到的方程组的解为 ，求原
方程组的正确解．
【解答】解：将 代入方程②， 代入方程①得，
，
解得 ，
原方程组为 ，
解得 ．
二元一次方程组与一次函数
【例12】如图，直线 与直线 交于点 ，则方程组 的解
为A． B． C． D．
【解答】解： 直线 与直线 交于点 ，
方程组 的解为 ，
故选： ．
【变式训练1】如图，已知函数 和 的图象交于点 ，则根据图象可得关于
， 的二元一次方程组 的解是
A． B． C． D．
【解答】解：函数 和 的图象交于点 ，
即 ， 同时满足两个一次函数的解析式．
所以关于 ， 的方程组 的解是 ．故选： ．
【变式训练2】如图，利用函数图象可知方程组 的解为 ．
【解答】解：观察图象可知， 与 相交于点 ，
可求出方方程组 的解为 ，
故答案为：
【变式训练3】如图，函数 和 的图象交于点 ，则根据图象可得，关于
， 的二元一次方程组 中的解是
A． B． C． D．
【解答】解：当 时， ，解得 ，则点 的坐标为 ，所以关于 ， 的二元一次方程组 中的解为 ．
故选： ．
用待定系数法求一次函数
【例13】在直角坐标系中，一条直线经过 ， ， ．
（1）求直线 的函数表达式；
（2）求 的值；
（3）求 的面积．
【解答】解：（1）设直线的表达式为 ，
把点 、 的坐标代入得： ，
解得： ， ，
所以直线表达式解析式为 ；
（2）把 代入 得： ；
（3） 把 代入 得： ，
直线 与 轴的交点为 ，
即 ，
，的面积 的面积 的面积 ．
【变式训练1】如图，正比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，
一次函数图象经过点 ，与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ．
（1）求一次函数表达式；
（2）求 点的坐标；
（3）求 的面积；
（4）不解关于 、 的方程组 ，直接写出方程组的解．
【解答】解：（1） 正比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，
， ，
．
把 和 代入一次函数 ，
得 ，
解得， ，
一次函数解析式是 ；（2）由（1）知一次函数表达式是 ，
令 ，则 ，
即点 ；
（3）由（1）知一次函数解析式是 ，
令 ，得 ，解得 ，
点 ，
，
，
的面积 ；
（4）由图象可知，正比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，
所以方程组的解为 ．
一．选择题（共8小题）
1．下列各式中，是关于 ， 的二元一次方程的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、是关于 ， 的二元一次方程，故此选项正确；
、不是关于 ， 的二元一次方程，故此选项错误；
、不是关于 ， 的二元一次方程，故此选项错误；、不是关于 ， 的二元一次方程，故此选项错误；
故选： ．
2．下列方程中，是二元一次方程的是
A． B． C． D．
【解答】解： ．是三元一次次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
．是二元二次方程，故本选项不符合题意；
．分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
．是二元一次方程，故本选项符合题意；
故选： ．
3． 是下列哪个方程的一个解
A． B． C． D．
【解答】解：将 分别代入四个选项：
，故 选项正确；
，故 选项不正确；
，故 选项不正确；
，故 选项不正确；
故选： ．
4．已知二元一次方程 ，则用 的代数式表示 为
A． B． C． D．
【解答】解：移项，得 ．
故选： ．
5．下列方程中是二元一次方程组的是A． B．
C． D．
【解答】解： 是二元一次方程组，
故选： ．
6．已知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，则 的值为
A． B．0 C．1 D．2
【解答】解： ，
① ②得： ，
，
，
，
， ，
故选： ．
7．解方程组 时，由② ①得
A． B． C． D．
【解答】解：解方程组 时，由② ①得 ，即 ，
故选： ．8．二元一次方程组 的解为
A ． B ． C ． D ．
【解答】解： ，
① ②得： ，即 ，
① ②得： ，即 ，
则方程组的解为 ．
故选： ．
二．填空题（共4小题）
9．已知，方程 是关于 ， 的二元一次方程，则 1 ．
【解答】解： 方程 是关于 ， 的二元一次方程，
， ，
解得 ， ，
．
故答案为：1．
10．若 是二元一次方程，则 的值 ．
【解答】解： 是二元一次方程，
且 且 ，
解得： ， ，
，
故答案为： ．11．已知 是方程 的解，那么 ．
【解答】解：把 代入方程 中，得
，
则 ．
12．把方程 写成用含 的代数式表示 的形式为 ．
【解答】解：方程 ，
解得： ．
故答案为： ．
三．解答题（共3小题）
13．已知关于 ， 的方程 是二元一次方程，求 ， 的值．
【解答】解：由题意得： ，
解得 ．
14．已知关于 、 的方程 ，
试问：①当 为何值时此方程为一元一次方程？
②当 为何值时此方程为二元一次方程？
【解答】解：（1）因为方程为关于 、 的一元一次方程，所以：
① ，解得 ；② ，无解，
所以 时，方程为一元一次方程．
（2）根据二元一次方程的定义可知 ，解得 ，
所以 时，方程为二元一次方程．
15．已知 ，当 时， ：当 时， ．
（1）求 、 的值
（2）当 取何值时， 的值大于 ．
【解答】解：（1）由题意，得 ，
解这个方程组，得 ；
（2）由（1）得， ， 的值大于 ，即 ，
解得 ，
当 时， 的值大于 ．
