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2025 年中考第二次模拟考试（宿迁卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 的相反数是（ ）
A． B． C．2025 D．
【答案】C
【分析】本题考查了相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键．
只有符号不同的两个数互为相反数，由此即可求解．
【详解】解： 的相反数是 ，
故选：C ．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查幂的相关运算，根据合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方运算法则逐
项判定即可．
【详解】解：A、 ，故本选项的计算错误；
B、 ，故本选项的计算错误；
C、 ，故本选项的计算错误；
D、 ，故本选项的计算正确．
故选：D
3．“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的一种建筑材料，拟用于未来建造月球基地．据介绍，
“月壤砖”呈榫卯结构，密度与普通砖块相当，抗压强度却是普通砖的三倍以上．如图是一种“月壤砖”及其主视图与俯视图，则它的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握从几何体左侧看到的图形是左视图成为解题的关键．
根据左视图的定义以及三视图中看不见的线条用虚线表示即可解答．
【详解】解：其左视图是一个矩形，且中间有两条虚线，即
故选：D．
4．如图，直线 ，直线 和直线 分别经过三角板的一个锐角顶点和直角顶点，已知 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质，三角板的意义，结合角的和差解答即可．
本题考查了平行线的性质，三角板的意义，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：如图，∵直线 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
故选：A．
5．学校要求学生每天坚持体育锻炼．吴亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间，并制作了如图所示的
统计图，下列关于吴亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ）
A．平均数为73分钟 B．众数为88分钟
C．中位数为67分钟 D．方差为25平方分钟
【答案】A
【分析】此题考查了平均数、众数、中位数、方差．分别求出平均数、众数、中位数、方差，即可进行判
断．
【详解】解：平均数为 （分钟），
7个数据按照从小到大排列为： ，中位数是70分钟，
在7个数据中，67出现的次数最多，为2次，则众数为67分钟，
方差为：
，
观察四个选项，选项A正确，符合题意，选项B、C、D错误，不符合同意．故选：A．
6．甲和乙两人玩“打弹珠”游戏，甲对乙说：“把你一半的弹珠给我，我就有35颗弹珠．”乙说：“把
你弹珠的 给我，我就有40颗弹珠．”若设乙有 颗弹珠，甲有 颗弹珠，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了列二元一次方程组（根据实际问题列二元一次方程组），读懂题意，根据题中的等量
关系正确列出方程组是解题的关键．
根据题意即可直接得出答案．
【详解】解：由题意，可列方程组为：
，
故选： ．
7．小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的“对勾”函数 的图象，发现它关于原
点中心对称．下面是关于函数 的描述，其中正确的是（ ）
A．函数图象的对称中心是
B．当 时， 随 的增大而增大
C．当 时，函数有最小值，且最小值为4D．二次函数 的图象与函数 的图象有3个不同的公共点
【答案】C
【分析】本题考查函数的图象及性质，将函数 变形为 ，因此该函数图象可
看作由函数 的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到，根据由函数 的图象逐项
判断即可．
【详解】解：∵函数 可变形为 ，
∴函数 的图象可看作由函数 的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到，
∵函数 的图象的对称中心为原点 ，
∴函数 的图象的对称中心为 ，故A选项错误；
∵由图可知，函数 在 时，不存在连续的增减性，
∴函数 的图象在 时，不存在连续的增减性，故B选项错误；
∵由图象可知，函数 图象在 时，有最低点，即存在最小值，
∵ ，
即当 时， 由最小值，为2，
∴函数 在 时，有最小值，为 ，
∴函数 在 时，由最小值，为 ，故C选项正确；
∵由函数 与函数 ，可得 ，
即 ，解得 ， ，
∴二次函数 的图象与函数 的图象有2个不同的公共点，故D选项错误．
故选：C
8．在平面直角坐标系中，已知 ，设函数 的图象与 轴有 个交点，函数
的图象与 轴有 个交点，则（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、一次函数的图象，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关
系是解题关键．先利用一元二次方程根的判别式可得一元二次方程 有两个不相等的实
数根，从而可得函数 的图象与 轴有2个交点，即 ，再分两种情况：①当 ，
且 中有一个数等于0时，②当 ，且 均不等于0时，利用一次函数的图象、一元二次方程根的
判别式可得 的值，由此即可得．
