文档内容
2025 年中考第二次模拟考试（镇江卷）
数 学 试 题
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分。
2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效。
3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗。
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
1． 的相反数是 ．
【答案】
【知识点】相反数的定义、实数概念理解
【分析】本题考查了实数、相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得解，熟练掌握相反数的
定义是解此题的关键．
【详解】解： 的相反数是 ，
故答案为： ．
2．若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，
解得： ；
故答案为：
3．已知一组数据7，5， ，9，10的平均数是7，则这组数据的中位数为 ．
【答案】7
【知识点】已知 平均数求未知数据的值、求中位数
【分析】本题主要考查了平均数与中位数，熟记相关定义和公式是解题的关键．
先利用平均数为7解出x的值，然后根据中位数的定义解答即可．
【详解】解：∵数据7，5， ，9，10的平均数是7，∴ ，解得： ，
把这些从小到大排列为：4，5，7，9，10，
则这组数据的中位数是：7．
故答案为7．
4．化简 的结果是 ．
【答案】
【知识点】约分
【分析】此题主要考查分式化简，约分至最简形式是解题的关键．此题涉及的知识点是分式的化简，根据
约分要求进行计算可得结果．
【详解】解： ．
故答案为： ．
5．如图，在矩形 中， 在边 上， 为 中点， ， ， ，则线段
的长为 ．
【答案】
【知识点】矩形性质理解、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性
质
【分析】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质等知识，延长 到点G，使
，连接 ， ，利用线段垂直平分线的性质 ，利用三角形中位线定理得出
， ，证明 ，利用勾股定理求出 ，即可求解．
【详解】解：延长 到点G，使 ，连接 ，∵矩形 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ 为 中点， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
6．已知菱形 ，点 分别为边 的中点，若四边形 的面积为 ，
则菱形 的面积为 ．
【答案】
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质与判定求面积、利用菱形的性质求面积【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，连接 交于 ，根据
三角形中位线定理得 ， ， ， ，进而可得四边形
是矩形，得到 ，进而根据菱形的面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接 交于 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵点 分别是边 的中点，
∴ ， ， ， ， ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵四边形 的面积为 ，
∴ ，
∴菱形 的面积 ．
故答案为： ．
7．如图，A是函数 的图象上一点，过点A作 轴， 交函数 的图象于点
B，点C在x轴上，若 的面积是2，则k的值是 ．【答案】3
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）
【分析】本题主要考查了根据图形面积求反比例函数系数，设点A的坐标为 ， ，
∶
根据题意可得出点B的纵坐标为： ，由点B在反比例函数 可得出 ，再根据三角
形面积得出关于 ，即可得出k的值．
【详解】解：设点A的坐标为 ， ，
∶
轴，
∵
点B的纵坐标为： ，
∴
点B在反比例函数 ，
∵
，
∴
解得： ，
点 ，
∴
，
∴
点C在x轴上， 轴，
∵
边上的高为 ，
∴ ∶的面积是2，
∵
即 ，
化简得： ，
解得： ，
故答案为：3．
8．数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的
折线统计图，那么这五次测试成绩的方差是 ．
【答案】10
【知识点】折线统计图、求方差
【分析】本题考查折线图，求平均数和方差，根据平均数和方差的计算方法，进行计算即可．
【详解】解：平均数为： （分）；
方差为： ；
故答案为10．
9．如图，已知五边形 为正五边形，以点A为圆心，以 的长为半径画弧，分别交 ， 的延
长线于点F，G，连接 ， ，则 ．
【答案】
【知识点】等边对等角、正多边形的内角问题、圆周角定理
【分析】本题考查圆周角的性质，正多边形的性质以及等腰三角形的性质．连接 ， ，首先，由正五边形内角和公式求出内角 的度数，进而得到 的度数，然后，根据等腰三角形性质
求出 和 的度数，求出 的度数，最后通过 ，求出 的度数．
【详解】解：如图，连接 ，
则 与 是 上弧 所对的圆心角和圆周角，
∴ ， ，
∵五边形 为正五边形，
，
在等腰 ， ，
∴ ；
同理： ，
，
∴ ；
故答案为： ．
10．关于 的方程 无解，则 的值是 ．
【答案】
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，先求出方程的解，再根据方程无解可知分式方程的分
母为 ，求出 的值，再代入方程的解计算即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键．
