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专题 5.1 认识二元一次方程
1. 理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义，能判断一组数是否为方程组
的解。
教学目标 2. 能从简单实际问题中提取两个等量关系，列出二元一次方程组，体会其建模作
用。
3. 感知“消元”的基本思想，为后续求解方程组奠定基础，培养数学应用意识。
1.重点
（1）掌握二元一次方程和二元一次方程组的核心概念，明确方程组的解需同时满足
所有方程。
（2）能根据实际问题中的数量关系，准确列出二元一次方程组。
教学重难点
2.难点
（1）区分二元一次方程“无数组解”与方程组“公共解”的差异，理解解的本质特
性。
（2）从实际问题中精准抽象出两个独立的等量关系，并转化为对应的二元一次方
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学科网（北京）股份有限公司程。
知识点01 二元一次方程的概念
二元一次方程：含有两个未知数，且 所含未知数的次数项的次数都是1的方程.
【即学即练1】下列各式是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是求解本题的关键．含有两个未知数，
并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
根据二元一次方程的定义分别对各选项进行判断．
【详解】解：A、 不是整式，不是二元一次方程，所以该选项不符合题意；
B、 为二次，不是二元一次方程，所以该选项不符合题意；
C、方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，是二元一次方程，所以该选项符合
题意；
D、 有三个未知数，不是二元一次方程，所以该选项不符合题意；
故选：C．
知识点02 二元一次方程组的概念
1.将几个相同未知数的一次方程联合起来，就组成了二元一次方程组.
注：①在方程组中，相同未知数必须代表同一未知量；②二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而
成，方程个数也不一定是两个.
2.判断二元一次方程组的方法：①方程组中是否一共有两个未知数;②含未知数的项的次数是否都是1;③是
否含有多个方程组成.
【即学即练2】下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的定义问题．在解决定义问题的时候特别要注意所有方程都必
须是整式方程，否则就不是二元一次方程组．
二元一次方程组是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的两个整式方程所组成的一组方
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学科网（北京）股份有限公司程，叫二元一次方程组．据此判断即可．
【详解】解：A、第一个方程不是二元一次方程，故不是，不符合题意；
B、第二个方程不是整式方程，故不是，不符合题意；
C、含有3个未知数，故不是，不符合题意；
D、是二元一次方程组，符合题意；
故选：D．
知识点03 二元一次方程的解
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对）
【即学即练3】下列哪组数是方程 的解（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程的解；
将各选项中的x和y值代入方程 ，验证是否满足等式．
【详解】解：A、将 代入 ；则 ；故选项不符合题意；
B、将 代入 ；则 ；故选项不符合题意；
C、将 代入 ；则 ；故选项符合题意；
D、将 代入 ；则 ；故选项不符合题意；
故选：C
知识点04 二元一次方程组的解
1.二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解.
2.检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有
方程不成立，则不是方程的解.
注：方程组中只要有一个方程带入后不成立，则不是方程的解.
【即学即练4】已知下面三对数值： ； ； ．
(1)哪几对能使方程 左、右两边的值相等？
(2)哪几对能使方程 左、右两边的值相等？
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学科网（北京）股份有限公司(3)二元一次方程组 的解是什么？
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)
【分析】（1）将三对值代入方程 判断即可得到解；
（2）将三对值代入方程 判断即可得到解；
（3）找出两方程的公共解，即为方程组的解．
【详解】（1）解：将 代入方程 左边得： ，右边 ，左边≠右边；
将 代入方程 左边得： ，右边 ，左边 右边；
将 代入方程 左边得： ，右边 ，左边 右边；
（2）解：将 代入方程 左边得： ，右边 ，左边 右边，是方程的解；
将 代入方程 左边得： ，右边 ，左边 右边，是方程的解；
将 代入方程 左边得： ，右边 ，左边≠右边；
（3）解：两方程的公共解为 ，
则方程组的解为 ．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
题型01 判断是否是二元一次方程
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学科网（北京）股份有限公司【典例1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】主要考查二元一次方程的概念，正确记忆二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知
