文档内容
2025 年中考押题预测卷（泰州卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化
遗产代表作名录，下列剪纸作品中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握：把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋
转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形
【详解】解：A．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂相乘、完全平方公式，根据幂的乘方与积的乘方、同
底数幂相乘、完全平方公式逐项判断即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：A、 ，故原选项计算错误，不符合题意；
B、 ，故原选项计算错误，不符合题意；C、 ，故原选项计算正确，符合题意；
D、 ，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
3．2025年春节档热映多部精彩影片，小亮、小明分别从《哪吒2》、《唐人街探案3》、《射雕英雄传》
三部影片中随机选取一部观看，两人都选择观看《哪吒2》的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人都
选择观看《哪吒2》的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：设分别用A、B、C表示《哪吒2》、《唐人街探案3》、《射雕英雄传》三部电影，列表如
下：
小亮
小明
由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两人都选择观看《哪吒2》的结果数有1种，
∴两人都选择观看《哪吒2》的概率为 ，
故选：B．
4．下列实数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．3.14
【答案】C
【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： ， 等；开方开不尽的数；
以及像 等有这样规律的数．无理数即无限不循环小数．
【详解】解：A． 是分数，属于有理数，故本选项不合题意；B． 是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C． 是无理数，故本选项符合题意；
D．3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：C．
5．如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注
水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度 与注水时间 关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查函数的图象，根据题意可分两段进行分析：当水的深度未超过球顶时；当水的深度
超过球顶时．分别分析出水槽中装水部分的宽度变化情况，进而判断出水的深度变化快慢，以此得出答案．
【详解】解：当水的深度未超过球顶时，
水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽，
所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢；
当水的深度超过球顶时，
水槽中能装水的部分宽度不再变化，
所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化．
综上，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升．
故选：D．
6．如图，四边形 是矩形，过点C的直线分别与 的延长线交于点E，F，且 ．点G，
H分别在 上，且 ，连接 ，则下列结论不正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，勾股
定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点依次判断即可得出结果．根据矩形的性质、平行线分线
段成比例及相似三角形的判定和性质即可判断A、B，过点E作 ，交 的延长线于点P，连接
，利用全等三角形的判定和性质，勾股定理即可判断C、D．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∴选项A，B都是正确的，不符合题意；
如图，过点E作 ，交 的延长线于点P，连接 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ．
∵ ，
∴ ．
在 中，根据勾股定理，得 ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴选项C正确，不符合题意．
∵由所给条件无法证明． ，
∴选项D不正确，符合题意；
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共24分）
7．若二次根式 有意义，则 的取值范围是 ．【答案】 /
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式 是解题
的关键；
根据二次根式 ，以及分母不能为零，进行计算即可．
【详解】 二次根式 有意义，
，且 ，
，
故答案为： ．
8．3月8日晚间，据灯塔专业版数据，《哪吒2》全球票房（含预售及海外）已超 亿元， 亿用科学
记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查了科学记数法，其表示形式为 ，其中 ， 为整数，正确确定 和 的值
是解题的关键．
因为 ，即可得到答案．
【详解】解： 亿 ，
故答案为： ．
9．在平面直角坐标系 中，若函数 的图象经过点 和 ，则 的值是
.
