文档内容
2025 年中考押题预测卷（盐城卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．﹣2025的倒数是（ ）
1 1
A．2025 B．− C．﹣2025 D．
2025 2025
【分析】利用倒数的定义求解即可．
1
【解答】解：﹣2025的倒数是− ．
2025
故选：B．
【点评】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
2．下列运算正确的是（ ）
A．a4+a5＝a9 B．a3•a4＝a12
C．a8÷a4＝a2 D．（﹣2a2）3＝﹣8a6
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法和除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进
行运算即可．
【解答】解：A、两项不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、a3•a4＝a7，故B不符合题意；
C、a8÷a4＝a4，故C不符合题意；
D、（﹣2a2）3＝﹣8a6，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除法，解题的关键是对相应的
运算法则的掌握．
3．如图，△ABC≌△DEC，点E在AB边上，∠B＝70°，则∠ACD的度数为（ ）A．30° B．40° C．45° D．50°
【分析】由全等三角形的性质推出BC＝CE，∠DCE＝∠ACB，由等腰三角形的性质得到∠CEB＝∠B＝
70°，求出∠ECB＝180°﹣∠CEB﹣∠B＝40°，又∠ACD+∠ACE＝∠ECB+∠ACE，即可得到∠ACD＝
∠ECB＝40°．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴BC＝CE，∠DCE＝∠ACB，
∴∠CEB＝∠B＝70°，
∴∠ECB＝180°﹣∠CEB﹣∠B＝40°，
∵∠ACD+∠ACE＝∠ECB+∠ACE，
∴∠ACD＝∠ECB＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是由△ABC≌△DEC，得到BC＝CE，
∠DCE＝∠ACB．
4
4．横、纵坐标都为整数的点称为整点．若双曲线 L ：y= (x＞0)（如图）与双曲线
1 x
k
L ：y= (k＞0，x＞0)之间只有两个整点（不含边界），则满足条件的k的值不可能是（ ）
2 x
A．2 B．3 C．5.5 D．6
【分析】根据整点的定义，逐项分析判断即可．
【解答】解：A、当k＝2时，两个函数之间存在两点（1，3），（3，1），不符合题意；
B、当k＝3时，两个整点都在图象上，故符合题意；C、当k＝5.5时，两函数之间有整点（1，5）、（5，1），不符合题意；
D、当k＝6时，两函数之间有两个整点（1，5）、（5，1），不符合题意；
故答案为：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据整点的规定分析出符合题意的整点是关键．
5．如图，在下面正方形网格中，△ABC按如图所示的位置摆放，则cos∠ABC的值是（ ）
√3 1 √2
A． B．1 C． D．
2 2 2
【分析】根据网格所示信息，勾股定理的逆定理证明△ABC是等腰直角三角形，利用三角函数的定义解
答．
【解答】解：∵AC=BC=√22+42=2√5，AB=√22+62=2√10，
∴AC2+BC2＝AB2
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，
√2
∴cos∠ABC=cos45°= ，
2
故选：D．
【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
6．设a，b是方程x2+x﹣2024＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【分析】先利用一元二次方程解的定义得到a2+a＝2024，再根据根与系数的关系得到a+b＝﹣1，然后
利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2 0 2 4＝0的实数根，
∴a2+a﹣2024＝0，
∴a2+a＝2024，
∵a，b是方程x2+x﹣2 0 2 4＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2024+（﹣1）＝2023．故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则
1 2
b c
x +x =− ，x ⋅x = ．也考查了一元二次方程的根．
