2025 年中考第一次模拟考试（浙江卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．|−2025|的相反数是（ ）
1 1
A．2025 B．−2025 C． D．−
2025 2025
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值的意义，相反数的定义，由绝对值的意义可得|−2025|=2025，再根据相反数
的定义即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵|−2025|=2025，
∴|−2025|的相反数是−2025，
故选：B．
2．2024年春运嘉兴南站旅客发送量约121万人次．数据121万用科学记数法表示为（ ）
A．1.21×106 B．12.1×106 C．1.21×105 D．1.21×102
【答案】A
【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的a、n
值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．科学记数法的形式是a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，n取
决于原数小数点的移动位数与移动方向，据此解答即可．
【详解】解：121万=1210000=1.21×106，
故选：A．
3．下列各式正确的是（ ）
A．x2+x2=x4 B．x6÷x−2=x4
C．x2 ⋅x3=x5 D．(x3) 2 =x9
【答案】C
【分析】本题考查了负整数指数幂，合并同类项，同底数幂的除法和幂的乘方运算．分别利用负整数指数
幂，合并同类项，同底数幂的除法和幂的乘方运算化简，进而判断得出答案．【详解】解：A、x2+x2=2x2≠x4，故本选项不符合题意；
B、x6÷x−2=x8≠x4，故本选项不符合题意；
C、x2 ⋅x3=x5，故本选项符合题意；
D、(x3) 2 =x6≠x9，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．若a<b，则下列结论错误的是（ ）
a b
A．a+2<b+2 B．3−a<3−b C．4a<4b D． <
k2+1 k2+1
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向
不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除
以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断
即可得．
【详解】解：A、由a<b可得a+2<b+2，则此项正确，不符合题意；
B、由a<b可得−a>−b，则3−a>3−b，则此项错误，符合题意；
C、由a<b可得4a<4b，则此项正确，不符合题意；
a b
D、因为k2+1>0，所以由a<b可得 < ，则此项正确，不符合题意；
k2+1 k2+1
故选：B．
5．如图，在▱ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点E，∠ABC的角平分线BF交CD于点F．若
AB=11，AD=7，则EF的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关
键．先根据平行四边形的性质可得CD=AB=11,BC=AD=7，AB∥CD，根据平行线的性质可得
∠BAE=∠DEA,∠ABF=∠CFB，再根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE,∠ABF=∠CBF，从而可得∠DAE=∠DEA,∠CBF=∠CFB，然后根据等腰三角形的判定可得DE=AD=7,CF=BC=7，
最后根据线段和差求解即可得．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=11，AD=7，
∴CD=AB=11,BC=AD=7，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DEA,∠ABF=∠CFB，
∵AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，
∴∠BAE=∠DAE,∠ABF=∠CBF，
∴∠DAE=∠DEA,∠CBF=∠CFB，
∴DE=AD=7,CF=BC=7，
∴EF=DE+CF−CD=7+7−11=3，
故选：A．
6．某班开展以“提倡勤俭节约，反对铺张浪费”为主题教育活动．为了解学生每天使用零花钱的情况，
小明随机调查了10名同学，结果如下表：
每天使用零花钱（单位：元） 0 2 3 4 5
人数 1 2 4 1 2
关于这10名同学每天使用的零花钱，下列说法正确的是（ ）
A．平均数是2.5 B．中位数是3 C．众数是2 D．方差是4
【答案】B
【分析】本题考查了加权平均数、中位数、众数及方差，熟练掌握它们的计算公式是解题的关键；根据平
均数、中位数、众数、方差的定义和计算公式，分别进行计算即可得出正确答案．
【详解】解：解：∵一共有10人，
∴平均数为(0×1+2×2+3×4+4×1+5×2)÷10=3，故A选项错误，不符合题意；