数的最高次项的次数是1的整式方程是解题关键．根据二元一次方程的定义逐项判断即可．
【详解】A、 ：含两个未知数，但乘积项次数为2，不符合二元一次方程的定义；
B、 ： 的次数为2，不符合二元一次方程的定义；
C、 ：含两个未知数，次数均为1，且为整式方程，符合二元一次方程的定义；
D、 ：含分式 ，不是整式方程，不符合二元一次方程的定义．
故选：C．
【变式1】（24-25八年级上·江西抚州·期末）下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
根据含有两个未知数且未知数的次数都是1的整式方程是二元一次方程，据此逐项判断即可．
【详解】解：A．该方程的次数是2，故此选项不符合题意；
B．该方程是二元一次方程，故此选项符合题意；
C．该方程是分式方程，故此选项不符合题意；
D．该方程的次数是2，故此选项不符合题意．
故选：B．
【变式2】（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）下列等式中是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程的概念，根据含有两个未知数（“二元”），并且含有未知数的项的最高
次数都是 1（“一次”）的整式方程，叫做二元一次方程，逐项判断即可．
【详解】解：A、 是二元一次方程，符合题意；
B、 ，只有一个未知数，不是二元一次方程，不符合题意；
C、 ， 是分式，不是二元一次方程，不符合题意；
D、 是一元一次方程，不符合题意；
故选：A．
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学科网（北京）股份有限公司【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列式子中：① ；② ；③ ；④
；⑤ ；⑥ ，二元一次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查方程的分类．根据二元一次方程的概念逐个判断即可得到答案．
【详解】解：① 为二元一次方程；
② 为二元二次方程；
③ 为二元二次方程；
④ 为分式方程；
⑤ 为三元一次方程；
⑥ 为代数式，不是方程；
故为二元一次方程的有①，有1个，
故选：A．
题型02 根据二元一次方程的定义求字母的值
【典例2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若关于 的方程 是二元一次方程，则 的值是
（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查根据二元一次方程的定义求参数的值，根据二元一次方程的定义，得到 ，进行
求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，
∴ ；
故选A．
【变式1】（25-26八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知 是关于x，y的二元一次方程，
则m的值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键；由题意易得
，然后求解即可．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ；
故答案为3．
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学科网（北京）股份有限公司【变式2】若方程 是关于x，y的二元一次方程，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的定义和求代数式的值，注意：只含有两个未知数，并且所含未知数的
项的最高次数是1次的整式方程，叫二元一次方程．
根据二元一次方程的定义和已知条件得出 ，求出m、n的值即可．
【详解】解：因为方程 是关于是关于x，y的二元一次方程，
所以 ，
解得 ．
故答案为： ．
【变式3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程 是二元一次方程，则
．
【答案】2
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样
的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义解答即可．
【详解】解：∵方程 是二元一次方程，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为：2．
题型03 判断是否是二元一次方程的解
【典例3】下列各组x、y的值中不是二元一次方程 的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程的解
【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
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学科网（北京）股份有限公司把各项中 与 的值代入方程检验即可．
【详解】解：A、把 代入方程得：左边 ，右边 ，左边 右边，是方程的解；
B、把 代入方程得：左边 ，右边 ，左边 右边，是方程的解；
C、把 代入方程得：左边 ，右边 ，左边 右边，是方程的解；
D、把 代入方程得：左边 ，右边 ，左边 右边，不是方程的解，
故选：D．
【变式1】下列各对数是二元一次方程 的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
【分析】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关
键．将各选项中的数值代入二元一次方程，能使等式成立的即为答案．
【详解】解：A．当 时，方程左边 ，方程右边 ， ，