1 2 a 1 2 a
7．如图，四边形ABCD内接于 O，DE是 O的直径，连接BD，若∠BCD＝120°，则∠BDE的度数是（
） ⊙ ⊙
A．25° B．30° C．32° D．35°
【分析】由圆内接四边形性质结合已知求出∠BAD＝60°，从而由圆周角定理求得∠BED＝60°，∠DBE
＝90°，最后由直角三角形锐角互余可得结果．
【解答】解：连接BE，
∵∠BAD与∠BED是同弧所对的圆周角，
∴∠BAD＝∠BED，
∵四边形ABCD内接于 O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°⊙，
∵∠BCD＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∴∠BED＝60°，
∵DE是 O的直径，
∴∠DBE⊙＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣∠BED＝90°﹣60°＝30°．
故选：B．【点评】本题考查圆内接四边形性质，圆周角定理、直角三角形锐角互余；熟练掌握圆内接四边形性质、
圆周角定理是解题的关键．
3
8．如图，在平面直角坐标系中，点P（a，b）在第一象限，其中b＞a，且a，b满足b=a+ ，过点P作y
a
轴和直线y＝x的垂线，垂足分别为A，B，连接AB，则△PAB的面积是（ ）
3 3
A． B． √2
2 4
3
C． D．随a，b的值变化
4
【分析】延长AP与直线y＝x相交，得出等腰直角三角形，用a表示出斜边长，再过点B作AP的垂线，
用a表示出垂线段的长即可解决问题．
【解答】解：延长AP与直线y＝x交于点Q，过点B作PQ的垂线，垂足为M，
3
∵点P的坐标为（a，b），b＝a+ ，且AP⊥y轴，
a
3 3
∴点Q的坐标可表示为（a+ ，a+ ），
a a
3 3
则PQ＝a+ −a= ．
a a∵PB⊥BQ，且∠PQB＝45°，
∴△PBQ是等腰直角三角形，
1 3a
∴BM= PQ= ，
2 2
1 1 3a 3
∴S = AP⋅BM= a⋅ = ．
△APB 2 2 2 4
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的面积及坐标与图形性质，能根据题意用含a的代数式表示出△APB的
底边和高及熟知三角形的面积公式是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，24分.请把答案直接填写在横线上）
9．分解因式：x2﹣9＝ （ x + 3 ）（ x ﹣ 3 ） ．
【分析】先回忆平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；再根据平方差公式把x2﹣9变成x2﹣32，从而
即可分解因式．
【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题考查的是分解因式，解决此题的关键是根据平方差公式分解因式．
10．随着科学技术的不断提高，5G网络已经成为新时代的“宠儿”，预计到2025年，中国5G用户将超过
460000000人．将460000000用科学记数法表示为 4.6×1 0 8 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：460000000＝4.6×108．
故答案为：4.6×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11．如图，已知∠B+∠C＝150°，则∠A+∠D+∠E+∠F等于 21 0 （度）．【分析】连接AD，设AF，DE交于点M，利用三角形内角和定理可求得∠E+∠F＝∠DAM+∠ADM，
然后利用角的和差及多边形内角和定理列式计算即可．
【解答】解：如图，连接AD，设AF，DE交于点M，
∵∠EMF+∠E+∠F＝∠AMD+∠DAM+∠ADM＝180°，∠EMF＝∠AMD，
∴∠E+∠F＝∠DAM+∠ADM，
∵四边形ABCD的内角和为（4﹣2）×180°＝360°，∠B+∠C＝150°，
∴∠A+∠D+∠E+∠F
＝∠BAF+∠CDE+∠E+∠F
＝∠BAF+∠CDE+∠DAM+∠ADM
＝∠BAD+∠ADC
＝360°﹣（∠B+∠C）
＝360°﹣150°
＝210°，
故答案为：210．
【点评】本题考查多边形的内角和及三角形的内角和，连接AD，设AF，DE交于点M，结合已知条件
证得∠E+∠F＝∠DAM+∠ADM是解题的关键．
12．二胡是我国一种传统拉弦乐器，演奏二胡时，在同一张力下，它的振动弦的共振频率 f（单位：赫
k
兹）与长度l（单位：米）近似成反比例关系，即f = （k为常数，k≠0）．若某一振动弦的共振频率f
l
为240赫兹，长度l为0.5米，则k的值为 12 0 ．
