文档内容
2025 年中考第二次模拟考试（盐城卷）
数 学 试 题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分。
2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效。
3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗。
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列四个有理数中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较、有理数的乘方运算
【分析】本题主要考查有理数比较大小，熟练掌握有理数比较大小是解题的关键．将每一个数算出比较大
小即可得到答案．
【详解】解： ， ，
，
故选D．
2．2025年2月，第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨市顺利举行，德强中学开展了以“冰雪同梦、超越自
我”为主题的徽章设计比赛，其中很多设计方案既体现了季节和运动特征，又体现了对称之美．以下4 幅
设计方案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对
各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，
那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意，
故选：D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的加减运算
【分析】本题主要考查了积的乘方运算、完全平方公式、整式除法运算、二次根式的加减运算等知识，掌
握相关运算法则和运算公式是解题关键．
根据积的乘方运算、完全平方公式、整式除法运算、二次根式的加减运算法逐项分析判断即可．
【详解】解：A． ，故运算错误，不符合题意；
B． ，故运算错误，不符合题意；
C． ，故运算错误，不符合题意；
D． ，运算正确，符合题意．
故选：D．
4．中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨，数据
67500用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】将原数表示成形式为 的形式（其中 ，n为整数）即可解答．【详解】解： ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为 的形式（其中 ，
n为整数），正确确定a、n的值是解答本题的关键．
5．做最好的自己！将这六个字写在如图的一个盒子的展开图上，然后将它折成正方体盒子，当上面的字
是“己”时，下面的字是（ ）
A．做 B．最 C．好 D．己
【答案】A
【知识点】正方体相对两面上的字
【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个
正方形，根据这一特点作答，注意正方体的空间图形，从相对面入手．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“做”与“己”是相对面，
“最”与“的”是相对面，
“自”与“好”是相对面；
故选：A．
6．将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中 ， ， ．若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先
根据三角形的内角和定理可得 ，再根据平行线的性质可得 ，然后根据角的和差求解即可得．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
7．若 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算、实数的大小比较、求一个数的算术平
方根
【分析】本题主要考查了实数比较大小，平方差公式，完全平方公式，通过 得
到 ，通过 ，利用完全平方公式和算术平方根得到 ，利用平方差公
式得到 ，从而推出 ，据此可得答案．
【详解】解：
，，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
8．习近平总书记指出：“提高人的健康素质，青少年是黄金期，体育锻炼是增强少年儿童体质最有效的
手段”．现从某校 名初三学生每天体育锻炼时长的问卷中，随机抽取部分问卷，将这部分学生的锻炼
时长作为一个样本进行研究，并将结果绘制成条形统计图，其中一部分被遮盖．已知每天锻炼时长为 小
时的学生人数占样本总人数的 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．锻炼时长为 小时是这个样本的众数
B．该样本中学生平均每天锻炼时长为 小时
C．锻炼时长为 小时是这个样本的中位数
D．该校锻炼用时为 小时的学生少于 名
【答案】A
【知识点】求中位数、求一组数据的平均数、用样本的某种“率”估计总体相应的“率”、由样本所占百
分比估计总体的数量
【分析】本题考查了用样本估计总体，求平均数、求中位数等知识点，掌握以上知识是解答本题的关键．
算出抽查总人数，再算出锻炼时长为 小时的学生人数即可判断A；算出样本中学生锻炼时长总数再除以
样本总人数即可判断B，根据条形统计图找出第 位和第 位的学生锻炼时长，加起来再除以 求出中
位数即可判断C，求出样本中学生锻炼时长为 小时的学生人数所占百分比再乘以 即可判断D．【详解】解：A、 （人），所以锻炼时长为 小时的学生人数为
（人），即锻炼时长为 小时是这个样本的众数，故A选项符合题意；
B、 （小时），故B选项不符合题意；
C、由条形统计图知第 位和第 位的学生锻炼时长为 小时、 小时，故中位数为
（小时），故C选项不符合题意；