∵最中间的数是第5个和第6个数的平均数，
∴中位数是；(3+3)÷2=3，
∴中位数为3元，故B选项正确，符合题意；
∵每天使用3元零花钱的有4人，最多，
∴众数为3元，故C选项错误，不符合题意；
(0−3) 2+(2−3) 2×2+(3−3) 2×4+(4−3) 2+(5−3) 2×2
方差为： = =2，故D选项错误，不符合题意．
10
故选：A．
7．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意为：孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12
个梨；每人分6个梨，恰好分完．设孩童有x人，则可列方程为（ ）
x+12 x x−12 x
A． = B． = C．4x−12=6x D．4x+12=6x
4 6 4 6
【答案】D
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意，找到等量关系是解题关键．
根据梨的总数不变列方程即可．
【详解】解：由题意可列方程4x+12=6x．
故选：D．
8．如图，已知△ABC中，∠B=70°，BC=6，以BC为直径作半圆（圆心为点O），分别交AB，AC于
点D，E．若D´E=B´D，则C´E的长为（ ）．
10π 5π 5π 5π
A． B． C． D．
3 3 6 2
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理、弧长公式、等边对等角，连接OD、OE，由等边对等角可得
∠ODB=∠B=70°，求出∠BOD=40°，再由圆周角定理可得∠BOD=∠DOE=40°，从而得出
∠COE=100°，再由弧长公式计算即可得解．
【详解】解：如图，连接OD、OE，
∵∠B=70°，OB=OD，
∴∠ODB=∠B=70°，
∴∠BOD=180°−∠ODB−∠B=40°，
∵D´E=B´D，
∴∠BOD=∠DOE=40°，∴∠COE=180°−∠BOD−∠DOE=100°，
∵BC=6，
∴BO=CO=3，
100×3π 5π
∴C´E的长为 = ，
180 3
故选：B．
9．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=6√2，点E是边BC上一动点，B关于AE的对称点为B′，过B′
作B′F⊥DC于F，连接DB′，若△DB′F为等腰直角三角形，则BE的长是（ ）
A．6 B．3 C．√2 D．6√2−6
【答案】D
【分析】过点B′作B′H⊥AD于点H，交BC于点M，易证得四边形DFB′H和四边形FCMB′是矩形，
进而可证得四边形DFB′H是正方形，设正方形DFB′H的边长为x，则可得AH=6√2−x，HB′=x，根
据轴对称的性质可得AB′=AB=6，B′E=BE，∠AB′E=∠B=90°，根据勾股定理可得
AB′2=AH2+HB′2，即62=(6√2−x) 2+x2，解方程即可求得正方形DFB′H的边长，于是可求得B′M，
AH AB′ AB 3√2 6
AH的长，进而可证得△B′HA∽△EMB′，于是可得 = = ，即 = ，据此即可求
B′M B′E BE 6−3√2 BE
得BE的长．
【详解】解：如图，过点B′作B′H⊥AD于点H，交BC于点M，
∴∠B′HA=∠B′HD=90°
，
∵△DB′F为等腰直角三角形，
∴∠B′FD=90°，FD=FB′，
∴∠B′FC=180°−∠B′FD=180°−90°=90°，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠FDH=90°，AD∥BC，AD=BC=6√2，CD=AB=6，
∴四边形DFB′H是矩形，∠B′MC=∠B′HA=90°，
∴四边形FCMB′是矩形，
∴FC=B′M，
又∵FD=FB′，
∴四边形DFB′H是正方形，
∴HB′=DH=DF=B′F，
设正方形DFB′H的边长为x，则：
AH=AD−DH=6√2−x，HB′=x，
∵B关于AE的对称点为B′，
∴根据轴对称的性质可得：AB′=AB=6，B′E=BE，∠AB′E=∠B=90°，
在Rt△AHB′中，根据勾股定理可得：
AB′2=AH2+HB′2，
即：62=(6√2−x) 2+x2，
解得：x=3√2，
∴B′M=FC=CD−DF=6−3√2，
AH=6√2−x=6√2−3√2=3√2，
∵AD∥BC，
∴∠EMB′=∠B′HD=90°，
∴∠B′HA=∠EMB′，
∵∠B′ AH+∠AB′H=90°，
∠EB′M+∠AB′H=180°−∠AB′E=180°−90°=90°，
∴∠B′ AH=∠EB′M，
∴△B′HA∽△EMB′，
AH AB′ AB
∴ = = ，
B′M B′E BE
3√2 6
∴ = ，
6−3√2 BE
∴BE=6√2−6，
故选：D．【点睛】本题主要考查了垂线的性质，利用邻补角互补求角度，矩形的判定与性质，两直线平行内错角相
等，正方形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，直接开平方法解一元二次方程，代数式求值，直角
三角形的两个锐角互余，等式的性质1，相似三角形的判定与性质，等式的性质2等知识点，熟练掌握相关
知识点并能加以综合运用是解题的关键．
