2025 年中考第三次模拟考试（浙江卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．在0，−2，−√10，π四个数中，绝对值最小的数是（ ）
A．0 B．−2 C．−√10 D．π
【答案】A
【分析】本题考查了实数的大小比较，绝对值，掌握绝对值的规律：一个正数的绝对值是它本身；一个负
数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0是解题的关键．根据绝对值的定义分别求出这四个数的绝对值，
再进行比较即可．
【详解】解：∵ |0|=0，|−2|=2，|−√10|=√10，|π|=π，且0<2<π<√10，
∴绝对值最小的数是0，
故选：A．
2．下列计算正确的是（ ）
A．x4+x4=x8 B．x6÷x3=x2 C．(−x) 2=x2 D．√x2=x
【答案】C
【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，算术平方根，掌握相应的运算法则是
关键．根据相关计算法则求出对应选项式子的结果即可得到答案．
【详解】解：A、x4+x4=2x4，选项错误，不符合题意；
B、x6÷x3=x3，选项错误，不符合题意；
C、(−x) 2=x2，选项正确，符合题意；
D、√x2=|x|，选项错误，不符合题意．
故选：C．
3．今年中国某省政府工作报告明确提出，2025年，将着力稳面积、提单产、增效益，全年粮食播种面积
1.1亿亩、产量888亿斤以上，“888亿”用科学记数法表示为（ ）A．8.88×1010 B．8.88×109
C．888×108 D．0.888×1011
【答案】A
【分析】本题考查科学记数法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为
整数，按要求表示即可得到答案，确定a与n的值是解决问题的关键．
【详解】解：888亿=88800000000=8.88×1010，
故选：A．
4．我国人工智能技术在近年得到了蓬勃发展，其中Deepseek（深度求索）在2025年以各项性能在全球排
名前列，成为了各大国家争相学习的对象．据统计，某校七个班了解并使用过人工智能AI软件的同学人数
分别为：27，25，29，30，26，28，30．那么这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．25和30 B．25和29 C．28和30 D．28和29
【答案】C
【分析】本题考查了中位数和众数，根据中位数和众数的概念，即可解答，熟练掌握众数和中位数的概念
是解题的关键.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据按从小到大（或从大到小）排序后，位
于最中间的数（或中间两数的平均数）是这组数据的中位数.
【详解】解：重新排序得到：25，26，27，28，29，30，30．
根据题意可得中位数为28，众数为30，
故选：C.
5．如图，已知点A(2,0)，B(0,4)，C(2,4)，D(6,6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角
度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（ ）
A．(3,2) B．(3,3) C．(6,2) D．(4,2)
【答案】D【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，画出平面直角坐标系，作出新的AC，BD的垂直平分线的交点
P，点P即为旋转中心．
【详解】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P(4,2)，
故选：D．
6．已知：如图，在⊙O中，BC是弦，点A是B´C的中点，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（ ）
A．30° B．35° C．50° D．60°
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所
对的圆心角的一半是解答此题的关键．
【详解】解：连接CO．
∵ B´C
点A是 的中点∴A´B=A´C．
∴∠AOC=∠AOB=70°．
1
∴∠ADC= ∠AOC=35°
2
故选∶B．
1 1 1 1 1
7．已知关于x的方程x+ =m+ 的两根分别为m， ，则关于x的方程x+ =m+3+ 的根是
x m m x−1 m+2
（ ）
1 1
A．m, B．m+3,
m+2 m+2
−m−1 m+3
C．m+3, D．m+3,