D、 （人），多于 名，故D选项不符合题意；
故选：A．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，
解得： ；
故答案为：
10．化简 的结果是 ．
【答案】
【知识点】约分
【分析】本题考查分式的约分，将分子，分母进行因式分解，再根据分式的基本性质，进行约分化简即可．
【详解】解： ；
故答案为： ．
11．如图，四边形 是菱形， ， ， 于点H，则 ．【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积
【分析】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对
角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．掌握菱形的性质是
解本题的关键．
先根据菱形的性质得 ，再利用勾股定理计算出 ，然后根据菱
形的面积公式得到 ，再解关于 的方程即可．
【详解】解： 四边形 是菱形，
，
在 中， ，
，
，
，
．
故答案为 ．
12．如图，以 的边 为直径的 分别交 、 于点 、 ，连接 、 ．若 ，则
°．【答案】56
【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，熟悉圆周角定理的应用是解题的关键．连接
，由 为直径，得到 ， ，然后根据三角形内角和定理得到 ，最后利用圆周角定
理即可得到答案．
【详解】解：连接 ，如图
是 的直径
，则
故答案为：56．
13．如图，在 中， ， ，以 为直径作 ，交边 于点 ，交边 于
点 ，则图中阴影部分的面积是 ．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质和判定、求扇形面积、求其他不规则图形的面积、解直角三角形的相关计算
【分析】连接 ，根据等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质求出 ，过点 作
于点 ，求得 ，再根据 即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
过点 作 于点 ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积公式，熟练掌
握以上知识点是解答本题的关键．
14．明代《算法纂要》书中有一题：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问有几个牧童几个杏？”题目大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3
人一组，每组5个杏，则多10个杏．若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童，多少个杏？
则该问题中的牧童有 个．
【答案】24
【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设共有 个牧童，根据杏的总数不变列出一元一次方程，解方
程即可得出答案．
【详解】解：设共有 个牧童，
由题意得： ,
解得： ，
∴共有 个牧童，
故答案为： ．
15．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得 ， ，
，则点A到 的距离为 （结果精确到0.1）（参考数据： ，
， ）
【答案】38.5
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关
键．
过点A作 ，垂足为 ，根据垂直定义可得 ，再利用三角形内角和定理可得 ，
从而可得 ，然后在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，即可解答．
【详解】解：过点A作 ，垂足为 ，则 ，， ，
，
，
在 中， ，
．
点A到 的距离约为38.5．
故答案为：38.5
16．如图，点D是 的斜边 上一点， 且 ， ，以 为斜边作
等腰 ，使E，C在 同侧， 连接 ，当 取最小值时， 的面积是 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质，过点C作
，使 ，连接 ，如图，则 为等腰直角三角形，证明 ，
则 ，得到 ，当 取最小值时， 最小，过点H作 ，由于垂线段最短，点D和点 重合时， 最小，得到 ，连接 ，过点 作 于点K，求出
,证明 是等腰直角三角形，得到 的面积 ,即
可得到答案．
【详解】解：过点C作 ，使 ，连接 ，如图，则 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
当 取最小值时， 最小，
过点H作 ，由于垂线段最短，点D和点 重合时， 最小，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴
连接 ，过点 作 于点K，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ,
∵ 是等腰直角三角形，
∴ 的面积 ,
即 取最小值时， 的面积是 ，
故答案为：
三、解答题（本大题共有11题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤）
17．（本题6分）计算：
【答案】
【知识点】特殊三角形的三角函数、负整数指数幂、实数的混合运算
【分析】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、二次根式的运算，
正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性
质、二次根式的运算法则分别化简，进而得出答案．
【详解】解：原式
．18．（本题6分）已知 ， 满足方程组 ，求代数式 的值．
