2025 年中考第一次模拟考试（浙江卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．在下列数|−3|，−2，0，π中，最小的数是（ ）
A．|−3| B．−2 C．0 D．π
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数比较大小，求一个数的绝对值，先计算绝对值，再根据正数大于0，0大于
负数比较出四个数的大小即可得到答案．
【详解】解：|−3|=3，
∴−2<0<|−3|<π，
∴最小的数是−2，
故选：B．
2．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从上面看到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了从不同方向看简单组合体，掌握从上面看得到的图形是关键．画出从几何体的上面看
到的图形，实际上就是从上面“正投影”所得到的图形，据此即可获得答案．
【详解】解：从上面看，底层是两个小正方形，上层有两个小正方形．即
故选：D．3．下列等式成立的是（ ）
A．2a−3 ⋅a4=2a−12 B．a6÷a2=a3
(1 ) 0
C． −0.5 =1 D．a−1 ⋅a4+a÷a−2=2a3
2
【答案】D
【分析】本题考查了负整数指数幂与零指数幂、同底数幂的乘法与除法，熟练掌握各运算法则是解题关键．
根据负整数指数幂与零指数幂、同底数幂的乘法与除法法则逐项判断即可得．
2
【详解】解：A、2a−3 ⋅a4= ⋅a4=2a，则此项不成立，不符合题意；
a3
B、a6÷a2=a6−2=a4，则此项不成立，不符合题意；
C、 (1 −0.5 ) 0 =00 ，没有意义，则此项不成立，不符合题意；
2
1 1
D、a−1 ⋅a4+a÷a−2= ⋅a4+a÷ =a3+a⋅a2=a3+a3=2a3
，则此项成立，符合题意；
a a2
故选：D．
7 m
4．关于x的分式方程 = −3有增根，则m为（）
x−1 x−1
A．0 B．−1 C．7 D．1
【答案】C
【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增
根代入整式方程即可求得相关字母的值．由分式方程有增根，得到最简公分母为0，确定出m的值即可．
【详解】解：分式方程去分母得：7=m−3(x−1)，
由分式方程有增根，得到x−1=0，即x=1，
把x=1代入整式方程得：7=m，
解得：m=7．
故选：C．
5．某车间20名工人日加工零件数如表所示：这些工人日加工零件数的众数、中位数分别是（ ）
日加工零件
4 5 6 7 8
数
人数 2 6 5 4 3
A．5、6 B．5、5 C．6、5 D．6、6
【答案】A
【分析】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．根据众数和中位数的定义求解即可．
6+6
【详解】解：这组数据的众数为5，中位数为 =6，
2
故选：A．
6．不等式组¿的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再把解集在数
轴上表示出来即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键．
【详解】解：¿，
由不等式①得，x>1，
由不等式②得，x≤2，
∴不等式组的解集为1<x≤2，
∴不等式组的解集在数轴上表示为 ，
故选：C．
OC
7．如图，△ABC与△≝¿位似，点O为位似中心，且△≝¿的面积是△ABC面积的9倍，则 的值为
CF
（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 6 9
【答案】A
【分析】本题考查的是位似图形的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的性质得到△ABC∽△≝¿，BC∥EF，进而得到△OBC∽△OEF以
BC 1
及 = ，再根据相似三角形的性质解答即可．
EF 3
【详解】解：∵△ABC与△≝¿位似，
∴△ABC∽△≝¿，BC∥EF，
S
∴ △ABC
(BC) 2 ，△OBC∽△OEF，
S = ¿
△≝¿ EF
又∵△≝¿的面积是△ABC面积的9倍，
S
∴ △ABC
(BC) 2 1 ，
S = = ¿
△≝¿ EF 9
BC 1
∴ = ，
EF 3
∵△OBC∽△OEF，
OC BC 1
∴ = = ，
OF EF 3
∴OF=3OC，
OC OC OC 1
∴ = = = ．
CF OF−OC 3OC−OC 2
故选：A．
12
8．如图，点A，B在反比函数y= 的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接OA，OB，则△OAB的
x
面积是（ ）
A．1.5 B．3 C．9 D．13【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的性质及k的几何意义，设BD⊥y轴于点D，AC⊥y轴于点C，由题意
求出A(4,3)，B(2,6)，则AC=4，BD=2，CD=3，由反比例函数的几何意义可得S =S ，