10．如图，抛物线y=−x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点
为B．
①抛物线y=−x2+2x+m+1与直线y=m+2有且只有一个交点；
(1 )
②若点M(−2,y )、点N ,y 、点P(2,y )在该函数图象上，则y <y <y ；
1 2 2 3 1 2 3
③将抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y=−(x+1) 2+m；
④点A关于直线x=1的对称点为C，点D,E分别在x轴和y轴上，当m=1时，四边形BCDE周长的最小值
为√34+√2．
其中正确判断有（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，一次函数与二次函数图象的交点以及轴对称的性质，熟练
掌握二次函数图象的对称性，增减性，函数图象的交点问题与方程的根的关系，二次函数的平移规律，利
用轴对称性，求线段和的最小值，是解题的关键．
把二次函数的一般式转化为顶点式，即可发现函数图形与直线y=m+2相切于顶点，据此判定①，根据
“上加下减，左加右减”求出平移后的抛物线的解析式，可判定③，根据对称性质确定点P的对称点，再
根据二次函数的增减性质可判定②，求出m=1时的抛物线的解析式，作B关于y轴对称点N，作C关于x
轴对称点M，四边形BCDE周长最小值为MN与BC的和，计算后判定④．
【详解】解：将y=−x2+2x+m+1化为顶点式为：y=−(x−1) 2+m+2∴顶点坐标为(1,m+2)，函数图形与直线y=m+2相切于顶点，只有一个公共点，①正确；
将y=−(x−1) 2+m+2向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到：
y=−(x−1+2) 2+m+2−2=−(x+1) 2+m，③正确；
二次函数的对称轴是直线x=1，故P(2,y )可对称到P′ (0,y )，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故
3 3
y >y >y ，②错误；
2 3 1
当m=1时，函数解析式为：y=−x2+2x+2，故A(0,2),C(2,2),B(1,3)
作B关于y轴对称点N，作C关于x轴对称点M，则N(−1,3),M(2,−2)连接MN，则MN为BE,DE,CD
和的最小值，四边形BCDE周长最小值为MN与BC的和，则有：
BC=√(1−2) 2+(3−2) 2=√2,MN=√(−1−2) 2+(3+2) 2=√34
∴当m=1时，四边形BCDE周长的最小值为√34+√2，④正确；
正确的有：①③④，
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．因式分解：x y2−4x= ．
【答案】x(y+2)(y−2)
【分析】本题考查了分解因式，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公
因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
本题先提取公因式x后，继续应用平方差公式分解即可．
【详解】解：x y2−4x=x(y2−4)=x(y+2)(y−2)，
故答案为：x(y+2)(y−2)．
12．经过路口的汽车，可能直行，也可能左拐右拐，假设这三种可能性相同，现有三辆汽车经过该路口，
则三辆车恰好走相同方向的概率是 ．
1
【答案】
9
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及恰好有一车直行，
另一车左拐的结果数，再利用概率公式可得出答案，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题
的关键．
【详解】解：画树状图如下：
共有27种等可能的结果，其中三辆车恰好走相同方向的结果有3种，
1
∴三辆车恰好走相同方向的概率为 ．
9
1
故答案为： ．
9
13．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且AB+BD=AC，当∠BAD=57°时，∠C= °．
【答案】22
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，以及三角形的外角等于不相邻的
两个内角之和．作出辅助线是解答本题的关键．先在AC上截取AE=AB，连接DE．求出∠BAD=∠DAE=57°, ∠BAC=2∠BAD=114°，证明
△ABD≌△AED(SAS)，进一步得到∠C=∠EDC，则∠B=∠AED=2∠C，即∠B:∠C=2:1，再由
三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解：在AC上截取AE=AB，连接DE
∵AD平分∠BAC，∠BAD=57°，
∴∠BAD=∠DAE=57°, ∠BAC=2∠BAD=114°
∵AD=AD
∴△ABD≌△AED(SAS)，
∴∠B=∠AED,BD=DE
又∵AB+BD=AC，AE+CE=AC
∴CE=BD=DE
∴∠C=∠EDC，
∴∠B=∠AED=2∠C
∴∠B:∠C=2:1，
∵∠B+∠C=180°−114°=66°，
∴∠B=44°，∠C=22°，
故答案为：22.
