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2025 年中考第三次模拟考试（长沙卷）
数学·答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C D A A B C A B
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．甲 12． 13．x≥-5且x≠2 14． 15．8 16．2009
三、解答题（本大题共9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤） 其中：17-19 每题6分 20-21 每题8分 22-23 每题9分 24-25 每题10分
17.【答案】
【详解】解：
……3分
……6分
18.【答案】 ，
【详解】解：
……2分
……4分
当 时，
原式 ． ……6分19.【答案】火箭从B点上升到C点的高度 约为2.20km
【详解】解：在 中， ，
∴ ．
∴ ． ……2分
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ． ……4分
∴ ……6分
答：火箭从B点上升到C点的高度 约为2.20km．
20.【答案】(1)300，75 (2)72 (3)240人 (4)
【详解】（1）解： 人，
∴参与调查的人数为300人，即样本容量为300，
∴ ，
故答案为：300，75； ……2分
（2）解：
∴“B排球”对应的圆心角的度数是 ，
故答案为：72； ……4分（3）解： 人，
∴估计该校最喜欢“D足球”的学生人数为240人； ……6分
（4）解：列表如下：
A B C D E
A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） （E，A）
B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） （E，B）
C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） （E，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） （E，D）
E （A，E） （B，E） （C，E） （D，E） （E，E）
由表格可知一共有25种等可能性的结果数，其中这两位同学选择的运动项目相同的结果数有5种，
∴这两位同学选择的运动项目相同的概率为 ． ……8分
21.【答案】（1）见解析；（2）80°
【详解】解：（1）∵BC∥EF，
∴∠ACB=∠DEF，
∵AE=DC，
∴AE+EC=CD+CE，即AC=DE，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SAS）； ……4分
（2）∵△ABC≌△DFE，
∴∠B=∠F=40°，∠DEF=∠ACB=60°，
∴∠D=180°-∠DEF-∠F=80°． ……8分
22.【答案】（1）（1）甲款每盒400元，乙款每盒320元；（2）40．
【详解】（1）设甲款积木的进价为每盒 元，乙款积木的进价为每盒 元，则 ，
解得： ．
答：甲款积木的进价为每盒400元，乙款积木的进价为每盒320元． ……4分
（2）由题可得： ， ……6分
解得 ， ，
因为顾客能获取更多的优惠，所以 ． ……9分
23.【答案】(1)见解析 (2)
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ 是半径，
∴ 是 的切线； ……4分
（2）解：设 的半径为r，则 ， ．
由（1）知 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，∴ ，
解得 ， ……6分
∴ ，
∴ ． ……9分
24.【答案】(1)
(2)此函数图象与x轴的公共点个数为两个，理由见解析
(3)存在两个m的值符合题意；当 时，此时该函数的最小值为 ；当 时，此时该函数的最
小值为
【详解】（1）将 ， 代入 得
，
②-①得 ，即 ．
所以 ． ……3分
（2）此函数图象与x轴的公共点个数为两个．
方法1：由 ，得 ．
可得 或 ．
当 时， ，此抛物线开口向上，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的下方，此时该函数图象
与x轴有两个公共点；
当 时， ，此抛物线开口下，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的上方，此时该函数图象与x
轴也有两个公共点．
综上所述，此函数图象与x轴必有两个公共点．方法2：由 ，得 ．
可得 或 ．
所以抛物线上存在纵坐标为 的点，即一元二次方程 有解．
所以该方程根的判别式 ，即 ．
因为 ，所以 ．
所以原函数图象与x轴必有两个公共点．
方法3：由 ，可得 或 ．
当 时，有 ，即 ，
所以 ．
此时该函数图象与x轴有两个公共点．
当 时，同理可得 ，此时该函数图象与x轴也有两个公共点．
综上所述，该函数图象与x轴必有两个公共点． ……6分
（3）因为 ，所以该函数图象开口向上．
由 ，得 ，可得 ．
由 ，得 ，可得 ．
所以直线 均与x轴平行．
由（2）可知该函数图象与x轴必有两个公共点，设 ， ．
由图象可知 ，即 ．
所以 的两根为 ， ，可得 ．
同理 的两根为 ， ，可得 ．同理 的两根为 ， ，可得 ．
由于 ，结合图象与计算可得 ， ．
若存在实数 ，使得 ， 这三条线段组成一个三角形，
且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为30°，60°的直角三角形，
所以线段 不可能是该直角三角形的斜边．
①当以线段 为斜边，且两锐角分别为30°，60°时，因为 ，
所以必须同时满足： ， ．
将上述各式代入化简可得 ，且 ，
联立解之得 ， ，解得 符合要求．
所以 ，此时该函数的最小值为 ．
②当以线段 为斜边时，必有 ，同理代入化简可得
，解得 ．
因为以线段 为斜边，且有一个内角为60°，而 ，
所以 ，即 ，
化简得 符合要求．
所以 ，此时该函数的最小值为 ．
综上所述，存在两个m的值符合题意；
当 时，此时该函数的最小值为 ；
当 时，此时该函数的最小值为 ． ……10分25.【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ； ……3分
（2）证明：设 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ； ……6分
（3）解：连接 ，过点E作 于点M交 的延长线于点N，
由（2）得， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ， ，∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ . ……10分