方程左边 方程右边，
是二元一次方程 的解，选项A符合题意；
B．当 时，方程左边 ，方程右边 ， ，
方程左边 方程右边，
不是二元一次方程 的解，选项B不符合题意；
C．当 时，方程左边 ，方程右边 ， ，
方程左边 方程右边，
不是二元一次方程 的解，选项C不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司D．当 时，方程左边 ，方程右边 ， ，
方程左边 方程右边，
不是二元一次方程 的解，选项D不符合题意．
故选：A．
【变式2】方程 的解不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
【分析】本考查二元一次方程的解（使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程
的解．）解题的关键是熟知二元一次方程解的定义．
根据二元一次方程的解逐项判断即可．
【详解】解：A、当 ， 时， ，所以 不是方程 的解；
B、当 ， 时， ，所以 是方程 的解；
C、当 ， 时， ，所以 是方程 的解；
D、当 ， 时， ，所以 是方程 的解；
故选：A．
【变式3】下列二元一次方程组的解是 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【知识点】根据二元一次方程组的解的定义，将解逐一代入方程组，能够使两个方程都成立的，即为该方
程组的解，即可求得．
根据二元一次方程组的解代入计算即可判断．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：将 代入各项中的二元一次方程，
A． ，故不符合题意；
B． ，故不符合题意；
C． ，故符合题意；
D． ，故不符合题意；
故选：C．
题型04 二元一次方程的解代入求值
【典例3】（24-25七年级下·福建泉州·期中）若 是关于 的方程 的一个解，则 的值为
．
【答案】1
【分析】本题考查二元一次方程的解，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键．
将 代入 ，得到 ，即可解答．
【详解】解：将 代入 ，得
，
解得 ．
故答案为：1．
【变式1】（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）已知 是二元一次方程 的一个解，则
．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的解．
将 代入 计算即可．
【详解】∵ 是二元一次方程 的一个解，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）若 是方程 的一个解，求 的值．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】本题考查二元一次方程的解、代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键．将 代入方程
得到 ，代入即可求解．
【详解】解：因为 是方程 的一个解，
所以 ，
所以 ．
题型05 二元一次方程的整数解
【典例5】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）写出二元一次方程 的一个整数解 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了二元一次方程整数解，解题关键是理解方程解的意义，选一整数代入求另一个未知数
的整数值．
根据二元一次方程的整数解的定义写出即可．
【详解】解：当 时， ，
解得 ，
∴二元一次方程的一个整数解为： （答案不唯一）．
故答案为： （答案不唯一）．
【变式1】（24-25七年级下·四川宜宾·期中）二元一次方程 的正整数解共有（ ）组．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程的解．由 ，可得出 ，结合 ， 均为正整数，即可
求出二元一次方程 的正整数解．
【详解】解： ，
．
又 ， 均为正整数，
或 ，
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学科网（北京）股份有限公司二元一次方程 的正整数解共有2组．
故选：C．
【变式2】（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记
载了求不定方程（组）解的问题．例如方程 恰有一个正整数解 ．类似地，方程
的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意写出 的正整数解，即可求解．
【详解】解：∵
∴
正整数解为： ， ； ， ； ， 共3个，
故选：C．
【变式3】（24-25七年级下·全国·阶段练习）已知二元一次方程 ．
(1)直接写出它所有的正整数解；
(2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为 ．
【答案】(1)所有的正整数解为 或
(2) （答案不唯一）
【分析】本题考查了二元一次方程组的解；
（1）将方程变形，写出满足方程的正整数解即可；
（2）写出满足解的一个二元一次方程即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴当 时， ，符合题意；
当 时， ，符合题意；
当 时， ，不符合题意；
∴ 所有的正整数解为 或 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴方程组 的解为 ．
题型06 判断是否是二元一次方程组
【典例6】下列方程组，其中是二元一次方程组的有 （填序号）
① ② ③ ④ ．
【答案】 /
【分析】根据二元一次方程组的定义，即可求解．
①③ ③①
【详解】解：二元一次方程组有①③．
