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2025 年中考第三次模拟考试（泰州卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分。
2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效。
3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗。
第一部分 选择题（共18分）
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合
题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．如图，数轴上的点 ， ， ， 分别表示有理数 ， ， ， ，这四个数中，绝对值最小的数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了数轴和绝对值的意义，根据数轴确定对应位置点的绝对值是解题的关键．
数轴上的点到原点的距离就是该点表示的数的绝对值，先根据点在数轴上的位置确定其绝对值，然后求出
最小的即可．
【详解】解：∵数轴上的点到原点的距离就是该点表示的数的绝对值，
∴由数轴可得四个数中，点 离原点最近，
∴这四个数中，绝对值最小的数是 ，
故选： ．
2．下列计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是
解答本题的关键．根据合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式逐项分析即可．【详解】解：A． ，故不正确；
B． ，故不正确；
C． ，正确；
D． ，故不正确；
故选C．
3．斗拱是我国古建筑中的重要部件，一种斗形木构件“三才升”的示意图如图所示，则它的左视图为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三视图的概念，要注意看不见的线应当画虚线，正确记忆相关知识点是解题关键．左
视图是从物体左面看所得到的图形．
【详解】解：左视图是从物体左面看所得到的图形．
从左面看，上面部分是长方形，下面部分是梯形，长方形部分有一条看不见的线，应该画虚线，
故选：D．
4．某校准备在甲、乙两名学生中选拔一人参加市《中国诗词大会》的比赛，在相同条件下，对两人进行
了5次测试的成绩（单位：分）如下：甲：79，86，82，85，83；乙：88，79，90，81，72，则下列说法
正确的是（ ）
A．他们的平均数相同 B．他们的中位数相同
C．他们的方差相同 D．甲的成绩更稳定
【答案】D
【分析】本题考查了平均数、中位数、方差的计算以及数据稳定性判断，熟记相关知识是解题的关键．根
据相关知识分别求出平均数、中位数、方差，可以判断A、B、C三个选项，再根据方差越小越稳定可以
判断选项D．【详解】解： （分），
（分），
，故选项A错误；
将甲组数据从小到大排列后是：79，82，83，85，86，中位数是83，
将乙组数据从小到大排列后是：72，79，81，88，90，中位数是81；
甲、乙的中位数不相同，故选项B错误；
，
，
故选项C错误，选项D正确．
故选：D ．
5．建设“海绵城市”，就是在市区内建一些地下蓄水池，当下大雨来不及排走的水会流人地下蓄水池，
当池内水位达到一定高度时用水泵把蓄水池内的水排走，如图1是小明设计的地下蓄水池（未画出）水位
监测及排水电路， 为定值电阻， 为置于池底的压敏电阻，其阻值与上方水深度的关系如图2所示，则
下列结论不正确的是（ ）
A．当 时， 的电阻值为B． 随着水位的升高而增大
C．当 ， 与 的关系式为
D． 的电阻值为 时，水位的高度
【答案】D
【分析】本题考查了函数图象与实际问题，一次函数的性质，求一次函数的解析式等．掌握待定系数法求
一次函数的解析式是解题的关键．
【详解】解：根据图2可得：当 时， 的电阻值为 ；故A选项说法正确，不符合题意；
根据图2可得： 随着水位的升高而增大，故B选项说法正确，不符合题意；
根据图2可得：当 ， 的增长量是固定的，符合一次函数，
故设 与 的关系式为 ，
将 ， ，代入得 ，
解得： ，
即 与 的关系式为 ，故C选项说法正确，不符合题意；
当 的电阻值为 时，将 代入 ，
得 ，
解得： ，
即 的电阻值为 时，水位的高度鱼约为 ，故D选项说法错误，符合题意．
故选：D．
6．如图，在正方形 中， 为对角线 上一动点， ，若要知道阴影部分
的面积，则只需要知道下列哪个条件（ ）A． 的长 B．矩形 对角线的长
C．矩形 的周长 D．矩形 的面积
【答案】B
【分析】连接 ， ，根据正方形的性质可得 和 都是等腰直角三角形， 的面积等于
和 之和，根据三角形面积公式、勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接 ， ，
∵正方形 中， 为对角线 上一动点，
∴ ，
∴ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴阴影部分 的面积 ，
∴要知道阴影部分 的面积，则只需要知道矩形 对角线 的长，
故选B．
【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积公式等，解题的关键
是正确作出辅助线，熟练运用正方形的性质．
第二部分 非选择题（共132分）
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．要使 有意义，则 的取值范围是 ．【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得 ，解不等式即可得
出答案．
【详解】解：∵ 有意义，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
8．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，能根据式子的特点灵活选用恰当的方法进行因式分解是解题的关键；先提公
因式a，再利用完全平方公式分解因式即可求解．
【详解】解：
，
故答案为： ．
9．乒乓球被誉为我国的“国球”．2000年之后国际比赛用球为圆球状，球直径40.00毫米，重量为0.0027
千克，白或橙色，用赛璐珞或塑料制成。请将数据0.0027用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为 ，
其中 ，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为
零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解： ，
故答案为： ．
10．在平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象在第一、三象限，则该反比例函数的解析式可以是（写出一个即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握当 ，反比例函数图象经过第一、三象限，当
，反比例函数图象经过第二、四象限是解题的关键；写出一个比例系数为正数的反比例函数即可．
【详解】解：一个反比例函数的图象在第一、三象限，则该反比例函数的解析式可以是 ，
故答案为： （答案不唯一）．
11．一元二次方程 的根的判别式的值为5，则 的值为 .
