文档内容
2025 年中考第三次模拟考试（甘肃兰州卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C C C D A A A B D A D B
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 14. 15. 16.
三、解答题（本大题共12个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.【详解】解： ．.........................（4分）
18.【详解】解： ，
① ② ，得 ③，
解得 ，
把 代入①，得 ，
所以方程组的解是 ．.........................（4分）
19.【详解】解：，.........................（3分）
， ，
原式 ．.........................（4分）
20.【详解】（1）解：将 代入 ，得： ，
反比例函数解析式为 ，
把 ， 代入一次函数 ，
得 ，
解得 ，
一次函数解析式为 ；.........................（3分）
（2）解： 点C坐标为 ，点P在反比例函数 的图象上，
设P点坐标为 ，
，
，
解得： 或 ，
又 点P在第三象限，
点P坐标为 ．.........................（6分）
21.【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；.........................（2分）
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形．.........................（6分）
22.【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点为 ，
∴可设该抛物线的表达式为
∵抛物线经过点 ，
∴ ，
解得：
∴该抛物线的表达式为： .........................（3分）
（2）解：∵ ，
∴点C的横坐标为30．
∴当 时，
∴梭梭树较茂密地带宽度 的长为 ．.........................（6分）
23.【详解】解：（1）∵折叠，点 重合，即成轴对称图形，
∴线段 与折痕 相互垂直，
故答案为：垂直；.........................（2分）
（2）∵折叠，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；.........................（4分）
（3）根据（1），（2）可得， ，且 平分 ，
∵折叠，
∴ ， ，
∴ ，且 平分 ， 折痕 所在直线，
∴如图所示，
连接 ，分别以点 为圆心，以大于 为半径画弧，交于点 ，
连接 交 于点 ，
以点 为圆心，以任意长为半径画弧交 于点 ，分别以点 为圆心，以大于 为半径画弧，
交于点 ，连接 ，
∴四边形 即为四边形 关于折痕 折叠后的图形．.........................（6分）
24.【详解】（1）解： 七年级40名学生成绩的中位数为第20、21名成绩的平均数，且 分有
人，
，
故答案为：83；.........................（2分）
（2）解：甲学生在该年级的排名更靠前．
七年级学生甲的成绩高于中位数，其名次在七年级20名之前，
八年级学生乙的成绩等于中位数84分，其名次在八年级20或20名之后，
甲学生在该年级的排名更靠前；.........................（4分）（3）解： （人）
估计七年级成绩高于82分的人数为200人．.........................（6分）
25.【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
由题意可知， ，
在 中， ，
∴ ，.........................（2分）
答：试管口 与铁杆 的水平距离 的长度 ．
（2）解：如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
则四边形 和四边形 都是矩形，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，答：线段 的长度为 ．.........................（6分）
26.【详解】（1）证明： 连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， 点 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线．.........................（3分）
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ．.........................（7分）
27.【详解】（1）解：∵抛物线 过点 ，
∴ ，
∴ ．
∴抛物线的表达式为 ；.........................（2分）
（2）解：如图，
设点P的坐标为 （ ），
结合题意可得，点E的坐标为 ，点F的坐标为 ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴点P的坐标为 ；.........................（5分）
（3）解：由题意得， ．
如图，在 上方作 ．使得 ， ，连接 ，
∵点B的坐标为 ， 轴，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∴ （当M，Q，B三点共线时取等号），
∴ 的最小值为 的长，
∵ ，
∴ ．∴ 的最小值为 ．.........................（8分）
28.【详解】（1）证明：∵ 绕点B逆时针旋转 得到 ，
∴ ．
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ；.........................（3分）
（2）证明：如图1， 过点B分别作 于点 F， 于点 G，
，
∵ 绕点B逆时针旋转 得到 ，
∴ ．
∵四边形 为正方形，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
在 和 中，，
∴
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴四边形 为矩形．
∵ ，
∴矩形 为正方形．
∴ ．
∴ ．
∵四边形 为正方形，
，
；.........................（6分）
（3）解： 连接 ， 将 绕点A 逆时针旋转一定的度数得到 ， 使得 ， 连接
．，
∴ ．
∴ ．
连接 交 于点 ，
∴ (两点之间线段最短)．
∴当M， Q， N三点共线时， 有最小值是 的长度．
由（2）易得： ．
∴ ， ．
∵ ．
∴ ．
∴ ．
过N作 于H．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
，
．.........................（9分）