m+2 m+2
【答案】D
【分析】此题主要考查了解分式方程和分式方程的解，理解分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法与
1 1 1 1
技巧是解决问题的关键．先将将方程x+ =m+3+ 转化为(x−1)+ =(m+2)+ ，再根
x−1 m+2 x−1 m+2
1 1 m+3
据已知得x−1=m+2，x−1= ，再由x−1=m+2，解得x=m+3，由x−1= ，解得x= ，
m+2 m+2 m+2
据此即可得出答案．
1 1 1 1
【详解】解：将方程x+ =m+3+ 转化为：(x−1)+ =(m+2)+ ，
x−1 m+2 x−1 m+2
1 1 1
∵方程x+ =m+ 的两根分别为m， ，
x m m
1
∴x−1=m+2，x−1= ，
m+2
由x−1=m+2，解得：x=m+3，
1 m+3
由x−1= ，解得：x= ，
m+2 m+2
1 1 m+3
∴方程x+ =m+3+ 的根是：x=m+3，x= ，
x−1 m+2 m+2
故选：D．
8．如图，边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，E在格点上，连接AE，BC，点D在BC上且满足
AD⊥BC，则cos∠ABD的值是（ ）1 √5 2√5
A． B．2 C． D．
2 5 5
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，解题的关键在于正确掌握相关知识．利用勾股定理得到
BC，再结合等面积法求出AD，进而得到BD，最后根据余弦的定义求解，即可解题．
【详解】解：由题知，BC=√12+22=√5，
∵ AD⊥BC，
1 1
又∵S = AC⋅AB= BC⋅AD，
△ABC 2 2
1×2 2√5
∴AD= = ，
√5 5
4√5
∴BD=√AB2−AD2=
，
5
4√5
∴ BD 5 2√5，
cos∠ABD= = =
AB 2 5
故选：D．
9．已知y是x的函数，若存在实数a，b（a<b），当a≤x≤b时，对应函数值y的取值范围是a≤ y≤b，则
称⟨a,b⟩为该函数的一个“君子数对”．例如对于函数y=−x+3，当1≤x≤2时，对应函数值y的取值范围
k
是1≤ y≤2，则称⟨1,2⟩为函数y=−x+3的一个“君子数对”．下列结论中，①反比例函数y= （k>0）
x
1
有无数个“君子数对”；②⟨2,4⟩是二次函数y=− (x−2) 2+4的“君子数对”；③⟨−2,4⟩是二次函数
2
y=x2−x−8的“君子数对”；正确的是（ ）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
【答案】D
【分析】本题综合考查了一次函数、反比例函数及二次函数图象与性质，解题的关键是弄清楚“君子数对”的定义．根据“君子数对”的定义结合有关函数的图象与性质进行解答即可．
【详解】①当a≤x≤b时，对应函数值y的取值范围是a≤ y≤b，
则函数图象过点(a,a),(b,b)或点(a,b),(b,a)，
k
对于反比例函数y= （k>0），
x
当函数图象过点(a,a),(b,b)时，则有两个点符合要求，即(√k,√k),(−√k,−√k),
此时有两个“君子数对”；
k
当函数图象过点(a,b),(b,a)时，由于反比例函数y= （k>0）的图象关于直线y=x对称，而
x
(a,b),(b,a)也关于直线y=x对称，则有无数个点符合要求，
此时有无数个“君子数对”；
故①正确；
1 1
②当x=2时，y=− (2−2) 2+4=4，当x=4时，y=− (4−2) 2+4=2，
2 2
1 1
又∵ y=− (x−2) 2+4的对称轴是直线x=2，且− <0，
2 2
∴当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，且2≤ y≤4，
1
∴ ⟨2,4⟩是二次函数y=− (x−2) 2+4的“君子数对”，
2
故②正确；
③y=x2−x−8= ( x− 1) 2 − 33 ，
2 4
( 1) 2 33 1
又∵ y= x− − 的对称轴是直线x= ，且1>0，
2 4 2
33
∴当−2≤x≤4时，且− ≤ y≤4
4
∴⟨−2,4⟩不是二次函数y=x2−x−8的“君子数对”，
故③错误；
故选：D
10．如图所示，在矩形纸片ABCD中，AB=3,BC=6，点E、F分别是矩形的边AD、BC上的动点，将
该纸片沿直线EF折叠．使点B落在矩形边AD上，对应点记为点G，点A落在M处，连接
EF、BG、BE,EF与BG交于点N．则下列结论成立的是（ ）
①BN=AB；3√5
②当点G与点D重合时EF= ；
2
9 7