故答案为：①③
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握组成二元一次方程组应共含有两个未知数，且
未知数的项最高次数都应是一次的整式方程是解题的关键．
【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未
知数的项最高次数都应是一次的整式方程，根据定义判断即可．
【详解】解：A、该方程组 中的第一个方程含有分式，不符合题意；
B、方程组 中第一个方程中的 是二次的，不符合题意；
C、该方程组 中有三个未知数，不符合题意；
D、该方程组 符合二元一次方程组的定义，故该选项正确．
故选：D．
【变式2】（25-26八年级上·四川内江·开学考试）下列方程组为二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，两个一次方程，共含有2个未知数，组成的方程组叫做二元
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学科网（北京）股份有限公司一次方程组，进行判断即可．
【详解】解：A、该方程组中的第二个方程是二元二次方程，不符合题意；
B、该方程组中的第一个方程是分式方程，不符合题意；
C、该方程组中含有3个未知数，不符合题意；
D、该方程组符合二元一次方程组的定义，符合题意；
故选：D．
【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列六个方程组中，是二元一次方程组的有（ ）
① ；② ； ③ ；④ ； ⑤ ；⑥
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的识别，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的定义．
利用二元一次方程组的定义来进行判断，即“由两个二元一次方程组成的方程组”，组成二元一次方程组
的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【详解】解：① ， 是分式，该选项不是二元一次方程组，不符合题意；
② ， 次数为2，该选项不是二元一次方程组，不符合题意；
③ ，含有3个未知数，该选项不是二元一次方程组，不符合题意；
④ ，该选项是二元一次方程组，符合题意；
⑤ ，该选项是二元一次方程组，符合题意；
⑥ ，该选项是二元一次方程组，符合题意；
故选：C．
题型07 判断是否是二元一次方程组的解
【典例7】下列方程中，解为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】判断是否是二元一次方程组的解
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把 代入每个方程组中的每一个方程，看看左右两边是
否相等即可．
【详解】解：A.把 代入方程组中的两个方程，左右两边均不相等，故本选项不符合题意；
B. 把 代入方程组中的方程 ，左边 ，右边 ，左右两边不相等，故本选项不符合题意；
C. 把 代入方程组中的两个方程，左右两边均不相等，故本选项不符合题意；
D. 把 代入方程组中的两个方程，左右两边均相等，故本选项符合题意；
故选：D
【变式1】解为 的方程组可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】判断是否是二元一次方程组的解
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将 代入各选项进行排除即可，正确理解二元一次方程组
的解得定义是解题的关键．
【详解】解： 、将 代入 可知 ， ，不符合题意；
、将 代入 可知 ， ，不符合题意；
、将 代入 可知 ， ，符合题意；
、将 代入 可知 ， ，不符合题意；
故选： ．
【变式2】下列各组数中，是二元一次方程组 的解的是（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【知识点】判断是否是二元一次方程组的解、加减消元法
【分析】本题考查了解二元一次方程组的解及其解法，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加
减消元法．解题的关键是熟练的掌握解二元一次方程组的方法． 方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】解： ，
①+②得： ，即 ，
把 代入①得： ，
则方程组的解为 ，
故答案选B．
【变式3】已知 ， ， 是二元一次方程 的三个解， ， ， 是
二元一次方程 的三个解，则二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】判断是否是二元一次方程组的解、二元一次方程的解
【分析】本题考查了方程的解，理解方程的解的含义是解题的关键．由于 的解需要同时满足方
程 和 ，因此从方程 、 的解中找到同时满足这两个方程的解即可．
【详解】解： ， ， 满足方程 ， ， ， 满足方程
，其中 同时满足 和 ，
二元一次方程组 的解是 ．
故选：D．
题型08 根据二元一次方程组的解求字母的值
【典例8】（24-25七年级下·湖北襄阳·阶段练习）已知 是关于 的二元一次方程组 的
一组解，则 的值为（ ）
A．3 B． C．5 D．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．将
代入方程组求出 的值，再代入计算即可得．
【详解】解：∵ 是关于 的二元一次方程组 的一组解，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【变式1】已知 与 都是方程 的解，则 ， ．
【答案】 /
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题关键是把x和y的值代入方程，建立关于a和b的二元一次
