2025 年中考第三次模拟考试（浙江卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．在−(−10)，−22，−|−0.3|，(−1) 3中，负数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查了负数的定义和有理数的乘方运算，解题的关键是掌握负数的定义，需要注意并不
是有负号的数就一定是负数．先把需要化简或者计算的数算出来，再根据负数的定义去判断．
【详解】解：−(−10)=10是正数，
−22=−4是负数，
−|−0.3|=−0.3是负数，
(−1) 3=−1是负数，
∴一共有3个负数．
故选：B．
2．青溪龙砚起源于宋代，已有一千余年的历史，是浙江一项传统的石雕工艺，被列入浙江省级非物质文
化遗产项目．如图是一款龙砚的示意图，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题关键．根据俯视图是从上面往下看
即可获得答案．
【详解】解：从上面往下看青溪龙砚是一个圆环形状，故选：C．
3．我国低空经济呈现快速增长态势，据中国民航局预计，到2025年，国内低空经济市场规模将达到1.5
万亿元．数据“1.5万亿”用科学记数法表示为（ ）
A．1.5×104 B．1.5×1012 C．0.15×1012 D．1.5×1013
【答案】B
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为
a×10n的形式，其中1≤|a|<10,n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．据此求解即可．
【详解】解：1.5万亿=1.5×104×108=1.5×1012，
故选：B．
4．下列运算正确的是（ ）
1 1
A． x2−x2= x2 B．2x2 ⋅3x4=6x8
2 2
C．(−2x2) 3 =−8x6 D．(x−3) 2=x2−9
【答案】C
【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握合并同类项，单项式的乘法，积的乘方运算法则，完全平方公
式是解答本题的关键．
根据合并同类项，单项式的乘法，积的乘方运算法则，完全平方公式逐项计算即可．
1 1
【详解】解：A选项中，
x2−x2=− x2
，故A项错误；
2 2
B选项中，2x2 ⋅3x4=6x6，故B项错误；
C选项中，(−2x2) 3 =−8x6，故C项正确；
D选项中，(x−3) 2=x2−6x+9，故D项错误．
故选：C．
5．人体许多特征都是由基因决定的，如人的卷舌性状由常染色体上的一对基因决定，决定能卷舌的基因R
是显性的，不能卷舌的基因r是隐性的，因此决定能否卷舌的一对基因有RR，Rr，rr三种，其中基因为
RR和Rr的人能卷舌，基因为rr的人不能卷舌，父母分别将他们一对基因中的一个基因等可能地遗传给子
女．若父母的基因分别是Rr，rr，则他们的子女可卷舌的概率为（ ）
1 1 2 3
A． B． C． D．
2 4 3 4【答案】A
【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率．画树状图列出所有等可能的情况，从中找出符合条
件的情况，最后根据概率计算公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下，
由图可知，共有4种等可能的结果，其中他们的子女可以卷舌的结果有2种，
2 1
∴他们的子女可以卷舌的概率为 = ．
4 2
故选：A．
6．下列四种中国古代青铜器上的纹饰中，是轴对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿一条直线折
叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义解答即可．
【详解】解：在四个选项的图形中，只有选项B的图形能找到一条直线，使图形沿直线对折后两边完全重
合，故选项B是轴对称图形，选项A、C、D不是轴对称图形．
故选：B．
7．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，∠BAC=35°，∠CAD=70°，若BC=3，则CD的长可能是
（ ）A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，以及三角函数综合，解题的关键在于熟练掌握相关知
识．连接BD，作CE⊥BD于点E，利用同弧或等弧所对的圆周角相等，以及三角函数综合，得到
CDsin35°=3sin75°，再结合特殊角的三角函数值求解，即可解题．
【详解】解：连接BD，作CE⊥BD于点E，
∵B´C=B´C C´D=C´D
， ，
又∵ ∠BAC=35°，∠CAD=70°，
∴ ∠BDC=∠BAC=35°，∠CBD=∠CAD=70°，