【分析】把l＝0.5，f＝240，代入解析式，即可求出k的值．
k
【解答】解：当l＝0.5，f＝240时，240= ，
0.5
∴k＝120．
故答案为：120．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式是关键．
13．如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则∠ABC＝ 45 ° ．【分析】连接AC，利用勾股定理可分别求得AC、BC、AB的长，再利用勾股定理的逆定理可判定
△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，由AC＝BC即可求解．
【解答】解：∵正方形的边长为1，
∴AC=√12+22=√5，BC=√12+22=√5，AB=√12+32=√10，
∴AC2+BC2＝AB2，AC＝BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题主要考查勾股定理，勾股定理的逆定理，利用勾股定理可分别求得 AC、BC、AB的长是
解题的关键．
2 mx 3
14．关于x的分式方程 + = 有增根，则m的值是 ﹣ 3 或 9 ．
x−2 (x+1)(x−2) x+1
【分析】根据分式方程增根的定义进行计算即可．
【解答】解：将分式方程两边都乘以（x+1）（x﹣2）得，
2（x+1）+mx＝3（x﹣2），
即（1﹣m）x＝8，
∵原分式方程有增根，
∴（x+1）（x﹣2）＝0，
∴x＝2或x＝﹣1，
当x＝2时，（1﹣m）×2＝8，所以m＝﹣3，
当x＝﹣1时，（1﹣m）×（﹣1）＝8，所以m＝9，
∴m的值是﹣3或9．
故答案为：﹣3或9．
【点评】本题考查分式方程的增根，理解分式方程增根的定义是正确解答的关键．
15．已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．如图的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同
学离家的距离．结合图象给出下列结论：
①体育场离该同学家2.5千米；
②该同学在体育场锻炼了15分钟；
③该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；
④若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则a的值是3.75．
其中正确的说法是 ①②④ ．
（把你认为正确结论的序号都填上）
【分析】根据函数的图象与坐标的关系求解．
【解答】解：①体育场离该同学家2.5千米，故①是正确的；
②该同学在体育场锻炼的时间为：30﹣15＝15分钟，故②是正确的；
③该同学跑步的平均速度：步行平均速度＝（65﹣30）÷15＞2，故③是错误的；
④若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，
2.5
∴a÷（103﹣88）＝1.5× ．
15
∴a＝3.75，故④是正确的；
综上，正确的有：①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查了函数的图象，解题时要能借助函数的图象分析是关键．
1 3
16．在平面直角坐标系中，抛物线y=− x2+ x+4(0≤x≤8)的图象如图所示，对任意的0≤a＜b≤8，
4 2
称W为a到b时y的值的“极差”（即a≤x≤b时y的最大值与最小值的差），L为a到b时x的值的
9 25
“极宽”（即b与a的差值），则当L＝6时，W的取值范围是 ≤W≤ ．
4 4【分析】根据抛物线的一般式可得出对称轴和顶点坐标，然后根据L＝6，得出b＝a+6，即可得出0≤a
＜a+6≤8，推出0≤a≤2和6≤a+6≤8，然后即可求出当a≤x≤a+6时y的最大值和最小值，然后根据
0≤a≤2求出W的最大值和最小值即可求出范围．
1 3 1 25
【解答】解：根据题意可得：y=− x2+ x+4=− （x﹣3）2+ ，
4 2 4 4
25
∴抛物线的对称轴x＝3，顶点坐标为（3， ），
4
∵L＝6，即b与a的差值为6，
∴b＝a+6，
∵0≤a＜b≤8，即0≤a＜a+6≤8，
∴0≤a≤2，则6≤a+6≤8，
∴当a≤x≤3时，y随x增大而增大，当3＜x≤a+6时，y随x的增大而减小，
25
∴当x＝3时，y有最大值，最大值为 ，
4
1 25
当x＝a+6时，y有最小值，最小值为− （a+3）2+ ，
4 4
25 1 25 1
∴W= −[− （a+3）2+ ]= （a+3）2，
4 4 4 4
则对称轴a＝﹣3，
∴当0≤a≤2时，W随a的增大而增大，
9
∴当a＝0时，W有最小值，最小值为 ，
4
25
当a＝2时，W有最大值，最大值为 ，
4
9 25
