文档内容
2025 年中考押题预测卷（泰州卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．风云二号是我国自行研制的第一代地球静止气象卫星，它在地球赤道上空距地面约35800公里的轨道上
运行．将35800用科学记数法表示应为（ ）
A．0.358×105 B．35.8×103 C．3.58×105 D．3.58×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：35800＝3.58×104．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
2．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的
图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形．轴对称
图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意．
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解
此题的关键．
3．下列调查适合做抽样调查的是（ ）
A．对搭乘高铁的乘客进行安全检查
B．审核书稿中的错别字
C．调查一批LED节能灯管的使用寿命
D．对七（1）班同学的视力情况进行调查
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、对搭乘高铁的乘客进行安全检查，适合全面调查，故A不符合题意；
B、审核书稿中的错别字，适合全面调查，故B不符合题意；
C、调查一批LED节能灯管的使用寿命，适合抽样调查，故C符合题意；
D、对七（1）班同学的视力情况进行调查，适合全面调查，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
5
4．使分式 的值为整数的所有整数x的和是（ ）
2x−1
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】由整除的性质可知，2x﹣1是5的约数，分别求得符合题意的x值，再求和即可．
5
【解答】解：∵ 的值为整数，
2x−1
∴2x﹣1为5的约数，
∴2x﹣1＝±1，或2x﹣1＝±5，
又∵x为整数，
∴x＝1，或x＝0，或x＝3，或x＝﹣2，
∴1+0+3﹣2＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了分式的值，掌握整除的性质是解题的关键．本题是基础知识的考查，比较简单．5．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，下列结论正确的是（ ）
A．当平行四边形ABCD是矩形时，AO＝BO
B．当平行四边形ABCD是正方形时，AC＝BC
C．当平行四边形ABCD是菱形时，∠ABC＝90°
D．当平行四边形ABCD是矩形时，AC⊥BD
【分析】根据矩形，菱形，正方形的性质逐项判断即可．
【解答】解：A、当平行四边形ABCD是矩形时，AO＝BO，结论正确，符合题意；
B、当平行四边形ABCD是正方形时，AB＝BC，而AC=√2BC，原结论错误，不符合题意；
C、当平行四边形ABCD是正方形时，∠ABC＝90°，原结论错误，不符合题意；
D、当平行四边形ABCD是矩形时，对角线不垂直，原结论错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了矩形，菱形，正方形的性质，掌握矩形，菱形，正方形的性质是关键．
6．平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝
1，给出下面四个结论：①a•b•c＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为
实数）．上述结论中，所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用抛物线开口向上，可得a＞0，抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，又因为抛物线的对
b
称轴是直线x＝1，即− =1，所以b＝﹣2a＜0，即可判定①；由图可知，当x＝﹣1时，y＞0，即a
2a
﹣b+c＞0，把b＝﹣2a代入即可判定②；利用x＝﹣1时，a﹣b+c＞0；x＝1时，a+b+c＜0得到（a﹣
b+c）（a+b+c）＜0，则判定③；利用x＝1时，y有最小值得到a+b+c≤am2+bm+c可对判定④．【解答】解：①由图可知，抛物线开口向上，所以a＞0，
抛物线与y轴交于负半轴，所以c＜0，
b
又因为抛物线的对称轴是直线x＝1，即− =1，所以b＝﹣2a＜0，
2a