∴CE=CDsin35°，CE=BCsin70°，
∵ BC=3，
∴ CDsin35°=3sin70°，
3sin70°
整理得CD= ，
sin35°
1 √2 √2
∵ <sin35°< ， <sin70°<1，
2 2 2
sin70°
∴ 1< <2，
sin35°
3sin70°
∴ 3< <6，
sin35°
故选：B．
y −y
8．在下列函数图象上任取不同两点P (x ,y )、P (x ,y )，一定能使 2 1<0成立的是（ ）
1 1 1 2 2 2 x −x
2 1
A．y=x2−4x+1(x<0) B．y=−x2+2x−1(x>0)
3
C．y=− (x>0) D．y=3x−1(x<0)
x
【答案】A【分析】本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的解析式，解决本题是根据函数的解析式把函
y −y
数值用含x的代数式表示出来，再把代数式代入 2 1 整理后再判断代数式的值的正负性．
x −x
2 1
【详解】解：A选项：根据y=x2−4x+1(x<0)，
可知y =x 2−4x +1、y =x 2−4x +1，
1 1 1 2 2 2
y −y x 2−4x +1−(x 2−4x +1)
∴ 2 1= 2 2 1 1 ，
x −x x −x
2 1 2 1
y −y
整理得： 2 1=x +x −4，
x −x 2 1
2 1
∵x<0，
∴x +x <0，
2 1
y −y
∴ 2 1=x +x −4<0，
x −x 2 1
2 1
故A选项正确；
B选项：根据y=−x2+2x−1(x>0)，
可知y =−x 2+2x −1、y =−x 2+2x −1，
1 1 1 2 2 2
y −y −x 2+2x −1−(−x 2+2x −1)
∴ 2 1= 2 2 1 1 ，
x −x x −x
2 1 2 1
y −y
整理得： 2 1=(x +x )+2，
x −x 2 1
2 1
∵x>0，
∴x +x >0
2 1
∴−(x +x )<0，
2 1
但是−(x +x )+2不一定是负数，
2 1
故B选项错误；3
C选项：根据y=− (x>0)，
x
3 3
可知y =− 、y =− ，
1 x 2 x
1 2
3 ( 3 )
− − −
y −y x x 3 ，
∴ 2 1= 2 1 =
x −x x −x x x
2 1 2 1 1 2
∵x>0，
y −y 3
∴ 2 1= >0，
x −x x x
2 1 1 2
故C选项错误；
D选项：根据y=3x−1(x<0)，
可知y=3x −1、y=3x −1，
1 2
y −y 3x −1−(3x −1)
∴ 2 1= 2 1 =3>0，
x −x x −x
2 1 2 1
故D选项错误．
故选：A．
ax−2 2
9．若关于x的分式方程 =1+ 的解为正数，且关于y的一元一次不等式组¿的解集为y≤−4，则
x−3 3−x
满足条件的整数a的乘积是（ ）．
A．24 B．0 C．−6 D．−10
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式方程的解，解分式方程，解一元一次不等式组，不等式的整数解．解分式方
程求得分式方程的解，依据已知条件列出不等式得到a的取值范围；解不等式组求得a的取值范围，得到关
于a的不等式组，解不等式组并取a的整数解后再相加，即可得出结论．
ax−2 2
【详解】解： =1+ ，
x−3 3−x
去分母得：
ax−2=x−3−2，
移项，合并同类项得：(a−1)x=−3，
3
∴x= ．
1−a
∵分式方程有可能产生增根3，
3
∴ ≠3，
1−a
∴a≠0．
ax−2 2
∵关于x的分式方程 =1+ 的解为正数，
x−3 3−x
∴1−a>0，
∴a<1．
∵关于y的一元一次不等式组¿的解集为y≤−4，
∴a+1>−4，
∴a>−5，
综上，a的取值范围为−5<a<1且a≠0，
∵a为整数，
∴a=−4，−3，−2，−1．
∴所有满足条件的整数a的乘积是(−4)×(−3)×(−2)×(−1)=24，
故选：A．
10．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P，Q分别是BC，AB上的两个动点，AE=1，△AEQ沿
EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是（ ）
A．5 B．4 C．2√2 D．2√5
【答案】B
【分析】作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′，证得DP=PD′，推出PD+PF=PD′+PF，又EF=EA=2
是定值，即可推出当E、F、P、D′四点共线时，PF+PD′定值最小，最小值=ED′-EF即可得出结果．