综上所述： ≤W≤ ；
4 4
9 25
故答案为： ≤W≤ ．
4 4【点评】本题考查的主要是二次函数的最值，解题关键：一是求出 a的取值范围，二是根据范围求出y
的最大值和最小值．
三、解答题（本大题共11个小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1
17．（6分）计算：(π−5) 0+√2cos45°−|−3|+( ) −1−√3 (−3) 3 ．
2
√2 1 −1
【分析】原式分别化简（ ﹣5）0＝1，√2cos45°=√2× =1，|﹣3|＝3，( ) =2，√3 (−3) 3=−3
2 2
π
，然后再进行加减运算即可．
1
【解答】解：(π−5) 0+√2cos45°−|−3|+( ) −1−√3 (−3) 3
2
√2
=1+√2× −3+2−(−3)
2
＝1+1﹣3+2+3
＝4．
【点评】本题主要考查实数的混合运算，关键是四则混合运算的运用．
{5x+2＞3x−2
18．（6分）解不等式组： 1−x x+1 ．
≥ +1
2 3
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
{5x+2＞3x−2①
【解答】解： 1−x x+1 ，
≥ +1②
2 3
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x≤﹣1．
∴原不等式组的解集是：﹣2＜x≤﹣1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
a a2−1
19．（8分）先化简，再求值：(1− )÷ ，其中a=√3+1．
a2+a a2+2a+1
【分析】括号内先通分再计算，然后将除法转化为乘法计算，再代入a求值即可．
a2+a a (a+1) 2
【解答】解：原式=( − )⋅
a2+a a2+a (a−1)(a+1)a2+a−a (a+1) 2
= ⋅
a(a+1) (a−1)(a+1)
a2 (a+1) 2
= ⋅
a(a+1) (a−1)(a+1)
a
= ．
a−1
当a=√3+1时，
√3+1 √3+1 3+√3
原式= = = ．
√3+1−1 √3 3
【点评】本题考查分式的化简求值，解题关键是熟知分式混合运算的计算法则并能准确的将分式进行化
简的解
20．（8分）小灿、小秦、小李和小王四位同学相约周末一起去吃饭，他们来到一家餐厅的包厢，包厢里
有一圆桌，旁边有六个座位（A、B、C、D、E、F），如图所示．
（1）若小灿随机先选座位，求小灿坐到A座位的概率．
（2）若小灿、小秦已经分别坐在A座位和B座位，请用树状图或列表法求出小李和小王座位相邻的概
率．
【分析】（1）由题意知，共有6种等可能的结果，其中小灿坐到A座位的结果有1种，利用概率公式
可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及小李和小王座位相邻的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有6种等可能的结果，其中小灿坐到A座位的结果有1种，
1
∴小灿坐到A座位的概率为 ．
6
（2）列表如下：
C D E F
C （C，D） （C，E） （C，F）
D （D，C） （D，E） （D，F）
E （E，C） （E，D） （E，F）F （F，C） （F，D） （F，E）
共有12种等可能的结果，其中小李和小王座位相邻的结果有：（C，D），（D，C），（D，E），
（E，D），（E，F），（F，E），共6种，
6 1
∴小李和小王座位相邻的概率为 = ．
12 2
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题
的关键．
21．（8分）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示−√2，设点B所表
示的数为m．
（1）实数m的值是 2−√2 ；
（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与√d2−16互为相反数，求2c﹣3d的平
方根．
【分析】（1）点A表示−√2，沿着x轴向右移动2个单位到达点B，B所表示的数为，−√2+2，即：2
−√2，
故答案为：2−√2．
（2）m＝2−√2，则m+1＞0，m﹣1＜0，进而化简|m+1|+|m﹣1|，并求出代数式的值；
（3）根据非负数的意义，列方程求出c、d的值，进而求出2c﹣3d的值，再求出2c﹣3d的平方根．
【解答】解：（1）m=−√2+2＝2−√2；
（2）∵m＝2−√2，则m+1＞0，m﹣1＜0，
∴|m+1|+|m﹣1|＝m+1+1﹣m＝2；
答：|m+1|+|m﹣1|的值为2．
（3）∵|2c+d|与√d2−16互为相反数，
