文档内容
2025 年中考第一次模拟考试（甘肃兰州卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．﹣8的相反数是（ ）
A．8 B．﹣8 C．±8 D．不存在
2．若∠A＝47°，则∠A的余角的度数为（ ）
A．133° B．123° C．43° D．33°
3．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数
法表示为（ ）
A．2.15×107 B．0.215×108 C．2.15×106 D．21.5×106
4．用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝5 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣3）2＝13 D．（x﹣3）2＝7
5．如图是根据某班50名同学每天课外阅读的时间制成的条形统计图，根据图中信息，下列说法正确的是
（ ）
A．这组数据的平均数是12.5
B．这组数据的众数是20
C．这组数据的中位数是2
D．这组数据的中位数是17.56．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人
出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出 8钱多出3钱；每人
出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是
（ ）
A． B． C． D．
7．如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A，B的对应点分别为A′，B′，点A，B，A′，B′均在
图中的格点上．若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（ ）
A．（﹣ ，n ） B．（m，n ） C．（m， ） D．（ ， ）
8．给出下列函数：①y＝﹣3x+2；② ；③y＝5x2；④y＝3x，上述函数中符合条件“当x＞1时，
函数值y随自变量x增大而增大”的是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
9．定义新运算“ ”，规定：a b＝a﹣2b．若关于x的不等式x m＞1的解集为x＞﹣1，则m的值（
）
⊗ ⊗ ⊗
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
10．如图，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
11．如图，△ABC是 O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝40°，过点B作BD∥AC，交 O于点D，连接
⊙ ⊙CD，则∠DCB的大小为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，点P从点A出发沿A→B→C的路径运动到点C停
止，点Q以相同的速度沿A→C的路径运动到点C停止，连接PQ，设点P的运动路程为x，△APQ的
面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
A．
B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．若关于x，y的方程组 的解满足x+y＞6，则m的取值范围是 .．
14．实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简 ﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝ ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，以点C为圆心，CA为半径画弧，分别与AB、CB交
于点D、E，若图中阴影部分的面积为 ，则AC＝ ．16．计算：12+22+32+…+n2＝ n（n+1）•（2n+1），按以上式子，那么22+42+62+…+602＝ ．
三、解答题（本大题共12个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（4分）计算： ．
18．（4分）先化简，再求值： ，其中x＝﹣3．
19．（4分）如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且AC＝2AB．请用尺规完成基本作图：作出
∠BAC的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数
量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）
20．（6）分如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，
过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长．
21．（6分）六月是水蜜桃大量上市的季节，某果农在销售时发现：若水蜜桃的售价为15元/千克，则日销
售量为 50千克，若售价每提高 1元/千克，日销售量就减少 2千克，现设水蜜桃售价为 x元/千克
（x≥15，且x为正整数）．
（1）若某日销售量为40千克，则该日水蜜桃的单价为多少元？
（2）若政府将销售价格定为不超过30元/千克，设每日销售额为W元，求W关于x的函数表达式，并
求W的最大值和最小值．
22．（6分）如图，海面上一艘船由西向东航行，在 A处测得正东方向上一座灯塔的最高点 C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这
座灯塔的高度CD（结果取整数）．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
23．（6分）为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A，B，C，D
四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全
相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下
名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
（1）随机抽取一张卡片，“A志愿者被选中”的概率是 ．
（2）用列表法或画树状图法求抽签活动中A，B两名志愿者被同时选中的概率．
24．（6分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组
设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制如图
所示的两幅不完整的统计图．
请结合图中所给出的信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 ．
（2）补全条形统计图；
（3）若某商场一天内有3000人次支付记录，估计选择微信支付的人数．
25．（6分）如图，一次函数y ＝mx+n的图象与坐标轴交于点A，B，与反比例函数 的图象交于点
1
C，D（3，a），过点C作CP⊥x轴于点P，已知OP＝2OA＝6，OB＝2．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）连接PD，求△CPD的面积；
（3）当mx+n﹣ ＞0时，根据图象直接写出x的取值范围．26．（7分）如图，AB是 O的直径，点P是 O外一点，PA切 O于点A，连接OP，过点B作BC∥OP
交 O于点C，点E是⊙的中点． ⊙ ⊙
（1）求证：PC是 O的切线；
⊙
（2）若AB＝10，BC＝6，求CE的长．
⊙
27．（8分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝﹣ x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B
（0， ），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，
点C落在抛物线上的点P处．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段CD的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，
且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．
28．（9分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，
DE⊥CF，则 的值为 ；（2）如图2，在矩形ABCD中，∠DBC＝30°，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则
的值为 ；
【类比探究】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C
作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD；
【拓展延伸】（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝8，将△ABD沿BD翻折，点A
落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，且DE⊥CF，求 的值．
