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专题5.18 应用二元一次方程组-里程碑上的数（知识讲解）
【学习目标】
1. 能据实际情况列二元一次方程组；
2. 能据几何等量关系列二元一次方程组；
3. 将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；会用图表分析数量关系。
【要点梳理】
要点一、常见的一些等量关系（二）
1.数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若
一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
2. 几何问题
根据几何图形条件找出等量关系列方程.
要点二、实际问题与二元一次方程组
1.列方程组解应用题的基本思路
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
特别说明：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得
的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
【典型例题】
类型一、据实际情况列二元一次方程组
1、为了参加学校举办的“新城杯”足球联赛，新城中学七（1）班学生去商场购
买了A品牌足球1个、B品牌足球2个，共花费400元，七（2）班学生购买了品牌A足球
3个、B品牌足球1个，共花费450元．
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？（2）为了进一步发展“校园足球”，学校准备再次购进A、B两种品牌的足球，学校
提供专项经费850元全部用于购买这两种品牌的足球，学校这次最多能购买多少个足球？
【答案】（1）购买一个A种品牌足球需要100元，购买一个B种品牌足球需要150元；
（2）学校这次最多能购买8个足球．
【分析】（1）设购买一个A种品牌足球需要x元，购买一个B种品牌足球需要y元，
根据“购买A品牌足球1个、B品牌足球2个，共花费400元；购买A品牌足球3个、B品
牌足球1个，共花费450元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设可以购买m个A种品牌足球，n个B种品牌足球，根据总价＝单价×数量，即
可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数即可求出m，n的值，将m，n
值相加取其最大值即可得出结论．
解：（1）设购买一个A种品牌足球需要x元，购买一个B种品牌足球需要y元，
依题意，得： ，
解得： ．
答：购买一个A种品牌足球需要100元，购买一个B种品牌足球需要150元．
（2）设可以购买m个A种品牌足球，n个B种品牌足球，
依题意，得：100m+150n＝850，
∴n＝ ．
∵m，n均为非负整数，
∴ 或 或 ，
∴m+n＝6或m+n＝7或m+n＝8．
答：学校这次最多能购买8个足球．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次
方程．
举一反三：【变式1】长江是我们的母亲河，金港新区为了打造沿江风景，吸引游客搞活经济，
将一段长为180米的沿江河道整治任务交由A、B两工程队先后接力完成．A工作队每天整
治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天．求A、B两工程队分别整治河道多少米？
⑴根据题意，七⑴班甲同学列出尚不完整的方程组如下．根据甲同学所列的方程组，
请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在方框中补全甲同学所列的方程组；
，x表示________________________，y表示_________________________；
⑵如果乙同学直接设A工程队整治河道的米数为x，B工程队整治河道的米数为y，列
出了一个方程组，求A、B两工程队分别整治河道多少米．请你帮助他写出完整的解答过
程．
【答案】（1）20；180（2）A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米．
【分析】(1) x 表示A工程队整治河道的米天数，y表示B工程队整治河道的天数.故
可以知道方框分别是20和180.(2)根据天数关系和工作量关系可以列出方程组，并解之.
解：(1)根据题意得： x 表示A工程队整治河道的天数，y表示B工程队整治河道的天
数.故可以知道方框分别是总天数20和总长度180.
(2)设A工程队整治河道的米数为x，B工程队整治河道的米数为y.
,
方程组的解为 ，
答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米．
【点拨】本题考核知识点：二元一次方程组应用. 解题关键点：设好未知数，根据题
意找出相等关系列方程组，并正确解方程组.