【详解】解：作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′，如图所示：∵矩形ABCD中，AB=2，BC=4，AE=1，
∴DE=AD−AE=BC−AE=3，DD'=2DC=2AB=4，
∴ED'=√DE2+DD'2=√32+42=5，
在△PCD和△PCD'中，
¿，
∴△PCD≌△PCD′(SAS)，
∴DP=PD′，
∴PD+PF=PD′+PF，
∵EF=EA=1是定值，
∴当E、F、P、D'四点共线时，PF+PD'定值最小，最小值=5−1=4，
∴PF+PD的最小值为4，
故选：B
【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学
会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：a3−4a2+4a= ．
【答案】a(a−2) 2
【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式=a(a2−4a+4)=a(a−2) 2；
故答案为：a(a−2) 2．
12．如图，BE为正六边形ABCDEF的一条对角线，FH⊥BE于点H，连接AH，若正六边形的边长为2，则AH的长为 ．
【答案】√7
【分析】本题主要考查正多边形，根据正六边形是轴对称图形可求出∠FEB=60°，由FH⊥BE可得
1
∠HFE=30°，∠AFH=90°,得HE= EF=1，由勾股定理可求出HF=√3，AH=√7．
2
【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
(6−2)×180°
∴EF=AF=2,∠AFE=∠≝= =120°,
6
∵六边形ABCDEF是轴对称图形，
∴BE是它的一条对称轴，
1
∴∠FEB=∠DEB= ∠≝=60°,
2
∵FH⊥BE，即∠FHE=90°,
∴∠EFH=30°,
∴∠AFH=120°−30°=90°，
在Rt△FHE中，FE=2,∠EFH=30°,
1
∴EH= EF=1,
2
由勾股定理得，FH=√FE2−EH2=√22−12=√3,
在Rt△FHA中，由勾股定理得AH=√AF2+FH2=√22+(√3) 2=√7，
故答案为：√7．
13．电影《哪吒之魔童闹海》上映七天票房破45亿元，前七日综合票房分别是：4.9 4.8 6.2 7.3 8.1 8.4
8.6（亿元），那么这组数据的中位数是 亿元．
【答案】7.3
【分析】本题考查中位数，将一组数据排序后，位于中间一位或中间两位的平均数为这组数据的中位数，据此进行求解即可．
【详解】解：将数据排序后，中间一个数据为7.3，
∴中位数为7.3；
故答案为：7.3．
14．如图，C,D是以AB为直径的半圆周的三等分点，CD=6cm，则阴影部分的面积是 cm2．（结
果保留π）
【答案】6π
【分析】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是：将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积．
连接OC、OD，根据C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，可得∠COD=60°，△OCD是等边三角
形，将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积求解即可．
【详解】解：如图，连接OC、OD．
∵C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
又∵OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠OCD=∠AOC=60°，OC=CD=6，
∴CD∥AB，
∴S =S ，
△ACD △OCD
60π×62
∴S =S = =6π．
阴影 扇 形OCD 360
故答案为：6π．
k
15．如图，点P, Q, R为反比例函数y= (k>0, x>0)图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，
x
y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C, B, A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为S , S , S ，
1 2 3其中OA:AB:BC=1:2:3，若S =6，则S +S 的值为 ．
2 1 3
【答案】15
【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合运用，根据OA:AB:BC=1:2:3，设
OA=a，AB=2a，BC=3a，结合图形，分别用含a，k的式子表示OF，OG，OH的值，由此可得
EK，GH，根据几何图形面积的计算可得k=18，分别算出S ，S 的值即可求解．