【答案】0
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质
是解题的关键．
将点 和 代入 ，求得 和 ，再相加即可．
【详解】解：∵函数 的图象经过点 和 ，∴有 ，
∴ ，
故答案为：0．
10．一组数据5，2，5，7，6的方差为 ．
【答案】2.8
【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义与计算公式．先计算出这组数据的平均数，再
根据方差的定义列式计算即可．
【详解】解：这组数据的平均数为 ，
这组数据的方差为 ，
故答案为：2.8．
11．已知关于 的方程 的一个根为 ，则另一个根为 ．
【答案】6
【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，熟练掌握若一元二次方程 两根为 ，
，则 ， 是解决问题的关键．
根据一元二次方程根与系数关系 ，结合关于 的方程 的一个根为2，代入求解
即可得到另一个根．
【详解】解： 关于 的方程 的一个根为 ，
根据根与系数关系可得 ，即 ，解得 ，
故答案为：6．
12．在中国历法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，它们经常和其它汉字
来搭配命名，如化学中的“甲烷、乙烷、丙烷”等，如图为有机物甲烷、乙烷、丙烷的分子结构图，请你
依照规律，推测出壬烷中“ ”的个数为 ．【答案】20
【点睛】本题考查图形类规律探究，解答本题的关键是明确题意，发现“ ”的个数的变化特点．
根据题目中的图形，可以发现“ ”的个数的变化特点，然后即可写出癸烷分子结构式中“ ”的个数．
【详解】解：由图可得，
甲烷分子结构式中“ ”的个数是 ；
乙烷分子结构式中“ ”的个数是 ；
丙烷分子结构式中“ ”的个数是 ；
，
可以总结出规律：对于n烷（n为天干顺序数），其分子中 “H” 的个数为 ．
∵“壬” 是十天干中的第9个，即 ．
∴壬烷分子结构式中“ ”的个数是： ；
故答案为：20．
13．用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
【答案】
【分析】先求出扇形的弧长，再根据圆的周长公式，即可求解．
【详解】∵扇形的弧长= ，
∴圆锥的底面半径= ÷2π= ．
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式，掌握圆锥的底面周长等于圆锥展开扇形的弧长，是解题的关键．
14．如图， 是等边三角形，经过点A的 与 边相切于点H，与 ， 相交于点D，E．若
， 的半径是 ，则图中阴影区域的面积为 ．【答案】
【分析】如图，连接 ， ， ，结合题意可得 ， ，
， ， ， ，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，连接 ， ， ，
∵经过点A的 与 边相切于点H， 是等边三角形，
∴ ， ， ， ， ，
，
∵ ，
∴ ，
∵ 的半径是 ， 为直径，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，∴ ；
故答案为：
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，圆周角定理的应用，切线的性质，三角函数的应用，求解扇形
的面积，作出合适的辅助线是解本题的关键．
15．抛物线 的顶点为 ，与 轴的一个交点 在点 和 之间，其部
分图象如图，有以下结论：① ；②若 ， 是图象上的两点，则 ；③
；④若方程 没有实数根，则 ；⑤ ．其中结论正确的是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 二次
项系数 决定抛物线的开口方向和大小：当 时，抛物线向上开口；当 时，抛物线向下开口；
一次项系数 和二次项系数 共同决定对称轴的位置：当 与 同号时 即 )，对称轴在 轴左；当
与 异号时 即 )，对称轴在 轴右； 常数项 决定抛物线与 轴交点．抛物线与 轴交于 ．
根据抛物线与 轴有两个交点，可得 ，据此解答即可； 根据抛物线的对称轴 ，开
口向下，据此判断即可； 根据抛物线与 轴的一个交点A在点 和 之间，可得抛物线与
轴的另一个交点在点 和 之间，所以当 时 ，据此判断即可； 根据
的最大值是 ，可得方程 没有实数根，则 ，据此判断即可； 首先根据抛物线的
对称轴 ，可得 ，然后根据 ，判断出 即可．【详解】解： 抛物线与 轴有两个交点，
，
结论 不正确．
抛物线的对称轴 ，开口向下， ， 是图象上的两点，
，
结论 正确．
抛物线与 轴的一个交点A在点 和 之间，
抛物线与 轴的另一个交点在点 和 之间，
当 时， ，
结论 正确．
的最大值是 ，
方程 没有实数根，则 ，
结论 正确．
抛物线的对称轴 ，
，
，
，
，
结论 正确．
综上，可得正确结论的序号是： ．
故答案为： ．
16．如图，四边形 中， ， ，连接 并过点D作对角线 的垂线交 于点
E，交 于点F，若 ， ， ，则 的长为 ．【答案】
【分析】连接 ，过点D作 于点M，过点D作 ，交 的延长线于点N，证明四边形
