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2025 年中考第二次模拟考试（北京卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8
C C C C C A A B
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9．
10．
11．
12．
13．80
14． /50度
15. /
16.33
三、解答题（本大题共12个小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．【详解】解：原式= ………………………………………..2分
= ……………………………………..4分
= ．……………………………………..5分
18．【详解】解：解不等式 ，
，
，……………………………………..2分，
，
，
，……………………………………..4分
∴不等式组的解集为 ．……………………………………..4.5分
∴它的整数解为 ， ， ， ．……………………………………..5分
19．【详解】解：∵ ，
∴ ，……………………………………..1分
∴
……………………………………..2分
……………………………………..3分
……………………………………..4分
．……………………………………..5分
20．【详解】（1）证明：由矩形可得： ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，……………………………………..1分
∵ ，
∴平行四边形 是菱形；……………………………………..2分
（2）解：在矩形 中， ， ， ，
在 中， ，……………………………………..4分
由（1）得： ，
∴ ，……………………………………..5分
在 中， ．……………………………………..6分
21．【详解】（1）解：设一台A型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台B型收割机平均每天收割小麦公顷．
根据题意，得 ，……………………………………..1分
解得 …………………………………….2分
经检验： 是所列分式方程的根……………………………………..3分
∴ （公顷）．……………………………………..4分
答：一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷．……4.5分
（2）解：设每天要安排y台A型收割机，
根据题意，得 ，……………………………………..5分
解得 ，……………………………………..5.5分
答：至少要安排7台A型收割机．……………………………………..6分
22．【详解】（1）把点 和 代入 得： ，……………………1分
解得 ，……………………………………..1.5分
∴该函数的解析式为 ，……………………………………..2分
由题意知点 的纵坐标为 ，
当 时，
解得： ，
∴点 的坐标为 ；……………………………………..3分
（2）由（1）知：当 时， ，
因为当 时， 的值小于函数 的值且大于 ，
所以当 过点 时满足题意，
∴ ，解得： ．……………………………………..5分
23．【详解】（1）解：将甲的数据从小到大排列，可以发现一共20个数据，第10个数据为202，第11个
数据为206，所以这组数据的中位数为 ，
∴ ；……………………………………..1分
根据乙种水稻稻穗谷粒数的折线图可以发现，每柱稻穗的谷粒为195出现的次数最多，也就是说这组数据
的众数为195，
∴ ．……………………………………..2分
（2）解：根据表格可得乙的平均数、中位数、众数都比较接近，故乙更稳定．
故答案为：乙；……………………………………..3分
（3）解：甲的水稻优良率为： ，
乙的水稻优良率为： ，……………………………………..4分
故从水稻优良率分析，应推荐种植甲种水稻；
若该实验田中有甲、乙两种水稻各4000株，
则甲的优良水稻有 （株），……………………………………..4.5分
乙的优良水稻有 （株），
∴共有 （株）．……………………………………..5分
答：优良水稻株数为3800株．
24．【详解】（1）证明：∵点A，B，C在 上，
∴ ．……………………………………..0.5分
∵ ，
∴ ．……………………………………..1分
∵ ，
∴ ．……………………………………..1.5分
∴ ．
∴ ；……………………………………..2分
（2）解：过点O作 于点E， ，……………………………………..3分
∴ ，
∵过点 作 的切线，切点为A，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．……………………………………..4分
∴ ．
∴ ， ．……………………………………..5分
∴在 中，
．……………………………………..6分
25．【详解】（1）解：由表格可知幼苗在 时的生长速度是1.0厘米 天，
故答案为：1；……………………………………..1分
（2）解：函数图象如下图；
……………………………………..2分
（3）解：①由图象观察可知，当 时， 最大，
故答案为：5.0；……………………………………..3分②由表格和图象我们发现，当 时， 和 都不低于1.5厘米 天，
此时最少用料为2.0克，……………………………………..4分
最多为6.5克；……………………………………..5分
故答案为：2.0，6.5．
26．【详解】（1）解：当 时，函数解析式为 ，
∴抛物线的顶点坐标为 ；……………………………………..1分
（2）证明：∵函数图象经过点 ， ，
∴ ， ．
∴ ，……………………………………..2分
∵ ，
∴ ……………………………………..2.5分
∵ ，
∴ ；……………………………………..3分
（3）解：由题意知，二次函数图象开口向上，对称轴为直线 ，则 在对称轴右侧，
……………………………………..3.5分
∵对于任意的 都满足 ，
∴点A，B，C存在如下情况：
情况1，如图1，当 时， ，
∴ ，且 ，解得 ；……………………………………..4分……………………………………..4.5分
情况2，如图2，
……………………………………..5分
当 时， ．
∴ ，……………………………………..5.5分
∴ ，且
解得 ，……………………………………..6分
综上所述， 或 ．
27．【详解】（1） ，理由如下：……………………………………..1分
由题意得： ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；，……………………………………..2分
证明：由题意得： ，
∴ ，
∴ ，
由旋转的性质可得： ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，……………………………………..2.5分
∵ ，
∴ ，
∴ ，……………………………………..3分
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ；……………………………………..4分
（2）补全图形如图所示：
……………………………………..4.5分
连接 并延长，分别交 ， 于点 ， ，过点 作 的垂线，交 于点 ，
，理由如下：……………………………………..5分
在 上截取 ，连接 ，
由（ ）可得 ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，……………………………………..5.5分∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，……………………………………..6分
在 上截取 ， 由（ ）可得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，……………………………………..6.5分
∴ ，
∴ 垂直平分 ，即 ，
∴ ，
∴ ．……………………………………..7分
28．【详解】（1）如图，
由新定义知 与 相切，
∴ .
∵点P为线段 的中点，
∴ ,∴ ,
∴ ,
∵ 与 相交，
∴ ,
∴①②符合题意.
故答案为：①②；……………………………………..2分
（2）如图，当点 在 轴的正半轴时，
线段 与 关于点 关联，
，
当 与 相切与点 时，连接 ，则
，
四边形 是矩形，
，
四边形 是正方形，
，
当点 与点 重合时， ，
；
当点 在 轴的负半轴时，如图，同理可求 .
综上可知， 或 ……………………………………..5分
（3）在 上任取一点 ，在 上任取一点 ，以 为圆心， 为半径作 ，过点 分别作 的切
线 ，
∵要使线段 与 关于点 关联，
∴
即
∴
取 中点 则 点在线段 上 不包括端点 、 .
随着 在 上运动 取 中点 ,
∴ 中点 始终在以 为圆心,半径为 的 上运动，
∴ 始终在线段 扫得区域,∴当 与 相切时,
如图所示，取点 ，则
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∴
∵ b过点 ,
代入解得：
当 过点 时 ,
∴ .……………………………………..7分