方程组，
先根据题意列出方程组，再求解即可．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ．
故答案为： ； ．
【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于 的二元一次方程组 的解满足 ，
则 的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查二元一次方程组的求解，先联立方程组中的第一个方程与已知条件 组成新的方
程组，求出 和 的值，再将 和 的值代入第二个方程求出 的值．
【详解】解：∵方程组 的解满足 ③，
∴①和③组成新的方程组为 ，解得 ，
将 代入②，得 ．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：4．
【变式3】小亮求得方程组 的解为 ，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●
和■，则●是 ．
【答案】8
【分析】本题考查用代入法解二元一次方程组，熟练掌握代入法是解题的关键．将 代入方程组中第二
个方程，解得 ，再将 、 代入方程组中第一个方程，即可求解●的值．
【详解】根据题意，将 代入方程组中第二个方程 ，
得 ，
解得 ，
再将 、 代入方程组中第一个方程 ，
解得● ，
故答案为8．
题型09 根据实际问题列二元一次方程
【典例9】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）“方程”二字最早见于我国（九章算术）这部经典著作中，
该书的第八章名为“方程”，如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数 的系数与相应的常数
项，即 可表示方程 ．按照上述规则，则 表示的方程是
．
【答案】
【分析】本题考查根据图意列二元一次方程，认真审题，读懂图中的意思，仿照图写出答案．解题的关键
是读懂图的意思．
【详解】
解：由题意得，则 表示的方程是 ，
故答案为： ．
【变式1】某果园计划种植梨树和苹果树共1000株，实际上梨树种植量比计划增长10%，而苹果树种植量
比计划减少5%．若设实际种植梨树x株，苹果树y株，列二元一次方程为 ．
【答案】
【分析】利用梨树种植量比计划增长10%，苹果树种植量比计划减少5%，分别表示出苹果与梨树的棵数进
而得出等式求出即可．
【详解】解：设实际种植梨树x株，苹果树y株，由题意可得：
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学科网（北京）股份有限公司，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程，正确表示出实际植树的棵数是解题关键．
【变式2】在“幻方拓晨课程”探索中，小明在如图 方格中填入了一表示数的代数式，若图中各行、
各列及对角线的上的三个数之和都相等，用含x的代数式表示y为 ．
3
x
y 4
【答案】y=2x-3
【分析】根据各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，填表，得到关于x和y的等式，化简可得结果．
【详解】解：由题意可得：
各行、各列及对角线的上的三个数之和为：x+y+3，
填表如下：
y-1 y-x+4 3
x-y+4 x x+y-4
y x-1 4
∴x-y+4+x+x+y-4=x+y+3，
化简得：y=2x-3，
故答案为：y=2x-3．
【点睛】此题主要考查了整式的加减，二元一次方程，以及幻方的特征和应用，要熟练掌握．
【变式3】（2024·贵州黔南·一模）我国古代数学名著《九章算术》卷七记载了一个有关方程的问题，译文
为：今有人合伙买玉石，每人出 钱，会多出4钱．设人数为 人，玉石价格为 钱，则可列关于 ， 的
方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，根据总的钱数不变，即可得出关于 ， 的二元一
次方程，此题得解，找准等量关系解题的关键．
【详解】解：由题意可得： ，
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学科网（北京）股份有限公司整理得： ，
故选：B．
一、单选题
1．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）下列四个方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．二元一次方程是指只含两个未
知数，且含未知数的项的次数是1的整式方程，据此逐一判断即可得答案．
【详解】解：A、 含有3个未知数，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；
B、 项的次数是2，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；
C、是分式方程，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；
D、符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，故该选项符合题意．
故选：D．
2．（25-26八年级上·广西南宁·阶段练习）下列各对数值中是方程 的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查二元一次方程的解，将各选项中的 和 代入方程 ，验证是否等于10即可．
【详解】解：A．将 ， 代入方程： ，是方程 的解，符合题意；
B．将 ， 代入方程： ，不是方程 的解，不符合题意；
C．将 ， 代入方程： ，不是方程 的解，不符合题意；
D．将 ， 代入方程： ，不是方程 的解，不符合题意；
