文档内容
2025 年中考第三次模拟考试（广州卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 选择题
(共30分)
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求.）
1． 的值是
A． B．2 C． D．
2．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是
A． B． C． D．
4．如图，直线 ，直线 ，若 ，则
A． B． C． D．
5．为贯彻教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的实施意见》文件精神，某学校积极开设日常
生活劳动教育课．某班在调查中发现，全班同学每周做家务情况如下：
天数 1 2 3 4 5 6 7
人数 3 5 8 14 9 5 2则这组数据的众数和中位数分别为
A．4和5 B．4和4 C．14和5 D．14和4
6．某公司准备铺设一条长 的道路， 由于采用新技术， 实际每天铺路的速度比原计划
快 ，结果提前 2 天完成任务 ． 设原计划每天铺设道路 ，根据题意可列方程为
A ． B ．
C ． D ．
7．如图， 是半圆 的直径，点 在半圆上， 是半圆的切线， ，若 ，则
的度数为
A． B． C． D．
8．关于 的方程 有两个实数根 ， ，且 ，那么 的值为
A． B． C． 或1 D． 或4
9．如图，在矩形 中， ， ， 是矩形 的对角线，将 绕点 逆时针旋转
得到 ，使点 在线段 上， 交 于点 ， 交 于点 ，则 的值为
A． B． C． D．
10．如图，等腰 与矩形 在同一水平线上， ， ，现将等腰 沿箭
头所指方向水平平移，平移距离 是自点 到达 之时开始计算，至 离开 为止．等腰 与
矩形 的重合部分面积记为 ，则能大致反映 与 的函数关系的图象为A． B． C． D．
第二部分 非选择题
(共90分)
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.）
11．因式分解： ．
12．如果分式 有意义，那么实数 的取值范围是 ．
13．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识
——杠杆原理，即“阻力 阻力臂 动力 动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为 和 ，
则这一杠杆的动力 与动力臂 之间的函数关系式是 ．
14．如图，在△ 中， ， 平分 与 相交于点 ， 于点 ，若 ，
， ，则 的长为 ．
15．如图，在矩形 中，若 ， ， ，则 的长为 ．
16．如图，已知点 是反比例函数 图象上的动点， 轴， 轴，分别交反比例函数的图象于点 、 ，交坐标轴于点 、 ，连接 ．现有以下四个结论：
① ；
②连接 ，则有 ；
③△ 的面积是个定值；
④不存在一点 ，使得△ △ ．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字、证明过程与演算步骤.）
17.（本小题满分4分）解关于 的不等式组： ，把解集在数轴上表示出来．
18.（本小题满分4分）如图，已知平行四边形 中，点 是对角线 上一点， ，延长
交边 于点 ．求证： ；
19.（本小题满分6分）已知 ，其中 ．
（1）判断 与 的大小关系，并说明理由．
（2）若 为整数时，设 ，求整数 的值．
20.（本小题满分6分）如图， ， ， ， 是圆 上的四个点， 是直径，连接 ，直线 是圆的切线， ．
（1）求证： ；
（2）尺规作图：过点 作圆 的切线 ．
（保留作图痕迹，不写作法）
21.（本小题满分8分）打造书香文化，培养阅读习惯，某校举行了以“礼、才、恩”为主题的读书活动，
开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍 ：政史类， ：文学
类， ：科技类， ：艺术类， 其他类）．柳老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，
根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数共有 名，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中， 类所对应的扇形的圆心角度数是 ；
（3）甲同学从 ， ， 三类书籍中随机选择一类，乙同学从 ， ， 三类书籍中随机选择一类，请
用列表或画树状图的方法，求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
22.（本小题满分10分）手机普及率的提高对社会和个人产生了多方面的影响，例如在经济方面不仅推动
了消费升级，还重塑了传统商业模式，由此催生的“手机直播”正逐渐演变为一种新兴社会潮流．如图1
是一种常见的悬臂式手机直播支架，图2和图3是其几何示意图，手机支架的底座 放置于水平地面上，
立杆 ，支杆 可绕点 旋转，悬臂 的长度可以调节，已知 ， ．
（1）如图2， 、 、 三点共线，先将支杆 绕点 顺时针旋转 ，再将悬臂 绕 点旋转，同
时调节悬臂 的长度（如图 ，此时 ，求点 到地面的距离；
（2）在（1）的条件下，点 到地面的距离为 ，求调节后悬臂 的长．（结果精确到 ．参考数据： ，
23.（本小题满分10分）按照国际标准，打印用的 系列纸为矩形．如图1，将 纸沿长边中点连线对折、
裁开，便成 纸；将 纸沿长边中点连线对折、裁开，便成 纸；将 纸沿长边中点连线对折、裁开，
便成 纸；将 纸沿长边中点连线对折、裁开，便成 纸 并且通过以上操作得到的矩形纸都是相似
图形．
（1）请直接写出 系列纸的长宽比为 ；
（2）将 纸按如图2所示的方式折叠，求证： ；
（3）在图2的最后一幅图中，记 与 的交点为点 ，连接 和 ，得到图3，求证：四边形
为菱形．
24.（本小题满分12分）（1）【提出问题】数学课上，老师提出问题：如图 1，在等腰 △ 中，
，点 在 边上，以 为边作正方形 ，点 在 边上，连接 ，点 为线段
的中点，连接 ， ．以点 为对称中心，画出△ 关于点 对称的图形，并直接写出 与 的
位置及大小关系 ；
（2）【类比探究】在等边△ 中， 、 分别是 、 边上一点，且 ，以 、 为邻
边作菱形 ，再将菱形 绕 点顺时针旋转一定角度后得到新的菱形 如图2，连接 ，
点 为线段 的中点，连接 、 ，判断 与 的位置及大小关系，并证明你的结论；
（3）【迁移运用】在（2）的条件下，若 ， ，菱形 在旋转过程中，当 最小时，直接写出 的值 ．
25.（本小题满分12分）已知抛物线 ， 是常数， 的顶点为 ，与 轴相交于点
和点 ，与 轴相交于点 ，抛物线的对称轴与 轴相交于点 ．
若 ，
①求点 的坐标；
②点 是线段 上一点，当 时，求点 的坐标；
（Ⅱ）若 ，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．当 取最
大值时，点 恰好落在抛物线上，求 的值．