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键，根据一元二
次方程根的判别式等于5，代入即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ， ，
∵根的判别式的值为5，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
12．已知圆锥的底面半径为 ，高为 ，则这个圆锥的侧面积为 ．
【答案】 / 平方厘米
【分析】此题主要考查了圆锥侧面积公式，熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．先算出母
线长，根据圆锥的侧面积公式： ，直接代入数据求出即可．
【详解】解：圆锥的底面半径为 ，高为 ，
根据勾股定理得到母线长 ，
根据圆锥的侧面积公式： ，
故答案为： ．
13．如图，有四张背面完全相同的卡片，正面书写不同类型的变化，现把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片呈现的变化都是物理变化的概率是 ．
糖块融化 盐酸除锈 石块粉碎 火柴燃烧
【答案】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两张卡
片呈现的变化都是物理变化的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
【详解】解：糖块融化和石块粉碎是物理变化，盐酸除锈和火柴燃烧是化学变化，
设用A、B、C、D分别表示糖块融化，石块粉碎，盐酸除锈，火柴燃烧，
列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两张卡片呈现的变化都是物理变化的结果数有2种，
∴两张卡片呈现的变化都是物理变化的概率为 ，
故答案为： ．
14．如图，在 中， 为坐标原点， ，点 在反比例函数 的图象上，若点
的坐标为 ， ，则该反比例函数的解析式为 ．【答案】
【分析】本题考查了反比例函数性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
过 作 轴于点 ，过 作 轴于点 ，则 ，然后求出
，再根据同角的余角相等得出 ，所以
，故 ，即 ，然后通过勾股定理求出点 ，最后代
入求解即可．
【详解】解：如图，过 作 轴于点 ，过 作 轴于点 ，
∵点 的坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
∴ ， ，
∴点 ，
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴该反比例函数的解析式为 ，
故答案为： ．
15．如图1是我校小杰同学设计的“温”字图案，图2是他在设计图案前所绘制的基本框架图，其中
是等腰三角形， ，四边形 是正方形且点E在 上， 分别交 于H，I．已
知 ，C，D，F在同一直线上，则 的值为 ．
【答案】
【分析】连接 ， ，由正方形的性质得 ， ，则 ，
，所以 ，再推导出 ，则 ，所以 ，由
，得 ，可证明 ，由 垂直平分 ，得 ，则
， ，即可求得 ，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接 ， ，四边形 是正方形，
， ，
， ，
，
， ， 三点在同一直线上，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
垂直平分 ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
16．利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式．在平面直角坐标系 中，定义一种坐标加
密方式：将点 变换得到点 ，则称点Q是点P的“加密点”．例如，点 的“加
密点”是点 ．已知点A在x轴的上方，且 ，若点A的“加密点”B在直线 上，则m
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数图象和性质，直线与圆的位置关系；
设 ，则 ，可得 ，进而得当直线 与半圆
相切时， ，当直线 过点 时， ，进而得到答案
【详解】解：设 ，则
∵B在直线 上，
∴ ，即 ，
∵点A在x轴的上方，且 ，
∴ ，
∴ 是直线 与半圆 的交点，
当直线 与半圆 相切时，
∴ 中， ，即 ，
当直线 过点 时， ，
∴故答案为：
三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤）
17．（12分）计算
(1)
(2)化简： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的运算，分式的运算，解题的关键是∶
（1）根据零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值计算即可；
（2）先计算括号内，然后把除法转换为乘法，最后约分即可．
【详解】（1）解：
；……………………………………6分
（2）解：
．……………………………………12分
18．（8分）保护森林资源是每个公民义不容辞的责任，加大废纸的回收再利用可以有效减少人类对森林
资源的破坏．据统计，生产一吨优质纸张，所用木材的质量比废纸的质量多 吨．已知用750吨废纸生
产的优质纸张的质量是用700吨木材生产的优质纸张质量的 倍，求生产一吨优质纸张需要的木材质量．