③△GNF的面积S的取值范围是 ≤S≤ ；
4 2
5 3√13
④当CF= 时，S = ．
2 △MEG 4
A．①③ B．③④ C．②③ D．②④
【答案】D
【分析】①根据题意可知四边形BFGE为菱形，所以EF⊥BG且BN=GN，若BN=AB，则BG=2AB=6，又
因为点E是AD边上的动点，所以3<BG<3√5．从而判断①不正确；
②如图，过点E作EH⊥BC于点H，再利用勾股定理求解即可；
9 45
③当点E与点A重合时，△GNF的面积S有最小值 ，当点G与点D重合时△GNF的面积S有最大值 ．
4 16
9 45
故 <S< ．
4 16
④因为CF=
5
，则EG=BF=6-
5
=
7
．根据勾股定理可得ME=
√ (7) 2
−
(6) 2
=
√13
，从而可求出△MEG的
2 2 2 2 2 2
面积．
【详解】解：①根据题意可知四边形BFGE为菱形，
∴EF⊥BG且BN=GN，
若BN=AB，则BG=2AB=6，
又∵点E是AD边上的动点，
∴3<BG<3√5．
故①错误；
②如图，过点E作EH⊥BC于点H，则EH=AB=3，
在Rt△ABE中AE2+AB2=(AD−AE) 2
即AE2+32=(6−AE) 2
9
解得：AE= ，
4
9 15
∴BF=DE=6- = ．
4 4
15 9 3
∴HF= - = ．
4 4 2
在Rt△EFH中
3√5
EF=√EH2+FH2 = ；
2
故②正确；
1 1 9
③当点E与点A重合时，如图所示，△GNF的面积S有最小值= S = ×3×3 = ，
4 正 方 形ABF4G 4
1 1 15 45
当点G与点D重合时△GNF的面积S有最大值= S = × ×3= ．
4 菱 形EBF4G 4 16
9 45
故 <S< ．
4 16
故③错误．④因为CF=
5
，则EG=BF=6-
5
=
7
．根据勾股定理可得ME=
√ (7) 2
−
(6) 2
=
√13
，
2 2 2 2 2 2
1 √13 3√13
∴S = × ×3= ．
△MEG 2 2 4
故④正确．
故选D．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质等知识，掌握相关知
识找到临界点是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．已知x，y满足y=√x−1+√1−x+8，则x+ y的平方根为 ．
【答案】±3
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和平方根，能根据二次根式有意义的条件求出x是解此题的关
键．根据二次根式有意义的条件得出x−1≥0且1−x≥0，求出x，再求出y，最后根据平方根的定义求出
答案即可．
【详解】解：要使y=√x−1+√1−x+8有意义，必须x−1≥0且1−x≥0，
解得：x=1，
y=0+0+8=8，
所以x+ y的平方根是±√1+8=±3．
故答案为：±3．
12．分解因式：2m3−12m2+18m= ．
【答案】2m(m−3) 2
【分析】本题考查了因式分解，先运用提公因式法进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即
可作答．
【详解】解：2m3−12m2+18m=2m(m2−6m+9)=2m(m−3) 2，
故答案为：2m(m−3) 2．
13．不透明的袋子中装有除颜色不同外其它完全相同的2个红球，1个黑球，1个白球，从袋子中随机摸出2
个球，摸出的两个球颜色不同的概率为 ．5
【答案】
6
【分析】本题考查了列表法与树状图法以及用概率公式求概率，掌握以上知识点是解答本题的关键．
画出树状图得到12种等可能的结果，其中摸出的两个球颜色不同的结果有10种，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中摸出的两个球颜色不同的结果数为10，
10 5
所以摸出的两个球颜色不同的概率= = ，
12 6
5
故答案为： ．
6
14．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是 ．
【答案】20π
【分析】本题考查的是圆锥的侧面展开图，三视图的含义，理解题意，掌握由三视图还原几何体是解本题
的关键．先由三视图还原几何体为圆锥，再利用勾股定理求解母线长，再利用扇形面积公式进行计算即可．
【详解】解：由三视图可得：该几何体是圆锥，底面直径为8，高为3，如图，
AO=3 OB=4 AO⊥BO
∴ ， ，而 ，∴AB=√32+42=5，C =8π，
⊙O
1
∴该几何体的侧面积是 ×8π×5=20π．
2
故答案为：20π．