故选：A．
3．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）若 是关于 的二元一次方程 的解，则 的值
为（ ）
A． B．3 C．9 D．11
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解是满足方程的未知数的值是解题的关
键．
把 代入 得到关于a的方程求解即可．
【详解】解：把 代入 可得：
，解得： ．
故选B．
4．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）有下列方程组：① ② ③ ④
其中二元一次方程组有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了方程组的定义，即含有两个未知数且每一个方程都是二元一次方程，判断解答即可．
【详解】解：① 是二元一次方程组，符合题意；
② 是二元一次方程组，符合题意；
③ 是二元一次方程组，符合题意；
④ 不是二元一次方程组，不符合题意．
∴二元一次方程组有①②③，共3个．
故选C．
5．（25-26八年级上·广西南宁·阶段练习）南宁至北海全长206千米，一辆小汽车和一辆客车同时从南宁、
北海两地相向开出，经过1小时10分钟相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶30千米．设小汽车和客车的
平均速度分别为 千米/小时和 千米/小时，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了列二元一次方程组，理解题意的等量关系是解题的关键．设小汽车和客车的平均速度
分别为 千米/小时和 千米/小时，根据等量关系：“相遇时两车走的路程之和为 千米”，“ 小汽车
比客车多行驶 千米”，列出二元一次方程组，即可求解．
【详解】解：设小汽车和客车的平均速度分别为 千米/小时和 千米/小时，
依题意可得出方程组： ．
故选：D．
6．（24-25七年级下·四川巴中·阶段练习）已知方程 是二元一次方程，则
的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【分析】根据关于 ， 的方程 是二元一次方程，得到 ， ，
解答即可．
本题考查了二元一次方程的定义，正确理解定义是解题的关键．
【详解】解：由关于 ， 的方程 是二元一次方程，
故 ， ， ， ，
解得 ， 且 ， ，
故 ， ，
故 ，
故选：A．
7．（24-25七年级下·河南新乡·阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A． 是二元一次方程组
B．方程 的解只有
C．方程 的解必是方程组 的解
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学科网（北京）股份有限公司D．由方程组 可得出 与 之间关系是
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的相关概念，等式的性质；根据二元一次方程组的概念及解对各选项
进行判断．
【详解】A、 是二元二次方程组，故A选项错误．
B、二元一次方程 的解有无数个，故此项错误．
C、方程组 的解必是方程 的解，故此项错误．
D、 ，
得： ，即 ，故此项正确．
故选：D．
二、填空题
8．（24-25七年级下·全国·期中）如果 是二元一次方程，则 ＝ ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程，只含有 个未知数且含有未知数的项的最高次数为一次的整式方程是
二元一次方程，据此解答即可求解，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：∵ 是二元一次方程，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
9．（25-26七年级上·全国·课后作业）在① ② ③ 中， 是二元一次方程
的解， 是二元一次方程 的解， 是二元一次方程组 的解．
（填序号）
【答案】 ①③ ②③ ③
【分析】本题考查二元一次方程组解的概念，明确二元一次方程组的解是同时满足方程组中两个方程的一
组未知数的值是解题的关键．
根据定义，分别把三组方程的解代入二元一次方程验证判定即可．
【详解】解：将 代入 方程成立，②代入得 ，方程不成立，
将 代入 方程成立，①代入 ，方程不成立，
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学科网（北京）股份有限公司将①②③分别代入，只有③能够使得方程组的等式成立．
故答案为： ①③； ②③； ③．
10．（2025·上海·模拟预测）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：
个和尚分 个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．设大和尚x人，小和
尚y人，则根据问题列出一个关于x和y的方程组：
．
【答案】
【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，由题意得：大和尚一人分3个，小和尚一人分 个；
据此即可求解；
【详解】解：由题意得：大和尚一人分3个，小和尚一人分 个；
∵有 个和尚，
∴ ；
∵有 个馒头，
∴ ；
故答案为： ；
11．（24-25八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，若第一象限的点 满足 ，
且 均为整数，则满足条件的点有 个．
【答案】2
【分析】解方程 ，求得整数解 或 ，即为第一象限的点 ．
【详解】解：将方程 变形得：
在第一象限，且 均为整数.
为偶数， 为偶数.
为奇数.
当 时，
即
当 时,
，即
即满足条件的点有2个.