14．如图，琳琳和华华相约周末到家乡美食小镇游玩，两人同时分别到达小吃摊位A和D，并约在出口C
会合，琳琳从A经过B摊位，最后到达出口C，华华从D摊位直接前往出口C，速度与琳琳从B到C的速度
相同，两人在每两个地点间均匀速前进，各点间距如图所示．若琳琳从A到B的速度比从B到C的速度慢
10m/min，且从A到B的时间为从B到C时间的一半，则 （填“琳琳”或“华华”）先到达出口
C．
【答案】琳琳【分析】本题主要考查分式方程的应用，正确找到等量关系列出方程是解答本题的关键．
设琳琳从A到B的速度为xm/min，则从B到C的速度为(x+10)m/min，根据从A到B的时间为从B到C时
间的一半可列分式方程，求出x的值，再分别计算出琳琳和华华到达出口C的时间进行比较即可得出答案．
【详解】解：设琳琳从A到B的速度为xm/min，根据题意得：
100 240 1
= × ，
x x+10 2
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，
∴x+10=50+10=60，
100 240
琳琳所用的时间为： + =2+4=6(min)，
50 60
720
华华所用的时间为： =12(min)，
60
∵6min<12min，
∴琳琳先到达出口C，
故答案为：琳琳．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过A(3,0)、B(0,4)，⊙O的半径为2，（O为坐标原点)，
点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为 ．
2√11 2
【答案】 / √11
5 5
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解题的关键；连接OP、
OQ，由PQ是⊙O的切线，得OQ⊥PQ，再由勾股定理得PQ2=OP2−OQ²，则当PO⊥AB时，线段
PQ最短，最后再由勾股定理即可求解；
【详解】解：连接OP、OQ，∵ A(3,0) B(0,4)
、 ，
∴OA=3，OB=4，
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，
∴∠OQP=90°，
由勾股定理知：PQ2=OP2−OQ²，
∴当PO⊥AB时，OP最小，则线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA=3,OB=4，
∴AB=√OA2+OB2=√32+42=5，
OA·OB 3×4 12
∴OP= = = ，
AB 5 5
∴PQ最小=√OP²−OQ2=
√ (12) 2
−22=
2√11
，
5 5
2√11
故答案为：
5
16．如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长
线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．给出以下结论：
①矩形DEFG是正方形； ②CE=√2CF；③CG平分∠DCF； ④CG=CE+√2CF．其中正确的序号为
．
【答案】①③④
【分析】过点E作EM⊥BC于点M，作EN⊥CD于点N，根据正方形对角线性质和角平分线性质得到EM=EN，结合矩形性质推出， ∠DEN=∠MEF，得到△DEN≌△FEM(ASA)， 得到ED=EF，即
可判断①；根据CE=√2CM，判断②；根据正方形性质得到DE=DG， ∠ADE=∠CDG， AD=CD，
得到△ADE≌△CDG(SAS)，得到∠DAE=∠DCG=45°，得到∠FCG=∠DCG=45°，CG平分
∠DCF，判断③；过点F作FH⊥CF交CG于点H，可得CF=FH，CH=√2CF，得到
CG=GH+√2CF，根据FE=FG， ∠HFG=∠CFE，得到△FCE≌△FHG(SAS)，得到CE=GH，即
得CG=CE+√2CF，判断④．
【详解】解：过点E作EM⊥BC于点M，作EN⊥CD于点N，如图所示，
则∠EMC=∠ENC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=∠ACB=45°，
∴EM=EN，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠≝=90°，
∴∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°，
∴∠DEN=∠MEF，
∴△DEN≌△FEM(ASA)，
∴ED=EF，
∴矩形DEFG是正方形，
故①正确；
∵CE=√2CM，