【详解】解：方程两边乘以 得， ，
∴ ，
∵关于 的方程 无解，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
11．如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子 分别与空竹 相切于点 ，且
，连接左右两个绳柄 ， 经过圆心 ，分别交 于点 ，经测量 ，则图
中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、切线的性质定理、求其他不规则图形的面积、根据特殊角三
角函数值求角的度数
【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积等，连接 ，可证
，得到 ， ，利用三角函数可得 ，即得
，得到 ，最后根据 即可求解，正确作出辅
助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 是 的切线，点 为切点，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12．已知抛物线 （ 是常数）经过点 ，其对称轴为 ，且当 时，对应
的函数值 ．下列结论：
① ；
②关于x的方程 的正实数根在1和 之间；
③若抛物线经过点 和 ，则点 在直线 的下方；
④ 和 在该二次函数的图象上，则仅当实数 时，
其中正确的结论是 ．（填序号）
【答案】②
【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的
图象与性质
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程等知识，熟练运用二次函数的
图象与性质是解题关键，①根据对称轴得出 ，将 代入表达式求出 ，再根据当 时，对应的函数值 得出 ，进而判断；②根据对称轴为 ，且当 时，对应的函数值 判断
即可；③根据点 和 关于对称轴对称进行判断即可；④利用 在该二次函数的图象上，且
，得出 时， 进而判断．
【详解】解：① 对称轴为 ，
，
，
将 代入 ，得 ，
，
时， ，
，
，故①错误，不合题意；
② 对称轴为 ，且当 时，对应的函数值 ， ，
时，对应的函数值 ，
抛物线 是常数 与x轴的另一个交点在 和 之间，
关于x的方程 的正实数根在1和 之间，故②正确，符合题意；
③ 抛物线经过点 和 ，且 ，
点 和 关于对称轴对称，
，
点 在直线 轴上，当点 在第一象限时，点 在直线 的上方，故③错误，不合题意；
④ 和 在该二次函数的图象上，且 ，
时， ，故④错误，不合题意．
故答案为：②．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
13．国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队
突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的
线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达 米，其中 用科
学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形
式为 ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为
零的数字前面的 的个数所决定．
【详解】解： 用科学记数法表示为 ．
故选：D．
14．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了计算单项式乘单项式，完全平方公式，积的乘方，平方差公式等知识点，熟练掌
握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键．根据单项式乘单项式法则、完全平方公式、积的乘方法则、
平方差公式逐项分析判断即可．【详解】解：A. ，原计算错误，故选项 不符合题意；
B. ，原计算错误，故选项 不符合题意；
C. ，原计算错误，故选项 不符合题意；
D. ，计算正确，故选项 符合题意；
故选： ．
15．习近平总书记指出：“提高人的健康素质，青少年是黄金期，体育锻炼是增强少年儿童体质最有效的
手段”．现从某校 名初三学生每天体育锻炼时长的问卷中，随机抽取部分问卷，将这部分学生的锻炼
时长作为一个样本进行研究，并将结果绘制成条形统计图，其中一部分被遮盖．已知每天锻炼时长为 小
时的学生人数占样本总人数的 ，则下列说法正确的是（ ）
A．锻炼时长为 小时是这个样本的众数
B．该样本中学生平均每天锻炼时长为 小时
C．锻炼时长为 小时是这个样本的中位数
D．该校锻炼用时为 小时的学生少于 名
【答案】A
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、用样本的某种“率”估计总体相应的“率”、求一组数据
的平均数、求中位数
【分析】本题考查了用样本估计总体，求平均数、求中位数等知识点，掌握以上知识是解答本题的关键．
算出抽查总人数，再算出锻炼时长为 小时的学生人数即可判断A；算出样本中学生锻炼时长总数再除以
样本总人数即可判断B，根据条形统计图找出第 位和第 位 的
学生锻炼时长，加起来再除以 求出中位数即可判断C，求出样 本
中学生锻炼时长为 小时的学生人数所占百分比再乘以 即 可
判断D．
【详解】解：A、 （人），所以锻炼时长为 小时的学生人数为
（人），即锻炼时长为 小时是这个样本的众数，故A选项符合题意；
B、 （小时），故B选项不符合题意；
C、由条形统计图知第 位和第 位的学生锻炼时长为 小时、 小时，故中位数为（小时），故C选项不符合题意；
D、 （人），多于 名，故D选项不符合题意；
故选：A．