【变式2】雅西高速，西昌到成都全长420km；一辆小汽车和一辆大客车分别从西昌
和成都两地同时出发，相向而行，经过2.5h相遇，相遇时小汽车比大客车多行70km；
（1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出了尚不完整的方程组如下：
甲： 乙：①理顺甲、乙两名同学所列方程组的思路，请你分别指出未知数x、y表示的意义
甲：x表示_______________． y表示_______________．
乙：x表示_______________． y表示_______________．
②补全甲、乙两人所列的方程组
（2）求小汽车和大客车的速度.（写出完整的解答过程）
【答案】（1）①见解析；②420，70；420，70；（2）小汽车行驶的速度为98km/h，
大客车行驶的速度为70km/h．
【分析】（1）根据方程理解未知数的意义并补全方程组即可；
（2）根据乙组方程求解即可．
解：（1）①甲：x表示相遇时小汽车行驶了xkm；y表示相遇时大客车行驶了ykm．
乙：x表示小汽车行驶的速度为xkm/h；y表示大客车行驶的速度为ykm/h．
②甲: 乙：
（2）设小汽车行驶的速度为xkm/h，大客车行驶的速度为ykm/h．
解得：
答：小汽车行驶的速度为98km/h，大客车行驶的速度为70km/h．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的实际应用，理解题意正确建立方程组是解题关
键．
类型二、据几何图形列二元一次方程组
2、学校为了提高绿化品位，美化环境，准备将一块周长为76m的长方形草地，
设计分成长和宽分别相等的9块小长方形，（放置位置如图所示），种上各种花卉．经市
场预测，绿化每平方米造价约为108元．
（1）求出每一个小长方形的长和宽．
（2）请计算完成这项绿化工程预计投入资金多少元？【答案】（1）每个小长方形的长和宽分别是10米、4米；（2）完成这块绿化工程预
计投入资金为38880元．
【分析】（1）弄清题意，找出等量关系：2[5个小长方形的宽+（一个小长方形的长
+两个小长方形的宽）]=周长和5个长方形的宽等于2个长方形的长，列二元一次方程组解
答．
（2）直接求出每个小长方形的面积，然后求出答案即可．
解：（1）设小长方形的宽为x米，长为y 米．则
，
解得： ，
答：每个小长方形的长和宽分别是10米、4米；
（2） （元），
答：完成这块绿化工程预计投入资金为38880元．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，
列出方程组．要弄清小长方形长、宽和大长方形周长之间的关系．
举一反三：
【变式1】已知A、B两个边长不等的正方形纸片并排放置(如图所示)
(1)若m＝8，n＝3，则甲、乙两个正方形纸片的面积之和为: ______________
(2)用m、n表示甲、乙两个正方形纸片的面积之和为:___________________
(3)若A、B两个正方形纸片的面积之和为： ，且右下图中阴影部分的面积为： ，
则m=___________n=_______________________【答案】(1) 36.5； (2) ； (3) ，
【分析】
（1）设A的边长为x，B的边长为y，列出等式组解得x、y的值，再根据面积公式计
算即可.
（2）由题意列出m、n的关系式，根据不等式关系进行化简即可.
（3）根据题意，列出S阴影面积与A、B面积的关系式，进行化简求值即可.
解：
(1)设A的边长为x，B的边长为y，则
①+②得：2x=11
x=5.5
即A和B的面积之和为36.5.
（2）
解得：x= , y=
A、B面积之和=
=(3) =
由题意得：
解得：
【点拨】
本题考查二元一次方程的运用，熟练掌握计算法则是解题关键.
【变式2】正方形网格（边长为1的小正方形组成的网格纸，正方形的顶点称为格
点）是我们在初中阶段常用的工具，利用它可以解决很多问题．
（1）如图①中，△ABC是格点三角形（三个顶点为格点），则它的面积为 ；
（2）如图②，在4×4网格中作出以A为顶点，且面积最大的格点正方形（四个顶点均
为格点）；
（3）人们发现，记格点多边形（顶点均为格点）内的格点数为a，边界上的格点数为
b，则格点多边形的面积可表示为S＝ma＋nb－1，其中m，n为常数．试确定m，n的值．
【答案】（1）5;（2）画图见解析;（3） .
【分析】（1）如图，根据△ABC的面积=矩形ADEF的面积-△ADB的面积-△BCE的
面积-△ACF的面积计算；
（2）根据格点多边形的定义，结合网格的特点画图即可；
（3）求出（2）中所画出的正方形的面积，然后数出（1）和（2）中多边形内的格点
数和多边形边上的格点数，代入S＝ma＋nb－1，列出二元一次方程组求解解：（1）△ABC的面积=4×3- ×3×2- ×2×2- ×4×1= 5；
（2）如图，画出的正方形的面积最大.