当CM=CF时，CE=√2CF，
故②不正确；
∵∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDG=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
∵AD=CD，DE=DG，
∴△ADE≌△CDG(SAS)，
∴∠DAE=∠DCG=45°，
∴∠FCG=90°−∠DCG=45°，
∴∠FCG=∠DCG=45°，
∴CG平分∠DCF，故③正确；
过点F作FH⊥CF交CG于点H，
则∠CFH=90°，
∴∠CHF=90°−∠FCH=45°，
∴CF=FH，
∴CH=√2CF，
∴CG=GH+CH=GH+√2CF，
∵FE=FG，∠HFG+∠EFH=∠CFE+∠EFH=90°，
∴∠HFG=∠CFE，
∴△FCE≌△FHG(SAS)，
∴CE=GH，
∴CG=CE+√2CF，
故④正确．
综上可知①③④正确．
故答案为：①③④，
【点睛】本题主要考查了正方形和全等三角形．熟练掌握正方形的判定和性质，角平分线性质，矩形性质，
等腰直角三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算：
(1) 0
+√327−√3+|2−√3|
2
（2）解方程组：¿．
【答案】（1）6−2√3；（2）¿
【分析】本题考查了实数的混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握实数的混合运算及二元一次方程组的
解法是解题的关键．
（1）先计算零指数幂，立方根，绝对值化简，再计算求和，即得答案；
（2）用加减消元法求解，即得答案．【详解】解：(1)
(1) 0
+√327−√3+|2−√3|
2
=1+3−√3+2−√3
=6−2√3；
(2)由①×2+②，得：7x=7，
解得：x=1，
把x=1代入①，得：2×1−y=4，
解得：y=−2，
∴该方程组的解为¿．
18．（8分）如图， 在平行四边形ABCD中， AB<BC．
(1)请用无刻度的直尺和圆规完成以下基本作图：作 ∠ABC的平分线交AD于点E，在线段BC上截取CF，
使CF=DE(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1) 所作的图形中， 连接EF， 求证∶ 四边形ABFE是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图−−复杂作图，平行四边形的性质和菱形的判定与性质．解题的关键是：
（1）根据基本作图，即可作得；
（2）首先根据平行四边形的性质及所作的图，可证得四边形ABFE是平行四边形，再根据平行线的性质
及角平分线的定义，可证得AB=AE，据此即可证得结论．
【详解】（1）解：如图，BE，CF即为所求，
；
（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC且AD=BC，
∵CF=DE，
∴AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠BEA=∠EBF．
∵BE平分∠ABF，
∴∠ABE=∠EBF，
∴∠BEA=∠ABE．
∴AB=AE，
∴四边形ABFE是菱形．
19．（8分）某校举办“学生讲堂”，八年级为了选出一位同学代表年级参赛，先后进行了笔试和面试．
在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分100分）分别是95分，94分，88分．
在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于十位评
委打分之和．对甲、乙、丙三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
信息一：评委给甲同学打分的条形统计图：
信息二：评委给乙、丙两位同学打分的折线统计图：信息三：甲、乙、丙三位同学面试情况统计表：
同学 面试成绩 评委打分的中位数 评委打分的众数
甲 78 8 n
乙 86 9 10
丙 87 m 8
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：m= 分，n= 分；
(2)在面试中，如果评委给某位同学的打分的方差越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致．据此推断：
甲、乙、丙三位同学中，评委对 的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）；