【详解】解：∵ ，
∴一元二次方程 根的判别式为 ，方程有两个不相等的实
数根，
∴函数 的图象与 轴有2个交点，即 ．
①当 ，且 中有一个数等于0时，则 ， ，
∴函数 的解析式为 ，其图象与 轴有1个交点，即 ，
∴此时 ；
②当 ，且 均不等于0时，则 ，
一元二次方程 根的判别式为 ，方程有两个不相等的实数
根，∴函数 的图象与 轴有2个交点，即 ，
∴此时 ；
综上， 或 ，
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
9．若二次根式 在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数要大于等于零求出x取值范围即可．
【详解】解∶根据题意，得 ，
解得 ，
故答案为∶ ．
10．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，先运用提公因式法进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即
可作答．
【详解】解： ，
故答案为： ．
11．2025年政府工作报告指出2024年全国经济运行总体平稳、稳中有进，国内生产总值达到134.9万亿元、
增长 ，将数据 万用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为 的形式，其中 ，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．将134.9万写成 其中 ，n为整数的形式即可．
【详解】解： 万 ．
故答案为： ．
12．若用半径为 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 m．
【答案】0.1
【分析】本题考查了圆锥的侧面展图与圆的关系，解题的关键是明确圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面
的圆的周长．先计算半圆的弧长，再根据圆锥底面周长等于此弧长求出圆锥底面的半径 ．
【详解】解： 半圆的半径为 ，
半圆的弧长为 ，
圆锥底面的周长为 ，
设圆锥底面半径为 ，则 ，
解得， ，
故答案为 ．
13．如图，在 中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交 于点F，交 于点E，分别以点
E，F为圆心，大于 长为半径作弧，两弧在 的内部交于点G，作射线 交 于点D．若
， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、作图—作角平分线，由勾股定理可得
，作 于 ，由作图可得 平分 ，由角平分线的性质定理可得
，再由三角形面积公式计算即可得解．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ，如图，作 于 ，
，
由作图可得： 平分 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
14．如图，在 中，直径 与弦 的交点为E， ．若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形外角的性质．正确运用所学的性质是解
题的关键．连接 ，由 可得 ，则 ，根据条件可求
出 的度数，由圆周角定理可得 的度数．
【详解】解：连接 ，∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ．
故答案为：40．
15．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水
柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高 时，水柱落点距O
点 ；喷头高 时，水柱落点距O点 ．那么喷头高 m时，水柱落点距离O点 ．
【答案】【分析】本题考查了二次函数 在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数
的平移性质 是解题关键．
由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高 时，可设
将 代入解析式得出 喷头高 时，可设 将 代入
解析式得 联立可求出 和 的值，设喷头高为 时，水柱落点距 点 ，则此时的解析式为
将 代入可求出 ．
【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高 时，可设 ，
将 代入解析式得出 ①；
喷头高 时，可设 ；
将 代入解析式得 ②；
联立可求出 ，
设喷头高为 时，水柱落点距 点 ，
∴此时的解析式为
将 代入可得
解得 ，
故答案为： ．
16．如图，鲁洛克斯三角形 （鲁洛克斯三角形又称“勒洛三角形”，它分别以正 的顶点为圆心，
以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形）中，线段 ，则鲁洛克斯三角形 的面
积为 ．【答案】
【分析】本题主要考查不规则图形的面积，等边三角形的性质，勾股定理，掌握等边三角形的性质和扇形
面积公式是解题的关键．
首先根据等边三角形的性质得出 ， ，再利用扇形公式求出 、
、 ，过顶点 作 于点 ，根据三线合一和勾股定理，求出 ．最后利用
即可求出答案．
【详解】解： 是等边三角形，
， ，
，
如图，过顶点 作 于点 ．
∴ ，
，
∴ ，
勒洛三角形的面积为故答案为： ．
17．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田
面积 （弦 矢＋矢 ），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长
