文档内容
2025 年中考第二次模拟考试（济南卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 的相反数是（ ）
A． B． C． D．2024
2．DeepSeek是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数
在上线21天后达到了3370万．将3370万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各式运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，已知 ， ， 是正 边形的三条边，在同一平面内，以
为边在该正 边形的外部作正方形 ．若 ，则 的值为
（ ）
A．12 B．10 C．8 D．66．如图， 中， 的平分线交 于点 ，交 的延长线于点 ，
若 ， ，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知方程 有两个不相等的实数根，则k的取值（ ）
A． B． C． 且 D． 且
8．生物课上学习了淀粉遇碘变蓝知识，为探究生活中常见蔬菜是否含有淀粉，甲、乙两名同学同时从土
豆、玉米、黄瓜、芹菜四种蔬菜中随机抽取两种进行实验，则同时能观察到变蓝现象的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在 中， ， ，作如下作图；
①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交 、 于点M、N；
②分别以点M、N为圆心，大于的 长为半径作弧，两弧在 内部交于点P；
③作射线 交 于点D；根据以上作图，判断下列结论正确的有（ ）
① 是等腰三角形 ② ③ ④
A．①② B．①②③
C．①②④ D．①②③④
10．如图1，在平面直角坐标系中，点 、C分别在y轴和x轴上， 轴， ，点P从B点出发，
以 的速度沿边 匀速运动，点Q从点 出发，沿线段 匀速运动．点P与点Q同时
出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为 ， 的面积为 ，
已知S与t之间的函数关系如图2中的曲线段 、线段 与曲线段 ．下列说法正确的是（ ）
①点 的运动速度为 ；②点 的坐标为 ；③线段 段的函数解析式为 ；④曲线 段
的函数解析式为 ；⑤若 的面积是四边形 的面积的 ，则时间 ．
A．①②③④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤
第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是 ．
12．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的10名运动员的成绩如下表所示：
成绩 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80
人数/名 1 3 2 3 1
则这10名运动员成绩的中位数是 ．
13．将含 的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知 ，点B，C
对应的刻度分别为 ，则线段 的长为 ．
14．小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着
同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离
家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人
先后两次相遇的时间间隔为 ．
15．如图，矩形纸片 ，点E在线段 上，将 沿 向上翻折，点C的对应
点 落在线段 上，点M，N分别是线段 与线段 上的点，将四边形 沿 向上翻折，点B
恰好落在线段 的中点 处．则线段 的长 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（7分）计算： ．
17．（7分）解不等式组： ，并写出它的所有整数解．18．（7分）如图，菱形 中， 、 分别为边 、 上的点，且 ，连接 、 ．求
证： ．
19．（8分）解答：
如何设计摇椅椅背有坐垫长度？
某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，
图2为其侧面设计图．其中 为椅背，
为坐垫， 、D为焊接点，且 与 平
素
材 行，支架 所在直线交于圆弧形底座
一 所在圆的圆心 ．设计方案中，要求 两
点离地面高度均为5厘米， 两点之间距
离为70厘米．
经研究， 时，舒适感最佳．现
用来制作椅背 和坐垫 的材料总长度为
160厘米，设计时有以下要求：
素
（1）椅背长度小于坐垫长度；
材
（2）为安全起见，摇椅后摇至底座与地面
二
相切于点 时（如图3）， 点比 点在竖
直方向上至少高出12厘米．（
）
任
务 计算底座半径 根据素材求底座半径 ．
一
任
务 探究摇摆规律 计算图3中点 距离地面的高度．
二
20．（8分）如图，在 中， 是 的内接三角形， 是 的直径，在 上取一点D，使，过点C的切线 分别与 的延长线交于点E，F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
21．（9分）学校为调查学生对安全知识的了解情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行测试，将测试
成绩整理后分成五组（成绩用 表示，单位：分）： ； ； ；
； ．下面是给出部分信息：
a：“ ”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，87，88，88，88，89
b：不完整的学生测试成绩频数分布直方图和扇形统计图如下：
请根据图中信息解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)在扇形统计图中，“ ”这组的圆心角为 ：
(3)抽取的样本中学生成绩的中位数为 分；
(4)成绩80分及以上的为优秀等次，估计全校3000名学生中，优秀等次的约有多少人？
22．（10分）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具每天的销售量 （件）与销售单价 （元）之间满足一次函数关系，部分
数据如下表所示：
1
销售单价 /元 … 12 14 …
3
3
每天的销售量 /件 … 36 32 …
4
(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
(3)该超市要使每天销售这种文具的利润最大，销售单价应为多少元？最大利润是多少元？
23．（10分如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于 两点（
为常数）．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图像直接写出不等式 的解集；
(3)点 是平面内任意一点，若以 为顶点的四边形为平行四边形，求 点的坐标．24．（12分在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 ， 分别在 轴， 轴上， ．抛物线
与 轴交于 ， 两点．
(1)如图1，若抛物线经过点 ，求抛物线的表达式；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接 ， 为线段 上一点，连接 ，若 ，请判断 和
是否相等，并说明理由；
(3)若抛物线 的顶点为 ，取 的中点 ，则以 ， ， 为顶点的三角形能否
为直角三角形？若能，请直接写出 的值；若不能，请说明理由．25．（12分如图1四边形 和四边形 有公共顶点A
(1)如图2，若四边形 和四边形 都是正方形，当正方形 绕点A逆时针旋转 角（
）时，BM和DN的数量关系是______，位置关系是______；
(2)如图3，若四边形 和四边形 都是矩形，且 ，判断 和 的数量关系和
位置关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若 ， ，矩形 绕点A逆时针旋转 角（ ），当
时，求线段 的长．