15．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠CAB=90°，CD为AB边上的中线，AE⊥CD于点E，连接BE．
CE
则 = ．
BE
【答案】√2
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握相似
三角形的判定和性质是关键．
1
根据题意，设AB=AC=2x，则AD=BD= AB=x，运用勾股定理得到CD=√5x，等面积法得到
2
2√5 AE CE 4√5
AE= x，再证△AEC∽△DAC，得到 = ，则CE= x，如图，过点B作BF⊥AE延长线
5 AD AC 5
2√5 4√5
于点F，则∠F=90°，可证△AEC≌△BFA(AAS)，得到BF=AE= x,CE=AF= x，求出
5 5
2√10
BE= x，由此即可求解．
5
【详解】解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠CAB=90°，
∴设AB=AC=2x，
∵CD为AB边上的中线，
1
∴AD=BD= AB=x，
2
∴CD=√AD2+AC2=√x2+(2x) 2=√5x，
∵AE⊥CD，1 1
∴S = AC·AD= CD·AE，
△ACD 2 2
AD·AC x·2x 2√5
∴AE= = = x，
CD √5x 5
如图所示，∠1=∠1，∠AEC=∠DAC=90°，
∴△AEC∽△DAC，
2√5
AE CE x
∴ = ，即 5 CE，
AD AC =
x 2x
4√5
解得，CE= x，
5
如图，过点B作BF⊥AE延长线于点F，则∠F=90°，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，且∠AEC=∠F=90°,AC=AB，
∴△AEC≌△BFA(AAS)，
2√5 4√5
∴BF=AE= x,CE=AF= x，
5 5
4√5 2√5 2√5
∴EF=AF−AE= x− x= x，
5 5 5
2√5 2√10
∴BE=√2BF=√2× x= x，
5 5
4√5
x
CE 5
∴ = =√2
BE 2√10
x
5
故答案为：√2 ．
16．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作DE的垂线交AB边1
所在的直线于点F，连接DF，交对角线AC所在直线于点G，若AF= AB，则线段EC= ．
2
3 9√2
【答案】 √2或
2 2
1
【分析】根据AF= AB分两种情况①当点F在线段AB上时，②当点F在BA延长线上时，作辅助线，结
2
合正方形性质，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形性质，证明三角形全等，结合全等三角形性质
建立方程求解，即可解题．
【详解】解：①当点F在线段AB上时，
过点E作HM∥AD，
∵ ABCD
四边形 为正方形，
∴DH∥AM，∠DAM=90°，
∴四边形AMHD为矩形，
∴∠DHE=∠EMF=90°，
∴∠CHE=90°，
∵ AC为正方形对角线，
∴ ∠HCE=45°，
∴∠HEC=45°=∠HCE，
∴HC=HE，
设HC=HE=x，又正方形ABCD边长为6，
∴DH=6−x，
∵ HM=AD=6，∴EM=6−x=DH，
∵∠HDE+∠HED=90°，
∵ DE⊥EF，
∴∠MEF+∠HED=90°，
∴∠HDE=∠MEF，
∴△DHE≌△EMF(ASA)，
∴HE=MF=x，DE=EF，
同理可证，AM=EM，
1
又AF= AB=3，
2
3
∴3+x=6−x，解得x= ，
2
√ (3) 2 (3) 2 3√2
∴EC= + = ，
2 2 2
②当点F在BA延长线上时，
3√2
由①同理可得AE= ，
2
又AC=√62+62=6√2，
3√2 9√2
∴CE=AC−AE=6√2− = ，
2 2
3 9√2
综上所述，EC= √2或 ，
2 2
3 9√2
故答案为： √2或 ．
2 2
【点睛】本题考查正方形性质，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形性质，全等三角形性质和判定，
解题的关键在于作辅助线构造全等三角形，并结合全等三角形性质建立方程．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（8分）计算：|−√2|−(√2−3) 0+√3×sin60°−
(1) −1
．
3
5
【答案】√2−
2
【分析】本日考查了实数的混合运算，二次根式的运算，特殊角的三角函数值，掌握相关运算法则是解题
关键．先计算绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即
