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2025 年中考第一次模拟考试（武汉卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．中国古代数学著作《九章算术》就最早提到了负数； 的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相反数的定义．熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
相反数是指绝对值相等，正负号相反的两个数．根据相反数的定义进行判断即可．
【详解】解： 的相反数是 ．
故选B．
2．如图所示图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图
形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选B．
3．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．明天太阳从东方升起 B．平面内不共线的三点确定一个圆
C．任意画一个三角形，其内角和是 D．经过有交通信号的路口时遇见红灯
【答案】D
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、明天太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意；
B、平面内不共线的三点确定一个圆，是必然事件，不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是540°，是不可能事件，不符合题意；
D、经过有交通信号灯的路口时遇到红灯，是随机事件，符合题意；
故选：D．
4．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释．现有三种类型卡片A、B、C，想要拼
成如图所示长方形，则还需要C类型卡片（ ）张
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了多项式乘多项式，利用长方形面积公式表示出长方形的面积，即可确定出所求．
【详解】解：根据题意得大长方形的长为 ，宽为 ，
所以，面积为： ，
所以，需要C类卡片5张，
故选：C．
5．下列各种现象中，属于中心投影现象的是（ ）
A．阳光下旗杆的影子 B．台灯下书本的影子
C．太阳光下广告牌的影子 D．正午阳光下的树影
【答案】B【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，根据平移投影
和中心投影的定义对各选项进行判断．
【详解】解：A、阳光下旗杆的影子为平行投影，所以A选项不合题意；
B、台灯下书本的影子为中心投影，所以B选项符合题意；
C、阳光下广告牌的影子为平行投影，所以C选项不合题意；
D、正午阳光下的树影为平行投影，所以D选项不合题意．
故选：B．
6．两条直线 与 在同一直角坐标系中的图像位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数图像的识别，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．根据题目中
各函数图像，分析函数解析式中一次项系数和常数项的正负情况，然后结合函数解析式分析判断即可．
【详解】解：A.由图像可知，两直线应满足 和 ，两直线解析式不满足此条件，本
选项错误，不符合题意；
B. 由图像可知，两直线应满足 和 ，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符
合题意；
C. 由图像可知，两直线应满足 和 ，两直线解析式满足此条件，本选项正确，符合
题意；D. 由图像可知，两直线应满足 和 ，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不
符合题意．
故选：C．
7．如图，反比例函数 的图象与直线 交于点 与 轴交于点 轴于点 ，连接 ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了反比例函数的性质和比例系数 的几何意义，连接 ，由 得 ，根据平
行线间的距离可得 ，熟练掌握反比例函数的性质和比例系数 的几何意义是解题的关键．
【详解】如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故选： ．
8．若 且a、b为正整数，当分式方程 的解为整数时，所有符合条件的b的值和为
（ ）
A．277 B．240 C．272 D．256
【答案】C
【分析】此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键．把 代入方程，再解
方程可得 ，且 ， ； ，再分类讨论即可得到答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
两边都乘以 ，得
，
解得 ，且 ， ； ，
∴ 且 ，
解得： ， ，
∵正整数 使关于 的分式方程 的解为整数，
∴ ，
∴ 或15或39或65或195，
即 或5或29或55或185，
其中 不符合题意，
∴ ，
故选C．
9．如图，在平面直角坐标系中， 的一条直角边 在x轴上，点A的坐标为 ； 中，， ， ，连接 ，点M是 中点，连接 ．将 以点O为旋转
中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段 的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】D
【分析】如图所示，延长 到E，使得 ，连接 ，根据点A的坐标为 得到 ，再
证明 是 的中位线，得到 ；解 得到 ，进一步求出点C在以O为圆心，