∴abc＞0，故①错误；
②由图可知，当x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＞0，故②正确；
③∵x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，
∴（a+c）2﹣b2＜0，所以③正确；
④∵x＝1时，y有最小值，
∴a+b+c≤am2+bm+c，
即a+b≤m（am+b），所以④正确．
综上，正确的有②③④共3个，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0
时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的
位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y
b b
轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线对称轴为直线x=− ，抛物线的最值，当x=− 时，
2a 2a
当a＞0，y有最小值，当a＜0时，y有最大值．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，24分.请把答案直接填写在横线上）
7．已知一张纸的厚度为0.09mm，假设连续对折始终是可能的．小明将该纸片连续对折6次，则纸的厚度
为 5.7 6 mm．
【分析】根据对折后纸的厚度变为原来的2倍，计算即可得解．
【解答】解：对折6次后的厚度为0.09×26＝5.76（mm），
故答案为：5.76．
【点评】本题考查了有理数的乘方，是基础题，理解对折后厚度变为原来的2倍是解题的关键．8．如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多
是 8 ．
【分析】由左视图和俯视图可以猜想到几何体的可能情况，从而得到答案．
【解答】解：从俯视图可看出前后有三层，从左视图可看出最后面有2层高，
中间最高是2层，要是最多就都是2层，
最前面的最高是1层，
所以最多是：2+2×2+1×2＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体，由两个视图想象几何体是解题的关键，
9．因式分解8m2n﹣2n＝ 2 n （ 2 m + 1 ）（ 2 m ﹣ 1 ） ．
【分析】先提取公因式2n，再运用平方差公式分解即可．
【解答】解：8m2n﹣2n＝2n（2m+1）（2m﹣1），
故答案为：2n（2m+1）（2m﹣1）．
【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法和基本步骤是解题的关键．
10．设x 、x 是一元二次方程x2+mx+m+1＝0的两个根，且x2+x2=1，则m的值为 ﹣ 1 ．
1 2 1 2
【分析】利用根与系数的关系构建方程求解．
【解答】解：∵x 、x 是一元二次方程x2+mx+m+1＝0的两个根，
1 2
∴x +x ＝﹣m，x x ＝m+1，
1 2 1 2
∴x2+x2=（x +x ）2﹣2x x ＝m2﹣2（m+1）＝1，
1 2 1 2 1 2
整理得m2﹣2m﹣3＝0，
∴m+1＝0或m﹣3＝0，
解得m ＝﹣1，m ＝3，
1 2
当m＝3时，方程为x2+3x+4＝0，
Δ＝32﹣4×1×4＝﹣7＜0，方程无解，
故m＝3舍去．
当m＝﹣1时，方程为x2﹣x＝0，方程有解，则m＝﹣1符合．所以m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11．若2x﹣3y﹣5＝0，则代数式2030﹣2x+3y的值是 202 5 ．
【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可．
【解答】解：∵2030﹣2x+3y＝﹣2x+3y+2030，
∵2x﹣3y﹣5＝0，
∴2x﹣3y＝5，
∴当2x﹣3y＝5时，原式＝﹣2x+3y+2030＝﹣（2x﹣3y）+2030＝﹣5+2030＝2025．
故答案为：2025．
【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．
12．国庆期间，某超市开展“有奖促销”活动，凡购物不少于50元的顾客均有一次转动转盘的机会．如图，
转盘被平均分为8等份，指针固定不动，转动转盘，转盘停止后，当指针指向数字 8时，该顾客获一等
奖；当指针指向3或5时，该顾客获二等奖；若指针指向分界线则重转．顾客转动一次转盘，获一等奖
3
或二等奖的可能性大小为 ．
8
【分析】根据概率的大小与面积的关系，列出算式计算即可求得顾客转动一次转盘，获一等奖或二等奖
的可能性大小．
3
【解答】解：3÷8= ．
8
3
故顾客转动一次转盘，获一等奖或二等奖的可能性大小为 ．
8
3
故答案为： ．