可．
【详解】解：|−√2|−(√2−3) 0+√3×sin60°−
(1) −1
3
√3
=√2−1+√3× −3
2
3
=√2−1+ −3
2
5
=√2− ．
2
18．（8分）按指定方法解一元二次方程
(1)x2+3x−4=0（配方法）
(2)3x2−x−1=0（公式法）
【答案】(1)x =1，x =−4
1 2
1+√13 1−√13
(2)x = ，x =
1 6 2 6
【分析】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一
元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次．
（1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方式后，再开方，
即可得出结果；
（2）先求解Δ=b2−4ac=(−1) 2−4×3×(−1)=13>0，再利用求根公式计算即可．
【详解】（1）解：x2+3x−4=0
移项，化“1”得：x2+3x=4，
配方，得：x2+3x+
(3) 2
=4+
(3) 2
，
2 2
( 3) 2 25
即 x+ = ，
2 43 5
由此可得：x+ =± ，
2 2
x =1，x =−4；
1 2
（2）解：3x2−x−1=0
a=3，b=−1，c=−1，
Δ=b2−4ac=(−1) 2−4×3×(−1)=13>0，
方程有两个不等的实数根，
−b±√b2−4ac 1±√13 1±√13
x= = = ，
2a 2×3 6
1+√13 1−√13
即x = ，x = ．
1 6 2 6
19．（8分）如图，已知△ABC中，∠B=∠E=40°，∠BAE=60°，且AD平分∠BAE．
(1)求证：△ABD≌△AED；
(2)若AB=AC，求∠CAD的度数．
【答案】(1)见解析
(2)70°
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和，证明线段相等的问
题比较常用的方法是证明所在的三角形全等．
（1）先求证∠BAD=∠EAD=30°，再证明△ABD≌△AED；
（2）先求得∠ADE=∠ADB=180°−∠B−∠BAD=110°，再由AB=AC可得∠B=∠C=40°，再求
解即可．
【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD=∠EAD=30°，
在△ABD和△AED中，
¿
∴△ABD≌△AED(ASA)；
（2）解：∵∠ADE=∠ADB=180°−∠B−∠BAD=110°，∴∠ADC=70°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
∴∠CAD=180°−∠ADC−∠C=180°−70°−40°=70°．
20．（8分）随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步，AI聊天机器人的智能化水平显
著提高，能够更准确地理解用户意图并给出相应回答．预计2025年，我国对话机器人行业市场规模将达到
98.5亿元．有关人员开展了对A，B两款AI聊天机器人的使用满意度的评分调查，并从中各随机抽取20份
数据，进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，满分100分，分为四个等级：不满意x<70、比较满意
70≤x<80、满意80≤x<90、非常满意x≥90），下面给出了部分信息．
抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89．
抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：
66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对A，B两款AI聊天机器人的评分统计表
AI聊天机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
A 88 b 96 45%
B 88 87.5 c 40%
根据以上信息，解答下列问题
(1)上述图表中，a=_____________，b=_____________，c=_____________．
(2)根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）．
(3)在此次调查中，有400人对A款AI聊天机器人进行评分，300人对B款AI聊天机器人进行评分．请通过
计算，估计此次调查中对AI聊天机器人不满意的共有多少人．
【答案】(1)10，88.5，98
