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2025 年中考第三次模拟考试（浙江卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A C A C D B D D D D
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案直接填写在横线上
11．±3
12．
2m(m−3) 2
5
13．
6
14．20π
15． √2
3 9√2
16． √2或
2 2
三、解答题:本大题有8个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）【详解】解：|−√2|−(√2−3) 0+√3×sin60°−
(1) −1
3
√3
=√2−1+√3× −3
2
3
=√2−1+ −3
2
5
=√2− ．（8分）
2
18．（8分）【详解】（1）解：x2+3x−4=0
移项，化“1”得：x2+3x=4，配方，得：x2+3x+
(3) 2
=4+
(3) 2
，
2 2
( 3) 2 25
即 x+ = ，
2 4
3 5
由此可得：x+ =± ，
2 2
x =1，x =−4；（4分）
1 2
（2）解：3x2−x−1=0
a=3，b=−1，c=−1，
，
Δ=b2−4ac=(−1) 2−4×3×(−1)=13>0
方程有两个不等的实数根，
−b±√b2−4ac 1±√13 1±√13
x= = = ，
2a 2×3 6
1+√13 1−√13
即x = ，x = ．（8分）
1 6 2 6
19．（8分）【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD=∠EAD=30°，
在△ABD和△AED中，
¿
∴△ABD≌△AED(ASA)；（4分）
（2）解：∵∠ADE=∠ADB=180°−∠B−∠BAD=110°，
∴∠ADC=70°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
∴∠CAD=180°−∠ADC−∠C=180°−70°−40°=70°．（8分）
6
20．（8分）【详解】（1）解：由题意得：A款“满意”所占百分比为 ×100%=30%，
20
∴“不满意”所占百分比为1−30%−45%−15%=10%，
∴a=10；
∵A款的评分非常满意有20×45%=9个，“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；
∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89，
88+89
∴b= =88.5，
2在B款的评分数据中，98出现的次数最多，
∴c=98；
故答案为：10，88.5，98；（3分）
（2）解：A款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
因为两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款AI聊天机器人更受
用户喜爱（理由不唯一）；（5分）
3
（3）解：B款中“不满意”的有3人，所占百分比为 ×100%=15%，
20
∴估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有300×15%+400×10%=85（人）．（8分）
21．（8分）【详解】（1）解：如图所示，
∵D在AB的垂直平分线上
∴DA=DB，
∴∠A=∠ABD；（4分）
（2）解：由（1）可得DA=DB
3
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA=
5
∴ ，
BC=ABsinA=6 AC=√AB2−BC2=8
设CD=x
∴AD=BD=8−x
在Rt△BDC中，BD2=CD2+BC2
∴
(8−x) 2=x2+62
7
解得：x=
4
7
∴CD= （8分）
4100−30
22．（10分）【详解】（1）解：根据题意，得温度升到100℃用时间为 =10(min)，
7
设直线AB的函数关系式为y=kx+b，
根据题意，得¿，
解得¿，
所以y=7x+30．（3分）
（2）解：①根据题意，得反比例函数经过点(10,100)，
m
设反比例函数的解析式为y= ，
x
m
故100= ，
10
解得m=1000，
1000
故y= ，
x
当y=30时，
1000 100
x= =
30 3
100
故t= ，
3
100
故答案为： ；（5分）
3
1000
②解：根据解析式为y= ，y=7x+30，
x
1000 50
当y=60时，x= = ；
60 3
60−30 30
当y=60时，x= = ；
7 7
30 50
故温度为60摄氏度以上时的时间范围是 <x< ，
7 3
30 50
故答案为： <x< ．（7分）
7 3
1000
（3）解：根据解析式为y= ，y=7x+30，
x
1000
当y=50时，x= =20；
5050−30 20
当y=50时，x= = ；
7 7
20
故温度为50摄氏度以上时的时间范围是 <x<20，
7
20 120