1 3
【详解】解：∵OA:AB:BC=1:2:3，
∴设OA=a，AB=2a，BC=3a，
∴OB=OA+AB=a+2a=3a，OC=OA+AB+BC=a+2a+3a=6a，
如图所示，
∴点R的纵坐标为a，点Q的纵坐标为3a，点P的纵坐标为6a，
k
∵点P，Q，R在反比函数y= (k>0，x>0)的图象上，
x
k
∴在点P的位置，OF·OC=k，即OF= ，
6a
k
同理，在点Q的位置，OB·OG=k，即OG= ，
3a
k
在点R的位置，OA·OH=k，即OH= ，
a∵分别过点P，Q，R三个点作x轴，y轴的垂线，
∴四边形EFGK是矩形，
k k k
∴EK=FG=OG−OF= − = ，
3a 6a 6a
k k 2k
同理，GH=OH−OG= − = ，
a 3a 3a
k
∵S =AB·EK=2a× =6，
2 6a
∴k=18，
k 18 2k 2×18
∵S =OA·OF=a× =a× =3，S =OA·GH=a× =a× =12，
1 6a 6a 3 3a 3a
∴S +S =3+12=15，
1 3
故答案为：15 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，AC=2，现将线段AB绕点B顺时针旋转α(0°<α
≤180°)得到线段BP，连接AP, PC，当∠PCB=30°时，AP的长为 ．
【答案】1或2或√3
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，旋转的性质，特殊角度三角函数，根据
AB 1
sin∠ACB= = =sin30°得到∠ACB=30°，再以AC为边构造等边三角形△ACF，根据
AC 2
∠PCB=30°和BP=BA=1在等边三角形上找对应的点即可．
【详解】解：如图，取AC中点D，Rt△ABC沿BC翻折，点A对应点F，取CF中点E，连接AE，BE，
∵∠ABC=90°，AB=1，AC=2，AB 1
∴sin∠ACB= = =sin30°，
AC 2
∴∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，
∴由翻折可得∠ACB=∠FCB=30°，∠BAC=∠F=60°，AB=BF=1，
∴△ACF是等边三角形，
∴AF=AC=CF=2，
∵，取AC中点D，取CF中点E，
∴BD=BE=BF=BA=EF=AD=1，
∴AE=√AF2−EF2=√3，
∵现将线段AB绕点B顺时针旋转α(0°<α ≤180°)得到线段BP，∠PCB=30°，
∴BD=BE=BF=BA=BP=1，∠PCB=∠ACB=∠FCB=30°，
∴点P分别与D、E、F重合，
当点P与点D重合时，AP=AD=1，
∴点P与点E重合时，AP=AE=√3，
∴点P与点F重合时，AP=AF=2，
故答案为：1或2或√3．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：(π−2025) 0+2sin30°−|√3−2|．
【答案】√3
【分析】本题考查实数的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．先计算零指数幂，化
简绝对，代入特殊三角函数值，再计算乘法，然后计算加减即可．
1
【详解】解：原式=1+2× −(2−√3)
2
=1+1−2+√3
=√3．
18．（8分）（1）解方程组：¿
（2）解不等式组：¿，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）¿；（2）1<x≤4，见解析
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确掌握
相关性质内容是解题的关键．（1）运用加减法进行解方程，即可作答．
（2）分别算出每个不等式的解集，再取公共部分的解集，然后再在数轴上表示出来，即可作答．
【详解】解：（1）¿，
由①×4，得2x+8 y=28③
23
③−②，得 y=23，
3
解得y=3．
3
将y=3代入②，2x+ =5，
3
∴x=2，
∴原方程组的解为¿；
（2）解：¿
解不等式①，得x>1，
解不等式②，得x≤4．
∴不等式组的解集为1<x≤4．
在数轴上表示不等式组的解集如图所示：
19．（8分）人工智能(ArtificialIntelligence)，英文缩写为AI，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动
力量．DeepSeek、智谱清言、讯飞星火认知等AI模型的发布，给人们的生活工作带来极大的便利．某校
为了激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，从该校3000名学生中随机抽取了部分学生参加人
工智能知识测试(满分100)，将成绩统计整理，绘制成如下图表：
成绩统计表