，“矢”等于半径长与圆心 到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则
的值为 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点．如图，作 交 于 ，
交圆弧于 ，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出 ， ，利用余弦函数定义即可解决问题．
【详解】解：如图，作 交 于 ，交圆弧于 ，
由题意： ，
设 ，由 ，
∴ ，
∵ ， 为半径，
∴ ，
在 中，
由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，∴ ．
故答案为： ．
18．如图，在五边形 中， ， ， ， ， ，
点 和点 分别为边 上的动点， ，连接 ，当 面积取得最小值时， 的长
为 ．
【答案】
【分析】延长 交 的延长线于点P，延长 至点Q，连接 ，使得 ，先证明四边形
是矩形，再证明 ，设 ，则 ， ，利用
，求出 ，根据 ，求出当 取最小值，即 取最小
值时， 的面积取得最小值，求出 ，再求出 ，再求出
，利用相似三角形的性质求出 ，即可求解．
【详解】解：如图，延长 交 的延长线于点P，延长 至点Q，连接 ，使得 ，∵ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 点是 的中点，
∴ ，
设 ，则 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 取最小值， 的面积取得最小值，
∴ 取最小值时， 的面积取得最小值，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 面积的最小值为 ，
此时， ，即 ，
解得： ，
此时， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，勾
股定理，争嘴作出辅助线，构造三角形相似是解题的关键．
三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算： ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数的混合运算、负整数次幂、二次根式的混合运算等知识点，
掌握相关运算法则成为解题的关键．
先运用乘方、特殊角的三角函数值、负整数次幂化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
20．（8分）先化简，再求值：已知 ，求代数式 的值．【答案】
【分析】本题主要考查了整式的乘法，代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；
先根据整式乘法运算法则计算，再整体代入求值即可．
【详解】解：原式
．
因为 ，
所以 ，
所以原式 ．
21．（8分）为积极响应并切实落实“双减”政策，我校精心策划并组织了丰富多彩的社团活动，旨在充
实和活跃学生的课余生活，促进学生全面发展．为精准把握全校学生参与学校五个特色社团的意向，学校
采用随机抽样的方式，选取了40名学生展开问卷调查．此次调查规定，每位学生仅能从五个社团中挑选一
个．目前，问卷调查结果已初步整理，但统计图表尚不完善，请你进一步补充与完善．
A（架子 B（乒乓 C（手工制 D（播音主
社团名称 E（舞蹈）
鼓） 球） 作） 持）
人数/人 4 m 16 n 4
请你根据以上信息结合统计图解答下列问题：
(1)填空： ______； ______； ______；请补全条形统计图．
(2)在抽样调查中，参加5个社团的人数的众数为______；扇形统计图中扇形B的圆心角是______度；
(3)若全校有1800名学生，估计全校约有多少名学生愿意参加乒乓球或手工制作社团？
【答案】(1)12，4，10
(2)4，
(3)估计全校约有 名学生愿意参加乒乓球或手工制作社团
【分析】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图和用样本估计总体，学会从统计图中获取信息是解题的关键，
（1） 总抽查人数 ， ， ，然后补全条形
图即可得解；
（2）由众数的定义即可得解，由扇形统计图计算即可得解；
（3）全校愿意参加乒乓球或手工制作社团的学生有： ，计算即可．
【详解】（1）解：由题可知， （人）， (人)，
，
补全的条形统计图如下：
故答案为：12，4，10；
（2）解：∵众数是一组数据中出现次数最多的数据，
∴在 这组数据中， 出现的次数最多，
∴参加5个社团的人数的众数是 ，
由扇形统计图知， 的圆心角是： ，
故答案为：4， ；
（3）解： (人)，
答：估计全校约有 名学生愿意参加乒乓球或手工制作社团．
22．（8分）某超市为“庆元旦”设置抽奖活动，如图，三张不透明的卡片“国是家、孝为先、善作魂”
（除图案外都相同）分别对应价值为25元、20元、15元的三种奖品，现将这三张卡片背面朝上，洗匀放
好．(1)小明从中随机抽取一张卡片，抽到卡片“国是家”的概率为______；
(2)如果小明有两次抽奖机会，先从中随机抽取1张，记下后放回，背面朝上洗匀，再从中随机抽取1张，
请用列表或画树状图的方法，求小明两次所获奖品总值不低于40元的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的
关键．
（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到卡片“国是家”的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及小明两次所获奖品总值不低于40元的结果数，再利用概率公式
可得出答案．