半径为6的圆上运动，则当点M在线段 上时， 有最小值，即此时 有最小值，据此求出 的最
小值，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长 到E，使得 ，连接 ，
∵ 的一条直角边 在x轴上，点A的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点M为 中点，点A为 中点，∴ 是 的中位线，
∴ ；
在 中， ，
∴ ，
∵将 以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，
∴点C在以O为圆心，半径为6的圆上运动，
∴当点M在线段 上时， 有最小值，即此时 有最小值，
∵ ，
∴ 的最小值为 ，
∴ 的最小值为： ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，解直角三角形，三角形中位线定理，坐
标与图形等等，正确作出辅助线是解题的关键．
10．如图，如图，直线 与抛物线 的图象都经过 轴上的 点，抛物线与 轴交于
、 两点，其对称轴为直线 ，且 ．直线 与 轴交于点 （点 在点 的右侧）．
则下列命题中正确的个数是（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查了抛物线的性质，解决本题的关键是利用图象判断系数的符号以及一次函数的性质．
根据抛物线的性质逐项判断即可．由抛物线的开口判断 的符号；由对称轴判断 及 与 的关系；还可
由图象上点的坐标判断．【详解】解： 抛物线开口向上，
．
抛物线对称轴是直线 ，
且 ．
抛物线与 轴交于正半轴，
．
∴ 错误；
①
故 是正确；
直②线 经过一、二、四象限，
．
当x=0时，则 ，
，
点 的坐标为 ．
直线 当 时， ，
可得 ．
正确；
③
直线 与抛物线 的图象有两个交点
，
得 ， ，
由图象知 ，
，
，
正确．
∴综④上，正确的命题有3个．
故选：D．第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若 ，则2x+6的平方根是 ．
【答案】 2
【分析】根据 ，解得 ，继而计算 ，再根据平方根的定义解答．
【详解】解： ，
4的平方根是 2
故答案为： 2．
【点睛】本题考查平方根与算术平方根，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
12．你知道吗？我们赖以生存的美丽地球是一个近似于圆形的球体，它的半径长约 千米．如果让
你做一次旅行，沿着轨道乘“天宫一号”20天走完等于地球半径长的路程，则“天宫一号”平均每天要飞
行 千米．（结果用科学记数法表示）
【答案】
【分析】用半径除以时间，得出“天宫一号”平均每天要飞行距离，再用用科学记数法表示即可．
【详解】解： 千米 千米，
∴“天宫一号”平均每天要飞行距离 （千米），
7480000用科学记数法表示为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对
值大于1的数的方法：将原数化为 的形式，其中 ，n为整数，n的值等于把原数变为a
时小数点移动的位数．13．已知直线 与直线 交点在坐标轴上，则b= ．
【答案】2或
【分析】求出直线 与x轴y轴的交点坐标，即得直线 与直线 在坐标轴上的交点
坐标，把两交点坐标分别代入 即得b的值．
本题主要考查了两直线在坐标轴上的交点．熟练掌握一次函数与一元一次方程，待定系数法求解析式，是
解决问题的关键．
【详解】在 中，
当 时， ，
当 时， ， ，
∴图象与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ，
∵直线 与直线 交点在坐标轴上，
∴ ，或 ，
∴ ，或 ．
故答案为：2或 ．
14．如图，热气球探测器显示，从热气球 处测得一栋楼顶部 处的仰角是 ，测得这栋楼的底部 处
的俯角是60°，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是 米（精确到0.1米）（参
考数据： ， ， ， ）
【答案】73.5
【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，锐角三角函数，解答此类问题的关键是明确题
意，利用锐角三角函数解答．过点 作 于点 ，则 米，在 中和 中，根
据锐角三角函数中的正切可以分别求得 和 的长，从而可以求得 的长，本题得以解决，
【详解】过点 作 于点 ，由题意可得， 米， ，
在 中， ，
在 中， ，
即这栋楼的高度 是73.5米．
故答案为：73.5．
15．如图，在 中， ，点 为射线 上的动点（点 不与 ， 重合），直线
于点 ，交直线AB于点 ．若 ，则 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了解直角三角形，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，分当点 在线段
上时，当点 在线段 的延长线上时，分别画出图形，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：当点 在线段 上时，如图所示，过点 作 于点 ，∵
∴
∵
设 ，则 ， ，
∴ ，
∵
∵ ，
∴ ，
∴ ，则
∵
∴ ，
∴ ，则
∵
∴ ；
当点 在线段 的延长线上时，如图所示，过点 作 交 的延长线于点 ，∵
设 ，则 ， ，
∴ ，
∵
∵ ，
∴ ，
∴ ，则
∵
∴ ，则
∵
∴
∴
∴
综上所述， 或 ，
故答案为： 或 ．
16．如图，正方形 和正方形 的顶点 在同一条直线上，顶点 在同一条直线上，
是 的中点， 的平分线 过点 ，交 于点 ，连接 交 于点 ，连接 ．以下四个结论： ； ； ； ，其中正确的有 （填序
号）．
【答案】①③
【分析】 先利用正方形的性质证明 ，然后有 ，通过等量代换可得