△BOD △AOC
S =S +S −S =S ，然后代入即可求值，熟练掌握反比例函数的性质和几何
△OAB 四 边 形ABD△CAOC △BOD 四 边 形ABDC
意义是解题的关键．
【详解】解：如图，设BD⊥y轴于点D，AC⊥y轴于点C，
∵A，B的纵坐标分别是3和6，
∴代入函数关系式可得横坐标分别为4，2，
∴A(4,3)，B(2,6)，
∴AC=4，BD=2，CD=3，
由反比例函数的几何意义可得S =S ，
△BOD △AOC
1
∴S =S +S −S =S = (4+2)×3=9，
△OAB 四 边 形ABD△CAOC △BOD 四 边 形ABD2C
故选：C．
9．如图1，四边形ABCD是菱形，点P以1cm/s的速度从点A出发，沿着A−B−C的路线运动，同时点
Q以相同的速度从点C出发，沿着C−D−A的路线运动，设运动时间为x(s)，P，Q两点之间的距离为
y( cm2)，y与x的函数关系的图象如图2所示，则y的最小值为（ ）
15
A．2√3 B．3 C．3√3 D．
4
【答案】A【分析】本题考查了菱形的性质，函数图象，垂线段最短，勾股定理，连接AC，BD交于点O，由菱形性
1 1
质得AC⊥BD，OA=OC= AC，OB=OD= BD，根据图2可知，AC=4，BD=4√3，由勾股定理
2 2
求出AB=4，当PQ⊥CD时，PQ最小，即y最小，最后由等面积法即可求解，读懂图象信息，掌握知识
点的应用是解题的关键．
【详解】解：连接AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
1 1
∴AC⊥BD，OA=OC= AC，OB=OD= BD，
2 2
根据图2可知，AC=4，BD=4√3，
1 1
∴OA=OC= AC=2，OB=OD= BD=2√3，
2 2
∴AB=√OA2+OB2=√22+(2√3) 2=4，
∵P、Q同时运动，
∴当PQ⊥CD时，PQ最小，即y最小，
1
∵S= AC×BD=AB×PQ，
2
1
∴ ×4×4√3=4×PQ，
2
∴PQ=2√3，
∴y的最小值为2√3，
故选：A．
10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，下列四个结论：①
△AEF∽△ACD；②BF=2EF；③DF=FC；④S :S =5:2．其中正确的结论有（ ）
四边形CDEF △ABFA．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】过点D作DM∥BE交AC于点N，交BC于点M，①根据矩形的性质可得∠ADC=90°，结合
BE⊥AC，即可得到△AEF∽△ACD；②根据E是AD边的中点，AD∥BC，得到△AEF∽△ABF，根
1
据相似三角形的性质即可判断；③证明四边形BMDE是平行四边形，得到BM=DE= BC，推出
2
BM=CM，CN=NF，根据线段垂直平分线的性质即可判断；④根据△AEF∽△ABF得到EF与BF的比
1 1
值，以及AF与AC的比值，据此求出S = S ，S = S ，可得
△AEF 2 △ABF △ABF 6 矩 形ABCD
5
S ❑ =S −S = S ❑ ，即可判断．
四边形 CDEF △ACD △AEF 12 矩形 CDEF
【详解】解：如图，过点D作DM∥BE交AC于点N，交BC于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BAD=∠ADC=90°，AD∥BC，AD=BC，
∵ BE⊥AC，
∴ ∠AFE=90°=∠ADC，
∵ ∠FAE=∠DAC，
∴ △AEF∽△ACD，故①正确；
∵ E是AD边的中点，AD=BC，
1 1
∴ AE= AD= BC，
2 2
∵ AD∥BC，
∴ △AEF∽△CBF，
1
BC
∴ EF AE 2 1，
= = =
BF BC BC 2
∴ BF=2EF，故②正确；∵ DM∥BE，AD∥BC，
∴四边形BMDE是平行四边形，
1
∴ BM=DE= BC，
2
∴ BM=CM，CN=NF，
∵ BE⊥AC，DM∥BE，
∴ DN⊥CF，
∴ DN垂直平分CF，
∴ DF=DC，故③不正确；
∵ △AEF∽△CBF，
EF AE AF 1
∴ = = = ，
BF BC CF 2
∴ CF=
2
AC，AF=
1
AC，
S
△AEF =
(EF) 2
=
1
，即S =
1
S ，
3 3 S ❑ BF 4 △AEF 4 △CBF
△ CBF
又∵ BE⊥AC，
2 2 1 1 1 1 1 1
∴ S = S = × S = S ，S = S = × S = S ，
△CBF 3 △ABC 3 2 矩 形ABC3D 矩 形ABCD△ABF 3 △ABC 3 2 矩 形ABC6D 矩 形ABCD
1 1 1 1
∴ S = S = × S = S ，
△AEF 4 △CBF 4 3 矩 形ABC1D2 矩 形ABCD
1 1 5
∵ S ❑ =S −S = S ❑ − S ❑ = S ❑ ，
四边形 CDEF △ACD △AEF 2 矩形 CDEF 12 矩形 CDEF 12 矩形 CDEF
∴ S :S =5:2，故④正确；
四 边 形CDE△FABF