是正方形，再利用 ，勾股定理列式解答即可．
【详解】解：连接 ，过点D作 于点M，过点D作 ，交 的延长线于点N，由
，
∴四边形 是矩形，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
则 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角函数的应
用，勾股定理，熟练掌握性质，函数的应用和定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共10个小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题12分）
（1）计算： ．
（2）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）5（2） ，数轴见解析
【分析】本题考查了负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，二次根式的化简，解不等式组，掌握这些知识点的综合应用是解本题的关键．
（1）先算出负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，二次根式的化简，最后进行加减运算；
（2）解不等式①，得 ，解不等式②，得 ，最后借助数轴求出这个不等式组的解集．
【详解】解：（1）
；
（2） ，
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
把它的解集在数轴上表示出来如图：
原不等式组的解集为 ．
18．（本题8分）
综合与实践：为了提高学生的防溺水意识，某校举行了“珍爱生命，远离溺水”安全知识竞赛，并对收集
到的数据进行了整理、描述和分析．
【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩（满分 分，所有竞赛成绩均不低于 分）组成一个样本．
【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成 ， ， ， 四组进行整理，如下表．
组别
成绩 /分
人数
【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图．其中 组具体成绩的样本数据分别为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题．
(1)填空： ______， ______．补全条形统计图．
(2) 组成绩的样本数据的众数是______，样本数据的中位数是______．
(3)若竞赛成绩 分以上（含 分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的 名学生中成绩为优秀的人数．
【答案】(1) ； ，图见解析．
(2) ； ．
(3)估计该校参加竞赛的 名学生中成绩为优秀的人数为 ．
【分析】（1）由条形统计图和扇形统计图信息关联，计算出抽取的学生人数以及 、 的值；
（2）根据众数、中位数定义求解即可；
（3）根据题意，用样本估计整体进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意得，共抽取学生 人，
组人数为 人，
组人数为 人，
即 ， ，
补全条形统计图如下：
故答案为： ； ．
（2）解： 组数据中 出现的次数最多，
组成绩的样本数据的众数是 ，共抽取学生 人，即样本数据共 个，取中间两个数据的平均数为这组数据的中位数，
应取样本数据从小到大排列后的第 、 个数据计算平均数，
又 组 人， 组 人， 组 人，
第 、 个数据分别是 ， ，
中位数是 ，
故答案为： ； ．
（3）解：所抽取学生中成绩为优秀的概率是 ，
该校参加竞赛的 名学生中成绩为优秀的人数为 人．
【点睛】本题考查的知识点是条形统计图和扇形统计图信息关联、求众数、求中位数、由样本所占百分比
估计总体的数量，解题关键是熟练掌握由样本所占百分比估计总体的数量．
19．（本题8分）
物质的变化通常被分为物理变化和化学变化．某兴趣小组整理了生活中常见物质的变化，并将其中两个物
理变化和两个化学变化分别写在如图所示的四张卡片正面（四张卡片除正面汉字不同外，其余均相同），
将卡片背面朝上洗匀放置在桌面上，甲乙两人依次不放回地随机抽取一张卡片．
(1)甲抽到的卡片上是化学变化的概率为 ；
(2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人抽到的卡片上均是物理变化的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（ ）直接根据概率公式求解即可；
（ ）画树状图可得出所有等可能的结果数以及符合条件的结果数，再利用概率公式可得出答案；
本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键．
【详解】（1）解：甲抽到的卡片上是化学变化的概率为 ，
故答案为： ；
（2）将四张卡片分别记作 ，
画树状图如下：由树状图可知，共有 种等可能的结果，其中甲、乙两人抽到的卡片上均是物理变化的有 种，
