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专题11：二元一次方程组（3）
考点一：用二元一次方程组确定一次函数的表达式
题型一：用待定系数法求一次函数的表达式
例1.如图，直线 的函数表达式为 ，且直线 与 轴交于点 ．直线 与 轴交于点 ，且经过
点 ，直线 与 交于点 ．
（1）求点 和点 的坐标；
（2）求直线 的函数表达式；
（3）利用函数图象写出关于 ， 的二元一次方程组 的解．
【答案】见详解
【分析】（1）求函数值为0时一次函数 所对应的自变量的值即可得到 点坐标，把 代入
求出 得到 点坐标；
（2）利用待定系数法求直线 的解析式；
（3）利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】解：（1）在 中
令 ，即 解得 ， ， ，点 在直线 上， ， ， ， ；
（2）设直线 的函数表达式为 ，
由题意得： ，解得： ， ；
（3）由图可知，二元一次方程组 的解为 ．
【点睛】一次函数与二元一次方程（组 ：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的
值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图
象的交点坐标．也考查了一次函数的性质．
【练习1】已知点 、 在直线 上， 和函数 的图象交于点 ，点 的
横坐标是1．
（1）求直线 的表达式；
（2）求关于 、 的方程组 的解及 的值．
（3）若点 关于 轴的对称点为 ，求 的面积．
【答案】见详解
【分析】（1）由于点 、 在直线上，可用待定系数法确定直线 的表达式；
（2）先求出点 的坐标，即得方程组的解．代入组中方程求出 即可；
（3）由于 ，分别求出 和 的面积即可
【详解】解：（1）由于点 、 在直线 上，，
所以直线 的表达式为：
（2）由于点 在直线 上，当 时， 所以点 的坐标为
因为点 是直线 与直线 的交点，
所以关于 、 的方程组 的解为
把 ， 代入 中，得 ．
（3）因为点 与点 关于 轴对称，所以点
所以 ，
所以 ．
【点睛】本题考查了待定系数法确定函数解析式、三角形的面积、直线与方程组的关系等知识点．方程组
的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一
次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
题型二：利用一次函数的表达式解决实际问题
例2．某物流公司的一辆货车 从乙地出发运送货物至甲地，1小时后，这家公司的一辆货车 从甲地出
发送货至乙地．货车 、货车 距甲地的距离 与时间 之间的关系如图所示．
（1）求货车 距甲地的距离 与时间 的关系式；
（2）求货车 到乙地后，货车 还需多长时间到达甲地．【答案】见详解
【分析】（1）设货车 距甲地的距离 与时间 的关系式为 ，把 ， 代入求解即可；
（2）把 代入（1）的结论求出货车 行驶2小时时的路程，进而求出货车 的速度，然后根据“时间
路程 速度”列式计算即可．
【详解】解：（1）设货车 距甲地的距离 与时间 的关系式为 ，
根据题意得： ，解得 ，
货车 距甲地的距离 与时间 的关系式为 ；
（2）当 时， ，
故货车 的速度为： ，
货车 到达甲地所需时间为： （小时）， （小时），
答：货车 到乙地后，货车 还需1小时到达甲地．
【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题，掌握待定系数法求函数关系式是解答本题的关键．
【练习2】一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚在此后所跑的路程 （米
与时间 （秒 之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程是
A．2000米 B．2100米 C．2200米 D．2500米
【答案】见详解【分析】根据函数图象可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题．
【详解】解：设小明从1600米处到终点的速度为 米 秒，小刚从1400米处到终点的速度为 米 秒，
，解得： ，
故这次越野跑的全程为： （米 ，
即这次越野跑的全程为2200米，故选： ．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程
组，利用数形结合的思想解答问题．
【练习3】为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导贫困户李大爷种植优质百香果喜获丰收，上市 20
天全部销售完，专家对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量 （千克）与上市时
间 （天 的函数关系如图所示．
（1）求日销售量 与上市时间 的函数关系式；
（2）求出第15天的日销售量．
【答案】见详解
【分析】（1）分段函数，当 时，设 与 的函数关系式为 ，把 代入计算即可；
当 时，设 与 的函数关系式为 ，把 和 代入计算即可．
（2）把 代入（1）的结论解答即可．