8
【点评】本题考查了可能性的大小，关键是熟悉知识点：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
13．如图，直线l ∥l ∥l ，直线AC依次交l 、l 、l 于A、B、C三点，直线DF依次交l 、l 、l 于D、
1 2 3 1 2 3 1 2 39
E、F三点，若AB：DE＝4：3，BC＝3，则EF＝ ．
4
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．
【解答】解：∵l ∥l ∥l ，
1 2 3
AB DE
∴ = ，
BC EF
AB BC
∴ = ，
DE EF
∵AB：DE＝4：3，BC＝3，
3 4
∴ = ，
EF 3
9
解得：EF= ，
4
9
故答案为： ．
4
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理、找准对应关系是
解题的关键．
5
14．如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线y=2x− 上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）．若
2
5 15
点P（t，y ）在线段AB上，点Q（t﹣1，y ）在直线y=2x− 上，则y ﹣y 的最大值 ．
1 2 2 1 2 2
【分析】先求出点A的坐标，然后求出直线AB的解析式，再把P，Q代入两个函数得到y ﹣y 的表达
1 2
式，根据t的取值范围即可求出最大值．
5
【解答】解：∵点A（2，m）在直线y=2x− 上，
23 3
∴m= ，即点A（2， ），
2 2
3
∴直线AB的解析式为：y=− x+3，
4
3 5 9
∴y =− t+3(0≤t≤2)，y =2(t−1)− = 2t− ，
1 4 2 2 2
3 9 11 15
∴y ﹣y =− t+3﹣2t+ =− t+ ，
1 2 4 2 4 2
∵P在线段AB上，
∴0≤t≤2，
15
∴当t＝0时，y ﹣y 有最大值为 ．
1 2 2
15
故答案为： ．
2
【点评】本题考查一次函数的性质，待定系数法，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
15．如图，正方形ABCD的边长为4，则阴影部分面积为 4 ﹣ 8 ．（结果保留 ）
π π
【分析】根据S阴影 ＝S半圆 ﹣（S△BCD ﹣S扇形BCE ）即可求解．
【解答】解：如图所示，对角线BD与弧CE交于点E，
∵正方形ABCD的边长为4，BD是对角线，
∴∠DBC＝45°，
45° 1
∴ S = ×π×42=2π， S = ×4×4=8， 以 CD 为 直 径 的 半 圆 的 面 积
扇 形BC3E60° △BCD 2
1 4
S = π×( ) 2=2π，
半圆 2 2∴S阴影 ＝S半圆 ﹣（S△BCD ﹣S扇形BCE ）＝2 ﹣（8﹣2 ）＝4 ﹣8，
∴阴影部分的面积为4 ﹣8， π π π
故答案为：4 ﹣8． π
【点评】本题π主要考查不规则图形面积的计算，理解图示的组成部分，掌握扇形面积的计算方法，圆面
积的计算方法是解题的关键．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D是平面内到点A的距离等于4的任意一点
点M是CD的中点，则BM的取值范围是 3 ≤ BM ≤ 7 ．
1
【分析】取AC中点N，连接BN，MN，由三角形中位线定理得到MN= AD＝2，由勾股定理求出AC
2
1
=√AB2+BC2=10，由直角三角形斜边中线的性质得到 BN= AC＝5，由三角形三边关系定理得到
2
3≤BM≤7．
【解答】解：取AC中点N，连接BN，MN，
∵M是CD中点，
∴MN是△ACD的中位线，
1 1
∴MN= AD= ×4＝2，
2 2
∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC=√AB2+BC2=10，
∵N是AC中点，
1
∴BN= AC＝5，
2
∵5﹣2≤BM≤5+2，
∴3≤BM≤7．
故答案为：3≤BM≤7．【点评】本题考查三角形中位线定理，三角形三边关系，勾股定理，关键是由三角形三边关系定理得到
5﹣2≤BM≤5+2．
三．解答题（共10小题，满分102分）
17．（12分）计算：
（1）2−1−√12−(π−2025) 0+8cos30°；
{2x+3 y=−1
（2）解方程组： ．
5x−6 y=11
【分析】（1）利用负整数指数幂，二次根式的性质，零指数幂，特殊锐角三角函数值计算即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
1 √3
【解答】解：（1）原式= −2√3−1+8×
2 2
1
= −2√3−1+4√3
2
1
=2√3− ；
2