，则 ，即可判断 的正误；
通过直角三角形斜边中线的性质得出点 在正方形 的外接圆上，然后根据圆周角定理的推论得出
，即可判断 的正误；
首先证明 ，则有 ，进而可得 ，由此可判断 的正误；
先得出 是 的中位线，则 ， 然后根据平行线分线段成比例得出
，则有 ，进而可求出 ，又因为 ，则
可判断 的正误．
【详解】∵四边形 和四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，故 正确；
∵ 是直角三角形， 是 的中点，
∴ ，
∴点 在正方形 的外接圆上．
∵ ，
∴ ，
∴ ，故 错误；
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故 正确；
∵四边形 是正方形，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 与 高相同，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故 错误．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比
例，掌握正方形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例是解题的
关键．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。解答应写
出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）
解关于 的分式方程： ．
【答案】无解
【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式
方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．两边都乘以 化为整式方程求解，然后验根即可．
【详解】解：方程两边都乘 ，得 ，（3分）
解这个方程，得 ，（6分）
经检验， 是增根，
所以分式方程无解．（8分）18．（8分）
如图，在 和 中， ，点B、F、C、E在一条直线上．
求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用 证明直角三角形全等是解题的关键．
先运用 证明 ，由全等三角形的性质可得 ，然后根据线段的和差即可证明
结论．
【详解】证明： ，
∴在 和 中，
，（6分）
∴ ，（6分）
∴ ，
∴ ，即 ．（8分）
19．（8分）
“2024年9月22日，太原举行马拉松比赛”，赛事共有四项：A“马拉松”、B“半程马拉松”、C“迷你马拉
松”、D“家庭亲子跑”．小凡、小明和小颖参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配
到四个项目组．
(1)为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，小凡对部分参赛选手作如下调查：
调查总人数 50 100 200 500 1000
参加“迷你马拉松”
21 45 79 200 401
人数
参加“迷你马拉松”
______
频率①请填出表中所缺的数据．
②请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率______．（精确到 ）
③若本次参赛选手大约有40000人，请你估计参加“迷你马拉松”的人数是多少？
(2)利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖至少有一人被分配到“迷你马拉松”项目组的概率．
【答案】(1)① ；② ；③16000人
(2)
【分析】（1）①用频数除以总数即可得到答案；②根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值进行求
解即可；③用总人数乘以参加“迷你马拉松”人数的概率即可得到答案．
（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到小明和小颖至少有一人被分配到“迷你马拉松”项目组
的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：① ，（1分）
故答案为： ；
②观察表格可知，说着调查人数的增多，参加“迷你马拉松”频率稳定在 左右，
∴估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率 ，
故答案为： ；（2分）
③ 人，
∴估计参加“迷你马拉松”的人数是16000人；（3分）
（2）解：列表如下；
小明 小颖 A B C D
A
B
C
D
由表格额裤子，总共有16种等可能的结果，其中小明和小颖至少有一人被分配到“迷你马拉松”目组的结
果有7种，（6分）
∴P（至少有一人被分配到“迷你马拉松”项目组） ．（8分）
【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，用频率估计概率，已知概率求数量，求频率等等，
熟知相关知识是解题的关键．20．（8分）
如图， 的直径为 ，点 在圆周上（异于 ， ）， ．
（1）若 ， ，求图中扇形 的面积．
（2）若 是 的平分线，求证：直线 是 的切线．
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【解析】（1）根据圆周角定理确定圆心角 ，然后运用扇形的面积公式即可；
（2）先根据角平分线的性质和相似三角形的知识得到∠OCA=∠CAD，OC//AD；再根据AD⊥CD ，得到
OC⊥CD即可证明结论．
【详解】解：（1） ，
，
，
；（4分）
（2）证明：∵AC是∠DAB的角平分线
∴∠OAC=∠DAC
∵OA=OC
∴∠0AC=∠OCA
∴∠DAC=∠OCA
∴OC//AD
又∵AD⊥DC.
