文档内容
2025 年中考第二次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．1. 在实数0， ， ， 中，最小的数是（ ）
A. B. 0 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较．根据“正数大于零；零大于负数；负数比较大小，绝对值大的反而
小”，比较大小，得出答案即可．
【详解】解：∵ ，
∴在实数 ， ， ， 中，最小的数是 ，
故选：A．
2．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了三视图，根据俯视图是从正上方看到的图形进行判断即可．【详解】解：从上面看，是一个矩形，矩形的内部有一个圆，即俯视图为：
故选：B．
3．下列运算，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，逐一判断即可解答．
【详解】解： ，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，熟知计算法则是解题的关键．
4．若分式 的值为0，则x的值是（ ）
A. 1 B. 0 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分式的值等于零时，分子等于零，且分母不等于零．
【详解】解：依题意得： 且 ，
解得 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．5．如图，矩形 的对角线 相交于点 ．若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形性质得出 ，推出 则有等边
三角形 ，即 ，然后运用余切函数即可解答．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴三角形 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定、矩形的性质、余切的定义等知识点，求出 是解答本题的关键．
6．为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量（单位： ）分别为
，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（ ）
A. 这组数据的平均数 B. 这组数据的方差
C. 这组数据的众数 D. 这组数据的中位数
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，选择方差即可求解．
【详解】解：依题意，给出 的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是这组数据的方差，
故选：B．
【点睛】本题考查了选择合适的统计量，熟练掌握平均数、众数、中位数、方差的意义是解题的关键．
7．如图，点A，B，C在 上，连接 ．若 ，则 的度数是（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆周角定理解答即可.
【详解】解：∵ ，
∴ ；
故选：C.
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解
题关键.
8．某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了 万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销
售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设年平均增长率为x，根据2020年销量为20万辆，到2022年销量增加了 万辆列方程即可．
【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得
，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
9．设二次函数 是实数 ，则（ ）
A. 当 时，函数 的最小值为 B. 当 时，函数 的最小值为
C. 当 时，函数 的最小值为 D. 当 时，函数 的最小值为
【答案】A
【解析】
【分析】令 ，则 ，解得： ， ，从而求得抛物线对称轴为
直线 ，再分别求出当 或 时函数y的最小值即可求解．
【详解】解：令 ，则 ，
解得： ， ，∴抛物线对称轴为直线
当 时， 抛物线对称轴为直线 ，
把 代入 ，得 ，
∵
∴当 ， 时，y有最小值，最小值为 ．
故A正确，B错误；
当 时， 抛物线对称轴为直线 ，
把 代入 ，得 ，
∵
∴当 ， 时，y有最小值，最小值为 ，
故C、D错误，
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键．
10．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在
由四个全等的直角三角形（ ）和中间一个小正方形 拼成的大正
方形 中， ，连接 ．设 ，若正方形 与正方形
的面积之比为 ，则 （ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】C【解析】
【分析】设 ， ，首先根据 得到 ，然后表示出正方形
的面积为 ，正方形 的面积为 ，最后利用正方形 与正方形
的面积之比为 求解即可．
【详解】设 ， ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，整理得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴正方形 的面积为 ，
∵正方形 的面积为 ，
∵正方形 与正方形 的面积之比为 ，
∴ ，
∴解得 ．
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理，解直角三角形，赵爽“弦图”等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．使代数式 有意义的x的取值范围是 ________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．根据
二次根式有意义的条件求解即可．
【详解】解： 有意义，
，
．
故答案为： ．
12．绿水青山就是金山银山”，多年来，某湿地保护区针对过度放牧问题，投入资金实施湿地生态效益补
偿，完成季节性限牧还湿 万亩，使得湿地生态环境状况持续向好．其中数据 万用科学记数法
表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解： 万 ，
故答案为：： ．
13．若 是方程 的两个根，则 的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．【详解】解：∵ 是方程 的两个根，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．若 是一元二次方程 的两