【详解】解：（1）当 时，设 与 的函数关系式为 ，
，得 ，即当 时， 与 的函数关系式为 ；
当 时，设 与 的函数关系式为 ， ，解得 ，即当 时， 与 的函数关系式为 ，
由上可得， 与 的函数关系式为 ；
（2）当 时， ，故第15天的日销售量为600千克．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想
解答．
考点二：三元一次方程组
题型一：三元一次方程的解法
例3.解方程组
（1） ． （2） ．
【答案】见详解
【分析】利用加减消元法解三元一次方程组．
【详解】解：（1） ，
由② ③得： ④，由① ④得： ，解得 ，把 代入①得： ，
把 、 的值代入②得： ，解得： ，
方程组的解为 ．
（2） ，
① ②得： ④，① ③得： ，即 ⑤，④ ⑤得： ，解得： ，把 代入⑤得： ，
把 ， 代入①得： ，
则方程组的解为 ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是
解（1）、（2）的关键，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组是解（3）的关键．
【练习4】解方程组： ．
【答案】见详解
【分析】用加减消元法解三元一次方程组．
【详解】解： ，
由② ①，得： ④，
由③ ②，得： ⑤，
由⑤ ④，得： ，
解得： ，将 代入④，得： ，解得： ，
将 ， 代入①，得： ，解得： ，
方程组的解为： ．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，掌握消元法解方程组的步骤是解题关键．消元法有：加减消元法和
代入消元法．
【练习5】已知 ，当 时， ；当 时， ；当 时， ．求 ， ，的值．
【答案】见详解
【分析】将 与 的值代入方程，然后解方程求出 ， ， ．
【详解】解：由题意得： ，解得： ．
【点睛】本题考查了算术平方根、立方根、方程的根．立方根注意正负号的和括号的添减．
题型二：三元一次方程组的应用
例4．一个三位数，个位，百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的 7倍比个位，十位上的
数字的和大2，个位，十位，百位上的数字的和是14，求这个三位数．
【答案】见详解
【分析】等量关系为：个位上的数字 百位上的数字 十位上的数字；百位上的数字 个位数字 十位
上的数字 ；个位上的数字 十位上的数字 百位上的数字 ，把相关数值代入可得各位上的数字，
三位数 百位上的数字 十位上的数字 个位数字，把相关数值代入计算可得．
【详解】解：这个三位数个位上的数字为 ，十位上的数字为 ，百位上的数字为 ．
把①代入③得 ，把 代入①得 ④，代入②得 ⑤
④ ⑤得 ， ，
这个三位数为 ．答：这个三位数是275．
【点睛】考查三元一次方程组的应用；得到各个数位上的数字的等量关系是解决本题的关键；用到的知识
点为：三位数 百位上的数字 十位上的数字 个位数字．
【练习6】已知： 的周长为 ， ， ， 是它的三条边长， ， ．求 ， ，
的值．
【答案】见详解
【分析】根据 的周长为 ， ， ，可得三元一次方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：依题意有 ，解得 ．故 的值为8， 的值为16， 的值为12．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，
但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．
1．已知一次函数 与 的图象的交点坐标是 ，则方程 的解是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两函数交点即为两函数组成的方程组的解，从而求出答案．
【详解】解：∵一次函数 与 的图象的交点坐标是
∴方程组 的解为 故选：B
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解即为使方程组中两个方程同时成立的一
对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个对应的一次函数式，因此方程组的解就是两个对应的
一次函数图象的交点坐标．
2．三元一次方程组 的解是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【详解】解： ，
② ③得： ④，① ④得： ，即 ，
把 代入①得： ，把 代入③得： ，
则方程组的解为 ，故选： ．
【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，解三元一次方程组的基本方法是利用代入法或加减法，消去
一个未知数，得到二元一次方程组，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值，再求出第三个未
知数的值．
3．小赵以每件5元的价格购进某商品若件到市场销售，销售金额 （元 与销售量 （件 的函数关系图
象如图所示，则降价后每件商品的销售利润率为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由图象可知40件销售金额为600元，80件的销售金额为1000元，所以降价后卖了