【答案】7
【知识点】加减消元法、整式的混合运算
【分析】利用加减消元法解方程组，求得 与 的值，再把 与 的值代入化简后的代数式求值即可．
【详解】解：由 得： ，
解得： ，
将 代入 得： ，
解得： ，
，
当 ， 时，
原式 ．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，整式的化简求值．掌握解二元一次方程组的方法和整式的混合运算
法则是解题的关键．
19．（本题8分）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【知识点】分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，将分式化到最简是解题的关键．先把分式 的分子、
分母因式分解，约掉公因式变为 ，再同分母分式相加化简整理，最后把 代入化简后的式子计算，即可解题．
【详解】解：原式
；
把 ，代入上式得，
上式 ．
20．（本题8分）为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．
唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
(1)小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为_____，是_____事
件（填“随机”或“不可能”或“必然”）？
(2)小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，
且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或
列表的方法进行说明．
【答案】(1) ，随机
(2)恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率为
【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率
【分析】本题考查树状图法求概率．
（1）直接利用概率公式，求解即可；
（2）画出树状图，再利用概率公式求解即可．
掌握树状图法求概率，是解题的关键．
【详解】（1）解：小丽随机抽取一个比赛项目，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中“三字经”的情况
只有1种，∴ ，是随机事件；
故答案为： ，随机；
（2）画出树状图如图：
由图可知，共12种等可能的结果，其中小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的情况只有1种，
∴ ．
21．（本题8分）如图，在 中，以点A为圆心， 的长为半径作弧，交 于点M，N，分
别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点P，连接 并延长，交 于点E，在
上截取 ．
(1)求证： ；
(2)四边形 能否为矩形？若能，请添加一个条件；若不能，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形 不能成为矩形，理由见解析
【知识点】利用矩形的性质证明、利用平行四边形的性质证明、作角平分线(尺规作图)、全等的性质和
SAS综合（SAS）
【分析】
（1）由 ，可知 ，证明 ，则 ；
（2）若四边形 为矩形，则 ，由作图可知， 平分 ，则 ，
与 矛盾，即四边形 不能成为矩形．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）
解：四边形 不能成为矩形，理由如下：
若四边形 为矩形，则 ，
由作图可知， 平分 ，
∴ ，与 矛盾，
∴四边形 不能成为矩形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，作角平分线，全等三角形的判定与性质，矩形的性质等知识．熟练掌握平
行四边形的性质，矩形的性质是解题的关键．
22．（本题10分）已知反比例函数 的图象与正比例函数 的图象交于点 ，
点B是线段 上（不与点A重合）的一点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)观察图象，当 时，直接写出不等式 的解集；
(3)如图，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在 的图象上时，求点E的坐标．
【答案】(1) ；
(2)(3)
【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者
AAS）、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是解题的关键．
（1）先将 代入 求出a的值，然后用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）根据函数图象，结合点 得出不等式 的解集即可；
（3）过点B作 轴，过点E作 于点H，过点A作 于点F， ，
可得 ，则设点 ，得到点 ，
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标．
【详解】（1）解：将 代入 得 ，
，
将 ，代入 得 ，
解得 ，
∴反比例函数表达式为 ；
（2）解：根据函数图象可知：当 时，反比例函数图象在正比例函数图象的上面，
∴不等式 的解集为 ；
（3）解：如图，过点B作 轴，过点E作 于点H，过点A作 于点F，则 ，
，
∵点A绕点B顺时针旋转 ，
， ，
，
，
设点 ， ， ，
∴点 ，
∵点E在反比例函数图象上，
．
解得 ， （舍去），
∴点E的坐标为 ．
23．（本题10分）如图， 是 的直径，直线l与 相切于点C，连接 ， 于E， 的
延长线交直线l于点D．