故选：B．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的判定
与性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用相关知识是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．因式分解2x2−8 y2= ．
【答案】2(x+2y)(x−2y)
【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完
全平方公式法，十字相乘法等．
先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：2x2−8 y2
=2(x2−4 y2)
=2(x+2y)(x−2y)．
故答案为：2(x+2y)(x−2y)．
12．世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多倍，它是被命名为H39的原生动物，它的最长直径也不过才
0.0000003米．其中数据0.0000003用科学记数法表示为 ．
【答案】3×10−7
【分析】本题主要考查科学记数法，掌握形式为a×10−n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数是关键．科
学记数法的表示形式为a×10−n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．
【详解】解：0.0000003=3×10−7．
故答案为：3×10−7．
√1
13．在一个不透明的袋中装有5个相同的小球，分别写有√0.2， ，√6，√10，√27，随机摸出一个小
3
球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是 ．
2
【答案】 /0.4
5
【分析】此题考查了简单概率的计算．熟练掌握概率的意义和计算方法是解题的关键．概率是随机事件发
生可能性大小的数值，计算方法是在n次等可能结果的一次试验中事件A包含其中的m种结果，A事件发
m
生的概率为P = ．
(A) n
在5个二次根式中，√6，√10是最简二次根式，再由概率公式求解即可．
√1
【详解】解：在√0.2， ，√6，√10，√27这5个二次根式中，√6，√10是最简二次根式，有2个，
3
2
∴随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是2÷5= ，
5
2
故答案为： ．
514．如图，AB是⊙O的弦，BC是过B点的直线，∠AOB=130°，当∠ABC= 时，BC是⊙O
切线．
【答案】65°
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的判定定理，根据等腰三角形的性质和三
角形内角和定理求得∠ABO=25°，再根据切线的判定定理可得当OB⊥BC时，∠ABC=65°，即可求
解．
【详解】解：∵∠AOB=130°，AO=BO，
180°−130°
∴∠ABO= =25°，
2
∴当OB⊥BC时，∠ABC=90°−25°=65°，
∴当∠ABC=65°时，BC是⊙O切线，
故答案为：65°．
15．如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AD的中点，点F是AB边上的动点．当点F运动到AB边的中
点时，△AEF的面积为 ；当△AEF的面积为2时，图中阴影部分的面积为 ．
【答案】 3 8
【分析】本题考查菱形的性质，三角形中线的性质，当点F运动到AB边的中点时，连接AC、DB，根据
1
菱形的性质得S = S =12，再根据三角形中线平分三角形的面积可得结论；当△AEF的面积为
△ABD 2 菱 形ABCD
1 1
2时，连接AC、DF、DB，根据菱形的性质得S = S =12，S = S =12，根据三
△ACD 2 菱 形ABCD △ABD 2 菱 形ABCD1
角形的中线的性质得S = S =6，S =2S =4，继而得到S =S =8，再代入
△CDE 2 △ACD △ADF △AEF △BCF △BDF
S =S −S −S −S 计算即可．解题的关键是掌握：三角形中线平分三角形的面积．
阴影 菱 形ABCD△CDE △AEF △BCF
【详解】解：当点F运动到AB边的中点时，
连接AC、DB，
∵菱形ABCD的面积为24，
1 1
∴S = S = ×24=12，
△ABD 2 菱 形ABC2D
∵点F是AB边中点，
1 1
∴S = S = ×12=6，
△ADF 2 △ABD 2
∵点E是AD边中点，
1 1
∴S = S = ×6=3；
△AEF 2 △ADF 2
当△AEF的面积为2时，
连接AC、DF、DB，
∵菱形ABCD的面积为24，
1 1 1 1
∴S = S = ×24=12，S = S = ×24=12，
△ACD 2 菱 形ABC2D △ABD 2 菱 形ABC2D
∵点E是AD边中点，
1 1
∴S = S = ×12=6，
△CDE 2 △ACD 2
∵△AEF的面积为2，
∴S =2S =2×2=4，
