文档内容
2025 年中考第三次模拟考试（北京卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B D D C D D
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9．
10．
11．
12．0
13．
14．
15．
16． 小黄
三、解答题（本大题共12个小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤）
17．
【详解】解：………………………………2分
．………………………………5分
18．
【详解】解：
由 解得 ，………………………………2分
由 解得 ，………………………………4分
∴不等式组的解集为 ．………………………………5分
19．
【详解】解：
………………………………1分
………………………………2分
，………………………………3分
∵ ，
∴ ，………………………………4分
∴原式 ．………………………………5分
20．(1) ， ；
(2) 且 ．
【详解】（1）解：将函数 向上平移2个单位，得到新函数 ，当 时， ，………………………………1.5分
即函数 与函数 的图象交于点 ，
将点 代入函数 ，
则 ，
解得： ；………………………………3分
（2）解：由（1）得： ，
根据题意得：当 时， 且 ，
，
当 时， ，最大值在 时，得 ，
当 时， ， 恒成立，得 ，
综合得： ；
，
当 时， ，最小值在 时，得 ，
当 时， ， 恒成立，得 ，
综合得： ；
综上可得： 且 ．………………………………6分
21．接温水的时间为 ，接开水的时间为 .
【详解】解：设该学生接温水的时间为 ，接开水的时间为 ，
根据题意得：
，………………………………3分
解得： ，………………………………4分
答：该学生接温水的时间为 ，接开水的时间为 ．………………………………5分
22．(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，………………………………1分
∴ ，
∵ ，
∴ ，………………………………2分
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形；………………………………3分
（2）解：由（1）可知，四边形 是平行四边形，
∴ ，
设 ，则 ，
由（1）可知， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，………………………………4分
由勾股定理得： ，
即 ，………………………………5分
解得： ， （不符合题意，舍去），
∴ ．………………………………6分
23．(1)176，176
(2)2
(3)171，176
【详解】（1）2班数据从小到大排列为168，171，175，176，176，176，177，177，
从中可以看出一共八个数，第四个数据为176、第五个数据为176，所以这组数据的中位数
为： ，故 ；………………………………1分其中176出现的次数最多，所以这组数的众数为176，故 ；………………………2
分
故答案为：176，176．………………………………2分
（2）根据方差的定义可以知道，方差越大，一组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性
也越小，反之亦然．
1班的身高分布于 ，2班的身高分布于 ，
从中可以看出，2班的数据较1班的数据波动较小，更加稳定，所以2班的选手身高比较整
齐，
故答案为：2．………………………………3分
（3） （厘米）
设2班另外两名选手的身高分别为 厘米， 厘米，
则 ，
，
∵方差要尽可能小，
则2班6位首发选手的身高数据应分布于 ，
即：另外两名选手的身高分别是 和 ，
故答案为：171，176．………………………………5分
24．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接 ，
是 的切线，
，
，
，，
，………………………………1分
又 ，
，
，
又 ，
，
；………………………………2分
（2）设 的半径为r，
，
，
解得 ，………………………………3分
在 中， ，………………………………4分
，
，………………………………5分
即 ，
即 ，
解得 ．………………………………6分
25．(1)① ；②画图见解析
(2) ，
【详解】（1）解：①由表格可知， 的值每增加 ， 的值增加 ，
∴ ，
故答案为： ；………………………………1分
②根据表格数据描点连线画出函数图象如下：………………………………2分
（2）解：∵ 时， ，
∴ 安培；
由题意得，充电模式一的电流： ，
当 时， ；当 时， ，
∴充电模式一的充电电流与充电时间的函数关系图象如下：
………………………………3分
由函数图象可知，当 时，两种充电模式的电流相同，
∴剩余电量相差约 ，
故答案为： ， ．………………………………5分
26．(1)
(2)【详解】（1）解： ，对称轴为直线 ；……………………1
分
（2）解：对于 ， ，
∴
∴
∴ ………………………………2分
①当 时，若 且 ，
∴ 即
∴ ，
解得 ，（舍去）………………………………3分
若 且 ，
∴ 即
解得： ， ………………………………4分
②当 时，若 且 ，
∴ 即
∴ ，
∴无解………………………………5分若 且 ，
∴ 即
解得： （舍去） ………………………………6分
综上所述， ………………………………6分
27．(1) ，见解析
(2)①见解析；② ，证明见解析
【详解】（1）证明：连接 ，
………………………………1分
由题意得：点 是 的中点， ，
，
，
，
，………………………………2分
，
；………………………………3分
（2）解：①依题意补全图形；
………………………………4分
② ，………………………………4.5分
证明：在射线 上取点 ，使得 ，取 的中点 ，连接 ，………………………………5分
，
，
，
，
，
，………………………………5.5分
， ，
，
，
， ，
是 的中点，
， ，
，
，………………………………6分
，
，
，
，
．………………………………7分
28．(1)
(2) ， ；
(3)
【详解】（1）解：∵ ，∴ ， ，
∴ ，
如图，
∵点 以点 为中心顺时针旋转 后，能与点 重合，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为正方形，
∴ ；………………………………1分
（2）解：如图，过 作 轴的平行线，交直线 于 ，过 作 轴的平行线，交直线
于 ，
………………………………2分
由题意可得： ， ，
∴ ，∴ ，………………………………3分
∴ ， ，
∵ 在直线 上， ， ，
∴设 ，
∴ ，………………………………4分
解得： ，
∴ ， ；………………………………5分
综上： ， ；
（3）解：如图，当 时，即 ，而 在 上， ，半径为 ，
∴ ，
过 作 轴的平行线，过 作 轴的平行线，两线交于 ，过 作 轴于 ，
同理可得： ，
∴ ， ，
设 ，而 ， ，结合 ， 的半径为 ，∴ ，
∴ ，
∴ 到 的距离为 ，
∴此时 的横坐标的最小值为 ，
当 时，如图，过 作 轴的平行线，过 作 轴的平行线，两线交于 ，过 作
轴于 ，
同理可得： ，
∴ ， ，
设 ，而 ， ，结合 ， 的半径为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 到 的距离为 ，
∴此时 的横坐标的最大值为 ，综上： ；………………………………7分