∴甲、乙两人抽到的卡片上均是物理变化的概率为 ．
20．（本题8分）
如图是两个 的正方形方格，每个正方形的顶点叫做格点，线段 的两个端点就是格点．下面请根据
要求，用无刻度直尺作图（不可超出边界），做出一种情况即可．
(1)在图1中找到两个格点E、F，连结 ，使得 平分 ；
(2)在图2中找到两个格点G、H，连结 ，使得 垂直 （G、H不与A、B重合）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了无刻度直尺作图、全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的
关键．
（1）线段 是三个方格的对角线，连接中间方格的对角线，记为 ，即可得到 平分 ；
（2）线段 是水平方向三个方格的对角线，在竖直方向上同样找到三个方格的对角线，记为 ，即可
得到 垂直 ．
【详解】（1）解：如图，设 与 交于点 ，
由图可得， ， ， ，
，
，
，
平分 ，
格点E、F即为所求（答案不唯一）．
（2）解：如图，
设 与 交于点 ，
由图可得， ， ， ，
，
，
，即 ，
，
，
格点G、H即为所求（答案不唯一）．
21．（本题10分）
阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式 的值为零，则解得 ， ．又因为
，所以关于x的方程 的解为 ， ．(1)理解应用：方程 的解为： ______， ______；
(2)知识迁移：若关于x的方程 的解为 ， ，求 的值；
(3)拓展提升：若关于x的方程 的解为 ， ，且 ，求k的值．
【答案】(1)3，
(2)
(3)
【分析】（1）类比题目中的例子可得 或 ；
（2）由题意可得 ，再由完全平方公式可得 ；
（3）方程变形为 ，根据 ，得方程，求解即可．
【详解】（1）解： 的解为 ， ，
的解为 或 ，
故答案为：3， ；
（2）解： ，
， ，
；
（3）解： 可化为 ，
，
，
．
【点睛】本题考查分式方程的解，一元二次方程的根与系数的关系，理解题意，灵活求分式方程的解，并
结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键．22．（本题10分）
某学校与部队联合开展红色之旅研学活动，已知营地、学校、仓库、基地依次在同一条直线上，仓库距离
营地 ，基地距离营地 ．部队官兵乘坐军车从营地出发，匀速行驶 到达仓库，部队官兵下车
领取研学物资，在仓库停留 后乘坐军车按原速度继续匀速前行到达基地．下面图中x表示时间，y表示
离营地的距离．图象反映了这个过程中军车离营地的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
军车离开营地的时间/
军车离营地的距离/ 80
②填空：军车行驶的速度为______ ；
③填空：a的值为______；
④请直接写出军车离营地的距离y与所用时间x的函数解析式；
(2)学校距离营地 ，军车离开营地的同时，学校师生乘坐大巴从学校出发匀速直接前往基地，与部队
同时到达基地，那么学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间？（直接写出结果即可）
【答案】(1)①表格见详解；②60；③2；④
(2) 或
【分析】本题主要考查一次函数的应用和一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键；（1）①根据图象可直接进行求解；②由图象可根据 得出军车的速度；③由②可知军车的速度为
，然后根据时间=路程÷速度可进行求解；④由题意可分当 时，当 时和当
时，然后可得函数关系式；
（2）由题意易得学校离基地的距离为 ，可分两个过程在军车领取研学物资前，二者相遇，在军车领
取研学物资的过程中相遇，据此建立方程求解即可．
【详解】（1）解：①∵在 这一时间段，军车是匀速行驶的，且 行驶的距离为 ，
∴ 行驶的距离为 ，
由图象可补充表格如下：
军车离开营地的时间/
军车离营地的距离/ 80 80
②由图象得：军车行驶的速度为 ；
故答案为：60；
③由②得： ；
故答案为：2；
④由题意可分：当 时，设y与x的关系式为 ，则有，
，解得： ，
∴y与x的关系式为 ，
当 时，此期间路程没有发生变化，则y与x的关系式为 ，
当 时，设y与x的关系式为 ，则有，，解得： ，
∴y与x的关系式为 ，
综上所述：y与x的关系式为 ；
（2）解：设学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间为 ．
由题意得：学校离基地的距离为 ，
∴学校师生乘坐大巴车的速度为 ，
当在军车领取研学物资前，二者相遇时，则 ，
解得 ；
∵ ，
∴在军车再次出发的时候，学校师生乘坐的大巴车已经超过了军车，
∴在军车领取研学物资的过程中，二者还有一次相遇，
∴ ，
解得 ；
综上所述，学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间为 或 ．
23．（本题10分）
