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2025 年福建中考第一次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 4的倒数是（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要了考查倒数的意义，根据乘积是1的两个数互为倒数求解即可．
【详解】解：4的倒数是 ，
故选：A．
2. 我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学
习人次达1290000000建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的一般形式为 ，其中 ，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值
时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：用科学记数法将数据1290000000表示为 ，
故选：C．
3. 下列几何体中三个视图完全相同的是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查简单的几何体的三视图，根据三视图的概念分析各个图形的三视图，再作出判断即
可．
【详解】解：A．三棱柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是三角形，故不符合题意；
B．圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故不符合题意；
C．圆柱的三视图既有圆又有长方形，故不符合题意；
D．球的三视图都是圆，故符合题意；
故选：D．
4．如图，直线 ，矩形 的顶点A在直线b上，若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点 作 ，得到 ，推出
，进行求解即可．
【详解】解：∵矩形 ，
∴ ，
过点 作 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故选C．
5．下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方等知识点，灵活运用
相关知识点成为解题的关键．根据合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方逐项判断即
可．
【详解】解：A. 与 不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意；
B. ，该选项正确，符合题意；
C. ，该选项错误，不符合题意；
D. ，该选项错误，不符合题意．
故选：B．
6．在下列事件中，必然事件是（ ）
A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3
B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D. 任意画一个三角形，其内角和是180°
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解
题的关键．根据必然事件、随机事件的意义进行判断即可．
【详解】解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意；
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不符合题意；
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
D．任意画一个三角形，其内角和是 ，是必然事件，符合题意．
故选：D．
7．如图，点A，B，C在 上， ，垂足为D，若 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据 得到 ，根据 得到 ，根据直角三角形的两个锐
角互余，计算即可．
本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选A．
8．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊
5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题
的关键．因为每头牛值金 两，每头羊值金 两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，
共值金8两”，即可得出关于 、 的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：根据题意得： ．
故选：A．
9．如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力 、 ，则 的力臂
大于 的力臂 ．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A. 垂线段最短
B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 两点确定一条直线
D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点 有
，进而利用垂线段最短得到 即可解题．
【详解】解： 过点 有 ，
，
即得到 的力臂 大于 的力臂 ，
其体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
10．如图，已知二次函数 的图象与x轴相交于点 ， ，则下列结论
正确的个数是（ ）
① ②
③对任意实数m， 均成立 ④若点 ， 在抛物线上，则
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子的符号，由图象可得：抛物线
开口向上，对称轴在 轴左侧，交 轴于负半轴，即可得出 ， ， ，从而求出
，即可判断①；根据二次函数与 轴的交点得出二次函数的对称轴为直线 ，， ，计算即可判断②；根据当 时，二次函数有最小值 ，即
可判断③；根据 即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是
解此题的关键．
【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在 轴左侧，交 轴于负半轴，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵二次函数 的图象与x轴相交于点 ， ，
∴二次函数的对称轴为直线 ， ， ，
由 得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，故②错误；
当 时，二次函数有最小值 ，
由图象可得，对任意实数m， ，
∴对任意实数m， 均成立，故③正确；
∵点 ， 在抛物线上，且 ，
∴ ，故④错误；
综上所述，正确的有①③，共 个，故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．分解因式： ________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了分解因式，利用完全平方公式分解即可，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12．计算： ______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的加减运算．直接按同分母分式加减运算法则计算即可．