【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到卡片“国是家”的结果有1种，
小明从中随机抽取一张卡片，抽到卡片“国是家”的概率为 ．
故答案为： ．
（2）解：将这三张卡片分别记为 ， ， ，
列表如下：
共有9种等可能的结果，其中小明两次所获奖品总值不低于40元的结果有： ， ， ，， ， ，共6种，
小明两次所获奖品总值不低于40元的概率为 ．
23．（10分）如图，点E在 的对角线 的延长线上， ， 于点F， 交
的延长线于点G，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ， ，求菱形 是面积．
【答案】(1)见解析
(2)128
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得出 ，再证 和 全等，得出 ，
于是根据对角线相等的四边形是平行四边形推出四边形 是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行
四边形是菱形即可得出四边形 是菱形；
（2）分别求出 、 的长，即可得出对角线 、 的长，根据菱形的面积公式计算即可．
【详解】（1）证明： ， ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形；
（2）解： ， ，
是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得， ，
，
，即 ，
，
四边形 是菱形，
， ，
菱形 的面积 ．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，锐角三角函数，菱形的面积等，
熟练掌握这些知识点是解题的关键．
24．（10分）某体育用品商店购进一批大连英博足球队球衣，每件的进价为80元，出于营销考虑，要求
每件球衣的售价不低于80元且不高于150元，在销售过程中发现，球衣每周的销售量y（件）与每件球衣
的售价 （元）之间满足的函数关系如图所示．
(1)求 与 之间的函数关系式及 的取值范围；
(2)球衣的销售单价定为多少元时，每周销售球衣所获利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)(2)当销售单价为140元时，每周销售球衣所获利润最大，最大利润为3600元
【分析】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）将y与x之间的函数关系式代入 ，根据二次函数的图象及x的取值范围计算即可．
【详解】（1）解：设 与 的函数关系式为： ，
代入 ，得 ，
解得 ，
即 关于 的函数关系式为 ；
（2）解：设每周销售球衣所获利润为 元，根据题意得，
，
，
∴ 有最大值，
，
∴当 时， 取最大值 ，
答：当销售单价为140元时，每周销售球衣所获利润最大，最大利润为3600元．
25．（10分）大连森林动物园坐落于大连市南部海滨白云山风景区内，如图 是大连森林动物园内的海达
索道，大连能看到海的索道．如图 是从莲花山观景台到南门一段索道的示意图，点 为莲花山观景台，
点 是海达索道在南门的停靠点．从山脚 处看 处的仰角为 ，从 处看 处的俯角为 ，点 与点
之间的距离 ，点 到山脚的距离 ．(1)求点 到山脚 的距离；
(2)求 的长（结果精确到 ）．（参考数据： ）
【答案】(1)点 到山脚 的距离约为
(2) 的长约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关
键．
（1）过 作 于 ，则 ，在 中，由 即可解
答；
（2）过 作 于 ，证明四边形 是矩形，所以 ，求得 ，
由 得 ，在 中，由 即可求解．
【详解】（1）解：如图，过 作 于 ，则 ，
在 中， ，
，
答：点 到山脚 的距离约为 ；
（2）解：如图，过 作 于 ，则 ，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，，
答： 的长约为 ．
26．（10分）如图， 中， 为 中点， 是
的外接圆．
(1)求 和 的长；
(2)利用尺规作图，过点 作线段 垂线，交 于点 ，保留作图痕迹；
(3)求 的半径．
【答案】(1) ，
(2)见解析
(3) 的半径为
【分析】本题主要考查圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，正确作出辅助线是
解答本题的关键．
（1）证明 即可得出答案；
（2）根据过直线外一点作已知直线的垂线傻即可；
（3）连接 并延长交 于点F，连接 ，在 中，求出 ，设 ，则 ，，运用勾股定理求出 ， ，解直角三角形求出 即可得解．
【详解】（1）解：∵
∴
∴ ,
∵ ， 为 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ （负值舍去）；
（2）解：如图， 即为所作：
（3）解：连接 并延长交 于点F，连接 ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵∴ ；
设 ，则 ， ，
在 中， ，
∴
解得， ， （舍去），
∴ ， ，
∵ 和 都是 所对的圆周角，
∴
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ 的半径为
27．（12分）若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是 ，则称这两个顶点关于这条底边互
为“唯美点”．
【概念理解】
（1）点 在线段 的垂直平分线上（点 在直线 上方），且 ．若点 与点 关于 互
为“唯美点”，则 ___________．
【性质探究】