∴|2c+d|+√d2−16=0，
∴|2c+d|＝0，且√d2−16=0，
解得：c＝﹣2，d＝4，或c＝2，d＝﹣4，
①当c＝﹣2，d＝4时，所以2c﹣3d＝﹣16，无平方根．
②当c＝2，d＝﹣4时，
∴2c﹣3d＝16，
∴2c﹣3d的平方根为±4，
答：2c﹣3d的平方根为±4．
【点评】考查数轴、非负数的性质、绝对值的意义，分类讨论是常用的方法．
22．（10分）初中阶段是学生身体生长发育和素质增强的关键时期，为切实保障学生的身心健康，通过有
效手段促使学生经常参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，对学生的健康成长为至一生的健康生活都且
有非常重要的意义，某校为了了解本校九年级女生体育测试项目“仰卧起坐”的训练情况，随机调查了
50名九年级女生一分钟仰卧起坐的个数，将她们的成绩分为四组进行统计，绘制成如下不完整的统计
表：
分组 个数x 频数（人数） 每组仰卧起坐的平均个数/个
A 10≤x＜20 n 15
B 20≤x＜30 18 26
C 30≤x＜40 2n 34
D 40≤x≤50 8 46
请根据统计表中的信息，解答下列问题：
（1）填空：n＝ 8 ，本次所抽取的50名女生一分钟仰卧起坐成绩的中位数落在 B 组；
（2）求本次所抽取的50名女生一分钟仰卧起坐的平均个数；
（3）若在该校体育考试中，一分钟仰卧起坐个数超过20个（含20个）才算通过考试，请你估计该校
九年级700名女生中，能通过体育考试的女生人数．
【分析】（1）根据抽取人数50人，列出关于n的方程，解方程即可；
（2）根据中位数的定义知道中位数是第25和26个数的平均数，由此即可得出答案；
（3）根据算出抽取的50人中通过考试率 再乘总人数即可得出该校九年级通过考试的女生人数．
【解答】解：（1）n+18+2n+8＝50，
解得n＝8．
∵调查人数为50，
∴中位数是第25和26个数的平均数．
n+18＝8+18＝26，
∴中位数在B组．
故答案为：8；B．15×8+26×18+34×16+46×8
（2） =30（个），
50
答：本次所抽取的50名女生一分钟仰卧起坐的平均个数为30个．
18+16+8
（3） ×700=588（人），
50
答：估计该校九年级700名女生中，能通过体育考试的女生人数为588人．
【点评】本题以文字应用题为背景考查了数据统计和分析，考核了学生对数据的理解以及对用样本估计
总数的运用，解题关键是明确中位数的求法和用样本估计总数．
23．（10分）图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代
湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”．如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体ABCD和矩形碗底
BEFC组成，已知AD∥EF，AM，DN是太阳光线，AM⊥MN，DN⊥MN，点M，E，F，N在同一条直
线上．经测量ME＝FN＝20.0m，EF＝40.0m，BE＝2.4m，∠ABE＝152°．（结果精确到0.1m）
（1）求“大碗”的口径AD的长；
（2）求“大碗”的高度AM的长．
（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）
【分析】（1）根据垂直定义可得∠AMN＝∠DNM＝90°，再利用平行线的性质可得∠DAM＝90°，从而
可得四边形AMND是矩形，然后利用矩形的性质可得AD＝MN，从而利用线段的和差关系进行计算即
可解答；
（2）延长CB交AM于点G，根据题意可得：BE＝GM＝2.4m，BG＝ME＝20.0m，BG⊥AM，∠EBG＝
90°，从而可得∠ABG＝62°，然后在Rt△ABG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，从而利用线
段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）∵AM⊥MN，DN⊥MN，
∴∠AMN＝∠DNM＝90°，
∵AD∥MN，
∴∠DAM＝180°﹣∠AMN＝90°，
∴四边形AMND是矩形，∴AD＝MN＝ME+EF+FN＝20.0+40.0+20.0＝80.0（m），
∴“大碗”的口径AD的长为80.0m；
（2）延长CB交AM于点G，
由题意得：BE＝GM＝2.4m，BG＝ME＝20.0m，BG⊥AM，∠EBG＝90°，
∵∠ABE＝152°，
∴∠ABG＝∠ABE﹣∠EBG＝62°，
在Rt△ABG中，AG＝BG•tan62°≈20.0×1.88＝37.6（m），
∴AM＝AG+MG＝37.6+2.4＝40.0（m），
∴“大碗”的高度AM的长约为40.0m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适