（件 ，销售金额为 （元 ，则降价后每件商品销售的价格为 （元 ，进而得
出降价后每件商品的销售利润，从而得出降价后每件商品的销售利润率．
【详解】解：由图象可知40件销售金额为600元，80件的销售金额为1000元，
降价后卖了 （件 ，销售金额为 （元 ，
降价后每件商品销售的价格为 （元 ，故降价后每件商品的销售利润为： （元 ，
降价后每件商品的销售利润率： ．
故选： ．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出
函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
4．“五一节”期间，王老师一家自驾游去了离家180千米的某地，如图是他们离家的距离 （千米）与汽
车行驶时间 （小时）之间的函数图象．当他们离目的地还有15千米时，汽车一共行驶的时间是
小时．
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据待定系数法，可得 范围的一次函数解析式，根据函数值，可得相应自变量的值．
【详解】解：设 范围的函数解析式是 ，
的图象过 ， ，
，解得： ，
函数的解析式是 ，
离目的地还有15千米时，即 ，
当 时， ，解得： （小时），故选： ．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求解析式，利用函数值求自变量的值．5．如图，直线 与 相交于点M，则关于x，y的方程组 的解是
______________．
【答案】
【分析】根据图像直接解答即可．
【详解】解：∵两直线的交点坐标为(2，4)，∴方程组 的解是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数与方程组的关系：两个函数图象的交点坐标(x，y)中x，y的值是方程组
的解．
6．如果一次函数图像经过 、 两点（如图），则该一次函数的解析式为__________．
【答案】 ．
【分析】设一次函数解析式为 ，将A、B两点坐标代入解方程组即可．【详解】设一次函数解析式为 ，
将A（1，2）、B（-1,1）两点坐标代入上式可得： 解得：
∴一次函数解析式为 故答案为：
【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
7．某地出租车计费方法如图所示，其中 （单位： 表示行驶里程， （单位：元）表示车费．若某乘
客一次乘出租车的里程为 ，则这位乘客需支付的费用为 元．
【答案】9.5
【分析】设当 时， 与 的函数关系式为 ，运用待定系数法求出 与 之间的函数关系式，
将 代入解析式即可求出 的值．
【详解】解：由图象知， 与 的图象为一次函数，并且经过点 、 ，
设该一次函数的解析式为 ，
则有： ，解得 ， ，
将 代入一次函数解析式，得 ，
故出租车费为9.5元．故答案为：9.5．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时理解
函数图象是重点，求出函数的解析式是关键．8．为了节约水资源，自来水公司按分段收费标准收费，如图所示反映的是每月收取水费 （元 与用水量
（吨 之间的函数关系．若按照分段收费标准，小颖家三、四月份分别交水费 29元和19.8元，则四月份
比三月份节约用水 吨．
【答案】3
【分析】先设函数解析式，然后看图将对应值代入其中求出相应的系数，即可得到函数解析式，根据函数
解析式求出四月份的水量，三月份水量可直接求，那么四月份比三月份节约用水多少可求出．
【详解】解：当 时，设 ，
将点 代入可得： ，解得： ，即可得： ，
当 时，设 与 的函数关系式为： ，
当 时， ，当 时， ，
将它们分别代入 中得： ，解得： ，
那么 与 的函数关系式为： ，综上可得： ，
当 时，知道 ，将 代入得 ，解得 ，
当 时，知道 ，将 代入得 ，解得： ，
即可得四月份比三月份节约用水： （吨 ．故答案为：3．
【点睛】本题考查了一次函数的应用：利用待定系数法求出一次函数的解析式，然后运用一次函数的性质解决实际问题．也考查了观察函数图象的能力．
9．已知某个一次函数自变量x的取值范围是0≤x≤10，函数y的取值范围是10≤y≤30 ，则此函数解析
式是_____．
【答案】y=2x+10 或y=-2x+30
【分析】设y=kx+b，分两种情况讨论，即x=0， y=10且x=10，y=30或x=10，y=10且x=0，y=30， 根
据题所给的x和y的范围可得出k及b的值，继而得出解析式.
【详解】设y=kx+b，
∵一次函数是直线，∴①当k>0时，y随x的增大而增大，∴当x=0，y=10且x=10，y=30，
得到 ，解得 ，∴此函数解析式是y=2x+10；
②当k<0时，y随x的增大而减小，∴x= 10，y=10且x=0，y=30，
∴ ，解得 ，∴此函数解析式是y=-2x+30，
综上所述，函数的解析式为y=2x+ 10或y=- 2x + 30.故答案为：y=2x+ 10或y=- 2x + 30.
【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，正确理解函数解析式中y与x的变化关系是解题的关键.
