文档内容
2025 年中考第三次模拟考试（甘肃兰州卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 的相反数是（ ）
A．6 B． C． D．
2．一部《哪吒之魔童闹海》在全球影史票房榜上不断将新纪录收入囊中．据网络数据平台，截至3月19
日，《哪吒之魔童闹海》累计票房（含海外及预售票房）突破151.7亿元．151.7亿用科学记数法表示为（
）
A． B． C． D．
3．已知 ，则 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
4．一块含有 的直角三角板按如图所示放置，若 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
5．交通文明，让定西与我一起白头偕老．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交
通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他
在路口遇到绿灯的概率为 ，遇到黄灯的概率为 ，那么他遇到红灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知一元二次方程 配方后可变形为 ，则 的值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
7．如图，将一个 形状的楔子从木桩的底端点 处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已
知楔子斜面的倾斜角为 ，若楔子沿水平方向前移 （如箭头所示），则木桩上升了（ ）
A． B． C． D．
8．已知反比例函数 的图象与函数 的图象没有交点．若点 、 、 在这个
反比例函数 的图象上，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：“今有上禾三乘，益实六斗，当下一十乘：下禾五乘，益
实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加
六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子：有下等稻子五捆，若打出的谷子再加一斗，则相当于两捆上
等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆能打多少斗谷子？设上等稻子每捆能打 斗谷子，下等稻子
每捆能打 斗谷子，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．C． D．
10．如图， 是半圆的直径，点 是 的中点，连接 ， ， 于点 ．若 ，
，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知二次函数 的图象上有四个点： ， ，其中
，则下列结论一定不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
12．如图1，在 中，连接 ， ， ．动点 从点 出发，沿 边匀速
运动．运动到点 停止．过点 作 交 边于点 ，连接 ， ．设 ，
， 与 的函数图象如图2所示，函数图象最低点坐标为（ ）
A． B． C． D．第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．因式分解： ．
14．在2023年10月6日举行的杭州亚运会女篮决赛中，中国女篮成功卫冕．比赛时中国队5名首发队员
的身高如图．比赛中，由身高 的14号和身高 的10号上场、换下15号和5号队员，此时场上
5名队员身高的方差设为 ，与首发5名队员身高的方差 相比较有 （填“＞”，
“＜”或“＝”）．
15．阿基米德说： “给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识
——杠杆原理．如图 ，春白——谷物种子脱壳的传统工具，就是利用了杠杆原理工作， 图 是该舂臼
的侧面简易示意图， 点 是支点， 点 距地面 ，且 ，在舂臼使用过程中， 若 端上
升至距地面 处， 则 端此时距地面 ．
16．如图，在 中， ，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到
，此时点 恰好在 边上，则点 与点B之间的距离为三、解答题（本大题共12个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（4分）计算： ．
18．（4分）解方程组：
19．（4分）先化简，再求值： ，其中 ， ．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中．一次函数 的图象与反比例函数 的
图象交于 ， 两点，与x轴交于点 ．
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；
(2)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得 的面积为18，求点P的坐标．21．（6分）已知：如图，在矩形 中，点E、F分别在边 上，且 ，延长
分别交 延长线于点H、G．
(1)求证： ；
(2)联结 ，如果 ，求证：四边形 是正方形．
22．（6分）如图1，位于甘肃某地的沙漠边缘地区常见抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛
物线状，它的两翼附近生长着梭梭树．建立如图2所示的平面直角坐标系，已知某一抛物线状沙丘
（呈对称）两翼端点的水平距离（ ，沙丘弧顶最高点A到 的距离为 ，边界线 与
之间为梭梭树生长较茂密地带，且 ，点C到沙丘左翼端点O的水平距离 ．
(1)求抛物线状沙丘 的表达式：
(2)求梭梭树生长较茂密地带宽度 的长．23．（6分）综合与实践：数学中的折纸与作图
折纸的过程蕴含了大量的对称知识，我们可以获得很多相等的量，而利用尺规作图可以作出几何中的基本
图形，构造出相等的量．某数学兴趣小组探究数学中的折纸与作图，认为可以利用尺规作图还原折纸过程，
为此开展以下探究活动．
探
究
平行四边形中的折纸与作图
主
题
探
究
如图1，一张平行四边形纸片
素
材
如图2，将平行四边形纸片 折叠，使得点 与点 重合，折痕 交 于
点 ，交 于点 ，点 的对应点为 ．
折
纸
过
程
（1）在折纸过程中，图2中折痕 与 的位置关系是_____；
（2）在折纸过程中，图2中 与 的数量关系是_____；
（3）根据折纸过程，请你在图3中用无刻度的直尺和圆规还原整个折叠过程，即
探 在平行四边形 中画出折痕 ，以及四边形 折叠后的四边形
究 （保留作图痕迹，不写作法）．
问
题
24．（6分）某校为了解七、八年级学生对“用火用电”安全知识的掌握情况，从七、八年级各班随机抽
取40名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：七年级成绩在 这一组的是：80，81，82，82，84，85，86，86，87，87，87，88，89．
七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
年 平均 中位
级 数 数
七 82 m
八 83 84
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中m的值为__________；
(2)在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是84分，请判断两位学生在各自年级的排名谁
更靠前，并说明理由；
(3)该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩高于82分的人数．
25．（6分）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试
管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知
试管 ，试管倾斜角 为 ．(1)求试管口B与铁杆 的水平距离 的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
(2)实验时，导气管紧靠水槽壁 ，延长 交 的延长线于点F，且 于点N（点C，D，N，
F在一条直线上），经测得： ，求线段 的长度．（结果用含非
特殊角的三角函数表示）
26．（7分）如图，△ABC内接于 ， 是 的直径，过 的延长线上一点 作 于点 ，
交 于点 ，点 是 的中点，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
27．（8分）如图⑥，抛物线 与x轴交于O、A两点，与直线 交于O、 两点，过
点B作y轴的垂线，交y轴于点C，点P从点B出发，沿线段 方向匀速运动，运动到点O时停止．(1)求抛物线 的表达式：
(2)请在图⑥中过点P作 轴于点F，延长 交 于点E，当 时，求点P的坐标：
(3)如图⑦，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，
点P停止运动时点Q也停止运动，连接 ，求 的最小值．
28．（9分）综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，
探究旋转变换的几何问题．
(1)【建立模型】如图1，点M为等边三角形 内部一点，小颜发现：将 绕点B逆时针旋转 得到
，则 ，请思考并证明；
(2)【类比探究】小梁进一步探究：如图2，点M为正方形 内部一点，将 绕点B逆时针旋转
得到 ，连接 并延长，交 于点E．求证： ；
(3)【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图3，点M为 内部一点， ，点P，Q是上的动点，且 ，若 ， ， 请直接写出 的
最小值．