当的辅助线是解题的关键．
24．（10分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：请在图1的△ABC内作一点P，使点P在以BC为直径的圆上，且点P到AB、BC的距
离相等；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AC=2√3，AB＝4，则直径BC、弦BP、^PC围成的封闭图形的面积为
√3 1
+ π ．（如需画草图，请使用备用图）
4 6
【分析】（1）先作线段BC的垂直平分线，交BC于点O，以点O为圆心，OB的长为半径画圆，再作
∠ABC的平分线，交 O于点P，则点P即为所求．
⊙（2）连接OP，过点P作PD⊥BC于点D，由题意可得BC=√AB2−AC2=2，OB＝OC＝OP＝1，
1
∠ABC＝60°．由（1）知，BP为∠ABC的平分线，则∠OBP= ∠ABC=30°，∠COP＝2∠CBP＝
2
√3
60°，进而可得 DP＝OP•sin∠DOP= ，则可得直径 BC、弦 BP、^PC围成的封闭图形的面积为
2
1 √3 60π×12 √3 1
S△BOP +S扇形COP =
2
×1×
2
+
360
=
4
+
6
π．
【解答】解：（1）如图1，先作线段BC的垂直平分线，交BC于点O，以点O为圆心，OB的长为半径
画圆，再作∠ABC的平分线，交 O于点P，
则点P即为所求． ⊙
（2）如图，连接OP，过点P作PD⊥BC于点D，
∵∠C＝90°，AC=2√3，AB＝4，
AC 2√3 √3
∴BC=√AB2−AC2=√42−(2√3) 2=2，sin∠ABC= = = ，
AB 4 2∴OB＝OC＝OP＝1，∠ABC＝60°．
由（1）知，BP为∠ABC的平分线，
1
∴∠OBP= ∠ABC=30°，
2
∴∠COP＝2∠CBP＝60°，
√3 √3
∴DP＝OP•sin∠DOP＝1× = ，
2 2
1 √3 60π×12 √3 1
∴直径BC、弦BP、^PC围成的封闭图形的面积为S△BOP +S扇形COP =
2
×1×
2
+
360
=
4
+
6
π．
√3 1
故答案为： + π．
4 6
【点评】本题考查作图—复杂作图、角平分线的性质、勾股定理、圆周角定理、扇形面积的计算，解题
的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．（10分）如图，这是一位篮球运动员投篮的进球路线，球沿抛物线y＝ax2+x+c运动，然后准确落入篮
球框内．已知投篮运动员在投篮处A到地面的距离AO＝2.25m．以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，
篮球框的中心D的坐标为（4，3.05），对称轴与抛物线交于点B，与x轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式，
（2）求点O到BC所在直线的距离OC及点B到地面的距离BC．
【分析】（1）将点A（0，2.25）、点D（4，3.05）代入y＝ax2+x+c即可求解；
（2）根据解析式可求出对称轴，即可得点B得横坐标，将其代入解析式即可求解．
【解答】解：（1）∵AO＝2.25m，
∴点A（0，2.25），
∴c＝2.25．
将点D（4，3.05）代入y＝ax2+x+2.25，解得a＝﹣0.2，
∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+x+2.25；
（2）∵抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+x+2.25，
1
∴对称轴为直线x=− =2.5，
2×(−0.2)
∴点O到BC所在直线的距离OC为2.5m．
当x＝2.5时，y＝﹣0.2×2.52+2.5+2.25＝3.5，
∴点B到地面的距离BC为3.5m．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，关键掌握二次函数的性质，注意计算的准确性．
26．（12分）如图①，在正方形ABCD中，AB=4√2，点E在AC上，且AE＝2．过点E作EF⊥AC，交
AB于点F，连接CF，DE．
问题发现
CF
（1） 的值为 √2 ．
DE
问题探究
（2）如图②，将△AEF绕点A顺时针旋转，上述结论是否成立？若成立，请写出结论并证明；若不成
立，请说明理由．
问题解决
（3）在（2）的条件下，当C，E，F三点共线时，试求出DE的长．
AF AC
【分析】（1）根据△AEF和△ADC是等腰直角三角形可得 = =√2，得△CFA∽△DEA，则
AE AD
CF AC
= =√2；
DE AD
CF AC