【详解】解： ．
故选：1．
13．某乡镇组织“新农村，新气象”春节联欢晚会，进入抽奖环节．抽奖方案如下：不透明的箱子里装有
红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个，每次摇
匀后从中随机摸一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖，每个家庭有且只有
一次抽奖机会，小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为______．
【答案】 ##0.2
【解析】
【分析】本题考查概率公式，掌握概率的意义是解题的关键．
利用概率公式直接进行计算．
【详解】解：小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为 ，1
故答案为： ．
5
14．如图，已知正六边形 的边长为2，以点E为圆心， 长为半径作圆，则该圆被正六边形
截得的 的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正多形的内角和和内角以及弧长公式，根据六边形 是正六边形，根据
正多边内角和等于 ，求出内角 ，再根据弧长公式即可得出答案．
【详解】解： 六边形 是正六边形，
∵
，
∴
，
∴
故答案为： ．
15．如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图 2是棚顶的竖直高度y
（ 单 位 ： ） 与 距 离 停 车 棚 支 柱 的 水 平 距 离 x （ 单 位 ： ） 近 似 满 足 函 数 关 系
的图象，点 在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长 ，高 的矩形，则可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
【答案】能
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当 时，y的值，若此时y的值大于 ，
则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
在 中，当 时， ，
∵ ，
∴可判定货车能完全停到车棚内，
故答案为：能．
16．“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速
的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示
红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口 480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是
30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是 45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于
的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速 v（
）的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
利用路程 速度 时间，结合小亮爸爸以不低于 的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、
绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于 的一元一次不等式组，解之即可得出车速 的取值范围．
【详解】解： ．
根据题意得： ，
解得： ，
车速 的取值范围是 ．
故答案为： ．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算，根据零指数幂、特殊角三角函数值、绝对值计算即可．
【详解】
．
18．（8分）如图，在四边形 中， ， 是边 的中点， ．求证：
四边形 是矩形．【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题
关键．利用 可证明 ，得出 ，根据 得出 ，即
可证明四边形 是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形
是矩形．
【详解】证明：∵ 是边 的中点，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形．
19.（8分）解方程 ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了单项式乘多项式，解分式方程，掌握运算法则是解题 的关键．
根据解分式方程的步骤进行计算即可．【详解】解：
，
，
∴
检验，当 时， ，
所以，原分式方程的解为
20．（8分）我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生
开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将
成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
（1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
（2）若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；
（3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画
树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率．
【答案】（1）400，见解析
（2）800名 （3）见解析，
【解析】
【分析】（1）利用C等级的人数除以其所占的百分比求得样本总数，再利用样本总人数减去其他等级的人数求得D等级的人数，再补全条形统计图即可；
（2）利用B等级的人数除以样本总数求得其所占的百分比，再乘除全校人数即可求解；
（3）画树状图可得共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，
再利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：由图可得， （名），
∴D等级的人数为： （名），
补全条形统计图如下所示：
故答案为：400；
【小问2详解】
解： （名），
答：估计竞赛成绩为B等级的学生人数为800名；
【小问3详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，
∴甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率为 ．
21．（8分） 在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物
图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度
时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面 的竖直高度 与离发射点O的水平距离 的几组
关系数据如下：