成绩x(分) 百分比
A组 0≤x<60 10%
B组 60≤x<70 n
C组 70≤x<80 25%
D组 80≤x<90 30%
E组 90≤x≤100 15%
成绩条形统计图根据所给信息，解答下列问题：
(1)本次测试的成绩统计表中n= ，并补全条形统计图．
(2)抽取学生测试成绩的中位数在 (填“A”“B”“C”“D”或“E”)组．
(3)请估计该校3000名学生中测试成绩在90分及以上的人数．
【答案】(1)20%，图见解析；
(2)C；
(3)估计该校3000名学生中测试成绩在90分及以上的人数为450人．
【分析】本题考查了条形统计图，统计表，用样本估计总体等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）利用1减去其它四组所占的百分比即可得到a，算出B组的人数，补全条形统计图即可；
（2）根据中位数的定义可得答案；
（3）根据用样本估计总体，用3000乘以E组所占的百分比即可．
【详解】（1）解：a=1−10%−25%−30%−15%=20%，
故答案为：20%；
抽取调查的人数为：30÷10%=300（人），
B组的人数为：300×20%=60（人），
补全条形统计图如下：
（2）解：将这300名学生成绩按从小到大的顺序排列，排在第150和第151名的学生成绩均在C组，
∴这300名学生成绩的中位数在C组，
故答案为：C；（3）解：3000×15%=450（人），
∴估计该校3000名学生中测试成绩在90分及以上的人数为450人．
20．（8分）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试
管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知
1
试管AB=24cm，BE= AB，试管倾斜角∠ABG为12°（sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，
3
tan14°≈0.25，结果保留一位小数）．
(1)求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；
(2)实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN丄CF于点N（点C，D，N，
F在一条直线上），经测得：DE=28cm，MN=8cm，∠ABM=149°，求线段DN的长度．
【答案】(1)7.8cm
(2)25.8cm
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，理解题意是解
题的关键；
（1）由题意可求得BE的长，再由余弦函数定义即可求得BG的长；
（2）由正弦函数求得EG；延长GB，NM交于点H，则得四边形DNHG是矩形，求得NH，MH，再由
条件得BH=HM，最后由DN=GH=BG+BH即可求解．
1
【详解】（1）解：∵AB=24cm，BE= AB，
3
1
∴BE= ×24=8cm，
3
BG
∵cos14°= ，
8
∴BG=8cos14° =8×0.97≈7.8(cm)
EG
（2）解：∵sin14°= ，
BE
∴EG=8sin14°(cm)，延长GB，NM交于点H，
∴ DNHG
四边形 是矩形，
∴NH=DG=DE−EG=(28−8sin14°)cm，DN=GH，
∴HM=NH−MN=(20−8sin14°)cm，
∵∠ABG=14°，∠ABM=149°，
∴∠FBG=135°，
∴∠MBH=45°，
∴∠MBH=∠BMH=45°，
∴BH=HM=(20−8sin14°)cm，
∴DN=GH=BG+BH
=8cos14°+20−8sin14°
=8×0.97+20−8×0.24
≈25.8(cm)；
答：线段DN的长度为25.8cm．
21．（8分）如图1，AB∥CD，要求用尺规在CD上取一点H，使得AH平分∠BAC，下面是两位同学
的做法．
小明：如图2，以点A为圆心，适当长度为半径画弧交AC，AB于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于
1
EF的长度为半径画弧交于点G，连接并延长AG交CD于点H．
2
小红：你的作图是正确的，我的做法和你不一样，如图3，以C为圆心CA为半径画弧，与CD的交点就是
点H．
(1)请证明小明的做法是正确的；
(2)小红的做法正确吗，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；
(2)正确，理由见解析．
【分析】本题考查了作图-基本作图，平行线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，掌握知
识点的应用是解题的关键．
（1）证明△AGE≌△AGF(SSS)可得结论；
（2）利用等边对等角，平行线的性质证明即可.
