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2025 年福建中考第一次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 4的倒数是（ ）
A. B. C. 2 D.
2. 我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学
习人次达1290000000建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列几何体中三个视图完全相同的是（ ）
A. B. C. D.
4．如图，直线 ，矩形 的顶点A在直线b上，若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
5．下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
6．在下列事件中，必然事件是（ ）
A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3
B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D. 任意画一个三角形，其内角和是180°7．如图，点A，B，C在 上， ，垂足为D，若 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
8．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两．
牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊
5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是
（ ）
A. B.
C. D.
9．如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力 、 ，则 的力臂
大于 的力臂 ．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A. 垂线段最短
B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 两点确定一条直线
D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
10．如图，已知二次函数 的图象与x轴相交于点 ， ，则下列结论
正确的个数是（ ）
① ②
③对任意实数m， 均成立 ④若点 ， 在抛物线上，则A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．分解因式： ________．
12．计算： ______．
13．某乡镇组织“新农村，新气象”春节联欢晚会，进入抽奖环节．抽奖方案如下：不透明的箱子里装有
红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个，每次摇
匀后从中随机摸一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖，每个家庭有且只有
一次抽奖机会，小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为______．
14．如图，已知正六边形 的边长为2，以点E为圆心， 长为半径作圆，则该圆被正六边形
截得的 的长为________．
15．如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图 2是棚顶的竖直高度y
（ 单 位 ： ） 与 距 离 停 车 棚 支 柱 的 水 平 距 离 x （ 单 位 ： ） 近 似 满 足 函 数 关 系
的图象，点 在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面
看作长 ，高 的矩形，则可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
16．“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速
的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示
红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口 480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是
30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是 45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速 v（
）的取值范围是________．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算： ．
18．（8分）如图，在四边形 中， ， 是边 的中点， ．求证：
四边形 是矩形．
19.（8分）解方程 ．20．（8分）我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生
开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将
成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
（1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
（2）若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；
（3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画
树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率．21．（8分） 在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物
图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．
如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度
时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面 的竖直高度 与离发射点O的水平距离 的几组
关系数据如下：
水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27
竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24
（1）根据上表，请确定抛物线 的表达式；
（2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为 时，水火箭距离地面的竖直高度．
22．（10分）如图所示，是一张对边平行的纸片，点 ， 分别在平行边上．
(1)求作：菱形 ，使点 ， 落在纸片的平行边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)若 ， ，求菱形 的面积．（ ， ， ）23．（10分）已知实数a、b、c，且
（1）若a、b、c分别是关于x的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项，由公式法解得方程的根
为 ，求证： ；
（2）若 ， ，求c的最小值．
24．（13分）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动
【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片 ，得到折痕 ，把纸片展平；
操作二：如图②，在边 上选一点E，沿 折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕 ；
操作三：如图③，在边 上选一点F，沿 折叠，使边 与边 重合，得到折痕 把正方形纸片
展平，得图④，折痕 与 的交点分别为G、H．
根据以上操作，得 ________ ．
【探究证明】
（1）如图⑤，连接 ，试判断 的形状并证明；
（2）如图⑥，连接 ，过点G作 的垂线，分别交 于点P、Q、M．求证：
．
【深入研究】
若 ，请求出 的值（用含k的代数式表示）．25．（13分）如图， 为 内的接三角形，AB为 的直径，将 沿直线AB翻折到 ，
点 在 上．连接CD，交AB于点 ，延长BD，CA，两线相交于点 ，过点 作 的切线交
于点 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）若 ， ．求 的值．