（2）如图 ，在矩形 中， 为 边上一点，且 平分 ，交 于点 ，连接 ，
．求证：点 与点 关于 互为“唯美点”．
【拓展应用】
（3）如图 ，在矩形 中， 为线段 上一动点（不与端点重合）， 为平面内一
点，点 与点 关于 互为“唯美点”，直线 交直线 于点 ，在点 运动过程中，当 时，请直接写出 的长．
【答案】（1） 或 （2）见解析 （3） 或
【分析】（1）分两种情况讨论：情况一：点 与点 在 同侧；情况二：点 与点 在 异侧；计算
即可解答；
（2）证明 得 ， ，再结合
均为等腰三角形，其中 ，即可得证；
（3）分两种情况讨论： 当点 在线段 上时，如解图 所示，连接 ； 当点 在线段 的延长
线上时，如解图 所示，连接 ；综上即可解答．
【详解】．
解：（1）情况一：点 与点 在 同侧，
点 、 关于 互为“唯美点”，且 ，
，
又 点 在线段 的垂直平分线上，
， ，
， ，
则 ；
情况二：点 与点 在 异侧，
点 、 关于 互为“唯美点”，且 ，
，
又 点 在线段 的垂直平分线上，
， ，
， ，由于 、 在 异侧，
；
综上所述， 或 ，
故答案为： 或 ；
（2）证明： 平分 ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
又 均为等腰三角形，其中 ，
点 与点 关于 互为“唯美点”；
（3） 当点 在线段 上时，如解图 所示，连接 ，
点 与点 关于 互为“唯美点”，
，
，
又 ，
，
设 ，
， ，
，
，
在 中， ，
即 ，解得 ，
；
当点 在线段 的延长线上时，如解图 所示，连接 ，
同理 ，可得 ，
设 ，则 ，
，
在 中， ，
即 ，
解得 ，
，
综上所述， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和
定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ， ，与
轴交于点 ，点 为拋物线上一点，且横坐标为1，连接 ， ．(1)求拋物线的解析式；
(2)如图1，点 是第三象限内抛物线上的一个动点，点 为 轴上一个动点．过点 作 交 于点
，连接 交 于点 ．当 最大时，求 的最大值．
(3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线 方向平移，使平移后的拋物线经过点 ，点 为平
移后抛物线上一点， ，连接 ， ．点 为平面内任意一点，将 绕点 旋转 后得到
对应的 （点 ， ， 的对应点分别为点 ， ， ）．若 中恰有两个点落在平移后的
抛物线上（点 不与点 重合），求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点 的坐标为 或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出 ，待定系数法求出直线 的解析式为 ，过点 作 轴交 于 ，
过点 作 轴交 的延长线于 ，则 ，求出 ，得出 ，设
，则 ， ，证明 ，
，由相似三角形的性质结合二次函数的性质得出当 时， 有最大值，此时 ，由三角形任意两边之差小于第三边可得，当点 、 、
三点共线时， 的值最大，为 ，最后由勾股定理计算即可得解；
（3）求出直线 的解析式为 ，设将抛物线向右平移 个单位长度，向上平移 个单位长度，
求出平移后的抛物线的解析式为 ，其对称轴为直线 ，从而可得 ，设点 的
坐标为 ，由旋转的性质可得点 为 、 、 的中点，从而可得 ， ，
，再分三种情况：当点 、 在平移后的抛物线上时；当点 、 在平移后的抛物线上
时；当点 、 在平移后的抛物线上时，分别求解即可得解．
【详解】（1）解：将 ， 代入 得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：∵点 为拋物线上一点，且横坐标为1，
∴当 时， ，即 ，
设 的解析式为 ，
将 ， 代入解析式可得 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，如图，过点 作 轴交 于 ，过点 作 轴交 的延长线于 ，
则 ，
在 中，当 时， ，即 ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，此时 ，即 ，
由三角形任意两边之差小于第三边可得，当点 、 、 三点共线时， 的值最大，为 ，由勾
股定理可得
（3）解： ，
设直线 的解析式为 ，将 ， 代入解析式可得 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵将抛物线沿射线 方向平移，
∴设将抛物线向右平移 个单位长度，向上平移 个单位长度，
∴平移后的抛物线的解析式为 ，
∵平移后的拋物线经过点 ，
∴ ，
解得： （不符合题意，舍去）或 ，
∴平移后的抛物线的解析式为 ，其对称轴为直线 ，
∵ 为平移后抛物线上一点，
∴ ，即 ，
设点 的坐标为 ，
∵点 为平面内任意一点，将 绕点 旋转 后得到对应的 ，
∴点 为 、 、 的中点，
∴ ， ， ，
∵ 中恰有两个点落在平移后的抛物线上，∴当点 、 在平移后的抛物线上时， ，
解得： ，此时 ；
当点 、 在平移后的抛物线上时， ，
解得： ，此时 ，与点 重合，故不符合题意，舍去；
当点 、 在平移后的抛物线上时， ，
解得： ，此时 ；
综上所述，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—相似三角形的判定与性质、旋转的性
质、求一次函数解析式、二次函数图象的平移等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅
助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
