文档内容
2025 年中考第一次模拟考试（甘肃兰州卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C A C C B D D B C B C
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．m＜﹣4
14．0
15．
16．37820
三、解答题（本大题共12个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（4分）【解答】解：原式＝
＝
＝11．（4分）
18．（4分）【解答】解：
＝ • ﹣
＝
＝ ，（3分）当x＝﹣3时，原式＝ ．（4分）
19．（4分）【解答】解：如图：
（2分）
猜想：DF＝3BF，
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB，
∵AC＝2AB，
∴AO＝AB．
∵∠BAC的角平分线与BO交于点F，
∴点F是BO的中点，即BF＝FO，
∴OB＝OD＝2BF，
∴DF＝DO+OF＝3BF，即DF＝3BF．（4分）
20．（6分）【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，（2分）
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；（3分）
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，∴AC⊥BD，OA＝OC＝ ，OB＝OD＝ ，
∴OB＝ ＝3，（4分）
在Rt AOB中，∠AOB＝90°，
△
∴OA＝ ，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
在Rt AEC中，∠AEC＝90°，O为AC中点，
△
∴ ＝4．（6分）
21．（6分）【解答】解：（1）由题意得：50﹣2（x﹣15）＝40，
解得：x＝20，
答：该日水蜜桃的单价为20元/千克；（2分）
（2）根据题意得：W＝x[50﹣2（x﹣15）]＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，（4分）
∵政府将销售价格定为不超过30元/千克，
∴15≤x≤30，且x为正整数，
∵﹣2＜0，
∴x＝20时，W有最大值是800元，x＝30时，W有最小值是﹣2×（30﹣20）2+800＝600（元）．
答：W＝﹣2x2+80x，W最大值是800元，W最小值是600元；（6分）
22．（6分）【解答】解：在Rt CAD中， ，
△
则 ，（2分）
在Rt CBD中，∠CBD＝45°，
∴BD△＝CD，
∵AD＝AB+BD，
∴ ，
解得，CD＝45（m）．
答：这座灯塔的高度CD约为45m．（6分）23．（6分）【解答】解：（1）随机抽取一张卡片，“A志感者被选中”的概率是 ，
故答案为： ；（2分）
（2）画树状图如图：
（4分）
共有12个等可能的结果，其中抽签活动中A，B两名志愿者被同时选中的有2种结果，
所以抽签活动中A，B两名志愿者被同时选中的概率为 ＝ ．（6分）
24．（6分）【解答】解：（1）50÷25%＝200人，
挂答案为：200，（2分）
（2）现金支付的人数：200×30%＝60人，
其它支付的人数：200﹣60﹣50﹣60＝30人，补全的条形统计图如图所示：（4分）
（3）3000× ＝900人，（6分）
答：选择微信支付的人数由900人．
25．（6分）【解答】解：（1）∵OP＝2OA＝6，OB＝2，
∴OA＝3，
∴A（﹣3，0），B（0，﹣2），
∵一次函数y ＝mx+n的图象过点A、B，
1∴ ，
解得： ，
∴一次函数表达式为 ，
∵一次函数 的图象过点D（3，a），
∴ ＝﹣4，
∴D（3，﹣4），
将点D（3，﹣4）代入 中得： ，
解得：k＝﹣12，
∴反比例函数的表达式为 ；（2分）
（2）∵OP＝2OA＝6，
∴PA＝3，P（﹣6，0），
∵CP⊥x轴，
∴点C的横坐标为﹣6，
∵点C在反比例函数 的图象上，
∴ ＝2，
∴C（﹣6，2），
∴PC＝2，
∴S ＝S +S ＝ ＝ ＝9；（4分）
CPD CPA PAD
△ △ △
（3）当mx+n﹣ ＞0，即 时，
也就是一次函数的值大于反比例函数的值，
观察图象可知，此时x＜﹣6或0＜x＜3．（6分）
26．（7分）【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∵PA切⊙O于点A，∴∠PAO＝90°，
∵BC∥OP，
∴∠AOP＝∠OBC，∠COP＝∠OCB，（1分）
∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠AOP＝∠COP，
在△PAO和△PCO中，
，
∴△PAO≌△PCO，
∴∠PCO＝∠PAO＝90°，
∴PC是⊙O的切线；（3分）
（2）解：如图2，连接AE、BE，作BM⊥CE于M，
∴∠CMB＝∠EMB＝∠AEB＝90°，
∵点E是 的中点，
∴∠ECB＝∠CBM＝∠ABE＝45°，
CM＝MB＝3 ，
BE＝AB•cos45°＝5 ，
∴EM＝ ＝4 ，
则CE＝CM+EM＝7 ．（7分）27．（8分）【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和点B（0， ）代入y＝﹣ x2+bx+c得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为y＝﹣ x2+2x+ ；（2分）
（2）∵y＝﹣ （x﹣2）2+ ，
∴C（2， ），抛物线的对称轴为直线x＝2，
如图，设CD＝t，则D（2， ﹣t），
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，
∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，
∴P（2+t， ﹣t），
把P（2+t， ﹣t）代入y＝﹣ x2+2x+ 得﹣ （2+t）2+2（2+t）+ ＝ ﹣t，
整理得t2﹣2t＝0，解得t ＝0（舍去），t ＝2，
1 2∴D（2， ），
∴线段CD的长＝ ﹣ ＝2；（4分）
（3）∵P点坐标为（4， ），D点坐标为（2， ），
又∵抛物线平移，使其顶点C（2， ）移到原点O的位置，
∴抛物线向左平移2个单位，向下平移 个单位，
而P点（4， ）向左平移2个单位，向下平移 个单位得到点E，
∴E点坐标为（2，﹣2），（6分）
设M（0，m），
当m＞0时， •（m+ +2）•2＝8，解得m＝ ，此时M点坐标为（0， ）；
当m＜0时， •（﹣m+ +2）•2＝8，解得m＝﹣ ，此时M点坐标为（0，﹣ ）；
综上所述，M点的坐标为（0， ）或（0，﹣ ）．（8分）
28．（9分）【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°．
∵DE⊥CF，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，
∴∠AED＝∠CFD．
在△AED和FDC中，
，
∴△AED≌FDC（AAS），
∴DE＝CF，
∴ ＝1．故答案为：1；（2分）
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB＝∠A＝∠ADC＝90°，AD＝BC，
∴∠ADE+∠ABD＝90°．
∵DB⊥CE，
∴∠ADB+∠DEC＝90°，
∴∠ABD＝∠DEC．
∴△ABD∽△DEC，
∴ ．
∵∠DBC＝30°，∠BCD＝90°，
∴tan∠DBC＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ．
故答案为： ；（4分）
（3）证明：过点C作CM⊥AF交AF的延长线于点M，如图，
∵∠M＝∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABCM为矩形，
∴AB＝CM，
∵CG⊥EG，
∴∠G＝90°，
∴∠FCM+∠CFM＝∠DFG+∠FDG＝90°，
∵∠CFM＝∠DFG，
∴∠FCM＝∠FDG＝∠ADE，
∵∠A＝∠M＝90°，
∴△DEA∽△CFM，
∴ ，∴ ，
∴DE•AB＝CF•AD；（6分）
（4）解：连接AC交BD于H，过点C作CG⊥AD于点G，如图，
∵将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，
∴AC⊥BD，AH＝CH，
∴AC＝2AH．
∵∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝8，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，（7分）
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵CF⊥DE，CG⊥AD，
∴∠FCG+∠CFG＝∠CFG+∠ADE＝90°，
∴∠FCG＝∠ADE，
∵∠BAD＝∠CGF＝90°，
∴△DEA∽△CFG，
∴ ，∵AD＝8， ，
∴ ．（9分）