(2)A款，因A款中位数88.5大于B款的87.5，所以A款好（理由不唯一）
(3)85人【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，
熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键；
（1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义
可得c的值；
（2）通过比较A，B款的评分统计表的数据解答即可；
（3）由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案．
6
【详解】（1）解：由题意得：A款“满意”所占百分比为 ×100%=30%，
20
∴“不满意”所占百分比为1−30%−45%−15%=10%，
∴a=10；
∵A款的评分非常满意有20×45%=9个，“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；
∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89，
88+89
∴b= =88.5，
2
在B款的评分数据中，98出现的次数最多，
∴c=98；
故答案为：10，88.5，98；
（2）解：A款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
因为两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款AI聊天机器人更受
用户喜爱（理由不唯一）；
3
（3）解：B款中“不满意”的有3人，所占百分比为 ×100%=15%，
20
∴估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有300×15%+400×10%=85（人）．
21．（8分）在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)尺规作图：在线段AC上求作一点D，使得∠A=∠ABD（不写作法，保留作图痕迹）；
3
(2)在（1）的条件下，若AB=10，sinA= ，求CD的长．
5【答案】(1)见解析
7
(2)CD=
4
【分析】本题考查了作垂直平分线，等边等角，勾股定理，解直角三角形；
（1）作AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，即可求解；
（2）由（1）可得DA=DB，解Rt△ABC，得出BC=6,AC=8，设CD=x，在Rt△BDC中，
BD2=CD2+BC2，勾股定理建立方程解方程，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
∵D在AB的垂直平分线上
∴DA=DB，
∴∠A=∠ABD；
（2）解：由（1）可得DA=DB
3
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA=
5
∴BC=ABsinA=6，AC=√AB2−BC2=8
设CD=x
∴AD=BD=8−x
在Rt△BDC中，BD2=CD2+BC2
∴(8−x) 2=x2+62
7
解得：x=
4
7
∴CD=
4
22．（10分）教室里的饮水机接通电源，就进入自动程序，开机加热时每分钟上升7℃，加热到100℃，
停止加热，水温开始下降，此时水温y(℃)与开机后用时x(min)成反比例关系，直至水温降至30℃，饮
水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若在水温为30℃时，接通电源后，水温y(℃)和时间x(min)的关系如图．
(1)直线AB的函数关系式为______．
(2)①如图，t的值为______；
②饮水机第一次关机前，当水温达到60℃以上时，则x的取值范围为______．
(3)为了在上午第三节下课时（10：40）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的
7：30吗？说明理由．
【答案】(1)y=7x+30
100 30 50
(2)① ② <x<
3 7 3
(3)接通电源的时间可以是当天上午的7：30，理由见解析
【分析】（1）设直线AB的函数关系式为y=kx+b，利用待定系数法解答即可．
m
（2）①根据题意，得反比例函数经过点(10,100)，设反比例函数的解析式为y= ，确定解析式，后代入
x
求值即可；
1000
②根据解析式为y= ，y=7x+30，分别计算当y=60时的x的值，即可得到范围．
x