个根，则： 和 ．
14．泉州飞往成都每天有2趟航班．小赵和小黄同一天从泉州飞往成都，如果他们可以选择其中任一航班，
则他们选择同一航班的概率等于_________．
【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】根据题意画出树状图，利用树状图计算概率即可．
【详解】解：根据题意，画出树状图如下，
由树状图可知，共有4中等可能的结果，其中小赵和小黄选择同一航班有2中结果，
故他们选择同一航班的概率为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．
15．如图，六边形 是 的内接正六边形，设正六边形 的面积为 ， 的面积为 ，则 _________．
【答案】2
【解析】
【分析】连接 ，首先证明出 是 的内接正三角形，然后证明出
，得到 ， ，进而求解即可．
【详解】如图所示，连接 ，
∵六边形 是 的内接正六边形，
∴ ，
∴ 是 的内接正三角形，
∵ ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
由圆和正六边形的性质可得， ，
由圆和正三角形的性质可得， ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知
识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
16．如图，在平面直角坐标系 中，边长为2的等边 的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上
移动，将 沿 所在直线翻折得到 ，则 的最大值为_______．【答案】
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质，过点D作 ，
交 延长线于点F，取 的中点E，连接 ， ， ，在 中利用斜边中线性质求出
，根据 确定当D、O、E三点共线时 最大，最大值为 ．
【详解】解：如图，过点D作 ，交 延长线于点F，取 的中点E，连接 ， ， ，
∵等边三角形 的边长为2，
∴ ， ，
由翻折可知： ， ，
，
，
，
，
，
，
∵E是 的中点，
，
∴ ，
∴
∴ ，
∴当D、E、O三点共线时 最大，最大值为 ．故答案为： ．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则，结合特殊角的三角函数值以及开立方的知识，计算即
可作答．
【详解】
．
【点睛】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值，是解答本
题的关键．
18．（8分）如图，已知 ， ， ．求证： ．【答案】见解析
【解析】
【分析】先由题意可证 ，可得 ，再根据等式的性质即可得出结论．
【详解】证明：在 和 中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
19．（8分）先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ，2
【解析】
【分析】根据分式的运算法则，先将分式进行化简，再将 和 的值代入即可求出答案．
【详解】解：，
原式 ．
故答案为： ，2．
【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，解题的关键在于熟练掌握分式的运算法则、零次幂、负整数次
幂．
20．（8分） 4月23日是世界读书日．为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置
了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的
类，将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）．
被抽查学生最喜欢的书籍种类的 被抽查学生最喜欢的书籍种类的
条形统计图 扇形统计图
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值．
（2）请将条形统计图补充完整．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（3）若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数．
【答案】（1）200人，40
（2）见解析 （3）360人
【解析】
【分析】（1）根据其它类的人数和所占的百分比求出调查的总人数，用科技类的人数比上总人数，即可得出科技类的学生人数占抽样人数的百分比；
（2）用总人数减去文学类、科技类和其他的人数，求出艺术类的人数，补条形统计图即可；
（3）用1200乘以文学类书籍所占的百分比，即可得出答案．
【小问1详解】
被抽查的学生人数是 （人）
∵ ，
∴扇形统计图中m的值是40．
【小问2详解】
∵ （人），
∴补全的条形统计图如图所示
【小问3详解】
∵ （人），
∴估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数共有360人．
【点睛】本题考查的是条形统计图及其应用与用样本估计总体的知识，从不同的统计图中得到必要的信息
是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，能够根据各个数据进行正确计算．
21．（8分）随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计划定
价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本 10元）进行4天试销售，日销量 y（袋）和每袋售价 x
（元）记录如下：
时 第二
第一天 第三天 第四天
间 天
x/元 15 20 25 30
y/袋 25 20 15 10若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：
（1）求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；
（2）请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润.
（利润 销售额 成本）
【答案】（1）日销量y关于每袋售价x的函数关系式为
（2）每袋售价定为25元时，这种土特产日销售的利润最大，最大利润为225元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．
（1）设日销售量y（袋）和每袋售价x（元）的函数关系式为 （ ）代入数据，利用待定系
数法即可求解；
（2）设每袋土特产的售价定为x元，则日销量为 袋，成本为 ，总利润为W元，根据