△ADF △AEF
∴S =S −S =12−4=8，
△BDF △ABD △ADF
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，
∴△BDF和△BCF的底相同，高相等，∴S =S =8，
△BCF △BDF
∴S =S −S −S −S =24−6−2−8=8；
阴影 菱 形ABCD△CDE △AEF △BCF
故答案为：3；8．
16．已知△ABC，AB=AC，AD⊥BC，点F在AC上，作EF⊥AB于E，交BC延长线于G，连接ED，
∠GFC=2∠EDA，DH=CG=2，则AF的长为 ．
4 4√5
【答案】 √5/
3 3
【分析】可证得A、E、D、G四点共圆，推出∠2=∠3，推出AF=FG，证得△AFH≌△GFC，得到
HF=FC，AH=CG=2，再证得△ACD≌△GHD，从而得到AH=CG=CD=DH=2，利用三角形中
2
位线定理以及△HFC∽△GFA，可推出AF= AC，利用勾股定理求得AC的长，即可求解．
3
【详解】解：连接HC，AG，如图：
∵AD⊥BC，EF⊥AB，
∴∠AEG=∠ADG=90°，
∴A、E、D、G四点共圆，
∴∠1=∠2，
∵∠GFC=2∠1
∴∠GFC=2∠2，
又∵∠GFC=∠2+∠3，
∴∠2=∠3，
∴AF=FG，∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠4=∠5，
∵∠4+∠B=90°，∠6+∠B=90°，
∴∠4=∠5=∠6，
在△AFH和△GFC中，
¿，
∴△AFH≌△GFC(ASA)，
∴HF=FC，AH=CG=2，
∵AF=FG，
∴AF+FC=FG+HF，
∴AC=GH，
在△ACD和△GHD中，
¿，
∴△ACD≌△GHD(AAS)，
∴CD=DH=2，
∴AH=CG=CD=DH=2，
∴点H为AD中点，点C为DG中点，
1
∴HC= AG，HC∥AG，
2
∴△HFC∽△GFA，
FC CH 1
∴ = = ，
AF AG 2
∴AF=2FC，
2
∴AF= AC，
3
在Rt△ACD中，AD=AH+DH=4，DC=2，∴AC=√AD2+DC2=√42+22=2√5，
2 2 4
∴AF= AC= ×2√5= √5．
3 3 3
4
故答案为： √5．
3
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，
四点共圆的知识，作出常用辅助线，利用四点共圆的知识证得∠2=∠3是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
( 1) −2
17．（8分）计算：√4⋅cos30°−|1−√3|+ − ．
2
【答案】5
【分析】本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值等知识点，先根据算术平方根、特殊角的三角
函数值、绝对值、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可，熟练掌握各运算法则是解决此题的关键．
( 1) −2
【详解】√4⋅cos30°−|1−√3|+ −
2
√3
=2× −(√3−1)+4
2
＝√3−√3+1+4
=5．
18．（8分）解方程：
(1)2x－3（2x－3）＝x＋4；
(2)x2−6x−4=0．
【答案】(1)x＝1；
(2)x =3+√13，x =3−√13
1 2
【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：2x－3（2x－3）＝x＋4
去括号，可得：2x﹣6x+9＝x+4，
移项，可得：2x﹣6x﹣x＝4﹣9，
合并同类项，可得：﹣5x＝﹣5，
系数化为1，可得：x＝1（2）解：x2−6x−4=0
x2−6x=4
x2−6x+9=4+9
(x−3) 2=13
x−3=±√13
∴x =3+√13，x =3−√13
1 2
【点睛】本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键．
19．（8分）勤劳是中华民族的传统美德，学校要求学生们在家帮助父母做一些力所能及的家务．在学期
初，小丽同学随机调查了九年级部分同学暑假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学暑假在家做家务
的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：A(0≤x<10)，B(10≤x<20)，C(20≤x<30)，
D(30≤x<40)，E(x≥40)．并将调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次抽样调查所抽取的样本容量为________；并根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图．
(2)扇形统计图中m=_______，类别D所对应的扇形圆心角的度数是_______度．
(3)若该校九年级共有800名学生，根据抽样调查的结果，试估计该校九年级有多少名学生暑假在家做家务
的总时间不低于20小时?