∴OC⊥CD
∴DC是圆O的切线．（8分）
【分析】本题主要考查的是圆周角定理、求扇形的面积、切线的判定方法，掌握切线的判定方法是解答本
题的关键．21．（8分）
如下图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点均为格点，请用无刻度直尺
完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
(1)在图1中，将△ABC绕点O旋转 得到 ，请画出 和点O；
(2)在图1中，在 边上找点P，使得 ；
(3)在图2中， 经过A，B，C三个格点，作 的角平分线；
(4)在图2中，在（3）的条件下， 上一点N不在网格线上，作弦 弦 ．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
(4)图见解析
【分析】（1）根据中心对称图形的性质，得到 ，得到四边形 为平行四边形，在
下方确定点 使四边形 为平行四边形，连接 ， 与 的交点即为点 ；
（2）取点 关于 的对称点 ，连接 ，交 于点 ，点 即为所求；
（3）取 的中点 ，过点 作 ，交 于点 ，连接 ，即为所求；
（4）连接 ，交 于点 ，取格点 ，连接 交 于点 ，连接 并延长，交 于点 ，连接
即可．
【详解】（1）解：如图所示， 和点O，即为所求；
由作图可知，四边形 为平行四边形，
∴ 可看作△ABC绕点O旋转 得到；（2分）
（2）如图所示，点 即为所求；由作图可知： ；（4分）
（3）如图所示， 即为所求；
由作图和垂径定理可知： ，
∴ ；（6分）
（4）如图所示，点 即为所求；
由作图可知： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 与点 关于 对称，
由圆的对称性可知： ．（8分）
【点睛】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定
理等知识点，综合性强，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
22．（10分）
发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发
石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形ABCD，墙宽BC为2米，点B与点O
的水平距离为23米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线 ．
(1)若发射石块在空中飞行的最大高度为9米．
①求函数解析式（不写x的范围）；
②石块能否飞越防御墙？
(2)若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括点B，C），求出a的取值范围？
【答案】(1)① ；②石块不能飞越防御墙
(2)
【分析】本题考查了二次函数的实际应用；
（1）①根据题意，设石块运行的函数关系式为 ，将 代入解析式，待定系数求得
；
②将 代入 ，得出 ，将 代入， 得出 ，即可求
解．
（2）根据抛物线过原点，可得 ，将 分别代入 求得
的值，进而结合题意，即可求解．
【详解】（1）解：①设石块运行的函数关系式为 ，
将 代入，得 ，
解得 ．
所以抛物线的解析式为 ．（3分）②石块不能飞跃防御墙．
理由如下：将 代入， ；
将 代入， ．所以石块不能飞跃防御墙．（6分）
（2）解：∵ 过点
∴
∴
∴
依题意 分别代入 ，
即 或
解得： 或
∴ ．（10分）
23．（10分）
在 中， ，E是 边上一动点，连接 ．
(1)如图1，若 ， 交 于点M，求证： ．
(2)在（1）的条件下，如图2，若 ，以 为边，在 右侧作正方形 ，连接 ，当点E
在 上运动时（不与B、C重合）， 的大小是否发生变化，如果变化，请说明理由．如果不变，请
求出 的度数．(3)如图3，点P在正方形 的边 延长线上，且 ，在直线 的右侧作 ，且
，R为线段 的中点，当点E从点B运动到点C时，求出点R运动路径长度，并简要说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)不变，
(3) ，理由见解析
【分析】（1）如图1中，先证明四边形 是菱形，再证明 即可解决问题．
（2）由“ ”可证 ，可得 ， ，可证 ，可求 ，
即可求解；
（3）连接 ，作 交 于J．利用全等三角形的性质证明 ，点R的运动轨迹是
线段 ，求出 的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，且
∴四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．（2分）
（2）解： 的大小不会变化，
∵四边形 是菱形，且 ，
∴四边形 是正方形，
过点F作 ，交 的延长线于H，如图，∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；（6分）
（3）解：如图中，连接 ，作 交 于J．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点R的运动轨迹是线段 ，
∵点E从B运动到C时， ，
∴ ，
∴ ，（10分）
∴当点E从点B运动到点C时，点R运动的路径长为 ．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，
等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
24．（12分）
综合与探究
如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接 ．若
点P在线段 上运动（点P不与点 重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．
设点P的横坐标为m．(1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线 的函数解析式．
(2)若 ，求m的值．
(3)在点P的运动过程中，是否存在m使得 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不
存在请说明理由．
【答案】(1) ， , ；直线 的解析式为
(2)
(3)当 或 时， 为等腰直角三角形
【分析】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判断与性质等知识：
（1）令 ，求出x的值，得点A，B的坐标，令 ，得 ，可得点C坐标，再设直线 的解析
式为 ，把B(4,0)， 代入并求出k，b的值即可；
（2）设 ，得 ， ，求出 ， ，根据
列方程，求出方程的解即可；
（3）先证明 是等腰直角三角形，得 ，再分 和 两种情况列出关
于m的方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：对于 ，当 时， ，
解得， ，
∵点A在点B的左侧，
∴ ，B(4,0),
当 时， ，∴ ；
设直线 的解析式为 ，
把B(4,0), 代入解析式得，
，
解得，
∴直线 的解析式为 ；（4分）
（2）解：∵点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为
∴ ， ，
∴ ； ，
∵ ，
∴ ，
整理得， ，
解得， ， （不合题意，舍去）
∴ ；（8分）
（3）解：由②知 , ， ，
∵ ，
∴ ，
又 轴，
∴
∴ ,若 是等腰直角三角形，则有：
①当 时，连接 ，如图，
∴ ，
∵
∴
∴ 轴，
∴
∴ ，
解得， 或 （不合题意，舍去）（10分）
②当 时，如图，连接 则 作 于点K，
则 且 轴，
∴
∵∴
∴ ，
∵
∴
解得， 或 （不符合题意，舍去），
综上，当 或 时， 为等腰直角三角形.（12分）