(3)按笔试成绩占40%，面试成绩占60%确定甲、乙、丙三位同学的综合成绩，综合成绩最高者将代表年级
参赛，请你通过计算确定参赛同学．
【答案】(1)8.5，8
(2)丙
(3)乙
【分析】本题考查折线统计图，条形统计图，中位数、众数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的
意义和计算方法是正确解答的前提．
（1）根据中位数和众数的定义可得答案；
（2）根据方差的意义解答即可；
（3）根据加权平均数公式计算即可．
8+9
【详解】（1）解：把丙的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是8，9，故中位数m= =8.5，
2
由条形统计图可知甲的得分的最多的是8分，故众数n=8；
故答案为：8.5，8；
（2）由题意可知，甲的数据在5和10之间波动，乙的数据在6和10之间波动，丙的数据在8和10之间波
动，所以评委对丙同学的评价更一致；故答案为：丙；
（3）甲的综合成绩为：95×40%+78×60%=84.8（分），
乙的综合成绩为：94×40%+86×60%=89.2（分），
丙的综合成绩为：88×40%+87×60%=87.4（分），
89.2＞87.4＞84.8，
所以综合成绩最高的是乙．
故答案为：乙．
20．（8分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，已知AC=13，CD=5，AD=12，点E在AD上，且
∠EBD=∠CAD．
(1)试说明：AD⊥BC；
(2)若BE=AC，求AB的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)12√2
【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾
股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）先利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，从而可得∠ADC=90°，于是结论得证；
（2）由（1）可得AD⊥BC，进而可得∠BDE=∠ADC=90°，利用AAS可证得△BDE≌△ADC，于
是可得BD=AD=12，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理即可求出AB的长．
【详解】（1）证明：∵AC=13，CD=5，AD=12，
∴AD2+CD2=122+52=169，AC2=132=169，
∴AD2+CD2=AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥BC；
（2）解：由（1）可得：AD⊥BC，
∴∠BDE=∠ADC=90°，
∵∠EBD=∠CAD，BE=AC，∴△BDE≌△ADC(AAS)，
∴BD=AD=12，
∴AB=√BD2+AD2=12√2．
k
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k x+b(k ≠0)的图象与反比例函数y= 2 (k ≠0)
1 1 x 2
的图象相交于A(−2,3)，B(3,m)两点．
(1)分别求一次函数和反比例函数的函数表达式；
k
(2)一次函数y=k x+b(k≠0)与x轴交于点C，过点C作y轴的平行线交反比例函数y= 2 (k ≠0)的图象
1 x 2
于点D，连接BD，求△BCD的面积．
−6
【答案】(1)y=−x+1,y=
x
(2)6
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出解析式，利用数形结合的思想进行求解，
是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出C,D两点坐标，进而求出CD的长，过点B作BE⊥CD，求出BE的长，再利用面积公式进行
计算即可．
k
【详解】（1）解：把点A(−2,3)代入y= 2中，k =(−2)×3=−6
x 2
−6
∴反比例函数的表达式为y=
x
−6
把x=3代入y= ，得y=−2，
x
∴B(3,−2)把A(−2,3)，B(3,−2)分别代入y=k x+b，得¿解得¿
1
∴一次函数表达式为y=−x+1；
（2）当y=0时，由y=−x+1，得x=1，
∴点C的坐标为(1,0)
−6
∵CD∥y轴，点D在y= 的图象上，
x
∴点D的坐标为(1,−6)，
∴CD=6
过点B作BE⊥CD，垂足为E，
∴BE=3−1=2，