【答案】(1)50，图见解析
(2)32，57.6
(3)448名
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运
用是解此题的关键．（1）用A类的人数除以所占百分比即可求出本次抽样调查所抽取的样本容量，求出D类的人数，再补全条
形统计图即可；
（2）用C类的人数除以总人数即可得出m的值，用360°乘以D类所占的百分比即可得解；
（3）由样本估计总体的方法计算即可得解．
【详解】（1）解：本次抽样调查所抽取的样本容量为10÷20%=50（人），
D类的人数是50−10−12−16−4=8（人），
补全条形统计图如图：
；
（2）解：m%=16÷50×100%=32%，
故m=32，
8
类别D所对应的扇形圆心角的度数是：360°× =57.6°
50
16+8+4
（3）解：800× =448（人）
50
答：估计该校九年级有448名学生暑假在家做家务的总时间不低于20小时．
20．（8分）国庆节期间，张华与李明相约攀登梵净山附近的一座小山．如图，已知山高534m（即图中
DF=534m且∠AFD=90°），他们先由山脚A处步行300m到达山腰B处，此后坡度变陡，他们放慢速度
再由B处到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，山坡AB的坡度i=1:√3，山坡BD与水
平线的夹角为53°．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
(1)求B，D两地的垂直高度DE；
(2)若他们攀登第一段斜坡AB时的速度为30m/min，攀登第二段斜坡BD的速度为16m/min，求他们从山脚A处到达山顶D处需要多少分钟．
【答案】(1)384m
(2)40
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数解直角三角形是解题的关键．
（1）过点B作BC⊥AE，利用含30°角的直角三角形的性质进行计算即可；
（2）求出BD的长，再求出AB、BD所用时间和即可得到答案．
【详解】（1）解：过点B作BC⊥AE，
则四边形BEFC是矩形，
由山底A处先步行300m到达B处，山坡AB的坡度i=1:√3，DF=534m，
∴∠A=30°,AB=300，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
1
∴EF=BC= AB=150m，
2
∴DE=DF−EF=384m，
答：B，D两地的垂直高度为384m；
（2）解：在Rt△BDE中，∠DEB=90°,∠DBE=53°,DE=384，
DE 384
∴BD= = =480m，
sin53° 0.8
300 480
∴ + =40，
30 16
答：他们从山脚A处到达山顶D处需要40分钟．
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AB>AD．(1)请用直尺(不带刻度)和圆规作图．要求：保留作图痕迹，不写作法．
①在AB上取一点E，使∠ADE=∠AED；
②作∠BCD的平分线交AB于点F；
(2)在(1)所作的图形中，DE交CF于点P，连接DF．若DF⊥AB，且AB=6,BC=5，求PE的长．(如需
画草图，请使用备用图)
【答案】(1)见解析
4
(2) √10
5
【分析】本题考查了作角平分线，作线段，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定；
（1）根据作线段以及作角平分线的方法按照题意作图，即可求解；
DP CD 3
（2）证明△CPD∽△FPE，根据相似三角形的性质得出 = = ，进而设DP=3m，则PE=2m，
PE EF 2
2
证明△FEP∽△≝¿得出m= √10，即可求解．
5
【详解】（1）解：如图所示，
（2）在▱ABCD中，AB∥CD，
∴∠DCF=∠BFC．又CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠BCF=∠BFC，
∴BC=BF．又∠ADE=∠AED，
∴AD=AE．
∴EF=5+5−6=4．
∵ AB∥CD，
∴△CPD∽△FPE，
DP CD 6 3
∴ = = =
PE EF 4 2设DP=3m，则PE=2m．
∵ AD=AE
∴ ∠AED=∠ADE
又∠CDE=∠AED
∴ ∠CDE=∠ADE，即DE平分∠ADC
∵DE、CF分别是角平分线，
∴∠FPE=90°，又DF⊥AB，
∴△FEP∽△≝¿，
∴ EF2=PE×DE，
即42=2m×5m，
2 4
故m= √10，则PE=2m= √10．
5 5
