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2025 年中考第一次模拟考试（浙江卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．|−2025|的相反数是（ ）
1 1
A．2025 B．−2025 C． D．−
2025 2025
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值的意义，相反数的定义，由绝对值的意义可得|−2025|=2025，再根据相反数
的定义即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵|−2025|=2025，
∴|−2025|的相反数是−2025，
故选：B．
2．2024年春运嘉兴南站旅客发送量约121万人次．数据121万用科学记数法表示为（ ）
A．1.21×106 B．12.1×106 C．1.21×105 D．1.21×102
【答案】A
【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的a、n
值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．科学记数法的形式是a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，n取
决于原数小数点的移动位数与移动方向，据此解答即可．
【详解】解：121万=1210000=1.21×106，
故选：A．
3．下列各式正确的是（ ）
A．x2+x2=x4 B．x6÷x−2=x4
C．x2 ⋅x3=x5 D．(x3) 2 =x9
【答案】C
【分析】本题考查了负整数指数幂，合并同类项，同底数幂的除法和幂的乘方运算．分别利用负整数指数
幂，合并同类项，同底数幂的除法和幂的乘方运算化简，进而判断得出答案．【详解】解：A、x2+x2=2x2≠x4，故本选项不符合题意；
B、x6÷x−2=x8≠x4，故本选项不符合题意；
C、x2 ⋅x3=x5，故本选项符合题意；
D、(x3) 2 =x6≠x9，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．若a−b，则3−a>3−b，则此项错误，符合题意；
C、由a0，所以由ay >y ，②错误；
2 3 1
当m=1时，函数解析式为：y=−x2+2x+2，故A(0,2),C(2,2),B(1,3)
作B关于y轴对称点N，作C关于x轴对称点M，则N(−1,3),M(2,−2)连接MN，则MN为BE,DE,CD
和的最小值，四边形BCDE周长最小值为MN与BC的和，则有：
BC=√(1−2) 2+(3−2) 2=√2,MN=√(−1−2) 2+(3+2) 2=√34
∴当m=1时，四边形BCDE周长的最小值为√34+√2，④正确；
正确的有：①③④，
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．因式分解：x y2−4x= ．
【答案】x(y+2)(y−2)
【分析】本题考查了分解因式，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公
因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
本题先提取公因式x后，继续应用平方差公式分解即可．
【详解】解：x y2−4x=x(y2−4)=x(y+2)(y−2)，
故答案为：x(y+2)(y−2)．
12．经过路口的汽车，可能直行，也可能左拐右拐，假设这三种可能性相同，现有三辆汽车经过该路口，
则三辆车恰好走相同方向的概率是 ．
1
【答案】
9
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及恰好有一车直行，
另一车左拐的结果数，再利用概率公式可得出答案，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题
的关键．
【详解】解：画树状图如下：
共有27种等可能的结果，其中三辆车恰好走相同方向的结果有3种，
1
∴三辆车恰好走相同方向的概率为 ．
9
1
故答案为： ．
9
13．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且AB+BD=AC，当∠BAD=57°时，∠C= °．
【答案】22
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，以及三角形的外角等于不相邻的
两个内角之和．作出辅助线是解答本题的关键．先在AC上截取AE=AB，连接DE．求出∠BAD=∠DAE=57°, ∠BAC=2∠BAD=114°，证明
△ABD≌△AED(SAS)，进一步得到∠C=∠EDC，则∠B=∠AED=2∠C，即∠B:∠C=2:1，再由
三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解：在AC上截取AE=AB，连接DE
∵AD平分∠BAC，∠BAD=57°，
∴∠BAD=∠DAE=57°, ∠BAC=2∠BAD=114°
∵AD=AD
∴△ABD≌△AED(SAS)，
∴∠B=∠AED,BD=DE
又∵AB+BD=AC，AE+CE=AC
∴CE=BD=DE
∴∠C=∠EDC，
∴∠B=∠AED=2∠C
∴∠B:∠C=2:1，
∵∠B+∠C=180°−114°=66°，
∴∠B=44°，∠C=22°，
故答案为：22.