水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27
竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24
的
（1）根据上表，请确定抛物线 表达式；
（2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为 时，水火箭距离地面的竖直高度．
【答案】（1）抛物线的表达式
（2）水火箭距离地面的竖直高度 米
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，
根据题意可设抛物线的表达式 ，结合体图标可知抛物线的顶点坐标为 ，代
入求解即可；
由题意知 ，代入抛物线 表的达式即可求得水火箭距离地面的竖直高度．
【小问1详解】
解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式 ，由表格得抛物线的顶点坐标为 ，则 ，解得 ，
则抛物线的表达式 ，
【小问2详解】
解：由题意知 ，则 ，
那么，水火箭距离地面的竖直高度 米．
22．（10分）如图所示，是一张对边平行的纸片，点 ， 分别在平行边上．
(1)求作：菱形 ，使点 ， 落在纸片的平行边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)若 ， ，求菱形 的面积．（ ， ， ）
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，尺规作图
（1）根据菱形的性质可以画出图，方法一，先连接 ，然后以B为圆心 长为半径，与 交于点
C，再以C为圆心 长为半径，与 交于点D；方法二，先连接 以 为圆心 长为半径，与 交
于点D，然后作 的垂直平分线，可确定点C，再一次连接即可，方法三，先连接 ，再做出 的
角平分线，角平分线与 的交点为点 ，然后以 为圆心 长为半径，与 交于点C，最后连接
即可做出菱形 ，
（2）过点 作 于点 ，解直角三角形 ，求得 ，进一步求解即可；
【详解】（1）解：方法一：方法二：
方法三：
∴菱形 就是所求作的图形．
（2）解：过点 作 于点 ，如图所示．
在 中， ， ．
，
．
∵四边形 是菱形， ，
∴ ．
．
23．（10分）已知实数a、b、c，且
（1）若a、b、c分别是关于x的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项，由公式法解得方程的根
为 ，求证： ；
（2）若 ， ，求c的最小值．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的求根公式和根的判别式，求出a，b及c的值是解本题的关键．
（1）先写出一元二次方程 的求根公式，然后根据公式，结合已知方程的根，列出
关于 的值，即可证明 ；
（2）把上面两式化成一元一次函数图象和反比例函数图象，两个函数有交点，即转化为一元二次方程有
解的问题，求 ，即可求出c的取值范围．
【小问1详解】
解： 一元二次方程 解的求根公式为： 一元二次方程的根为
，
， ， ，
， ， ，
此方程的二项式系数，一次项系数，常数项分别为：1，2， ，
；
【小问2详解】
解：设 ， ，
则 ， ，
有解，
，
，，
，
，
的最小值为：
24．（13分）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动
【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片 ，得到折痕 ，把纸片展平；
操作二：如图②，在边 上选一点E，沿 折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕 ；
操作三：如图③，在边 上选一点F，沿 折叠，使边 与边 重合，得到折痕 把正方形纸片
展平，得图④，折痕 与 的交点分别为G、H．
根据以上操作，得 ________ ．
【探究证明】
（1）如图⑤，连接 ，试判断 的形状并证明；
（2）如图⑥，连接 ，过点G作 的垂线，分别交 于点P、Q、M．求证：
．
【深入研究】
若 ，请求出 的值（用含k的代数式表示）．【答案】[操作判断]45；
[探究证明]（1）等腰直角三角形，理由见详解；（2）见详解；
[深入研究]
【解析】
【分析】[操作判断] 根据正方形 的性质以及折叠的性质即可求解；
[探究证明]（1）先证明 ，再证明 ，则 ，继而得到
，因此 ， ，即 是等腰直角三角形；（2）由翻折得，
，由 ，得到 ，故 ，因此 ，而由
，得到 ，则 ，因此 ；
[深入研究] 连接 ，先证明 ，则 ，由 ，设
，则 ，而 ， 则
，可得 ， ， ，那么
，故 ．
【详解】[操作判断] 解：如图，由题意得， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
故答案为：45；
[探究证明] 解：（1）如图，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
是
∴ 等腰直角三角形；
（2）如图，
由翻折得， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
[深入研究] 解：如图，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∵ 是对角线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，∴ ,
∵ ，
∴设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题考查了正方形背景下的折叠问题，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，折叠的性质，
等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
的
25．（13分）如图， 为 内接三角形，AB为 的直径，将 沿直线AB翻折到 ，
点 在 上．连接CD，交AB于点 ，延长BD，CA，两线相交于点 ，过点 作 的切线交
于点 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）若 ， ．求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据折叠可得 ，根据切线的定义可得 ，即可得证；
（2）根据题意证明 ，进而证明 ，根据相似三角形的性质，即可得证；
（3）根据 ，设 ，则 ，得出 ，根据折叠的性质可
得 出 ， 则 ， 进 而 求 得 ， 根 据
，进而根据正切的定义，即可求解．
【小问1详解】证明：∵将 沿直线AB翻折到 ，
∴ ，
∵AB为 的直径， 是切线，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ 是切线，
∴ ，
∵AB为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵由折叠可得 ，
∴ ，
∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
【小问3详解】
解：∵ ，设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵由折叠可得 ，∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的性质，折叠问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知
识是解题的关键．