1000 1000 50−30 20
（3）根据解析式为y= ，y=7x+30，当y=50时，x= =20；当y=50时，x= = ；
x 50 7 7
确定循环时长，解答即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的应用，待定系数法，正确理解题意是解题的关键．
100−30
【详解】（1）解：根据题意，得温度升到100℃用时间为 =10(min)，
7
设直线AB的函数关系式为y=kx+b，
根据题意，得¿，
解得¿，所以y=7x+30．
（2）解：①根据题意，得反比例函数经过点(10,100)，
m
设反比例函数的解析式为y= ，
x
m
故100= ，
10
解得m=1000，
1000
故y= ，
x
当y=30时，
1000 100
x= =
30 3
100
故t= ，
3
100
故答案为： ；
3
1000
②解：根据解析式为y= ，y=7x+30，
x
1000 50
当y=60时，x= = ；
60 3
60−30 30
当y=60时，x= = ；
7 7
30 50
故温度为60摄氏度以上时的时间范围是 <x< ，
7 3
30 50
故答案为： <x< ．
7 3
1000
（3）解：根据解析式为y= ，y=7x+30，
x
1000
当y=50时，x= =20；
50
50−30 20
当y=50时，x= = ；
7 7
20
故温度为50摄氏度以上时的时间范围是 <x<20，
7
20 120
即有20− = (min)，
7 7100 20 100
根据题意，得饮水机循环开机时间为 min，且每个循环周期中，0<x< 和20<x< 时段中温度低
3 7 3
于50℃，
570
若接通电源的时间是当天上午的7：30，到10：40一共为10：40−7:30=190(min)= (min)，
3
570 500 70
经过5次循环，剩余时长为 − = (min)，
3 3 3
100
恰好在20<x< 的时段中，此时温度不高于50℃，
3
故可以在7：30接通电源．
23．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(4,0)，B(0,−4)．
(1)求抛物线的解析式；
3
(2)若此拋物线上有且只有3个点到直线y=n的距离等于 ，求此3个点的坐标；
8
(3)以M(a,0)，N(a+3,0)，P(a+3,−7)，Q(a,−7)四个点为顶点作矩形MNPQ，将此抛物线在矩形
5
MNPQ内部（含边界）的部分最高点与最低点纵坐标之差记为d，当d= 时，求出a的值．
2
【答案】(1)y=x2−3x−4
(3+√3 11) (3−√3 11) (3 25)
(2) ,− 或 ,− 或 ,−
2 2 2 2 2 4
3+√15 −√10+3 √10−3 √15+3
(3)a=− 或a= 或a= 或a=
2 2 2 2
【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象及性质，矩形的性质，数形结合解题是关键．
（1）用待定系数法即可求解；
3
（2）根据题意，可得出此抛物线上有且只有 3 个点到直线y=n的距离等于 时，抛物线的顶点到直线
8
3 3
y=n的距离等于 ，即可求出n的值，从而求出抛物线上到直线y=n的距离等于 的点的坐标；
8 8
（3）结合函数图象，分情况讨论，把两个临界点的距离差表示出来，分别求出即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(4,0)，B(0,−4)．
∴¿，解得¿，
故抛物线的表达式为y=x2−3x−4；（2）解：∵抛物线y=x2−3x−4= ( x− 3) 2 − 25 ，
2 4
(3 25)
∴抛物线的顶点坐标为 ,− ，
2 4
25 3 47 3
∴当n=− + =− 时，抛物线上有且只有3个点到直线y=n的距离等于 ，
4 8 8 8
47 3 11 11 3+√3 3−√3
当y=− + =− 时，x2−3x−4=− ，解得x = ，x = ，
8 8 2 2 1 2 2 2
(3+√3 11) (3−√3 11) (3 25)
综上所述点的坐标为 ,− 或 ,− 或 ,− ；
2 2 2 2 2 4
(3 25)
（3）解：由（3）知抛物线的顶点坐标为 ,− ，以M(a,0)，N(a+3,0)，P(a+3,−7)，Q(a,−7)
2 4
四个点为顶点作矩形MNPQ，
3 3
当−1<a+3< 时，−4<a<− ，如图，
2 2
此抛物线在矩形MNPQ内部（含边界）的部分最高点的纵坐标为0，当x=a+3时，函数有最低点，最低
点纵坐标为(a+3) 2−3(a+3)−4，
5
∴(a+3) 2−3(a+3)−4=−