16．如图①，先沿着长方体左右两边的对角线将上方部分剪去，得到如图②的几何体，再用沿着图②图形
的前后两个面的对角线将右边部分剪去，得到如图③的几何体它在我国古代数学名著《九章算术》中被称
为“阳马”．图③“阳马”的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】判断简单几何体的三视图
【分析】本题考查几何体的俯视图．根据题意观察图形即可得到本题答案．
【详解】
解：∵图③“阳马”的俯视图是 ，
故选：A．
17．如图1，四边形 为菱形，动点 ， 同时从 点出发，点 以每秒1个单位长度沿线段 向终
点 运动；点 沿线段 向终点 运动，当点 运动至终点时，另一点 也恰好到达终点．设
运动时间为 秒， 的面积为 个平方单位，图2为 关于 的函数关系图象．下面四个结论中：①
菱形 的边长为6；②点 的运动速度为每秒3个单位长度；③当 时， ；④曲线
段的函数解析式为 ，结论正确的是（ ）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④
【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数)、利用菱形的性质求线段长、相似
三角形的判定与性质综合
【分析】根据当点 运动至终点时，另一点 也恰好到达终点可知点Q的速度是点P速度的3倍，进而可
判断②正确；由图象可知，2秒后点Q到达点B，进而求出菱形的边长，可判断①正确；当点Q到达点C
时， 的面积最大，求出此时的面积可判断③正确；当点Q运动到 的中点时，作 交
的延长线于E，此时 ， ， ．证明 ，求出 ， 的面积为 ，
设曲线 段的函数解析式为 ，把 代入求出函数解析式可判断④正确．
【详解】解：∵动点 ， 同时从 点出发，同时到达点D，
∴点Q的速度是点P速度的3倍，
∵点 以每秒1个单位长度的速度运动，
∴点 的运动速度为每秒3个单位长度，故②正确；
由图象可知，2秒后点Q到达点B，
∴ ，即菱形 的边长为6，故①正确；
作 于点H，由图象可知，点Q到达点B时，即 时， 的面积为5，此时 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当点Q到达点C时， 的面积最大，此时 ， ， 的面积为 ，即当 时， ，故③正确；
当点Q运动到点D时， ，
当点Q运动到 的中点时，作 交 的延长线于E，此时 ， ， ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ，
设曲线 段的函数解析式为 ，
把 代入，得
，
解得 ，
∴ ，故④正确．故选A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，从函数图象获取信息，相似三角形的判定与性质，二次函数的应用，数
形结合是解答本题的关键．
18．门环，为我国古建筑“门文化”中的一部分，现有一个门环图片和抽象示意图如图所示，以正六边形
的对角线 的中点 为圆心， 为半径作 ， 切 于点 ，并交 于点 ，若
，则该圆的半径为（ ） ．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算
【分析】根据圆的切线的性质可得 ，设该圆的半径为 ，可求 ，过 作
于 ，过 作 于 ，则四边形 是矩形，可求 ，计
算求解 的长，进而可得 ， ，通过解直角三角形即可求解．
【详解】解： 是 的切线，
，
设该圆的半径为 ，
，
，
， ，
，
，过 作 于 ，过 作 于 ，如图所示：
四边形 是矩形，
， ， ，
， ，
，
，
， ，
，
解得 ，
该圆的半径为 ，
故选：C．
三、解答题（本大题共有10题，共78分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤）
19．（本题8分）计算
(1) ． (2)化简： ．
【答案】(1) (2)
【知识点】分式加减乘除混合运算、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式的加减乘除混合运算．
（1）根据立方根定义，特殊角的三角函数值，绝对值意义进行计算即可；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．（本题10分）（1）解方程组 （2）解不等式组：
【答案】（1） ；（2）无解
【知识点】加减消元法、求不等式组的解集
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握各自求解基本步骤是解题的关键．
（1）根据加减消元法进行求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处
找确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）
① ②，得 ，
解得 ，
把 代入①，得 ，原方程的解为 ．
（2）
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
原不等式组无解．
21．（本题6分）如图， 中， ，垂足为D， ，垂足为E， 与 相交于点F，
．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， 求 的长
【答案】(1)见解析
(2)7
【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、垂线的定义理解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或
者AAS）
【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用 证明两个三角形全等”是解本题的
关键．
（1）先证明 ， ，然后根据 ，再结合已知条件可得结论；