{2x+3 y=−1①
（2） ，
5x−6 y=11②
①×2+②得：9x＝9，
解得：x＝1，
将x＝1代入①得：2+3y＝﹣1，
解得：y＝﹣1，
{ x=1
故原方程组的解为 ．
y=−1
【点评】本题考查实数的运算，负整数指数幂，零指数幂，特殊锐角三角函数值，解二元一次方程组，
熟练掌握相关运算法则及解方程组的方法是解题的关键．
18．（8分）为了进一步推进学校安全教育，切实增强广大学生的安全防范意识和自护自救能力，某校举
行了安全知识网络竞赛活动，测试满分为100分，为了解八、九年级学生此次竞赛成绩的情况，分别随机在八、九年级抽取了20名参赛学生的成绩．已知抽到的八年级的竞赛成绩（单位：分）如下：80，
95，60，80，75，60，95，65，75，70，80，75，85，65，90，70，75，80，85，80．
注：分数在80分以上（不含80分）为优秀．
为了便于分析数据，统计员对八年级的数据进行了整理，得到下表：
成绩等级 分数（单位：分） 学生数
D级 60≤x≤70 a
C级 70＜x≤80 9
B级 80＜x≤90 b
A级 90＜x≤100 2
八、九年级所抽竞赛成绩的平均数、中位数、优秀率如表：
年级 平均数 中位数 优秀率
八年级 77 c 25%
九年级 78.5 82.5 50%
（1）根据题目信息填空：a＝ 6 ，b＝ 3 ，c＝ 77. 5 ；
（2）八年级小明和九年级小亮的分数都为80分，则两位同学在各自年级的排名 小明 更靠前（按
照分数由高到低的顺序排序）；
（3）若九年级共有700人参加竞赛，请估计九年级80分以上（不含80分）的人数．
【分析】（1）根据频数统计的方法，分别对20个数据进行统计可得a、b的值，根据中位数的定义求
出八年级成绩的中位数，即确定c的值；
（2）根据八、九年级学生成绩的中位数进行判断即可；
（3）求出样本中九年级80分以上的学生所占的百分比即可估计总体中80分以上的学生所占的百分比，
进而计算相应的人数即可．
【解答】解：（1）根据频数统计的方法可得，
成绩在60≤x≤70的有6人，即a＝6，
成绩在80≤x≤90的有3人，即b＝3，
75+80
八年级20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为 =77.5（分），因此中
2
位数是77.5，即c＝77.5，
故答案为：6，3，77.5；
（2）八年级小明排名靠前，理由：八年级学生成绩的中位数是 77．（5分），而九年级学生成绩的中
位数是82.5，而八年级小明的得分8（0分）在中位数之上，九年级小亮的得分8（0分）在中位数以下，因此八年级的小明排名靠前；
故答案为：小明；
（3）700×50%＝350（人），
答：估计九年级8（0分）以上（不含80分）的人数为350人．
【点评】本题考查中位数、频数分布表以及样本估计总体，理解中位数、频数统计的方法是解决问题的
前提．
19．（8分）酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，
酚酞遇酸性或中性溶液均不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测
4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4瓶溶液分别是：A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾
溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D氢氧化钙溶液（呈碱性）．
1
（1）小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液，结果变红的概率是 ．
2
（2）小明从上述4瓶溶液中挑选2瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求
小明所选的两瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色，
∴小明将酚酞试液随机滴人其中1瓶溶液里，盐酸（呈酸性）和 硝酸钾溶液（呈中性）不变色，氢氧
化钠溶液（呈碱性）和氢氧化钙溶液（呈碱性）变红，
2 1
∴结果变红的概率： = ，
4 2
1
故答案为： ；
2
（2）根据题意：列表如下：
A B C D
A （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D）
由表知，共有12种可能出现的结果，其中1瓶变红、1瓶不变色有（A，C），（A，D），（B，C），
（B，D），（C，A），（C，B），（D，A），（D，B）共8种结果，8 2
1瓶变红、1瓶不变色的概率为： = ．
12 3
【点评】本题考查了用列表或画树状图的方法求概率，熟记用列表或画树状图的方法及概率公式是解题