2
3−√15 3+√15
解得a=− （舍去）或a=− ．
2 2
3+√15 5
∴当a=− 时d= ；
2 2
3 3
当− <a< 时，如图：
2 225
第一种情况当PN离对称轴近时，结合函数图像可知拋物线顶点为内部最低点，纵坐标为− ，
4
a为横坐标时，为内部最高点，纵坐标为a2−3a−4，
25 5 √10+3 −√10+3
∴d=a2−3a−4+ = ，解得a= （舍去）或a= ，
4 2 2 2
−√10+3 5
∴当a= 时d= ，
2 2
25
第二种情况当MQ离对称轴近时，结合函数图像可知抛物线顶点为内部最低点，纵坐标为− ，
4
a+3 (a+3) 2−(3a+3)−4
为横坐标时，为内部最高点，纵坐标为 ，
25 5 √10−3 −√10−3
∴d=(a+3) 2−3(a+3)−4+ = ，解得a= 或a= （舍去）
4 2 2 2
√10−3 5
∴当a= 时d= ，
2 2
3
当 <a<4时，如图
2结合函数图像可知，此抛物线在矩形MNPQ内部（含边界）的部分最高点的纵坐标为0，当a为横坐标时，
为内部最低点，纵坐标为a2−3a−4，
5 −√15+3 √15+3
∴d=0−a2+3a+4= ，解得a= （舍去）或a= ．
2 2 2
√15+3 5
∴当a= 时d= ，
2 2
5 3+√15 −√10+3 √10−3 √15+3
综上所述：当d= 时，a的值为a=− 或a= 或a= 或a= ．
2 2 2 2 2
24．（12分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作OP的垂线AB，垂足为C，交⊙O于点B，
延长BO与⊙O交于点D，连接PD交AB于点E．
(1)求证：PB为⊙O的切线；
(2)求证：PB2=PC⋅PO；
DE
(3)若∠BPD=3∠APD，求 的值．
PE
【答案】(1)见解析
(2)见解析
√17+1
(3)
4
【分析】（1）连接OA，可推出∠PAO=90°，OP是AB的垂直平分线，从而PB=PA，进而推出
△POB≌△POA，从而∠PBO=∠PAO=90°，进一步得出PB是⊙O的切线；
（2）可证明△PBC∽△POB，进而推出PB2=PC⋅PO；BC OB
（3）可推出∠DPO=∠APD，AD∥OP，从而∠DPO=∠ADG，△PCE∽△DAE， = =1，
AC OD
1 PE PC
进而推出OC= AD， = ，∠DPO=∠DPA，从而AD=AP=PB，设OC=a，则.
2 DE AD
PB=AD=2a.，PC=x，根据PB2=PC⋅OP列出方程(2a) 2=x(x+a)，求得x的值，进一步得出结果．
【详解】（1）证明：如图，连接OA，
∵PA ⊙O
为 的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠PAO=90°，
∵OP⊥AB，
∴BC=AC，
∴OP是AB的垂直平分线，
∴PB=PA，
∵OA=OB，OP=OP，
∴△POB≌△POA(SSS)，
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）证明：由（1）得，
∠PBO=90°，OP⊥AB，
∴∠PCB=∠PBO=90°，
∵∠BPC=∠OPB，
∴△PBC∽△POB，
PB PC
∴ = ，
PO PB
∴PB2=PC⋅PO；（3）解：如图，连接AD，
由（1）知：△POB≌△POA，
∴∠BPO=∠APO，
∵∠BPD=3∠APD，
∴∠BPC+∠CPE=3∠APD，
∴∠APC+(∠APC−∠APD)=3∠APD，
∴∠APC=2∠APD，
∴∠DPO=∠APD，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴AD⊥AB，
由（2）知：OP⊥AB，
∴AD∥OP，
BC OB
∴∠DPO=∠ADE，△PCE∽△DAE， = =1，
AC OD
1 PE PC
∴OC= AD， = ，
2 DE AD
∵∠DPO=∠DPA，
∴∠ADE=∠DPA，
∴AD=AP=PB，
设OC=a，则PB=AD=2a，PC=x，
由（2）得：PB2=PC⋅OP，
∴(2a) 2=x(x+a)，
√17−1 −√17−1
∴x = a，x = a（舍去），
1 2 2 2√17−1
∴PC= a，
2
DE AD 2a √17+1
= = =
∴ PE PC √17−1 4 ．
a
2
【点睛】本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的判定，垂径定理，全等三角形的判定与性质，相似
三角形的判定和性质，一元二次方程的解法等知识，解决问题的关键是设未知数，列出一元二次方程．