（3）由图1可知S=5，a=4，b=4，由图2可知：S=10，a=9，b=4，
则有：
解得： .
【点拨】本题考查了应用设计与作图，割补法求图形的面积，二元一次方程组的应用，
正确列出关于m，n的方程组是解答本题的关键.
类型三、数字问题
3、列二元一次方程组解应用题.
已知一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字的和为12，若对调个位与十位上
的数字，得到的新数比原数小18，求原来的两位数．
【答案】原来的两位数为75.
【解析】
试题分析：设原两位数的十位数字为x，根据把这个两位数的数字对调后，得到的新
两位数比原两位数小18，可得出方程，解出即可．
试题解析：设个位数字为 ,十位数字为 .
根据题意得：解得:
答：原来的两位数为75.
举一反三：
【变式1】一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则
恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求这个两位数.
【答案】16
【分析】设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出方程组，求出x，y，即可得到
这个两位数.
解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，
由题意得 ，解得 ，
所以这个两位数是16.
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，掌握两位数的表示方法，列出方程组是解
题的关键．
【变式2】一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为10．若把个位上的数字
与十位上的数字对调，则所得的数比原数的2倍小28，求原来的两位数．
【答案】原来的两位数是46．
【分析】设原来的两位数个位数字为x，十位数字为y．等量关系：①十位上的数字与
个位上的数字之和为10；②把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的2
倍小28．
解：设原来的两位数个位数字为x，十位数字为y．则
，
解得 ．
则原来的两位数是：10y+x =10×4+6=46．
答：原来的两位数是46．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，
列出方程组．
本题涉及一个常识问题：两位数=10×十位数字+个位数字，并且在求两位数或三位数时，
一般是不能直接设这个两位数或三位数的，而是设它各个数位上的数字为未知数．
类型四、几何问题
4、如图，在 ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把 ABC的周长分成
12cm和15cm两部分，求 ABC各边的长．
【答案】AB＝AC＝8cm，BC＝11cm或AB＝AC＝10cm，BC＝7cm
【分析】设AB＝xcm，BC＝ycm，则可以把题中边长分为AB＋AD＝12cm，BC＋CD
＝15cm和AB＋AD＝15cm，BC＋CD＝12cm两种情况列出二元一次方程组求解，解方程
组即可得到问题解答．
解：设AB＝xcm，BC＝ycm．
则有以下两种情况：
(1)当AB＋AD＝12cm，BC＋CD＝15cm时， ，解得 ,即AB＝AC＝
8cm，BC＝11cm，符合三边关系；
(2)当AB＋AD＝15cm，BC＋CD＝12cm时， ，解得 ，即AB＝
AC＝10cm，BC＝7cm，符合三边关系．
【点拨】本题考查三角形中线的应用，利用方程求解及把问题分成两种情况讨论是解
题关键 ．
举一反三：【变式1】（1）观察猜想
如图①点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE=90°，AD=AE，则
BC、BD、CE之间的数量关系为______；
（2）问题解决
如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CB=4，AB=2，以AC为直角边向外作等腰
Rt△DAC，连结BD，求BD的长；
（3）拓展延伸
如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，CB=4，AB=2，DC=DA，请直接
写出BD的长．
【答案】（1）BC=BD+CE，（2） ；（3） .
【分析】（1）证明△ADB≌△EAC，根据全等三角形的性质得到BD=AC，EC=AB，
即可得到BC、BD、CE之间的数量关系;
（2）过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，证明△ABC≌△DEA，得到DE=AB=2，
AE=BC=4，Rt△BDE中，BE=6，根据勾股定理即可得到BD的长；
（3）过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，证明△CED≌△AFD，根据全等三角形的
性质得到CE=AF，ED=DF，设AF=x，DF=y，根据CB=4，AB=2，列出方程组，求出
的值，根据勾股定理即可求出BD的长.