【答案】生产一吨优质纸张需要的木材质量为 吨【分析】本题考查分式方程的实际应用．根据题意先设生产一吨优质纸张需要的木材质量为x吨，根据题
意列式计算即可．
【详解】解：设生产一吨优质纸张需要的木材质量为x吨．
根据题意，得 ．……………………………………4分
解，得 ．
经检验， 是原分式方程的解．
答：生产一吨优质纸张需要的木材质量为 吨．……………………………………8分
19．（8分）近来，由于 的横空出世，大语言模型成为人工智能领域的热门话题．有关人员开展
了 、 两款 聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和
分析（评分分数用 表示，分为四个等级：不满意 ，比较满意 ，满意 ，非常满意
），下面给出了部分信息：抽取的对 款 聊天机器人的评分数据中“满意”的数据为84，
86，86，87，88，89；抽取的对 款 聊天机器人的评分数据为65，68，69，81，84，85，86，87，
87，88，88，94，95，96，96，96，98，98，99，100．
抽取的对 、 款 聊天机器人的评分统计表
机器 “非常满意”所占百
平均数 中位数 众数
人 分比
88 96
88 88
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中 ________， ________， ________．(2)根据以上数据，你认为哪款 聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）．
(3)在此次测验中，有180人对 款 聊天机器人进行评分，240人对 款 聊天机器人进行评分，请估
计此次测验中对聊天机器人不满意的人数．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)54
【分析】本题考查了平均数，众数，中位数，统计图，样本与总体等，解题的关键是熟知以上概念并能灵
活进行分析和计算．
（1）由 款 评分数据中可知等级“满意”的有 6 份，则“满意”所占的百分比为 ，由评分统计表
中可知， 款的“非常满意”所占百分比为 ，最后由扇形统计图可得出 的数据；把 款的评分数据
从小到大排列找到中间两个数据求其平均值； 款数据中出现次数最多的就是众数．
（2）比较两款的平均数，中位数或者众数，然后依据一定的标准进行判断．
（3）由抽取的样本中“不满意”所占的百分比来估计不满意的人数．
【详解】（1）解：由题意得， ，即 ，
，
把 款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是 88，89 ，
故中位数 ，
在 款的评分数据中， 96出现的次数最多，故众数 ；
故答案为： ；……………………………………3分
（2）解： 款 聊天机器人更受用户喜爱，
理由如下：
因为两款的评分数据的平均数相同，但 款评分数据的中位数比 款高，所以 款 聊天机器人更受用户
喜爱（答案不唯一）．……………………………………5分
（3）解： （名），答：估计此次测验中对 聊天机器人不满意的共有54人．………………………………8分
20．（8分）劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动观念．
为促进学校劳动教育，提升学生劳动技能，实验中学举办了劳动技能大赛，现将项目制做成卡片（除正面
不同外，其余均相同），洗匀背面朝上放置在桌面上．大赛规定每位参赛者都从这四个项目中随机抽取其
中一个项目进行比赛（每个项目被抽中的可能性相等）．
(1)参赛者小辰从中随机抽取一个项目，则抽到“挑水浇园”的概率为 ；
(2)请利用列表或画树状图的方法，求小辉和小浩两位同学所抽项目不相同的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）由题意知，共有 种等可能的结果，其中抽到“挑水浇园”的结果有 种，利用概率公式即可得到答
案；
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小辉和小浩两位同学所抽项目不相同的结果数，再利用概率
公式即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意知，共有 种等可能的结果，其中抽到“挑水浇园”的结果有 种，
抽到“挑水浇园”的概率为 ，
故答案为： ；……………………………………4分
（2）解：画树状图如下：
共有 种等可能的结果，其中小辉和小浩两位同学所抽项目不相同的结果有 种，小辉和小浩两位同学所抽项目不相同的概率为 ．…………………………………8分
21．（10分）如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数 图象上的两点 ，
满足 ， 的边 轴，边 轴，且 ．
(1)求 的长．
(2)若 是反比例函数 图象上的一点，且 ，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查反比例函数的性质、坐标与图形，勾股定理解三角形及线段垂直平分线的性质，掌握相
关知识是解题关键．
（1）根据题意得出 ，然后代入反比例函数确定 ，得出 ， ， ，
即可求解；
（2）根据题意得出点P在 的垂直平分线上，结合（1）中结果得出点P的横坐标为3，代入反比例函
数即可求解
【详解】（1）解：∵ ， 满足 ， 的边 轴，边 轴，且 ．
∴ ，