销售利润 销售每袋土特产的利润 每日的销售量，得到 与 的函数关系式，再根据二次函数的性质求
解即可．
【小问1详解】
解：设 （ ）
将 ， 代入 ，
得
解得 ，
∴日销量y关于每袋售价x的函数关系式为 ；
【小问2详解】
解：设每袋土特产的售价定为x元，则日销量为 袋，成本为 ，总利润为W元，
（ ），
当 时，W最大，最大值为225
答：每袋售价定为25元时，这种土特产日销售的利润最大，最大利润为225元．
22．（10分）如图， 是菱形 的对角线．
的
（1）尺规作图：将 绕点A逆时针旋转得到 ，点B旋转后 对应点为D（保留作图痕迹，不
写作法）；
（2）在（1）所作的图中，连接 ， ；
①求证： ；
②若 ，求 的值．
【答案】（1）作法、证明见解答；
（2）①证明见解答；② 的值是 ．
【解析】
【分析】（1）由菱形的性质可知 ，将 绕点 逆时针旋转得到 ，也就是以 为
一边在菱形 外作一个三角形与 全等，第三个顶点 的作法是：以点 为圆心， 长为半
径作弧，再以点 为圆心， 长为半径作弧，交前弧于点 ；（2）①由旋转得 ， ， ，则 ， ，即可根据
“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明 ；
②延长 交 于点 ，可证明 ，得 ，而 ，所以
，由等腰三角形的“三线合一”得 ，则 ，设 ，
，则 ，所以 ， ，由勾股定理得
，求得 ，则 ．
【小问1详解】
解：如图1， 就是所求的图形．
．
【小问2详解】
证明：①如图2，由旋转得 ， ， ，
， ，
，
．
②如图2，延长 交 于点 ，， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
设 ， ，
，
，
，
，
，
解关于 的方程得 ，
，，
的值是 ．
【点睛】此题重点考查尺规作图、旋转的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判
定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
23．（10分）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意
图如图2，摄像头 的仰角、俯角均为 ，摄像头高度 ，识别的最远水平距离 ．
(1)身高 的小杜，头部高度为 ，他站在离摄像头水平距离 的点C处，请问小杜最少需要
下蹲多少厘米才能被识别．
(2)身高 的小若，头部高度为 ，踮起脚尖可以增高 ，但仍无法被识别．社区及时将摄像头
的仰角、俯角都调整为 （如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到 ，参考数据
）
【答案】(1)
(2)能，见解析
【详解】（1）解：过点 作 的垂线分别交仰角、俯角线于点 ， ，交水平线于点 ，如图所示，在 中， ．
．
，
．
．
， ，
小杜下蹲的最小距离 ．
（2）解：能，理由如下：
过点 作 的垂线分别交仰角、俯角线于点 ， ，交水平线于点 ，如图所示，
在 中， ．
，
，
．
，
．
小若垫起脚尖后头顶的高度为 ．
小若头顶超出点N的高度 ．
小若垫起脚尖后能被识别．24．（13分）如图，在 中，点A，B，C，D为圆周的四等分点， 为切线，连接 ，并延长交
于点F，连接 交 于点G．
（1）求证： 平分 ；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、、切线的性质和解直角三角形，证明 实际
解题的关键．
（1）利用圆周四等分点得到 ，再根据切线的性质得到 ，所以
，从而即可解题；
（2）根据圆内接四边形的性质证明 ，则可利用“ ”判断 ；
（3）过点G作 于点H，如图，先利用 得到 ， ，所以
， ，然后利用解直角三角形解题即可．
【小问1详解】
证明：连接 .∵点A，B，C，D为圆周的四等分点，
.
，即圆心角
，
.
为 的切线，
，
.
.
平分 .
【小问2详解】
∵ ，
∴ .
.
在四边形 中， .
为直径，
，
.
，.
∵点A，B，C，D为圆周的四等分点，
，
.
在 和 中，
.
【小问3详解】
连接 ，
，
由（2）中 ，得 ， .
又 ，
即 ，
，
.
的半径为2.
∴在 中， .
过点G作 于点H.
由题意得 ，
∴ 为等腰直角三角形，
.在 中， ，
.
25．（13分） 已知： 关于 的函数 ．
（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且 ，则 的值是___________；
（2）如图，若函数的图象为抛物线，与 轴有两个公共点 ， ，并与动直线
交于点 ，连接 ， ， ， ，其中 交 轴于点 ，交 于点 ．设
的面积为 ， 的面积为 ．
①当点 为抛物线顶点时，求 的面积；
②探究直线 在运动过程中， 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．【答案】（1）0或2或
（2）①6，②存在，
【解析】
【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候，按照图像的
性质以及与坐标轴交点的情况即可求出 值．
（2）①根据 和 的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标 ，从而求出 长度，再利
用 和 的坐标点即可求出 的直线解析式，结合 即可求出 点坐标，从而求出 长度，最
后利用面积法即可求出 的面积．
②观察图形，用 值表示出点 坐标，再根据平行线分线段成比例求出 长度，利用割补法表示出 和
，将二者相减转化成关于 的二次函数的顶点式，利用 取值范围即可求出 的最小值．
【小问1详解】
解： 函数的图象与坐标轴有两个公共点，
，
，
，
当函数为一次函数时， ，
．
当函数为二次函数时，
，
若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与 轴， 轴分别只有一个交点时，，
．
当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点， 即其中一点经过原点，
，
，
．
综上所述， 或0．
故答案为：0或2或 ．
【小问2详解】
解：①如图所示，设直线 与 交于点 ，直线 与 交于点 ．
依题意得： ，解得：
抛物线的解析式为： ．
点 为抛物线顶点时， ， ，
， ，
由 ， 得直线 的解析式为 ，在直线 上，且在直线 上，则 的横坐标等于 的横坐标，
，
， ，
，
．
故答案为：6．
② 存在最大值，理由如下：
如图，设直线 交 轴于 ．
由①得： ， ， ， ， ，
，
， ，
，
，
即 ，
， ，
，
，
， ，当 时， 有最大值，最大值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到函数与坐标轴交点问题，二次函数与面积问题，平行线
分线段成比例，解题的关键在于分情况讨论函数与坐标轴交点问题，以及二次函数最值问题．