的关键．
20．（8分）端午节期间，某商店老板用600元购进一批蛋黄粽，又用600元购进了一批肉粽，所购进的
肉粽数量是蛋黄粽数量的75%，且每个肉粽的进价比每个蛋黄标的进价多0.5元．
（1）求每个肉粽的进价和每个蛋黄粽的进价分别是多少元；
（2）端午节当天，老板分别以每个5元、每个4元的价格销售肉粽和蛋黄粽，当肉粽售出 40%，蛋黄
粽售出50%后，为了尽快售完，老板决定将肉粽的单价下降a%，蛋黄粽的单价下降2a%，刚好卖完时，
老板的总利润比原计划少195元，求a的值．
【分析】（1）设每个蛋黄粽的进价为x元，则每个肉粽的进价为（x+0.5）元，利用数量＝总价÷单价，
结合用600元所购肉粽数量是用600元所购蛋黄粽数量的75%，即可得出关于x的分式方程，解之经检
验后可得出每个蛋黄粽的进价，再将其代入（x+0.5）中即可求出每个肉粽的进价；
（2）利用数量＝总价÷单价，可求出购进肉粽和蛋黄粽的数量，利用少赚的总利润＝每个少赚的利润×
销售数量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值．
【解答】解：（1）设每个蛋黄粽的进价为x元，则每个肉粽的进价为（x+0.5）元，
600 600
依题意得： =75%× ，
x+0.5 x
解得：x＝1.5，
经检验，x＝1.5是原方程的解，且符合题意，
∴x+0.5＝1.5+0.5＝2，
答：每个肉粽的进价为2元，每个蛋黄粽的进价为1.5元．
（2）解：购进蛋黄粽的数量为600÷1.5＝400（个），
购进肉粽的数量为600÷2＝300（个）．
依题意得：5×a%×300×（1﹣40%）+4×2a%×400×（1﹣50%）＝195，
解得：a＝7.8．
答：a的值为7.8．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适
的等量关系是解决问题的关键．
21．（10分）阅读材料：
如图1，已知△ABC的面积为60，AB、AC边上的中线CD，BE相交于点O，求四边形ADOE的面积．
小明的解答方法如下：连结AO，设S△ADO ＝x，S△AEO ＝y，则S△DBO ＝x，S△CEO ＝y，
1 1
由题意，得S△ABE =
2
S△ABC ＝30，S△ADC =
2
S△ABC ＝30，
{2x+ y=30
可列方程组为 ．
x+2y=30
……
解答问题：
（1）根据小明的方法，四边形ADOE的面积为 2 0 ；
（2）如图2，已知△ABC的面积为60，AD：BD＝2：1，CE：AE＝3：1，CD，BE相交于点O，求四
边形ADOE的面积．
1 1
【分析】（1）设S△ADO ＝x，S△AEO ＝y，则S△DBO ＝x，S△CEO ＝y，则S△ABE =
2
S△ABC ＝30，S△ADC =
2
{2x+ y=30
S△ABC ＝30，由此可列方程组为
x+2y=30
，解此方程组得：x＝10，y＝10，由此即可得出四边形
ADOE的面积；
（2）连接AO，设S△DBO ＝a，S△AEO ＝b，根据AD：BD＝2：1，CE：AE＝3：1，得S△ADO ＝2a，S△CEO
＝3b，AD：AB＝2：3，AE：AC＝1：4，则
S△ACD
＝2a+4b，S△ABE ＝3a+b，S四边形ADOE ＝2a+b，S△ACD
2 1 {2a+4b=40
=
3
S△ABC ＝40，S△ABE =
4
S△ABC ＝15，据此可列出方程组
3a+b=15
，解此方程组求出a，b即可得四
边形的面积．
【解答】解：（1）连接AO，
设S△ADO ＝x，S△AEO ＝y，则S△DBO ＝x，S△CEO ＝y，
1 1
由题意，得S△ABE =
2
S△ABC ＝30，S△ADC =
2
S△ABC ＝30，
{2x+ y=30
可列方程组为 ，
x+2y=30
{x=10
解此方程组得： ，
y=10
∴S四边形ADOE ＝S△ADO +S△AEO ＝x+y＝20，故答案为：20．
（2）连接AO，如图所示：
设S△DBO ＝a，S△AEO ＝b，
∵AD：BD＝2：1，CE：AE＝3：1，
∴S△ADO ＝2a，S△CEO ＝3b，
∴S△ACD ＝2a+4b，S△ABE ＝3a+b，S四边形ADOE ＝2a+b，
∵AD：BD＝2：1，CE：AE＝3：1，
∴AD：AB＝2：3，AE：AC＝1：4，
3 1
∴S△ACD =
2
S△ABC ＝40，S△ABE =
4
S△ABC ＝15，
{2a+4b=40
∴ ，
3a+b=15
{a=2
解此方程组得： ，
b=9
∴S四边形ADOE ＝2a+b＝13．
【点评】此题主要考查了三角形的面积，解答此题的关键是理解同高（或等高）的两个三角形的面积之
比等于对应底边的比．
22．（10分）如图是小明绘制的在家测量对面一幢楼房高度的示意图．图中点 A，B，C，D，E均在同一
平面内，小明在家测量时的位置在点A处，点A到地面的距离AB＝9m，想要测量高度的楼房是CD，