22．（10分）甲、乙两地相距300km，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的
速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离y(km)与货
车行驶时间x(h)之间的关系如图所示．
(1)轿车平均速度是 km/h，货车的平均速度是 km/h；
(2)求直线AB的函数表达式；
(3)货车出发多长时间后，两车相距280km？
【答案】(1)60km/h,40km/h
(2)y=40x(5≤x≤7.5)
(3)货车出发0.2h或7h后，两车相距280km【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度，时间，路程三者之间的数量关系和待定系数法求函数关系
式是解题的关键．
（1）轿车和货车到达目的地分别用时5h和7.5h，分别根据“速度=路程÷时间”计算即可；
（2）由图象可知，当轿车到达终点时，货车离终点还有7.5−5=2.5(h)的路程，根据“路程=时间×速度”
计算即可；
（3）根据题意两车相距280km，可分两种情况讨论，相遇前和相遇后，利用待定系数法求出当0≤x≤3时
关于y的函数关系式，将y=280代入关系式，求出相应x的值是相遇前两车相距280km时的时间，两车相
遇后，由（2）得：轿车到达终点时，货车离终点的距离为100km；当x=5时，两车相距200km，可得方
程(x−5)×40=280−200，解方程即可得到相遇后两车两车相距280km时的时间，从而得到答案．
【详解】（1）解：∵轿车和货车到达目的地分别用时5h和7.5h，
∴300÷5=60(km/h)，300÷7.5=40(km/h)，
∴轿车和货车的平均速度分别为60km/h,40km/h；
（2）解：当x=5时，两车相距200km，
∴A(5,200)，
又B(7.5,300)，
设AB的解析式为y=kx+b(5≤x≤7.5)，则：
¿，
解得，¿，
∴AB的解析式为y=40x(5≤x≤7.5)
（3）解：两车相遇前，即0≤x≤3时，设y与x的函数关系式为：y=k x+b ，
1 1
将(0,300)和(3,0)代入得：
¿，
解得：¿，
∴y=−100x+300，
当y=280时，即280=−100x+300，
解得：x=0.2；
两车相遇后，轿车到达终点时，货车离终点的距离为100km；
∴当x=5时，两车相距200km，
∴(x−5)×40=280−200，
解得：x=7，
∴货车出发0.2h或7h后，两车相距280km．23．（10分）已知二次函数y=2x2+mx+n．
(1)若二次函数的图象经过A(−1，0)，B(2，−6)两点，求此二次函数的解析式；
(2)若二次函数y=2x2+mx+n的顶点在x轴上时，求m+n的最小值；
(3)在（1）的条件下，直线l经过P(−6,−8)，Q(2,t)两点，且在0≤x≤4时，直线l与y=2x2+mx+n的
图象只有一个交点，求t的取值范围．
【答案】(1)y=2x2−4x−6
(2)−2
16 32
(3)− <t≤ 或t=−8
3 5
【分析】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，直线与抛物线的交点．
（1）根据待定系数法求解即可；
1 1 1
（2）根据二次函数的y=2x2+mx+n的顶点在x轴上得到n= m2 ，从而m+n=m+ m2= (m+4) 2−2，
8 8 8
根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据题意求出由直线l与函数y=2x2−4x−6的图象在点(0,−6)和(4,10)之间（包含这两个端点）
有一个交点，作出图象，分别求出直线l过点(0,−6)或(4,10)时t的值，或者直线l过二次函数图象顶点时
t的值，即可解答．
【详解】（1）解：∵二次函数y=2x2+mx+n的图象经过A(−1，0)，B(2，−6)两点，
∴¿，解得¿，
∴该二次函数的解析式为y=2x2−4x−6．
( m 4×2n−m2 ) ( m 8n−m2 )
（2）解：二次函数y=2x2+mx+n的顶点为 − , ，即 − , ，
2×2 4×2 4 8
∵该顶点在x轴上，
8n−m2
∴ =0，
8
1
∴n= m2 ，
8
1 1
∴m+n=m+ m2= (m+4) 2−2，
8 8
1
∵ >0，
8
∴当m=−4时，m+n有最小值−2．（3）解：由（1）得，y=2x2−4x−6，
∵0≤x≤4，
当x=0时，y=−6，
当x=4时，y=2×42−4×4−6=10，
∴函数y=2x2−4x−6的图象在点(0,−6)和(4,10)之间（包含这两个端点），