1 1
∴△BCD的面积= ×CD×BE= ×6×2=6．
2 2
22．（10分）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数
学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺
（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）(1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；
(2)某公园有一秋千如图2所示，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA′释放，秋千摆动到另一侧与竖直
方向夹角为β的地方OA''，两次位置的高度差PQ= ℎ．当α=46°、β=28°、ℎ =0.8米时，请求出该秋
千的长度（参考数据：sin46°≈0.72,cos46°≈0.69,tan46°≈1.04,sin28°≈0.47,cos28°≈0.88，
tan28°≈0.53，结果精确到0.1米）．
【答案】(1)秋千绳索的长度为14.5尺；
(2)该秋千的长度约为4.2米．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用等知识点，
(1)设绳索有x尺长，由勾股定理得出方程，解方程即可；
(2)在Rt△OA'P和Rt△OA"Q中，解直角三角形得到
OP=OA'·cosα=OA·cosα,OQ=OA"·cosβ=OA·cosβ,代入计算即可求得答案；
熟练掌握其性质并把实际问题转化为直角三角形问题是解决此题的关键．
【详解】（1）解：如图，过点A'作A'B⊥OA于点B，
设秋千绳索的长度为x尺，
由题可知，OA=OA'=x尺，AB=5−1=4尺，A'B=10尺，
∴OB=OA−AB=(x−4)尺，
在Rt△OA'B中，由勾股定理得：A'B2+OB2=OA❑'2,
∴102+(x−4) 2=x2,解得x=14.5，
答：秋千绳索的长度为14.5尺；（2）解：由题可知，∠OPA'=∠OQA"=90°,OA'=OA"=OA，
OP
在Rt△OA'P中，cosα=
,
OA'
∴OP=OA'·cosα=OA·cosα,
同理，OQ=OA"·cosβ=OA·cosβ,
∵OQ−OP= ℎ,
∴OA·cosβ−OA·cosα= ℎ,
∴OA·(cosβ–cosα)= ℎ,
ℎ 0.8
∴OA= ≈ ≈4.2，
cosβ−cosα 0.88−0.69
答：该秋千的长度约为4.2米．
23．（10分）在平面坐标系xOy中，点(m,n)在抛物线y=ax2+bx(a>0)上，其中m≠0．
(1)当m=4，n=0时．求抛物线的对称轴；
(2)已知当0<m<4时，总有n<0．
①求证：4a+b≤0；
②点P(k,y )，Q(3k,y )在该抛物线上，是否存在a，b，使得当1<k<2时，都有y <y ？若存在，求
1 2 1 2
出a与b之间的数量关系；若不存在，说明理由．
【答案】(1)抛物线的对称轴为直线x=2
(2)①证明见解析；②存在，4a+b=0，理由见解析
【分析】（1）将点(4,0)代入y=ax2+bx(a>0)，求出a、b的关系式，根据对称轴公式，即可求解，
（2）①方法一：求出抛物线与x轴交点，根据b的符号分类讨论，即可求解，方法二：将(m,n)代入，
b
y=ax2+bx(a>0)，根据0<m<4，n<0，得到− ≥4，即可求解，
a
b
（3）设抛物线的对称轴为x=t，则t=− ，由1<k<2，得到3<3k<6，k<3k，根据t的范围，二次函
2a
数的增减性，分情况讨论即可求解，
本题考查了，求抛物线的对称轴，二次函数的增减性，解题的关键是：熟练掌握二次函数的增减性．
【详解】（1）解：由题意可知，点(4,0)在抛物线y=ax2+bx(a>0)上，
∴16a+4b=0，
∴b=−4a，b −4a
∴ = =2，
−2a −2a
∴抛物线的对称轴为直线x=2；
（2）解：①方法一：
令y=0，则ax2+bx=0(a>0)，
b
解得：x=0或x=− ，
a
( b )
∴抛物线y=ax2+bx(a>0)与x轴交于点(0,0)， − ,0 ，
a
∵a>0，
∴抛物线开口向上，
b
（i）当b<0时，− >0，
a
b b
∴当0<x<− 时，y<0；当x<0或x>− 时，y>0，
a a
∵当0<m<4时，总有n<0，
b
∴− ≥4，
a
∵a>0，
∴4a+b≤0，
b
（ii）当b>0时，− <0，
a
b b
∴当− <x<0时，y<0；当x<− 或x>0时，y>0，
a a