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：2．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，以及坐标与象限，解决问题的关键是熟练掌握二元一次方程的解．
12．（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程组 是关于 的二元一次方程组，则
的值为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二元一次方程组，绝对值的意义，理解二元一次方程组的定义，熟练掌握绝对值
的意义是解决问题的关键．
根据二元一次方程组的定义得 ，求出 后进行验证，即可得出最终 的值．
【详解】解：∵方程组 是关于 的二元一次方程组，
∴ ，即 ，
解得： ，
当 时，原方程组可转化为： ，不符合二元一次方程组的定义，舍去；
当 时，原方程组可转化为： ，符合二元一次方程组的定义；
综上所述： 的值为 ．
故答案为： ．
13．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）已知 是方程 的解，则代数式 的值为
．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，代数求值等，解题的关键是掌握二元一次方程的解的
定义．
根据二元一次方程的解表示出 ，通过变形代入求值即可．
【详解】解：将 代入 得， ，
∴ ，
即 ，代入 得，
，
故答案为：2．
14．（25-26八年级上·全国·课后作业）方程组 的解是 ，其中 的值被墨渍盖住了，则
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学科网（北京）股份有限公司的值为 ．
【答案】8.75
【分析】将 代入 ，得 的值，再将x，y代入 求出p的值，将x，y，p的值代入
即可计算．本题考查利用二元一次方程组的解求参数及求代数式的值，理解相关概念是解题
关键．
【详解】解：将 代入 ，得 ，
将 代入 ，得 ，
∴ ，
故答案为：8.75．
三、解答题
15．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意列出方程组：
(1)将若干只鸡放入若干个笼中，若每个笼中放4只，则有1只鸡无笼可放；若每个笼中放5只，则有1个
笼无鸡可放．有多少只鸡？有多少个笼？
(2)某企业去年国内、国外销售总收入为1000万元，因金融风暴，今年的总收入比去年的总收入降低了
10%，其国内销售收入降低了5%，国外销售收入降低了15%．去年国内和国外销售收入分别为多少元？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设有 个笼，有 只鸡．利用“每个笼中放4只，则有1只鸡无笼可放”，“每个笼中放5
只，则有1个笼无鸡可放”两个等量关系列方程即可．
（2）设去年国内和国外销售收入分别为 万元和 万元，利用“国内、国外销售总收入为1000万元”，
“总收入比去年的总收入降低了10%，其国内销售收入降低了5%，国外销售收入降低了15%”两个等量关
系列方程即可.
【详解】（1）解：设有 个笼，有 只鸡．根据题意，
得
（2）设去年国内和国外销售收入分别为 元和 元．根据题意，
得
【点睛】本题考查了列方程组解应用题，找出等量关系是解题的关键.
16．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知 和 都是二元一次方程 的解，则
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学科网（北京）股份有限公司是否也是方程 的解？请说明理由．
【答案】不是，见解析
【分析】将 和 代入二元一次方程 ，得到 的方程组，求得 的值，再检
验即可．
【详解】解：不是．理由如下：
将 和 分别代入方程 ，得
由①，得 ．③
将③代入②，得 ，
解得 ．
将 代入③，得 ，
所以原二元一次方程为 ．
将 代入，得 ，
所以 不是方程 的解．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，只要满足方程的左右两边相等，即可知是原方程的解．
17．（25-26七年级上·全国·课后作业）有这样一道题：判断 是不是二元一次方程组 的解．
小恒的解答过程：将 代入方程 中，等式成立，所以 是该方程组的解．小恒的解答过
程是否正确？若不正确，请说明理由．
【答案】小恒的解答过程是错误的，见解析
【分析】本题考查了解二元一次方程组，先明确二元一次方程组解的定义，在指出小恒的错误，最后将给
定的解带入方程组的两个方程进行检验.
【详解】解：小恒的解答过程是错误的．
理由如下：
将 代入方程 中，
左边= ，右边 ，
左边=右边；
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学科网（北京）股份有限公司将 代入方程 中，
左边= ，右边=5.
左边≠右边；
不是方程组的解．
18．（2025八年级上·全国·专题练习）若 是关于 的二元一次方程，
则（ ）
A． B．
C． D．
下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确答案，并说明理由．
解：因为 2025是关于 的二元一次方程，
所以 ．
解得 ．故选A．
【答案】马虎的解法不正确．正确选项为D，见解析
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解答本题的关键．方程的两边
都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程．
马虎的解法未考虑未知数的系数不能为0，故错误；根据二元一次方程的定义求解即可.