∵点A、B在反比例函数 图象上，
∴ ，解得： ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ；……………………………………5分
（2）∵ ，
∴点P在 的垂直平分线上，
∵ ， ，
∴点P的横坐标为3，
把 代入 得， ，
∴点 的坐标为 ．……………………………………10分
22．（10分）宣纸是中国独特的手工艺品，具有质地绵韧、光洁如玉、不蛀不腐、墨韵万变之特色，享有
“千年寿纸”的美誉，被誉为“国宝”．宣纸制作包括108道工序，其中“打浆”这一工序需要使用工具
“碓”（图1），图2是其示意图． 为转动点， ， 与水平线 的夹角 ，
， ，当 点绕 点旋转下落到 上时，线段 ， 旋转到线段 ，
位置，那么点 在竖直方向上上升了多少？
【答案】
【分析】本题主要考查了旋转变换，矩形判定和性质，含30度直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判
定和性质，位似三角形性质等知识，正确作出辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键．
连接 ，过点 作 于点 ，过 作 于点 ， 于点 ，则四边形 是矩形，过点A作 ，交 于点K，过点 作 ，得出 ， ，得
，求出 ，证明 ，得 ，得 ，得
，根据 ，即得 ．
【详解】解：设 上升的高度为 ，
连接 ，过点 作 于点 ，过 作 于点 ， 于点 ，则四边形 是
矩形，过点A作 ，交 于点K，过点 作 ，
，
， ，
，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
于点 ， ，
，
，
，
，
，
．，即 ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
．
答：点 在竖直方向上上升了 ．……………………………………10分
23．（10分）如图，已知 中， ，以 为直径的 分别交边 、 于点 、 ．过点
作 交 的延长线于点 ．
(1)试判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 的半径为3， ，求 的长．
【答案】(1)直线 是 的切线，理由见解析；
(2)
【分析】（1）连接 ，根据直径所对的圆周角是直角，可知 ，那么 ，根
据等腰三角形三线合一， ，结合 ，得到 ，从而得到 ，从而判定直线 是 的切线；
（2）连接 ， ，由（1）可知， ，结合 ，根据三角形中位线，可知 ，
，根据直径所对的圆周角是直角，得到 ，那么 ，结合
，得到 ，推出 ，从而算出 ，最后通过 算得答案．
【详解】（1）解：直线 是 的切线，理由如下：
连接 ，如图所示：
是直径
，
直线 是 的切线；……………………………………5分
（2）解：连接 ， ，如图所示：
由（1）可知， ，
，
是 的中位线，
， ，，
，
，
，
的半径为3，
， ，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
．……………………………………10分
【点睛】本题考查了切线的证明，中位线，直径所对的圆周角是90度，等腰三角形三线合一，解直角三角
形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
24．（10分）广告语说“下雨天巧克力和音乐更配”，今天下午角平分线配上特殊的四边形会擦出什么样
的火花呢？下面我们一起研究吧．
(1)如图 ，在 中， 的平分线交 于点 ， 的平分线交 于点 ，若 、
，求 的长．
(2)如图 ，在菱形 中， 和 相交于点 ，若 ，求证： 平分 ．(3)如图 ，在正方形 中，点 是 中点，请用直尺与圆规在 边上画一点 ，使得 恰是
的平分线（保留作图痕迹、不写作法）
(4)如图 ，在矩形 中， 、 ，点 和 分别是 和 上的动点，连接 ，若 平
分 ，则 的最大值为________．
【答案】(1) ；
(2)见解析；
(3)见解析；
(4) ．
【分析】（1）根据平行四边形的性质 ， ， ，再由平行线的性质及角平分线
的定义得 ， ，从而得 ， ，从而即可得解；
（2）由菱形的性质得 ， ，进而证明 ，得 ，
从而证明 ，得 ， ，再证 ，得 ，即可证明
结论成立；
（3）分别以点 、 为圆心， ， 的长为半径作弧，两弧相交于点 ，作射线 交 于点 ，
连接 ，则点 为所求；
（4）过点 作 于点 ，先证点 在以点 为圆心， 为半径的 上，令 与 交于点 ，
连接 ，然后分当点 在 的上方，点 在 的下方时，当点 与点 重合三种情况讨论，利用勾
股定理求解即可．【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵ 的平分线交 于点 ， 的平分线交 于点 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；……………………………………2分
（2）解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，……………………………………4分
（3）解：如图，点 为所求作的点，
理由如下：由作图可知， ， ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，即点 为所求；……………………………………7分
（4）解：过点 作 于点 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在以点 为圆心， 为半径的 上，