14．如图，琳琳和华华相约周末到家乡美食小镇游玩，两人同时分别到达小吃摊位A和D，并约在出口C
会合，琳琳从A经过B摊位，最后到达出口C，华华从D摊位直接前往出口C，速度与琳琳从B到C的速度
相同，两人在每两个地点间均匀速前进，各点间距如图所示．若琳琳从A到B的速度比从B到C的速度慢
10m/min，且从A到B的时间为从B到C时间的一半，则 （填“琳琳”或“华华”）先到达出口
C．
【答案】琳琳【分析】本题主要考查分式方程的应用，正确找到等量关系列出方程是解答本题的关键．
设琳琳从A到B的速度为xm/min，则从B到C的速度为(x+10)m/min，根据从A到B的时间为从B到C时
间的一半可列分式方程，求出x的值，再分别计算出琳琳和华华到达出口C的时间进行比较即可得出答案．
【详解】解：设琳琳从A到B的速度为xm/min，根据题意得：
100 240 1
= × ，
x x+10 2
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，
∴x+10=50+10=60，
100 240
琳琳所用的时间为： + =2+4=6(min)，
50 60
720
华华所用的时间为： =12(min)，
60
∵6min<12min，
∴琳琳先到达出口C，
故答案为：琳琳．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过A(3,0)、B(0,4)，⊙O的半径为2，（O为坐标原点)，
点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为 ．
2√11 2
【答案】 / √11
5 5
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解题的关键；连接OP、
OQ，由PQ是⊙O的切线，得OQ⊥PQ，再由勾股定理得PQ2=OP2−OQ²，则当PO⊥AB时，线段
PQ最短，最后再由勾股定理即可求解；
【详解】解：连接OP、OQ，∵ A(3,0) B(0,4)
、 ，
∴OA=3，OB=4，
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，
∴∠OQP=90°，
由勾股定理知：PQ2=OP2−OQ²，
∴当PO⊥AB时，OP最小，则线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA=3,OB=4，
∴AB=√OA2+OB2=√32+42=5，
OA·OB 3×4 12
∴OP= = = ，
AB 5 5
∴PQ最小=√OP²−OQ2=
√ (12) 2
−22=
2√11
，
5 5
2√11
故答案为：
5
16．如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长
线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．给出以下结论：
①矩形DEFG是正方形； ②CE=√2CF；③CG平分∠DCF； ④CG=CE+√2CF．其中正确的序号为
．
【答案】①③④
【分析】过点E作EM⊥BC于点M，作EN⊥CD于点N，根据正方形对角线性质和角平分线性质得到EM=EN，结合矩形性质推出， ∠DEN=∠MEF，得到△DEN≌△FEM(ASA)， 得到ED=EF，即
可判断①；根据CE=√2CM，判断②；根据正方形性质得到DE=DG， ∠ADE=∠CDG， AD=CD，
得到△ADE≌△CDG(SAS)，得到∠DAE=∠DCG=45°，得到∠FCG=∠DCG=45°，CG平分
∠DCF，判断③；过点F作FH⊥CF交CG于点H，可得CF=FH，CH=√2CF，得到
CG=GH+√2CF，根据FE=FG， ∠HFG=∠CFE，得到△FCE≌△FHG(SAS)，得到CE=GH，即
得CG=CE+√2CF，判断④．
【详解】解：过点E作EM⊥BC于点M，作EN⊥CD于点N，如图所示，
则∠EMC=∠ENC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=∠ACB=45°，
∴EM=EN，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠≝=90°，
∴∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°，
∴∠DEN=∠MEF，
∴△DEN≌△FEM(ASA)，
∴ED=EF，
∴矩形DEFG是正方形，
故①正确；
∵CE=√2CM，
当CM=CF时，CE=√2CF，
故②不正确；
∵∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDG=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
∵AD=CD，DE=DG，
∴△ADE≌△CDG(SAS)，
∴∠DAE=∠DCG=45°，
∴∠FCG=90°−∠DCG=45°，
∴∠FCG=∠DCG=45°，
∴CG平分∠DCF，故③正确；
过点F作FH⊥CF交CG于点H，
则∠CFH=90°，
∴∠CHF=90°−∠FCH=45°，
∴CF=FH，
∴CH=√2CF，
∴CG=GH+CH=GH+√2CF，
∵FE=FG，∠HFG+∠EFH=∠CFE+∠EFH=90°，
∴∠HFG=∠CFE，
∴△FCE≌△FHG(SAS)，
∴CE=GH，
∴CG=CE+√2CF，
故④正确．
综上可知①③④正确．
故答案为：①③④，
【点睛】本题主要考查了正方形和全等三角形．熟练掌握正方形的判定和性质，角平分线性质，矩形性质，