小明在点A处测得地面上一点 E的俯角是60°，楼房CD的最高点C的仰角是35°，图中AB⊥BD，
CD⊥BD，点E在BD上，点E到CD的距离ED＝30m，请根据以上小明测得的数据，计算出楼房 CD
的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，√3≈1.7）【分析】过点A作AF⊥CD，垂足为F，根据题意可得：AF＝BD，DF＝AB＝9m，AF∥BD，从而可得
∠FAE＝∠AEB＝60°，然后在Rt△AEB中，利用锐角三角函数的定义求出EB的长，从而求出BD的长，
再在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解
答．
【解答】解：过点A作AF⊥CD，垂足为F，
由题意得：AF＝BD，DF＝AB＝9m，AF∥BD，
∴∠FAE＝∠AEB＝60°，
AB 9
在Rt△AEB中，EB = = = 3√3（m），
tan60° √3
∵DE＝30m，
∴AF＝BD＝DE+BE＝（30+3√3）m，
在Rt△ACF中，∠CAF＝35°，
∴CF＝AF•tan35°≈（30+3√3）×0.7＝（21+2.1√3）m，
∴CD＝CF+DF＝21+2.1√3+9≈34（m），
∴楼房CD的高度约为34m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的
辅助线是解题的关键．
k
23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= (k≠0)的图象经过点（﹣2，2）．
x
（1）求这个反比例函数的解析式，并在下面平面直角坐标系中画出函数图象；
k
（2）当﹣2＜x＜0时，对于x的每一个值，函数y＝a（x+2）+2的值都小于反比例函数y= (k≠0)且
x
大于y＝x+3的值，直接写出a的取值范围．【分析】（1）依据题意，由反比例函数图象过（﹣2，2），从而可得k＝﹣2×2＝﹣4，进而可以得反
比例函数的解析式，从而可以作图；
（2）依据题意，由函数为y＝a（x+2）+2，从而当x＝﹣2时，y＝2，故函数为y＝a（x+2）+2的图象
4
为过（﹣2，2）的直线，又当a（x+2）+2=− ，则ax2+（2a+2）x+4＝0，故Δ＝（2a+2）2﹣16a＝0，
x
1
得a＝1，又当函数y＝a（x+2）+2的图象过（0，3）时，故2a+2＝3，求出a= ，最后结合图象可以得
2
解．
【解答】解：（1）由题意，∵反比例函数图象过（﹣2，2），
∴k＝﹣2×2＝﹣4．
4
∴反比例函数为y=− ．
x
作图如下．（2）由题意，∵函数为y＝a（x+2）+2，
∴当x＝﹣2时，y＝2．
∴函数为y＝a（x+2）+2的图象为过（﹣2，2）的直线．
4
又当a（x+2）+2=− ，
x
∴ax2+（2a+2）x+4＝0．
∴Δ＝（2a+2）2﹣16a＝0．
∴a＝1．
又当函数y＝a（x+2）+2的图象过（0，3）时，
∴2a+2＝3，
1
∴a= ．
2
k
∵当﹣2＜x＜0时，对于x的每一个值，函数y＝a（x+2）+2的值都小于反比例函数y= (k≠0)且大于
x
y＝x+3的值，
1
∴结合图象可得， ＜a＜1．
2【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时需要熟练掌握并能灵活运用反比例
函数的性质是关键．
24．（10分）如图，点A、B、C在 O上，∠ACB＝125°．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．
（保留画图痕迹，不写画法） ⊙
（1）在图①中，作一个度数为55°的圆周角；
（2）如图2， O为△ABC的外接圆，直线l与 O相切于点P，且l∥BC，在图2中画出一条弦，使
这条弦将△ABC⊙分成面积相等的两部分． ⊙
【分析】（1）在优弧AB上任意取得D，连接AD，DB即可；
（2）作直线OP交BC于点E，连接AE，延长AE交 O于点D，线段AD即为所求．
【解答】解：（1）如图①中，∠ADB即为所求； ⊙
（2）如图②中，线段AD即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆内接四边形，圆周角定理，切线的性质，平行线的性质，垂径定
理等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．（12分）在平面直角坐标系中，O为原点，矩形OABC的顶点，顶点A在x轴的正半轴上，D为边OA
上一点，OC=√3，∠OCD＝30°，∠CDB＝90°．
（Ⅰ）填空：如图①，点D的坐标为 （ 1 ， 0 ） ；点B的坐标为 （ 4 ， √3） ；
（Ⅱ）将△ODC沿水平方向向右平移，得到△O'D'C'，点O，D，C的对应点分别为O′，D′，C′．
设OO'＝t，△O'D'C'与△DAB重叠部分的面积为S．