【详解】（1）证明：如图2中，连接EG，FG，
由作图可知AE=AF，EG=FG，
在△AGE和△AGF中，
¿，
∴△AGE≌△AGF(SSS)，
∴∠EAG=∠EAF，
∴AH平分∠BAC；
（2）解：正确，理由如下：
如图3中，连接AH，
由作图可知CA=CH，
∴∠CAH=∠AHC，
∵AB∥CD，
∴∠BAH=∠AHC，
∴∠CAH=∠BAH，
∴AH平分∠BAC．
22．（10分）电子体重秤的原理是当人站在秤盘上时，压力施加给传感器，传感器发生弹性形变，从而使阻抗发生变化，输出一个变化的模拟信号，进而将该信号进行处理并输出到显示器．某综合实践活动小组
设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R，R(Ω)与踏板上人的质量
m(kg)之间的几组对应值如下表：
人的质量
0 30 60 90 120
m(kg)
可变电阻
240 180 120 60 0
R(Ω)
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，R与m符合初中学习过的某种函数关系，则可能是
__________函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”）
(2)根据以上判断，求R关于m的函数关系式；
(3)当可变电阻R为100Ω时，求人的质量m应为多少kg？
【答案】(1)图见详解，一次
(2)R=−2m+240
(3)70kg
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想
解答．
(1)根据表格中的数据，可以得到R与m符合初中学习过的哪种函数关系；
(2)根据(1)中的结果，可以设出相应的函数解析式，然后根据表格中的数据，即可得到关于m的函数关系
式；
(3)将R=100代入(2)中的函数关系式，即可得到人的质量m应为多少kg．
【详解】（1）解：由表格中的数据可得点的坐标，在坐标系中描出点
(0,240),(30,180),(60,120),(90,60),(120,0)，如图所示：由图可知，R与m符合初中学习过的一次函数关系，
故答案为∶一次；
（2）解：设R关于m的函数关系式为R=km+b，
将(0,240),(30,180)代入，
得¿，
解得¿，
即R关于m的函数关系式为R=−2m+240，
验证：当m=120时，R=0满足关系式；
（3）解：当R=100时，100=−2m+240，
解得，m=70，
即当可变电阻R为100Ω时，人的质量m应为70kg．
1
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=− x2+bx+c与x轴交于点A，B，其中点B的坐标
2
为(4,0)，与y轴交于点C(0,2)．
1
(1)求抛物线y=− x2+bx+c和直线BC的函数表达式；
2
(2)点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，当△PBC面积最大时，求P点的坐标；
(3)连接B和（2）中求出的点P、点Q位于直线BP下方且在抛物线上，若∠PBQ=45°，求点Q的坐标．
1 3 1
【答案】(1)y=− x2+ x+2；y=− x+2；
2 2 2
(2)(2,3)；( 3 23)
(3) − , ．
5 25
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形等知识，解题的
关键是作辅助线，构造全等三角形．
1 3 1
（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y=− x2+ x+2；直线BC的函数表达式为y=− x+2；
2 2 2
（2）过P作PH∥y轴交BC于H，设P ( t,− 1 t2+ 3 t+2 ) ，则H ( t,− 1 t+2 ) ，故
2 2 2
S =PH⋅OB= ( − 1 t2+2t ) ×4=−2t2+8t=−2(t−2) 2+8，根据二次函数性质可得答案；
△PBC 2
（3）过P作PM⊥PB交BQ的延长线于M，过P作TK∥x轴，过B作BK⊥TK于K，过M作MT⊥TK
于T，由∠PBQ=45°，得△PBM是等腰直角三角形，可证明△BPK≌△PMT(AAS)，从而
1 4
PK=MT=2，BK=PT=3，即得M(−1,1)，用待定系数法得直线BM函数表达式为y=− x+ ，联立
5 5
方程组，即可解得点Q的坐标．
1
【详解】（1）解：把B(4,0)、C(0,2)，代入y=− x2+bx+c，
2
可得，¿
解得，¿
1 3