【详解】解：马虎的解法不正确．正确选项为D．理由如下：
因为 是关于 ， 的二元一次方程，
所以
解得
故选D．
19．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x，y的二元一次方程 （k为常数）．
(1)当 ， 时，求k的值；
(2)不论k取何值时，二元一次方程总有一个固定的解，请你求出这个解．
【答案】(1)
(2)
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解不论 取何值时，二元一次方程总有一个固定的解的意义是
解题的关键．
（1）把 、 的值代入即可求出 的值；
（2）先把方程整理为 ，再根据题意得出 ，即可求出 的值，继而求出 的值，
从而得到方程的固定解．
【详解】（1）解：当 ， 时， ，
解得： ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
不论 取何值时，二元一次方程总有一个固定的解，
，
，
，
，
二元一次方程 的固定的解是 ．
20．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知 都是实数，设点 ，且满足 ，我们称
点 为“梦之点”．
(1)判断点 是否为“梦之点”；
(2)若点 是“梦之点”，请判断点 在第几象限，并说明理由．
【答案】(1)是
(2)第三象限，理由见解析
【分析】（1）根据“梦之点”定义，结合点 坐标列方程求出 、 ，再验证 是否成立．
（2）依据“梦之点”定义，用 表示 、 ，代入 列方程求出 ，得到点 坐标，从而确定象
限 ．
本题主要考查新定义“梦之点”与点的坐标、象限的综合应用，涉及方程求解，熟练掌握新定义的运用及
通过方程确定未知数的值是解题关键．
【详解】（1）解：由题意，得 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
29 / 33
学科网（北京）股份有限公司∴点 是“梦之点”．
（2）解：点 在第三象限．理由如下：
∵点 是“梦之点”，
∴ ，
∴ ，
∴代入 有 ，
解得 ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
∴点 在第三象限．
21．（24-25七年级下·山东德州·期末）关于x，y的二元一次方程均可以变形为 的形式，其中
a，b，c，均为常数且 ， ，规定：方程 的“关联系数”记为 ．
(1)【探索发现】二元一次方程 的“关联系数”为______．
(2)【拓展应用】已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为 ，若 ，为该方程的一
组解，且 均为正整数，求m，n的值．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程
组的方法．
（1）根据关联系数的定义进行解答即可；
（2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为 ，把 代入，得出 ，根据
m、n均为正整数，求出结果即可；
【详解】（1）解：∵规定：方程 的“关联系数”记为 ，
∴二元一次方程 的“关联系数”为 ；
故答案为： ；
（2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为 ，
∴二元一次方程为 ．
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学科网（北京）股份有限公司∵ 为该方程的一组解，
∴ ，即 ．
∵m，n均为正整数，
∴ 或
22．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）若关于 、 的二元一次方程变形为 的形式（ 、 是常
数， ），则其中一对常数 、 称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为 ．例如二元一次方
程 变形为 ，则二元一次方程 的“相伴系数对”为 ．
(1)二元一次方程 的“相伴系数对”为____________．
(2)已知 是关于 、 的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为 ，求出这
个二元一次方程；
(3)关于 、 的二元一次方程 ，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求 的
值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二元一次方程的解，新定义“相伴系数对”，理解题意是解题的关键．
（1）先把二元一次方程 变形为 ，根据“相伴系数对”的定义解答即可；
（2）先根据“相伴系数对”的值写出方程 ，然后把 的值代入即可求出k的值，从而写
出方程；
（3）先求出方程的“相伴系数对”的值，然后根据已知条件列出关于 的方程，从而求出 的值．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴二元一次方程 的“相伴系数对”为 ，
故答案为： ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：∵方程的“相伴系数对”为 ，
∴该方程为 ，
∵ 是关于 、 的二元一次方程的一个解，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
即 ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
即 ，
∵关于 、 的二元一次方程 的“相伴系数对”之和为2，
∴ ，
整理得 ，
即 ．
23．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习） “格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，在明代数学
家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”． 例如：如图1，计算 ，将乘数46写在方格
上边，乘数71写在方格右边，然后用46的每位数字乘71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿
斜线方向相加， 得3266．
(1)如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，写出： _____
(2)如图3，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，试推算m，n满足的数量关系；
(3)如图4，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，求出k的值．
【答案】(1)3
(2)
(3)6
【分析】本题考查有理数的运算，一元一次方程的应用．
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学科网（北京）股份有限公司（1）根据 ，即可求解；
（2）根据题意可得 ， ， ，即可解答；
（3）根据运算法则，将表格补充，当千位是0时， ；当千位是1时，
，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；
故答案为：3
（2）解：根据题意得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ 或1或2或3，
∵ ，
∴ 或1或0，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ；
（3）解：如图4，
当千位是0时， ，
解得： （不合题意，舍去）；
当千位是1时， ，
解得： ．
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