10．已知： 和 都是关于 、 的方程 的解．
（1）求 、 的值；
（2）求直线 与坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】见详解
【分析】（1）把 与 的值代入方程得到方程组，求出方程组的解即可得到所求．
（2）求得直线与坐标轴的交点，然后根据三角形面积公式即可求得．
【详解】解：（1）由题意得： ，解得： ；
（2）直线 与坐标轴的交点坐标是 ， ，
所以直线 与坐标轴围成的三角形的面积是： ．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求得 、 的值是解题的关键．
11．解方程组： ．
【答案】见详解
【分析】利用加减消元法解方程组．
【详解】解：由 ① ② ③得： ④，
④ ①，得： ，④ ②，得： ，④ ③，得： ．
方程组的解是 ．
【点睛】本题考查加减消元法解三元一次方程组，掌握解方程组的步骤准确计算是解题关键．
12．已知 ，当 时， ；当 时， ；当 时， ．
（1）求 ， ， 的值；
（2）当 时，求 的值．
【答案】见详解
【分析】（1）把 、 的值分别代入 ，得出关于 、 、 的方程组，求出方程组的解即
可；
（2）求出 ，再把 代入，即可求出答案．
【详解】解：（1）根据题意得： ，
把②代入①，得 ④，把②代入③，得 ⑤，
由④和⑤组成方程组 ，解得： ， ，所以 ， ， ；
（2）由（1）得： ，当 时， ．【点睛】本题考查了解三元一次方程组，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．
13．琪琪、倩倩、斌斌三位同学去商店买文具用品．琪琪说：“我买了4支水笔，2本笔记本，10本作文
本共用了19元．”倩倩说：“我买了2支水笔，3本笔记本，10本练习本共用了20元．”斌斌说：
“我买了12本练习本，8本作文本共用了10元；作文本与练习本的价格是一样哦！”请根据以上内容，
求出笔记本，水笔，练习本的价格．
【答案】见详解
【分析】设笔记本每本的价格是 元，水笔每支 元，练习本或作文本每本的价格为 元，根据条件可以
建立三个方程，从而构成三元一次方程组，求出其解即可．
【详解】解：设笔记本每本的价格是 元，水笔每支 元，练习本或作文本每本的价格为 元，由题意，
得
，解得： ．
答：笔记本每本的价格是4元，水笔每支1.5元，练习本0.5元．
【点睛】本题考查了列三元一次方程组解实际问题的运用，三元一次方程组的解法的运用，解答时找准等
量关系建立方程是关键．
14．某地特产采取线上销售，产品供不应求，销售额 （万元）与 （月 之间的函数关系如表所示．销售
成本 （万元）与销售额 （万元）之间的函数关系如图中线段 所示．
1 2 3 4 5 6
月份 月）
100 100 150 175 200 200
销售额 万元）
（1）求线段 所表示的函数的表达式．
（2）若 表示销售利润，问第几个月销售利润最大，最大利润是多少？
【答案】见详解
【分析】（1）设 ， ， 代入即可解决问题；（2）首先根据利润 销售额 经销成本求出关系式，再根据自变量的取值范围求出最值即可解决问题．
【详解】解：（1）设 ，
把 ， 代入得 ，解得 ，
．
（2） ，
， 随 的增大而增大， 当 时， 最大是90．
月和6月的销售利润最大，最大利润为90万元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求出解析式是解题关键．
15．如图，一次函数 和 与 轴、 轴分别相交于 、 和 、 四点，两个函数交点
为 ，且 点的横坐标为2．
（1）求 的值；
（2）不解方程组，请直接写出方程组 的解；
（3）求两函数图象与 轴所围成的三角形 的面积．
【答案】见详解
【分析】（1）先利用一次函数 确定 点坐标，然后把 点坐标代入 即可求出 的值；
（2）利用一次函数与方程组的关系，两函数的交点的横纵坐标即可为方程组的解；
（3）先利用两个一次函数解析式求出 、 的坐标，然后根据三角形面积公式求解．
【详解】解：（1）当 时， ，则 ，把 代入 得 ，解得 ；
（2）方程组 的解为 ；
（3）当 时， ，解得 ，则 ，
当 时， ，解得 ，则 ， ，
所以三角形 的面积 ．
【点评】本题考查一次函数与二元一次方程组、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题
意，求出 的值．