∴抛物线的函数表达式为y=− x2+ x+2；
2 2
设直线BC的函数表达式为y=mx+2，
把B(4,0)代入得，4m+2=0，
1
解得，m=− ，
2
1
∴直线BC的函数表达式为y=− x+2；
2
（2）解：过P作PH∥y轴交BC于H，如图所示：设P ( t,− 1 t2+ 3 t+2 ) ，则H ( t,− 1 t+2 ) ，
2 2 2
∴PH=− 1 t2+ 3 t+2− ( − 1 t+2 ) =− 1 t2+2t，
2 2 2 2
∴S = 1 ⋅PH⋅OB= 1 × ( − 1 t2+2t ) ×4=−t2+4t=−(t−2) 2+4，
△PBC 2 2 2
∵−1<0，
∴当t=2时，S 取最大值4，
△PBC
此时P的坐标为(2,3)；
（3）解：直线BP下方存在点Q，使得∠PBQ=45°，理由如下：
过P作PM⊥PB交BQ的延长线于M，过P作TK∥x轴，过B作BK⊥TK于K，过M作MT⊥TK于T，
如图所示：
由（2）知P(2,3)，
∵B(4,0)，
∴PK=2，BK=3，
∵∠PBQ=45°，
∴△PBM是等腰直角三角形，
∴∠MPB=90°，PB=PM，
∴∠KPB=90°−∠TPM=∠TMP，
∵∠K=∠T=90°，
∴△BPK≌△PMT(AAS)，
∴PK=MT=2，BK=PT=3，
∴M(−1,1)，
设直线BM的解析式为y=mx+n，
把M(−1,1)、B(4,0)的坐标代入可得，¿，
解得：¿1 4
∴直线BM的解析式为：y=− x+ ，
5 5
则¿
解得，¿或¿
( 3 23)
∴Q的坐标为 − , ．
5 25
24．（12分）如图，已知菱形ABCD，以AB为直径的⊙O与对角线AC交于点E，与边AD交于点F，连
接BE，EF，G为DF上一点，连接GE．
(1)求证：点B，D，E三点共线；
(2)若点G为DF的中点，求证：EG是⊙O的切线；
5
(3)若⊙O的半径长为 ，EF=√5，求DF的长．
2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)2
【分析】（1）通过圆周角定理的推论得∠AEB=90°，结合菱形的性质得AE⊥BD即可求解；
（2）连接OE、OF，利用菱形的性质得BE=DE，∠EAB=∠FAE；利用圆周角定理可得
∠BOE=∠EOF；G为DF的中点，通过等腰三角形的性质——三线合一得EG⊥AD，结合OE∥AD，
推出OE⊥EG即可得证结论；
（3）连接BF、DE，由（2）得BE=EF=√5，推出BD=2√5，AB=5，设DF=x，利用勾股定理，在
Rt△ABF和Rt△BDF中，BF2=AB2−AF2=BD2−DF2，得52−(5−x) 2=(2√5) 2 −x2，解方程即可求
解．
【详解】（1）证明：如图，连接BD．∵AB ⊙O
为 的直径。
∴∠AEB=90°，即AE⊥BE．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即AE⊥BD．
∴点B，D，E三点共线．
（2）证明：如图，连接OE、OF．
由（1）得点B，D，E三点共线，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BE=DE，∠EAB=∠FAE，
又∠EOF=2∠FAE，∠BOE=2∠EAB，
∴∠BOE=∠EOF．
∴BE=EF，
∴DE=EF．
又∵G为DF的中点，
∴EG⊥AD．
∵OA=OE，
∴∠EAB=∠AEO．
又∠EAB=∠FAE，
∴∠AEO=∠FAE．
∴OE∥AD，
∴OE⊥EG．
又OE为⊙O的半径，
∴EG为⊙O的切线．（3）解：如图，连接BF，DE．
由（2）得BE=EF，
∵EF=√5，
∴BE=√5
∴BD=2BE=2√5．
5
∵⊙O的半径长为 ，
2
∴AB=5．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=5．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠DFB=90°．
设DF=x，则AF=AD−DF=5−x，
在Rt△ABF中，BF2=AB2−AF2=52−(5−x) 2，
在Rt△BDF中，BF2=BD2−DF2=(2√5) 2 −x2，
∴52−(5−x) 2=(2√5) 2 −x2，解得x=2．
∴DF的长为2．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、菱形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质、切线的判
定以及勾股定理，熟练掌握以上基础知识，作出合适的辅助线是解题关键．