（2）根据 ， ，得出 ，根据 得出 ，
，最后根据和差间的关系，得出答案即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ， ，
∴ ．
22．（本题6分）有4张分别印有电影哪吒2主要人物图案的卡片，A哪吒、B敖丙、C申公豹、D太乙真
人，现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张
卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率；
(1)第一次抽取的卡片上人物图案是申公豹的概率为______；
(2)求抽取的两次结果为哪吒和申公豹的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由）
【答案】(1) (2)
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，根据概率公式求解概率，熟练掌握概率公式为解题关键．
（1）直接根据概率公式计算；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为2，然后根
据概率公式求解．
【详解】（1）解：第一次取出的卡片图案为申公豹的的概率为 ，
故答案为： ；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为2，
所以抽取的两次结果为哪吒和申公豹的的概率为 ．
23．（本题6分）“父母在，人生尚有来处，父母去，人生只剩归途”，近几年涌现了很多缅怀母亲的文艺作品，其中贾玲的《你好，李焕英》和毛不易的《一荤一素》正是其中的优秀代表，为了解学生对这两
部作品的评价，某调查小组从该校九年级中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行打分（满分10
分），并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
《你好，李焕英》得分情况：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．抽
取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数如下表．
平均数 众数 中位数
《你好，李焕
8.2 9
英》
《一荤一素》 7.9 8
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述图表中a，b，c的值；
(2)你认为该校九年级学生对哪部作品评价更高？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)若该校九年级1100名学生都对《你好，李焕英》进行打分，试估计所打分数中满分的个数？
【答案】(1)
(2)《你好，李焕英》，理由见解析
(3)
【知识点】借助调查做决策、由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、求众数
【分析】（1）根据《一荤一素》调查得分为“8分”所占的百分比，即可求出“10分”所占的百分比，确
定 的值；根据中位数、众数的意义可求出 的值；
（2）通过平均数、中位数、众数的比较即可求解；
（3）求出《你好，李焕英》满分人数所占的百分比即可求解．
【详解】（1）解：《一荤一素》调查得分为“ 分”所占的百分比为：，
∴ ；
《你好，李焕英》调查得分从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为： ，
∴ ；
《一荤一素》调查得分出现次数最多的是 分，因此众数是 ，
∴ ；
（2）解：《你好，李焕英》，理由：《你好，李焕英》调查得分的平均数、中位数、众数均比《一荤一
素》高；
（3）解：
答：估计所打分数中满分的个数为 人．
【点睛】本题考查了统计中的扇形统计图、各统计数据的意义及求解．旨在考查学生的数据处理能力．
24．（本题6分）如图， 是 的直径，点 、 在 上， ，点 在线段 的延长线
上，且 ．
(1)求证： 与 相切；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【知识点】圆周角定理、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计
算
【分析】（1）根据圆周角定理得到 ，再证明 ，得到 ，即可
证明；
（2）设 半径为 ，则 ，在 中， ，则 ，即 ，解得，而 半径为 ，则 ，在 中，解直角三角形即可求解．
【详解】（1）证明：连接 ，
，
，
，
，
是 的直径，
，
，
，
，
为 半径，
与 相切；
（2）解：设 半径为 ，则 ，
， ，
，
在 中， ， ，
，即 ，
解得 ，
经检验， 是所列方程的解，
半径为 ，则 ，
在 中， ， ， ，．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，
熟练掌握圆的相关知识、相似三角形的判定和性质是解题的关键．
25．（本题6分）如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， ．
(1)求点 的坐标；
(2)在抛物线上是否存在一点 ，使 ：若存在，求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1) ， ，
(2) 或 或
【知识点】一次函数与几何综合、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标、面积问题(二
次函数综合)
【分析】本题考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数的平移问题，求三角形的面积，分类讨论
是解题的关键.