等腰直角三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算：
(1) 0
+√327−√3+|2−√3|
2
（2）解方程组：¿．
【答案】（1）6−2√3；（2）¿
【分析】本题考查了实数的混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握实数的混合运算及二元一次方程组的
解法是解题的关键．
（1）先计算零指数幂，立方根，绝对值化简，再计算求和，即得答案；
（2）用加减消元法求解，即得答案．【详解】解：(1)
(1) 0
+√327−√3+|2−√3|
2
=1+3−√3+2−√3
=6−2√3；
(2)由①×2+②，得：7x=7，
解得：x=1，
把x=1代入①，得：2×1−y=4，
解得：y=−2，
∴该方程组的解为¿．
18．（8分）如图， 在平行四边形ABCD中， AB0)上，其中m≠0．
(1)当m=4，n=0时．求抛物线的对称轴；
(2)已知当00)，求出a、b的关系式，根据对称轴公式，即可求解，
（2）①方法一：求出抛物线与x轴交点，根据b的符号分类讨论，即可求解，方法二：将(m,n)代入，
b
y=ax2+bx(a>0)，根据00)上，
∴16a+4b=0，
∴b=−4a，b −4a
∴ = =2，
−2a −2a
∴抛物线的对称轴为直线x=2；
（2）解：①方法一：
令y=0，则ax2+bx=0(a>0)，
b
解得：x=0或x=− ，
a
( b )
∴抛物线y=ax2+bx(a>0)与x轴交于点(0,0)， − ,0 ，
a
∵a>0，
∴抛物线开口向上，
b
（i）当b<0时，− >0，
a
b b
∴当0− 时，y>0，
a a
∵当00，
∴4a+b≤0，
b
（ii）当b>0时，− <0，
a
b b
∴当− 0时，y>0，
a a
∴当00，不符合题意，
综上，4a+b≤0，
方法二：
∴由题意可知，am2+bm=n．
若n<0，则am2+bm=m(am+b)<0．
∵m>0，
∴am+b<0．
∵a>0，b
∴m<− ．
a
b
∴当00，
∴4a+b≤0，
②存在，
b
设抛物线的对称轴为x=t，则t=− ，
2a
∵a>0，
∴当x≥t时，y随x的增大而增大；当x≤t时，y随x的增大而减小，
∵1t，t−k=x −t，
0 0
∴x =2t−k，
0
∵1y ，不符合题意，
1 2
（v）当t≥6时，
∵k<3ky ，不符合题意，
1 2
b
∴当t≤2，即− ≤2时，符合题意，
2a
∵a>0，
∴4a+b≥0，
由（1）可得4a+b≤0，
∴4a+b=0．
24．（12分）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC．D为A´C上一点，连结BD交AC于点E，连结
AD并延长交BC延长线于点F．
(1)求证：△CDF∽△ABF．
(2)若BD⊥AC．
①求证：∠BAC=2∠CAF．
AB √10 S
②当 = 时，求 △CDF 的值．
BC 2 S
△ABF
【答案】(1)见解析1
(2)①见解析；②
9
【分析】（1）根据∠BAD+∠BCD=180°，∠BCD+∠FCD=180°，得 ∠BAD=∠FCD，结合
∠F=∠F，得△CDF∽△ABF；
（2）①过点A作AG⊥BC于G，根据等腰三角形性质得∠ABC=2∠CAG，根据BD⊥AC，得
∠CAG=∠CBE，结合∠CAD=∠CBD，∴得∠BAC=2∠CAF；②延长AG交⊙O于点H，连接BH，
BH AB
由垂径定理推论知AG过点O，得∠ABH=∠AGB=90°，可得△AHB∽△ABG，得 = ，根据
BG AG
AB
=
√10
，得 AB=√10BG，AG=3BG，得CD=BH=
√10
BG，即得
S
△CDF =
(CD) 2
=
1
．
BC 2 3 S AB 9
△ABF
【详解】（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠FCD=180°，
∴∠BAD=∠FCD，
∵∠F=∠F，
∴△CDF∽△ABF；
（2）解：①过点A作AG⊥BC于G，则∠AGC=90°，
∴∠ACG+∠CAG=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=2∠CAG，
∵BD⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠CAG=∠CBE，
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠BAC=2∠CAF；②延长AG交⊙O于点H，连接BH，
由①知，AG⊥BC，BG=CG，
∴AG过点O，
∴∠ABH=∠AGB=90°，
∵∠BAH=∠GAB，
∴△AHB∽△ABG，
BH AB
∴ = ，
BG AG
AB √10
∵ = ，
BC 2
AB
∴ =√10, AB=√10BG，
BG
∴AG=√AB2−BG2=3BG，
√10
∴BH= BG，
3
∵∠BAH=∠CAH=∠CBD=∠CAD，
√10
∴CD=BH= BG，
3
由（1）知，△CDF∽△ABF，
2
√10
( )
BG
∴S
△CDF =
(CD) 2
=
3
=
1．
S AB √10BG 9
△ABF
【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理及其推论，相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定
理等．等腰三角形性质，熟练掌握各定理及其性质是解决本题的关键．