∴当0<m<4时，n>0，不符合题意，
综上，4a+b≤0，
方法二：
∴由题意可知，am2+bm=n．
若n<0，则am2+bm=m(am+b)<0．
∵m>0，
∴am+b<0．
∵a>0，b
∴m<− ．
a
b
∴当0<m<− 时，n<0．
a
∵当0<m<4时，总有n<0．
b
∴− ≥4．
a
∵a>0，
∴4a+b≤0，
②存在，
b
设抛物线的对称轴为x=t，则t=− ，
2a
∵a>0，
∴当x≥t时，y随x的增大而增大；当x≤t时，y随x的增大而减小，
∵1<k<2，
∴3<3k<6，k<3k，
（i）当t≤1时，
∵t≤k<3k，
∴y <y ，符合题意，
1 2
（ii）当1<t≤2时，
当t≤k<2时，
∵t<k<3k，
∴y <y ，
1 2
当1<k<t时，
设点P(k,y )关于抛物线对称轴x=t的对称点为点P′ (x ,y )，
1 0 1
则x >t，t−k=x −t，
0 0
∴x =2t−k，
0
∵1<k<t，1<t≤2，
∴2t−k<3，
∴t<x <3，
0
∵3<3k<6，
∴t<x <3k，
0∴y <y ，
1 2
∴当1<t≤2时，符合题意，
（iii）当2<t≤3时，
1 3
令k= t，3k= t，则y = y ，不符合题意，
2 2 1 2
（iv）当3<t<6时，
令3k=t，则k<3k≤t，
∴y >y ，不符合题意，
1 2
（v）当t≥6时，
∵k<3k<t，
∴y >y ，不符合题意，
1 2
b
∴当t≤2，即− ≤2时，符合题意，
2a
∵a>0，
∴4a+b≥0，
由（1）可得4a+b≤0，
∴4a+b=0．
24．（12分）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC．D为A´C上一点，连结BD交AC于点E，连结
AD并延长交BC延长线于点F．
(1)求证：△CDF∽△ABF．
(2)若BD⊥AC．
①求证：∠BAC=2∠CAF．
AB √10 S
②当 = 时，求 △CDF 的值．
BC 2 S
△ABF
【答案】(1)见解析1
(2)①见解析；②
9
【分析】（1）根据∠BAD+∠BCD=180°，∠BCD+∠FCD=180°，得 ∠BAD=∠FCD，结合
∠F=∠F，得△CDF∽△ABF；
（2）①过点A作AG⊥BC于G，根据等腰三角形性质得∠ABC=2∠CAG，根据BD⊥AC，得
∠CAG=∠CBE，结合∠CAD=∠CBD，∴得∠BAC=2∠CAF；②延长AG交⊙O于点H，连接BH，
BH AB
由垂径定理推论知AG过点O，得∠ABH=∠AGB=90°，可得△AHB∽△ABG，得 = ，根据
BG AG
AB
=
√10
，得 AB=√10BG，AG=3BG，得CD=BH=
√10
BG，即得
S
△CDF =
(CD) 2
=
1
．
BC 2 3 S AB 9
△ABF
【详解】（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠FCD=180°，
∴∠BAD=∠FCD，
∵∠F=∠F，
∴△CDF∽△ABF；
（2）解：①过点A作AG⊥BC于G，则∠AGC=90°，
∴∠ACG+∠CAG=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=2∠CAG，
∵BD⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠CAG=∠CBE，
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠BAC=2∠CAF；②延长AG交⊙O于点H，连接BH，
由①知，AG⊥BC，BG=CG，
∴AG过点O，
∴∠ABH=∠AGB=90°，
∵∠BAH=∠GAB，
∴△AHB∽△ABG，
BH AB
∴ = ，
BG AG
AB √10
∵ = ，
BC 2
AB
∴ =√10, AB=√10BG，
BG
∴AG=√AB2−BG2=3BG，
√10
∴BH= BG，
3
∵∠BAH=∠CAH=∠CBD=∠CAD，
√10
∴CD=BH= BG，
3
由（1）知，△CDF∽△ABF，
2
√10
( )
BG
∴S
△CDF =
(CD) 2
=
3
=
1．
S AB √10BG 9
△ABF
【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理及其推论，相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定
理等．等腰三角形性质，熟练掌握各定理及其性质是解决本题的关键．