(1)试判断 和 的大小关系，并说明理由；(2)若 的半径为2， ，求 的长．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
【知识点】利用垂径定理求值、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、解直角三角形的相
关计算
【分析】本题考查了切线的性质定理，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，做出正确辅助线，熟练利
用角度的转换得到 是解题的关键．
（1）连接 ，利用切线的性质可得 ，再根据角度的转换即可得到 ；
（2）根据勾股定理求得 的长，再利用垂径定理得到 ，解直角三角形即可解答．
【详解】（1）解： ，理由如下：
如图，连接 ，
直线l与 相切于点C，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解： 是直径，
，
根据勾股定理可得 ，
，
，
，
，即 ，
．
24．（本题10分）如图，抛物线 与直线 相交于点 和点B．
(1)求m和b的值；
(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式 的解集；
(3)点M是直线 上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段 与抛物线有两个公
共点，请你画图观察，直接写出点 的横坐标 的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)点 的坐标为 ，不等式的解集为 或
(3)
【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、根据交点确定不等式的解集、其他问题(二
次函数综合)
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质是
解题关键．
（1）将点 分别代入抛物线和直线的解析式计算即可得；
（2）先联立两个函数的解析式即可得点 的坐标，再根据不等式 表示的是抛物线
位于直线 的上方，结合函数图象即可得；（3）先求出 ，抛物线的顶点坐标为 ，再画出函数图象，由此即可得．
【详解】（1）解：将点 代入抛物线 得： ，
解得 ，
将点 代入直线 得： ，
解得 ．
（2）解：由（1）可知，抛物线的解析式为 ，一次函数的解析式为 ，
联立 ，解得 或 ，
所以点 的坐标为 ，
不等式 表示的是抛物线 位于直线 的上方，
则结合函数图象可知，不等式 的解集 或 ．
（3）解：由题意得： ，
∵ ， ，
∴ ，点 之间的水平距离为3，
抛物线 化成顶点式为 的顶点坐标为 ，
画出图象如下：
当点 与抛物线的顶点 重合时， ，解得 ，此时线段 与抛物线恰好只有一个
公共点，则由函数图象可知，当 时，线段 与抛物线没有公共点，
当 时，线段 与抛物线只有一个公共点，
当 时，线段 与抛物线有两个公共点，
当 时，线段 与抛物线恰好只有一个公共点，
当 时，线段 与抛物线没有公共点，
综上，若线段 与抛物线有两个公共点，点 的横坐标 的取值范围为 ．
25．（本题10分）（1）如图1，在矩形 中， 为 边上一点，连接 ，若 ，过 作
交 于点 ，
①求证： ；
②若 时，则 ____．
（2）如图2，在菱形 中， ，过 作 交 的延长线于点 ，过 作 交
于点 ，若 时，求 的值．
（3）如图3，在平行四边形 中， ， ， ，点 在 上，且 ，点 为
上一点，连接 ，过 作 交平行四边形 的边于点 ，若 时，请直接写
出 的长．
【答案】（1）①见解析；② ；（2） ；（3） 的长为 或 或
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）①根据矩形的性质得出 ， ，进而证明 ，
结合已知条件即可证明 ；
②由①可得 ， ，证明 ，得出 ，根据
，即可求解；
（2）根据菱形的性质得出 ，根据已知条件得出 ， ，可证明
，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）分三种情况讨论，①当点 在 边上时，如图所示，延长 交 的延长线于点 ，连接 ，
过点 作 于点 ，证明 ，解 ，进而得出 ，根据
，得出 ，建立方程解方程即可求解；
②当 点在 边上时，如图所示，连接 ，延长 交 的延长线于点 ，过 点 作 ，则
，四边形 是平行四边形，同理证明 ，根据 得出
，建立方程，解方程即可求解；
③当 点在 边上时，如图所示，过点 作 于点 ，求得 ，而 ，得出
矛盾，则此情况不存在；当 点在 边上时，过 点作 交 的延长线于点 ，再由勾股定理
求 的长即可．
【详解】解：（1）① 四边形 是矩形，则 ，
°，
，
，
，
，
；
②由①可得 ，
．
，，
，
（2） 在菱形 中， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）①当点 在 边上时，如图所示，延长 交 的延长线于点 ，连接 ，过点 作
于点 ，
平行四边形 中， ，
，
，
，，
，
，
，
在Rt DEH 中，∠HDE＝∠A＝60°，
△
则 ， ，
，
，
， ，
，
，
，
设 ，则 ，
， ，
解得： 或 ，
即 或 ，
②当 点在 边上时，如图所示，
连接 ，延长 交 的延长线于点 ，过点 作 ，则 ，
四边形 是平行四边形，
设 ，则 ， ，，
，
，
，
，
，
，
过点 作 于点 ，
在 中， ，
∴ ， ，
，
，
，
， ，
， ，
，
即 ，
，
即 ，
解得： ， （舍去），
即 ；
③当 点在 边上时，如图所示，过点 作 于点 ，
在 中， ，
，
，
，
，
点 不可能在 边上，
④当 点在 上时， ，不符合相交，舍去，
综上所述， 的长为 或 或 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌
握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
26．（本题12分）项目式学习
问题情境
新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超
级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究．
研究步骤
如图2是该超级充电站的截面图， 是安装充电桩的墙面， 是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似
地看作抛物线的一部分．以点O为原点，表示地面的直线为x轴， 所在的直线为y轴，建立如图2所示
的平面直角坐标系．已知 ，点B为 所在抛物线的最高点，其坐标为 ．
（1）求 所在抛物线的函数解析式．
问题解决
如图2，点C是 上干粉灭火器的安装点， 是长度为 的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射
点．已知干粉喷射点D距离地面 时，对地面的保护半径为 ．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在 所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形
成的抛物线形状相同．
（2）若干粉喷射点D距地面的高度恰好为 时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点 ？请说明理由．
（3）若灭火器喷射时，对空间的保护截面与墙 的交点为 ，请直接写出点D的横坐标．
【答案】（1） ；（2）不能覆盖着火点 ，理由见解析；（3）点D的横坐标为
．
【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，并会利用数形
结合思想解答．
（1）根据题意设 所在抛物线的解析式为 ，将点 代入求解即可；
（2）由题意得， ， ，求得点 ，点 ，设此时抛物线的解析式
为 ，利用待定系数法求得抛物线的解析式为 ，据此求解即可；
（3）设点 ，则点 ，设此时抛物线的解析式为
，将 代入即可求得 ，据此求解即可．
【详解】解：（1）由题意， 所在抛物线的顶点坐标为 ，
∴设 所在抛物线的解析式为 ，
将点 代入得 ，解得 ，
∴ 所在抛物线的解析式为 ，即 ；
（2）不能覆盖着火点 ，理由如下，
由题意得， ， ，
对于 ，
令 ，则 ，
解得 （ 舍去）或 ，
∴点 ，
∴点 ，
设此时抛物线的解析式为 ，
∵对地面的保护半径为 ，
∴此抛物线与 轴的两个交点为 和 ，即 和 ，
将 代入得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
令 ，则 ，
∴点 在抛物线与 轴形成的区域的外侧，∴不能覆盖着火点 ；
（3）∵点C在 所在抛物线上滑动，
∴设点 ，∴点 ，即 ，
∵点D的移动中，点D的喷出的干粉形成的抛物线形状与点C的喷出的干粉形成的抛物线形状相同，
∴设此时抛物线的解析式为 ，
将 代入得 ，
整理得 ，
∵ ，
∴ （舍去负值），
∴ ，
∴点D的横坐标为 ．
27．（本题14分）小珺对下面的三角形进行探究：
如图1所示， 中， ， 外角的正切值为2，取 中点D与线段 上一点E，满足
．
(1)小珺说：“ 的正切值可以通过证明相似三角形的方法求得．”请证明她的猜想；
(2)探究完 的正切值后，小珺神奇地发现： ．小珺进一步提出问题：如何利用
与直尺（无刻度），圆规作出一个角，使得它的正切值与 角的正弦值相等呢？请在图2中用两
种方法作出小珺要求的那个角，并对其中一种方法给予证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】作垂线(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值、特殊三角形的三角函数
【分析】（1）作 交 延长线于点 ，连接 ，在 和 中利用正切的定义得到和 ，得出点 是 的中点，通过证明 得到 ，
，得到 ，进而推出 ，得到 ，利用正切
的定义求出 ，最后证明 即可求解；
（2）①方法一：作 于点 ，以 为边作等边 ，在 延长线上截取点 使得 ，
延长 和 交于点 ，连接 ，利用等边三角形的性质和三角函数的知识得到 ，结合
，分析可知 即为所求；②方法二：在 上取一点 使得 ，过点 作
且 ，以 为边作等边 ，延长 和 交于点 ，在 延长线上截取点 使得
，连接 ，利用等腰直角三角形的性质与判定得到 ，利用利用等边三角形的性质和三
角函数的知识得到 ，分析可知 即为所求．
【详解】（1）证明：如图，作 交 延长线于点 ，连接 ，
，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
，
点 是 的中点，即 ，
， ，，
， ，
，
又 ，
，
，
在 中， ，
，
，
，
，
，
，即 ，
．
（2）解：①方法一：
如图，作 于点 ，以 为边作等边 ，在 延长线上截取点 使得 ，延长 和
交于点 ，连接 ，
，
，
等边 ，
，在 中， ，
，
，
，
在 中， ，
如图所示， 即为所求；
②方法二：
如图，在 上取一点 使得 ，过点 作 且 ，以 为边作等边 ，延长
和 交于点 ，在 延长线上截取点 使得 ，连接 ，
，
，
是等腰直角三角形， ，
，
且 ，
是等腰直角三角形，
， ，
，
，
等边 ，
，在 中， ，
，
，
，
在 中， ，
如图所示， 即为所求．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值、相似三角形的性质与判定、尺规作图、等边三角形的性质、
等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点，利用尺规正确作图是解题的关键．本题属于几何的
复杂作图题，有一定难度，适合有能力解决几何难题的学生．