解：（1）观察猜想
结论： BC=BD+CE，理由是：
如图①，∵∠B=90°，∠DAE=90°，
∴∠D+∠DAB=∠DAB+∠EAC=90°，
∴∠D=∠EAC，
∵∠B=∠C=90°，AD=AE，
∴△ADB≌△EAC，
∴BD=AC，EC=AB，∴BC=AB+AC=BD+CE；
（2）问题解决
如图②，过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，
由（1）同理得：△ABC≌△DEA，
∴DE=AB=2，AE=BC=4，
Rt△BDE中，BE=6，
由勾股定理得：
（3）拓展延伸
如图③，过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，
同理得：△CED≌△AFD，
∴CE=AF，ED=DF，
设AF=x，DF=y，
则 ，解得：
∴BF=2+1=3，DF=3，
由勾股定理得：
【点拨】考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，二元一次方程组的应用，熟练掌
握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
【变式2】如图1，AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过B作BD⊥AM．(1)求证：∠ABD＝∠C；
(2)如图2，在(1)问的条件下，分别作∠ABD、∠DBC的平分线交DM于E、F，若
∠BFC＝1.5∠ABF，∠FCB＝2.5∠BCN，
①求证：∠ABF＝∠AFB；
②求∠CBE的度数．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析，②120°．
【解析】
【分析】（1）过B作BG∥CN，依据平行线的性质，以及同角的余角相等，即可得到
∠ABD=∠C；
（2）①设∠DBE=∠EBA=x，∠ABF=y，依据∠AFB+∠BCN=∠FBC，即可得到
∠AFB=y=∠ABF；
②依据∠CBE=90°，AF∥CN，可得∠ABG+∠CBG=90°，
∠BCN+∠AFB+∠BFC+∠BCF=180°，解方程组 ，即可得到 ，
进而得出∠CBE=3x+2y=120°．
解：（1）如图 1，过 B 作 BG∥CN，
∴∠C=∠CBG
∵AB⊥BC，
∴∠CBG=90°﹣∠ABG，∴∠C=90°﹣∠ABG，
∵BG∥CN，AM∥CN，
∴AM∥BG，
∴∠DBG=90°=∠D，
∴∠ABD=90°﹣∠ABG，
∴∠ABD=∠C；
（2）①如图 2，设∠DBE=∠EBA=x，则∠BCN=2x，∠FCB=5x， 设∠ABF=y，则
∠BFC=1.5y，
∵BF 平分∠DBC，
∴∠FBC=∠DBF=2x+y，
∵∠AFB+∠BCN=∠FBC，
∴∠AFB+2x=2x+y，
∴∠AFB=y=∠ABF；
②∵∠CBE=90°，AF∥CN，
∴∠ABG+∠CBG=90°，∠BCN+∠AFB+∠BFC+∠BCF=180°，
∴
∴
∴∠CBE=3x+2y=3×30°+2×15°=120°．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义的综合运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等
类型五、表格或图示信息题
5、某服装店用6000元购进A,B两种新式服装,按标价售出后可获得毛利润3800
元(毛利润=售价−进价)，这两种服装的进价，标价如表所示．
类型 A B
价格 型 型
进价
60 100
(元/件)
标价
100 160
(元/件)
(1)求这两种服装各购进的件数；
(2)如果A种服装按标价的8折出售，B种服装按标价的7折出售，那么这批服装全部
售完后，服装店比按标价出售少收入多少元?
【答案】（1）A种服装购进50件，B种服装购进30件；（2）2440元
【分析】（1）设A种服装购进x件，B种服装购进y件，由总价=单价×数量，利润=
售价-进价建立方程组求出其解即可；
（2）分别求出打折后的价格，再根据少收入的利润=总利润-打折后A种服装的利润-打折
后B中服装的利润，求出其解即可．
解：（1）设A种服装购进x件，B种服装购进y件，由题意，得
，
解得： ，
答：A种服装购进50件，B种服装购进30件；
（2）由题意，得：
3800-50（100×0.8-60）-30（160×0.7-100）
=3800-1000-360
=2440（元）．
答：服装店比按标价售出少收入2440元．
【点拨】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
举一反三：
【变式1】在“五一”期间，小明､小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买
门票时，小明与爸爸的对话(如图)，请根据图中的信息，解答下列问题：
(1)他们共去了几个成人，几个学生？
(2)请你帮他们算算，用哪种方式购票更省钱？
【答案】（1）他们一共去了8个成人，4个学生；（2）按团体票购票更省钱
【分析】（1）本题有两个相等关系：学生人数+成人人数=12人，成人票价+学生票价
=400元，据此设未知数列方程组求解即可；
（2）计算出按照团体票购买需要的钱数，然后与400元作对比即得答案．
解：(1)设去了x个成人，y个学生，
依题意得， ，解得 ，
答：他们一共去了8个成人，4个学生；
(2)若按团体票购票，共需16×40×0.6＝384(元)，
∵384＜400，
∴按团体票购票更省钱．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，属于常考题型，正确理解题意、找
准相等关系是解题的关键．
【变式2】随着“互联网+”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方
式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算
（总费用不足9元按9元计价）．小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，
其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表：时间（分钟） 里程数（公里） 车费（元）
小明 8 8 12
小刚 12 10 16
（1）求x，y的值；
（2）如果小华也用该打车方式，打车行驶了11公里，用了14分钟，那么小华的打车
总费用为多少？
【答案】（1）x=1，y= ；（2）小华的打车总费用为18元.