即有20− = (min)，
7 7
100 20 100
根据题意，得饮水机循环开机时间为 min，且每个循环周期中，0<x< 和20<x< 时段中温度低
3 7 3
于50℃，
570
若接通电源的时间是当天上午的7：30，到10：40一共为10：40−7:30=190(min)= (min)，
3
570 500 70
经过5次循环，剩余时长为 − = (min)，
3 3 3
100
恰好在20<x< 的时段中，此时温度不高于50℃，
3
故可以在7：30接通电源．（10分）
23．（10分）【详解】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(4,0)，B(0,−4)．
∴¿，解得¿，
故抛物线的表达式为y=x2−3x−4；（2分）
（2）解：∵抛物线y=x2−3x−4= ( x− 3) 2 − 25 ，
2 4
(3 25)
∴抛物线的顶点坐标为 ,− ，
2 4
25 3 47 3
∴当n=− + =− 时，抛物线上有且只有3个点到直线y=n的距离等于 ，
4 8 8 8
47 3 11 11 3+√3 3−√3
当y=− + =− 时，x2−3x−4=− ，解得x = ，x = ，
8 8 2 2 1 2 2 2
综上所述点的坐标为(3+√3 11)或(3−√3 11)或(3 25)；（4分）
,− ,− ,−
2 2 2 2 2 4
(3 25)
（3）解：由（3）知抛物线的顶点坐标为 ,− ，以M(a,0)，N(a+3,0)，P(a+3,−7)，Q(a,−7)
2 4
四个点为顶点作矩形MNPQ，
3 3
当−1<a+3< 时，−4<a<− ，如图，
2 2此抛物线在矩形MNPQ内部（含边界）的部分最高点的纵坐标为0，当x=a+3时，函数有最低点，最低
点纵坐标为 ，
(a+3) 2−3(a+3)−4
5
∴(a+3) 2−3(a+3)−4=−
2
3−√15 3+√15
解得a=− （舍去）或a=− ．
2 2
3+√15 5
∴当a=− 时d= ；（6分）
2 2
3 3
当− <a< 时，如图：
2 2
25
第一种情况当PN离对称轴近时，结合函数图像可知拋物线顶点为内部最低点，纵坐标为− ，
4
a为横坐标时，为内部最高点，纵坐标为a2−3a−4，
25 5 √10+3 −√10+3
∴d=a2−3a−4+ = ，解得a= （舍去）或a= ，
4 2 2 2
−√10+3 5
∴当a= 时d= ，
2 225
第二种情况当MQ离对称轴近时，结合函数图像可知抛物线顶点为内部最低点，纵坐标为− ，
4
a+3 (a+3) 2−(3a+3)−4
为横坐标时，为内部最高点，纵坐标为 ，
25 5 √10−3 −√10−3
∴d=(a+3) 2−3(a+3)−4+ = ，解得a= 或a= （舍去）
4 2 2 2
√10−3 5
∴当a= 时d= ，（8分）
2 2
3
当 <a<4时，如图
2
结合函数图像可知，此抛物线在矩形MNPQ内部（含边界）的部分最高点的纵坐标为0，当a为横坐标时，
为内部最低点，纵坐标为a2−3a−4，
5 −√15+3 √15+3
∴d=0−a2+3a+4= ，解得a= （舍去）或a= ．
2 2 2
√15+3 5
∴当a= 时d= ，
2 2
5 3+√15 −√10+3 √10−3 √15+3
综上所述：当d= 时，a的值为a=− 或a= 或a= 或a= ．（10分）
2 2 2 2 2
24．（12分）【详解】（1）证明：如图，连接OA，∵PA ⊙O
为 的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠PAO=90°，
∵OP⊥AB，
∴BC=AC，
∴OP是AB的垂直平分线，
∴PB=PA，
∵OA=OB，OP=OP，
∴△POB≌△POA(SSS)，
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切线；（3分）
（2）证明：由（1）得，
∠PBO=90°，OP⊥AB，
∴∠PCB=∠PBO=90°，
∵∠BPC=∠OPB，
∴△PBC∽△POB，
PB PC
∴ = ，
PO PB
∴PB2=PC⋅PO；（7分）
（3）解：如图，连接AD，由（1）知：△POB≌△POA，
∴∠BPO=∠APO，
∵∠BPD=3∠APD，
∴∠BPC+∠CPE=3∠APD，
∴∠APC+(∠APC−∠APD)=3∠APD，
∴∠APC=2∠APD，
∴∠DPO=∠APD，（9分）
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴AD⊥AB，
由（2）知：OP⊥AB，
∴AD∥OP，
BC OB
∴∠DPO=∠ADE，△PCE∽△DAE， = =1，
AC OD
1 PE PC
∴OC= AD， = ，
2 DE AD
∵∠DPO=∠DPA，
∴∠ADE=∠DPA，
∴AD=AP=PB，
设OC=a，则PB=AD=2a，PC=x，
由（2）得：PB2=PC⋅OP，
，
∴(2a) 2=x(x+a)
√17−1 −√17−1
∴x = a，x = a（舍去），
1 2 2 2
√17−1
∴PC= a，
2
DE AD 2a √17+1
= = =
∴ PE PC √17−1 4 ．（12分）
a
2