设直线l的解析式为y=kx+b，
当直线l经过点(0,−6)时，
把点P(−6,−8)，(0,−6)代入函数y=kx+b，
∴¿，解得¿，
1
∴直线l的解析式为y= x−6，
3
∵点Q(2,t)在直线l上，
2 14
∴t= ×2−6=− ；
3 3
当直线l经过点(4,10)时，把点P(−6,−8)，(4,10)代入函数y=kx+b，
∴¿，解得¿，
9 14
∴直线l的解析式为y= x+ ，
5 5
∵点Q(2,t)在直线l上，
9 14 32
∴t= ×2+ = ；
5 5 5
当直线l经过点二次函数y=2x2−4x−6图象的顶点(1,−8)时，
∵直线l过点P(−6,−8)，
∴直线l⊥y轴，
∴t=−8；
14 32
综上所述，直线l与y=2x2+mx+n的图象只有一个交点，求t的取值范围为− <t≤ 或t=−8．
3 5
24．（12分）如图，⊙O为等边三角形ABC的外接圆，半径为4，点D在劣弧AB上运动（不与点A、B重合），连接DA、DB、DC．
(1)求AB的长；
(2)求证：DC是∠ADB的平分线；
(3)当∠ACD=45°时，求CD的长；
(4)若点M、N分别在线段CA、CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，
△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，则所有t值中的最大值为______．
【答案】(1)AB=4√3
(2)见解析
(3)2√6+2√2
(4)8√3
【分析】（1）连接AO并延长，交BC于点G，连接OB，易得AG⊥BC，设AB=a，三线合一求出AG
的长，进而表示出OG的长，再在Rt△OGB中，利用勾股定理进行求解即可；
（2）根据等边三角形的性质，圆周角定理，得到∠ADC=∠BDC=60°，即可得证；
（3）过点A作AH⊥CD，解非直角三角形ADC，求出CD得长即可；
（4）作点D关于AC的对称点E，关于BC的对称点F，连接ME,NF,EF,CE,CF，易得
CE=CF=CD,∠ECF=120°，得到△DMN的周长DM+DN+MN=ME+MF+MN≥EF，过点C作
CP⊥EF，得到EF=2EP=√3CD，进而得到当CD最大时，EF的长最大，即可得出结果．
【详解】（1）解：连接AO并延长，交BC于点G，连接OB，∵⊙O为等边三角形ABC的外接圆，半径为4，
∴AG⊥BC,OB=OA=4,AB=BC=AC，
1 1
∴BG= BC= AB，
2 2
1 √3
设AB=BC=a，则：BG= a，AG=√3BG= a，
2 2
√3
∴OG=AG−OA= a−4，
2
在Rt△BOG中，由勾股定理，得：42= (a) 2 + (√3a −4 ) 2 ，
2 2
解得：a=4√3或a=0（舍去）；
∴AB=4√3；
（2）∵等边三角形ABC，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∵∠ADC=∠ABC,∠BDC=∠BAC，
∴∠ADC=∠BDC=60°，
∴DC是∠ADB的平分线；
（3）过点A作AH⊥CD，
由（1）可知：AC=AB=4√3，
∵∠ACD=45°，
∴△AHC为等腰直角三角形，
√2
∴CH=AH= AC=2√6，
2
由（2）知：∠ADC=60°，
∴AH=√3DH=2√6，
∴DH=2√2，∴CD=CH+DH=2√6+2√2；
（4）作点D关于AC的对称点E，关于BC的对称点F，连接ME,NF,EF,CE,CF，
则：DM=ME,DN=NF,CD=CE=CF，∠ACE=∠ACD,∠BCD=∠BCF，
∴∠ACE+∠ACD+∠BCD+∠BCF=2∠ACB=120°，即：∠ECF=120°，
∵△DMN的周长DM+DN+MN=ME+MF+MN≥EF，
∴当E,M,N,F四点共线时，△DMN的周长最小，t=EF，
∴当EF最大时，t最大，
过点C作CP⊥EF，
∵CE=CF，∠ECF=120°，
∴EF=2EP，∠FEC=∠EFC=30°，
√3 √3
∴EP=CE⋅cos30°= CE= CD，
2 2
∴EF=2EP=√3CD，
∴当CD最大时，EF最大，
∵CD是⊙O的一条弦，
∴当CD为直径时，CD最大，为8，
∴EF的最大值为8√3，即：t的最大值为8√3；
故答案为：8√3．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，圆周角定理，三角形的外接圆，解直角三角形，等腰三角形的判定
和性质，利用轴对称解决线段最短问题，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关
键．