【解析】
试题分析：（1）根据表格内容列出关于x、y的方程组，并解方程组．
（2）根据里程数和时间来计算总费用．
试题解析：
(1)由题意得 ，
解得 ；
（2）小华的里程数是11km，时间为14min．
则总费用是：11x+14y=11+7=18（元）．
答：总费用是18元．
类型六、开放型题
6、由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小
车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用二元一次方程组解决的问题，并写
出这个问题的解答过程．
【答案】问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?( 本题的答案不唯一)，答案：
6.5吨.
【分析】1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？根据题意可知，本题中的等量关
系是“3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨”和“2辆大车与6辆小车一次可以运货23
吨”，列方程组求解即可．解：问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?( 本题的答案不唯一)
设1辆大车一次运货x吨，1辆小车一次运货y吨．
根据题意,得 ，
解得 .
则x+y=4+2.5=6.5(吨).
答：1辆大车与1辆小车一次可以运货6.5吨．
类型七、其他问题
7、请用两种方法解答下面的应用题：
在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿和凳子腿数加起来
共有60个，有几个椅子和几个凳子？
【答案】房间里有12个椅子，4个凳子.
【分析】设房间里有x个椅子，y个凳子，根据椅子和凳子共16个结合腿数＝4×椅子
数+3×凳子数，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
解：方法一：设房间里有x个椅子，y个凳子，
根据题意得： ，
解得： ．
答：房间里有12个椅子，4个凳子；
方法二：设房间里有x个椅子，（16﹣x）个凳子，
根据题意得：4x+3（16﹣x）＝60，
解得：x＝12，
∴16﹣x＝4，
答：房间里有12个椅子，4个凳子；
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程
组是解题的关键．
举一反三：【变式1】小明和体育老师一起玩投篮球游戏，两人商定：小明投中1个得2分，老师
投中2个得1分．结果两人一共投中了20个球，计算发现两人共得16分，问：小明和老
师各投中了几个球？
【答案】老师投中16个，小明投中4个
【分析】根据题意列出一元一次方程或二元一次方程组即可求解．
解：解法一：（一元一次方程）
设老师投中 个，则小明投中 个，根据题意，得
解得
所以
答：老师投中16个，小明投中4个．
解法二：（二元一次方程组）
设老师投中 个，小明投中 个，根据题意，得
解得
答：老师投中16个，小明投中4个．
【点拨】本题考查一次方程或方程组的应用．包括审、设、列、解、验、答等步骤．
在充分理解题意的基础上，选择适当的量设未知数，列方程（组）、解方程（组）、检验
并作答．
【变式2】根据题意列方程组：（只列方程组）
两批货物，第一批360吨，用5节火车皮和12辆汽车正好装完；第二批500吨，用7
节火车皮和16辆汽车正好装完.每节火车皮和每辆汽车平均各装货物多少吨？
【答案】
【分析】设每节火车皮平均装货物x吨，每辆汽车平均装货物y吨，然后根据题意，
列二元一次方程组即可.
解：设每节火车皮平均装货物x吨，每辆汽车平均装货物y吨，则
【点拨】此题考查的是二元一次方程组的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此
题的关键.