①如图②，当△O′D′C′与△DAB重叠部分为四边形时，C'O'，C′D′与DB分别相交于点E，
F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
7
②当2≤t≤ 时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
2
【分析】（Ⅰ）解直角三角形COD求得OD和CD，进而解直角三角形CBD求得CD，进一步得出结果；
（Ⅱ）①解Rt△DD′F求得D′F，进而得出S△DD′F 的关系式，解Rt△DO′E求得O′E，进而得出
S△DO′E 的关系式，进而得出S的关系式；
②可得出当2≤t≤3时，S随t的增大而增大，从而求得当t＝2时，S最小 ，当t＝3时，S最大 ，求得当3
7
＜t≤ 的S解析式，进而求得S最大值，进一步得出结果．
2
【解答】解：（Ⅰ）∵∠COD＝90°，∠OCD＝30°，√3
∴OD＝OC•tan∠OCD=√3× =1，
3
∴D（1，0），CD＝2OD＝2，
∵四边形ABCO是矩形，
∴∠BCO＝90°，∠BCD＝90°﹣∠OCD＝60°，
CD 2
= = =4
∴BC cos∠BCD 1 ，
2
∴B（4，√3），
故答案为：（1，0），（4，√3）；
（Ⅱ）①如图1，
∵∠COD＝∠CDB＝90°，
∴∠ODC+∠OCD＝90°，∠ODC+∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠ACD＝30°，
1 1 √3 √3
∴DF= DD′= t，DF= DD′= t，
2 2 2 2
1 1 √3 √3
∴S△DD′F =
2
×
2
t⋅
2
t=
8
t2 ，
在Rt△DO′E中，DO′＝OO′﹣OD＝t﹣1，
√3
∴O′E＝DO′•tan∠ADB= （t﹣1），
3
√3
∴S△DO′E =
6
(t−1) 2 ，
√3 √3 √3 √3 √3
∴S＝S△DD′F﹣S△DO′E =
8
t2−
6
(t−1) 2=−
24
t2+
3
t−
6
（1＜t≤3）；
√3
3
②∵抛物线S的对称轴是直线x= =4，
√3
2×
24∴当2≤t≤3时，S随t的增大而增大，
√3 √3 √3 √3
∴当t＝2时，S最小 =− ×22+ ×2− = ，
24 3 6 3
√3 √3 √3 11√3
当t＝3时，S最大 =− ×32+ ×3− = ，
24 3 6 24
如图2，
7
当3＜t≤ 时，
2
设C′D′交AB于G，
在Rt△AD′G中，AD′＝DD′﹣AD＝t﹣3，AG=√3AD′=√3（t﹣3），
√3
∴S△AD′G =
2
（t﹣3）2，
√3 √3 √3 √3 13√3 10√3 14√3
∴S=− t2+ t− − (t−3) 2=− t2+ t− ，
24 3 6 2 24 3 3
10√3 13√3 14√3 10√3
4×(− )×(− )−( ) 2
3 40 7 24 3 3 6√3
当t = = ＜ 时，S最大 = = ，
13√3 13 2 13√3 13
2× 4×(− )
24 24
6√3 11√3
∵ ＞ ，
13 24
6√3
∴S最大 = ，
13
√3 6√3
∴ ≤S≤ ．
3 13
【点评】本题考查了二次函数及其图象的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是分类讨论和较
强计算能力．
26．（14分）如图（1），抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于C，顶点D
（1，4）．
（1）写出抛物线的解析式，点B，点C的坐标；（2）直线y＝t交抛物线于点E，F（点E在点F的右边），交直线BC于点G，若FG＝3GE，求t的值：
（3）如图（2），点M是抛物线对称轴上一点，且点M的纵坐标为m，当△MBC是锐角三角形时，求
m的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线的顶点为D（1，4），设y＝a（x﹣1）2+4（a≠0），根据抛物线经过点A
（﹣1，0），求得a＝﹣1，即得抛物线的解析式y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，令y＝0，求出x值，
令x＝0，求出y值，即得B，C的坐标；
（2）根据B（3，0），C（0，3）求出直线BC解析式y＝﹣x+3，设对称轴交直线EF于点H，交直线
BC于T，则DH⊥EF，EH＝HF，①当t＞0时，求出T（1，2），根据H（1，t），得到t＜2，根据
FG＝3GE，得到HG＝GE，根据G（3﹣t，t），得到HG＝3﹣t﹣1＝2﹣t，得到HE＝4﹣2t，得到E（5
﹣2t，t），得到﹣（5﹣2t）2+2（5﹣2t）+3＝t； ②当t＜0时，根据FG＝3EG，推出HE＝EG，根据
4−t