（1）在解析式 中，由 ，求得 的对应值可得点 的坐标；由 ，求得对应的 的值
可得点 、 的坐标；
（2）根据 可得 到 的距离等于 到 的距离，设过点 且与 平行的直线为 ，分类讨
论得出直线 的解析式，进而联立抛物线解析式，即可求解．
【详解】（1）在 中，当 时， ，∴点A的坐标为 ．
当 时， ，解得： ，
∴点C的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）存在点 ，使 ，
设直线 的解析式为 ，代入 ， ，
∴
解得：
∴直线 的解析式为
∵
∴ 到 的距离等于 到 的距离，设过点 且与 平行的直线为 ，
当 时，直线 的解析式为 ，代入
∴
解得：
∴直线 的解析式为
联立
解得： 或
∴ ；
∵ ，
∴
当点 在 上方时，将 向左平移 个单位时，则 过点∴直线 的解析式为
联立
解得： 或
∴ 或
综上所述， 或 或
26．（本题8分）研学实践：钟鼓楼作为中国古代的传统建筑，一般都成为当地的地标，在古时主要承担
报时之责．太原钟楼坐落于太原市府东街南侧，它始建于明代中期，是由傅山先生的祖父傅霖筹集资金修
建而成．周末某学校研学小组对太原钟楼的高度进行测量．
方案设计：如图，观察员在地面上的点 处观察点 的仰角为 ．观察员在点 处竖直向上升起一架无
人机，当无人机到达离地面 的点 处时，测得钟楼顶端点 的俯角为 ，
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内， 两点的水平距离 ， ．请根据上述
数据，计算太原钟楼的顶端 到地面的距离．（结果精确到 ；参考数据： ， ，
， ， ， ）
【答案】太原钟楼的顶端 到地面的距离约为
【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查三角函数测高，涉及矩形的判定与性质，过点 作 于点 ，延长 交 于
点 ，如图所示，由矩形的判定与性质得到相关角度与线段长度，数形结合，由正切函数定义列式求解即
可得到答案，熟练掌握三角函数测高题型的解法是解决问题的关键．【详解】解：过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，如图所示：
则四边形 、四边形 都是矩形， ，
∴ ， ， ．
设 ，则 ．
在 中， ， ， ，
∴ ．
在 中， ， ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，解得 ．
∴ ．
∴ ．
答：太原钟楼的顶端 到地面的距离约为 ．
27．（本题11分）我们称关于x的二次函数 为一次函数 和反比例函数 的
“共同体”函数．一次函数 和反比例函数 的交点称为二次函数 的“共赢
点”．
(1)二次函数 是哪两个函数的“共同体”函数？并求出它的“共赢点”；
(2)已知二次函数 与x轴的交点为M，N，有A，B两个“共赢点”，且 ，求a的值；
(3)若一次函数 和反比例函数 的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为 ， ，其
中实数 ， ．令 ，求L的取值范围．
【答案】(1)二次函数 是一次函数 与反比例函数 的“共同体”函数，“共赢
点”是 ，
(2)
(3)
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、抛物线与x轴的交点问题、利用不等式求自变量或函数值的
范围、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】（1）根据“共同体”函数和“共赢点”的定义即可求解；
（2）对于二次函数 ，令 ，则 ，得到交点M，N的横坐标满足
， ，根据两点间距离公式有 ．二次函数
是一次函数 与反比例函数 的“共同体”函数，由 得
，则两个“共赢点”A，B的横坐标满足 ， ，纵坐标满足 ，
，根据两点间距离公式有，由 ，即可求出a的值；