如图，在 中， ， 是 上一点， 和 关于点 对称，连接 ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)已知 ，求四边形 是菱形时 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用
所学知识解决问题．
（1）由中心对称的性质证明 ， 即可证明；
（2）利用勾股定理求出 ，再利用面积法求出 ，利用勾股定理求 即可．
【详解】（1）证明：∵ 和 关于点 对称，
， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：连接 ，
∵ 和 关于点 对称，四边形 是平行四边形；
∴ 三点共线，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ．
24．（本题10分）
黄山迎客松是黄山的标志性景观，它位于黄山风景区玉屏楼的青狮石旁．如图，某直升飞机于空中M处探
测到迎客松，此时直升飞机的飞行高度 为1703米，从直升飞机上看迎客松顶端A的俯角 ，
看迎客松根部B的俯角 ．已知迎客松所处位置的海拔高度 为1670米，求迎客松的高度
（结果精确到0.1m）．（参考数据： ， ， ）
【答案】迎客松的高度约为9.9米
【分析】本题考查了有关仰俯角的解直角三角形的应用，正确构造直角三角形是解题的关键．
延长 ，交 于点C，过点B作 于点E，则由题意得 米， ，
,则 ，可得 为等腰直角三角形，求出 ，再解
，最后由 即可求解．
【详解】解：如图，延长 ，交 于点C，过点B作 于点E，则由题意得：
米， ， ．
∵ 米， 米，
∴ （米）．
在 中， ，∴ ，
∴ 米．
在 中， ，
∴ （米），
∴ （米），
答：迎客松的高度约为9.9米．
25．（本题12分）
如图，二次函数 的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且图象经过点 ， ，
连接 ．
(1)求a，b的值．
(2)P是抛物线 上的一点，且位于x轴上方，是否存在点P，使得 的面积恰好为4？若
存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
(3)M（不与点A，C重合）是线段 上的一个动点，过点M作 轴，垂足为D．延长 ，交抛物
线于点E，过点E作 ，垂足为F，求 周长的最大值．
【答案】(1) ，
(2)存在．点 ，
(3) 的周长的最大值为
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的面积综合题、二次函数的周长线段综合题，数形
结合是解题的关键．
（1）把点 ， 分别代入函数解析式得到方程组，解方程组即可；（2）设点 ，根据题意得到 ，解一元二次方程即可得到答
案；
（3）求直线 的解析式为 ．设点 ，则点 ，得到 ，
，则 的周长 ．根据二次函
数的性质即可求出答案．
【详解】（1）∵二次函数 的图象经过点 ， ，
∴
解得
（2）存在．由（1），得 ， ，
∴二次函数的解析式为 ．
令 ，得 ，
解得 ， ．
∵二次函数 的图象与x轴交于点A，B，
∴点 ， ，
∴ ．
设点 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ， ，∴点 ， ．
（3）令 ，得 ，
∴点 ，
设直线AC的解析式为
解得
∴直线 的解析式为 ．
设点 ，则点 ，
∴ ．
∵点 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ 轴，
∴ ∥ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长
．∵
∴当 时， 的周长有最大值，最大值为 ，
∴ 的周长的最大值为 ．
26．（本题14分）
如图1， 为锐角三角形 的外接圆，点 在劣弧 上，点F在 上， 交 于点 ，且
， 交 于点 ， ，连结 ， ．设 ．
(1)用含α的代数式表示 ．
(2)求证： ．
(3)如图2， 为 的直径．
①当 的长为2时，求 的长．
②当 时，求 的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)①3；②
【分析】（1）联立 ， ，即可得出 的度数；
（2）根据角的关系得出 ，推出 ，又 ，即可根据 证明 ；
（3）①用 表示出 的度数，根据度数比等于弧长比计算弧长即可；②连接 ，作 于 ，
设 ， ，设 ，则 ， ， ， ，求出 ，则
可得出答案．
【详解】（1）解： ①，
又 ②，② ①，得 ，
；
（2）证明：由（1）得 ，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
；
（3）解：① ，
，
，
，
，
，
是 的直径，
，
，
与 所对的圆心角度数之比为 ，与 的长度之比为 ，
的长为2，
的长为3；
②连接 ，作 于 ，
由题意知， 和 都是等腰三角形，
，
设 ， ，
设 ，则 ， ， ， ，
，
即 ，
解得 或 （舍去），
．
【点睛】本题主要考查圆的综合题，熟练掌握圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三
角形的判定和性质等知识是解题的关键．