（2）由（1）同理证明△CFA∽△DEA，则 = =√2；
DE AD
（3）分点E在CF上或在CF的延长线上，连接AC，利用勾股定理求出CE的长，从而得出CF，再根据（2）中关系可得答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FAE＝∠DAE＝45°，∠ADC＝90°，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF＝90°，
AF AC
∴ = =√2，
AE AD
∴△CFA∽△DEA，
CF AC
∴ = =√2，
DE AD
故答案为：√2；
CF
（2） =√2仍然成立，理由如下：
DE
∵将△AEF绕点A顺时针旋转，
CF AC
∴ = =√2，∠FAE＝∠CAD，
DE AD
∴∠FAC＝∠EAD，
∴△CFA∽△DEA，
CF AC
∴ = =√2；
DE AD
（3）如图，当点E在CF上时，连接AC，
则∠AEC＝90°，
∴CE=√AC2−AE2=√(4√2×√2) 2−22=2√15，
∴CF＝2√15+2，
CF 2√15+2
∵ = =√2，
DE DE∴DE=√30+√2，
当点E在CF的延长线上时，同理可得CF＝2√15−2，
∴DE=√30−√2，
综上：DE=√30+√2或√30−√2．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定
理等知识，熟练掌握双子型﹣旋转相似是解题的关键．
27．（14分）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计打印图纸方案？
素材1 如图1，正方形ABCD是一
张用于3D打印产品的示意
图，它由三个区块（Ⅰ，
Ⅱ，Ⅲ）构成．已知AB＝
20cm，点E，F分别在BC
和AB上，且BE＝BF，设
BE＝x cm（0＜x＜20）．
素材2 为了打印精准，拟在图2中
的BC边上设置一排间距为
1cm的定位坐标（B为坐标
原点），计算机可根据点E
的定位坐标精准打印出图
案．
问题解决
任务1 确定关系 用含x的代数式表示：
1
区块Ⅰ的面积＝ x 2 、
2
区块Ⅱ的面积＝ ﹣
10 x +200 、区块Ⅲ的面积
1
＝ − x2+10x+200
2
．
任务2 拟定方案 为美观，拟将区块Ⅲ分割为
甲、乙两个三角形区域，并
要求区域乙是以DE为腰的
等腰三角形，求所有方案中
区域乙的面积或函数表达
式．
任务3 优化设计 经调查发现区域乙的面积为
130+20cm2
范围内的整数
−20
时，此时的E点为最佳定位
点，请写出所有的最佳定位
点E的坐标．1
【分析】任务1：由直角三角形面积公式可得区块Ⅰ的面积
x2
，区块Ⅱ的面积﹣10x+200，用正方形面
2
1
积减去区块Ⅰ，区块Ⅱ的面积可得区块Ⅲ的面积− x2+10x+200；
2
1
任务2：分两种情况分别画出图形，可得S乙 =−
2
x2+20x或S乙 ＝200；
1
任务3：由乙的面积为130+20cm2范围内，可得110≤− x2+20x≤150，即可解得20﹣6√5≤x≤10，结
−20 2
合x为整数，S乙 也是整数，可得答案．
【解答】解：任务1：
1
区块Ⅰ的面积：
x2
，
2
1
区块Ⅱ的面积： ×20×（20﹣x）＝﹣10x+200，
2
1 1
区块Ⅲ的面积：20×200− x2﹣（﹣10x+200）=− x2+10x+200；
2 2
1 1
故答案为： x2；﹣10x+200；− x2+10x+200；
2 2
任务2：
①如图1，连接DF，
∵AD＞AF，
∴△ADF不可能为等腰三角形，
∵DF＝DE，
∴△DFE为等腰三角形，
(x+20)×20 1 1
∴S乙 ＝S△DEF =
2
−
2
x2﹣（﹣10x+200）=−
2
x2+20x，
②如图2，连接AE，
∵AE＝DE，
∴E在AD的垂直平分线上，∵四边形ABCD是正方形，
∴E为BC的中点，
1
∴S = ×20×20=200；
乙 2
1
综上所述，S乙 =−
2
x2+20x或S乙 ＝200；
任务3：
∵乙的面积为130+20cm2
范围内，
−20
∴面积范围为110≤S乙 ≤150，
1
∵S =S =− x2+20x，
乙 △DFE 2
1
∴110≤− x2+20x≤150，
2
∴100≤（x﹣20）2≤180，
∴10≤x﹣20≤6√5或﹣6√5≤x﹣20≤﹣10，
∴30≤x≤20+6√5（不符合题意，舍去）或20﹣6√5≤x≤10，
∵x为整数，
∴x可取7，8，9，10，
∵S乙 也是整数，
∴x＝8或x＝10，
∴有2个最佳定位点E，分别为（8，0），（10，0）．
【点评】本题考查二次函数的应用和等腰三角形性质及应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化
为数学问题解决．