（3）由 ， 得到 ， ， ， ，从而 ，由题意
可得 ， ，从而 ，根据二次函数的增减
性并结合 ，可求出L的取值范围．
【详解】（1）根据题意，二次函数 中， ， ， ，
∴二次函数 是一次函数 与反比例函数 的“共同体”函数，
解方程组 得 ， ，
经检验， ， 都是方程组的解，
∴一次函数 与反比例函数 图象的交点为 ， ，
即二次函数 的“共赢点”是 ， ；
（2）∵二次函数 与x轴的交点为M，N，
∴令 ，则 ，
∴交点M，N的横坐标满足 ， ，
∴ ，
∵二次函数 是一次函数 与反比例函数 的“共同体”函数，有A，B两个
“共赢点”，∴由 得 ，
∴ ，
∴A，B两个“共赢点”的横坐标满足 ， ，
纵坐标 ， ，
∴ ，
，
∴
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵二次函数 与x轴有两个交点M，N，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵ ， ，
∴ ， ， ， ，∴ ，
∵一次函数 和反比例函数 的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为 ， ，
∴ ， 是方程 ，即 的两个根，
∴ ， ，
∵
，
∵ ，
∴ ，
即 ．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程根与系数的关系，两点间距离公式，完全
平方公式的应用．熟练运用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
28．（本题11分）小珺对下面的三角形进行探究：
如图1所示， 中， ， 外角的正切值为2，取 中点D与线段 上一点E，满足
．
(1)小珺说：“ 的正切值可以通过证明相似三角形的方法求得．”请证明她的猜想；
(2)探究完 的正切值后，小珺神奇地发现： ．小珺进一步提出问题：如何利用
与直尺（无刻度），圆规作出一个角，使得它的正切值与 角的正弦值相等呢？请在图2中用两
种方法作出小珺要求的那个角，并对其中一种方法给予证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】作垂线(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值、特殊三角形的三角函数
【分析】（1）作 交 延长线于点 ，连接 ，在 和 中利用正切的定义得到
和 ，得出点 是 的中点，通过证明 得到 ，
，得到 ，进而推出 ，得到 ，利用正切
的定义求出 ，最后证明 即可求解；
（2）①方法一：作 于点 ，以 为边作等边 ，在 延长线上截取点 使得 ，
延长 和 交于点 ，连接 ，利用等边三角形的性质和三角函数的知识得到 ，结合
，分析可知 即为所求；②方法二：在 上取一点 使得 ，过点 作
且 ，以 为边作等边 ，延长 和 交于点 ，在 延长线上截取点 使得
，连接 ，利用等腰直角三角形的性质与判定得到 ，利用利用等边三角形的性质和三角函数的知识得到 ，分析可知 即为所求．
【详解】（1）证明：如图，作 交 延长线于点 ，连接 ，
，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
，
点 是 的中点，即 ，
， ，
，
， ，
，
又 ，
，
，
在 中， ，
，
，
，
，，
，即 ，
．
（2）解：①方法一：
如图，作 于点 ，以 为边作等边 ，在 延长线上截取点 使得 ，延长 和
交于点 ，连接 ，
，
，
等边 ，
，
在 中， ，
，
，
，
在 中， ，
如图所示， 即为所求；
②方法二：
如图，在 上取一点 使得 ，过点 作 且 ，以 为边作等边 ，延长
和 交于点 ，在 延长线上截取点 使得 ，连接 ，，
，
是等腰直角三角形， ，
，
且 ，
是等腰直角三角形，
， ，
，
，
等边 ，
，
在 中， ，
，
，
，
在 中， ，
如图所示， 即为所求．