H（1，t），G（3﹣t，t），得到HG＝3﹣t﹣1＝2﹣t，得到E( ，t)，得到t=−2√3；
2
（3）当m＞0时，连接CD，设对称轴交x轴于P，过D作DN⊥y轴于N，则CN＝DN＝1，推出∠DCB
＝90°，即点M与D重合时，△BCM是直角三角形，此时m＝4；当∠CM B＝90°时，过M作M L⊥y轴
1 1
于L，根据∠BM P＝∠CM L，∠M PB＝∠M LC＝90°，得到△M PB∽△M LC，得到PB M P，当
1 1 1 1 1 1 = 1
CL M L
1
3+√17
△MBC是锐角三角形时， ＜m＜4；②当m＜0时，当∠CM B＝90°时，过M 作M K⊥y轴于
2 2 2
2
K ， 根 据 ∠ M PB ＝ ∠ M KC ＝ 90° ， ∠ BM P ＝ ∠ CM K ， 得 到 △ M PB∽ △ M KC ， 得 到
2 2 2 2 2 2PB M P 3−√17；当∠CBM ＝90°时，根据PB＝PM ＝2，得到当△MBC是锐角三角形时，
= 2 ，m= 3 3
CK M K 2
2
3−√17
−2＜m＜ ．
2
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为D（1，4），
∴设y＝a（x﹣1）2+4（a≠0），
∵抛物线经过点A（﹣1，0），
∴4a+4＝0，
∴a＝﹣1，y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，
当y＝0时，
﹣（x﹣1）2+4＝0，
解得x＝﹣1（舍去）或x＝3，
当x＝0时，y＝3，
∴B（3，0），C（0，3）；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+d，
将点B（3，0），C（0，3）代入，
{3k+d=0
得 ，
d=3
解得¿，
∴y＝﹣x+3，
设对称轴交直线EF于点H，交直线BC于T，
则DH⊥EF，EH＝HF，
①如图，
当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∴T（1，2），∵H（1，t），
∴t＜2，
∵FG＝3GE，
∴HG＝GE，
∵G（3﹣t，t），
∴HG＝3﹣t﹣1＝2﹣t，
∴HE＝4﹣2t，
故E（5﹣2t，t），
代入抛物线解析式得﹣（5﹣2t）2+2（5﹣2t）+3＝t，
15−√33 15+√33
解得t = ，t = （舍去）；
1 8 2 8
②如图，
当t＜0时，
∵FG＝3EG，
∵FE＝2EG，
故HE＝EG，
∵H（1，t），G（3﹣t，t），
∴HG＝3﹣t﹣1＝2﹣t，
2−t
∴HE= ，
2
2−t
∴E( +1，t)，
2
4−t
即E( ，t)，
24−t 4−t
代入抛物线得−( ) 2+2× +3=t，
2 2
解得t =−2√3，t =2√3（舍去）；
1 2
15−√33
∴t值为 或2√3．
8
（3）①如图，当m＞0时，连接CD，设对称轴交x轴于P，过D作DN⊥y轴于N，
则CN＝DN＝1，
故∠DCN＝45°，
∵∠OCB＝45°，
∴∠DCB＝90°，
即点M与D重合时，△BCM是直角三角形，
此时m＝4，
当∠CM B＝90°时，
1
过M 作M L⊥y轴于L，
1 1
∴∠BM P+∠CM P＝∠CM L+∠CM P＝90°，
1 1 1 1
∴∠BM P＝∠CM L，
1 1
∴∠M PB＝∠M LC＝90°，
1 1
∴△M PB∽△M LC．
1 1
PB M P
∴ = 1 ，
CL M L
1
2 m
∴ = ，
m−3 1
3+√17 3−√17
解得m = ，m = ，
1 2 2 23−√17
经检验这都是所列方程的解，但m = ＜0，舍去，
2 2
3+√17
∴m= ，
2
3+√17
∴当△MBC是锐角三角形时， ＜m＜4；
2
②如图，当m＜0时，当∠CM B＝90°时，过M 作M K⊥y轴于K，
2 2 2
∵∠M PB＝∠M KC＝90°，∠BM P＝∠CM K，
2 2 2 2
∴△M PB∽△M KC，
2 2
2 −m
∴ = ，
3−m 1
PB M P
∴ = 2 ，
CK M K
2
3−√17 3+√17
解得m = ，m = ，
1 2 2 2
3+√17
经检验这都是所列方程的解，但m = ＞0，舍去，
2 2
3−√17
∴m= ，
2
当∠CBM ＝90°时，PB＝PM ＝2，
3 3
即M （1．﹣2），
3
3−√17
故当△MBC是锐角三角形时，−2＜m＜ ，
2
3−√17 3+√17
综上所述，当△MBC是锐角三角形时，−2＜m＜ 或 ＜m＜4．
2 2
【点评】本题主要考查了二次函数、一次函数与几何综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函
数的对称性，相似三角形的判定和性质，直角三角形性质，锐角三角形性质，分类讨论是解决问题有关键．