令 与 交于点 ，连接 ，
如下图，当点 在 的上方时，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 即 ；
如下图，当点 在 的下方时，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 即 ；
如下图，当点 与点 重合时， 与点 重合，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
综上 的最大值为 ．……………………………………10分
【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质以及正方形的性质，尺规作全等三角形，熟练掌握矩形的性质，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定及性质是
解题的关键．
25．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ， ，交 轴于点
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，一次函数 与抛物线交于 ， 两点，与直线 交于 点，分别过点 ， ，
作 轴的垂线，其垂足依次为点 ， ， ，若 ，求 的值；
(3)如图2，点 为第一象限抛物线上一动点，连接 ， ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，
点 落在第一象限，连接 ，点 关于 的对称点为 ，连接 ， ，分别交 于点 ，点 ，
请问 ， 是定值吗？如果是，请分别求出定值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) ， 都是定值， ，
【分析】（1）根据点 的坐标，利用待定系数法求解即可得；
（2）设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，先结合函数图象判
断出 ， ， ， ，则 ， ， ，再利用二次函数与一元二次方程的关系可得 ， ，联立两条直线的解析式可得 ，代入化简计算即可得；
（3）如图（见解析），过点 作 轴的垂线，交 于点 ，连接 ，先求出 ，
从而可得 ，再根据等腰三角形的三线合一可得 ， ，根据平行线的判定与性质
可得 ，根据三角形的外角性质即可得 ；然后根据等腰三角形的判定可得 ，
，设 ， ，利用勾股定理可得 ， ，最后
求出 的长，由此即可得．
【详解】（1）解：将点 ， 代入抛物线 得： ，
解得 ，
则抛物线的解析式为 ．……………………………………3分
（2）解：设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
将 代入抛物线 得： ，即 ，
将 代入一次函数 得： ，
一次函数 与 轴的交点坐标为 ，位于点 的上方，
由函数图象可知， ，
∴一次函数 的图象经过第一、二、四象限，
∵一次函数 与抛物线交于 ， 两点，与直线 交于 点，
∴点 ， ， 的横坐标均大于0，
∵分别过点 ， ， 作 轴的垂线，其垂足依次为点 ， ， ，
∴ ， ， ， ， ， ，
联立 ，得 ，
∴ ， ，∴ ，
联立 ，得 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．……………………………………7分
（3）解：如图，过点 作 轴的垂线，交 于点 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
由旋转的性质得： ， ，
∴ ，
由轴对称的性质得： 垂直平分 ，∴ ， ，
∴ （等腰三角形的三线合一），
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， （等腰三角形的三线合一），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
设 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
综上， ， 都是定值， ， ．………………………………12分
【点睛】本题考查了二次函数的应用、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程的根与系数的关系、
旋转的性质、轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，较难的是题（3），通过作辅
助线，构造等腰三角形，熟练掌握旋转和轴对称的性质是解题关键．
26．（14分）综合与实践
在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料：【光学模型】如图1，通过凸透镜光心 的光线 ，其传播方向不变，经过焦点 的光线 经凸透镜
折射后平行于主光轴 沿 射出，与光线 交于点 ，过点 作主光轴 的垂线段 ，垂足为 ，
即可得出物体 所成的像 ．
【模型验证】
设焦点 到光心的距离 称为焦距，记为 ；物体 到光心的距离 称为物距，记为 ；像 到光
心的距离 称为像距，记为 ．
已知 ， ，当 时，求证： ．
证明：∵ ， ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
同理可得 ，
∴ ，即 ① ，
∴ ② ，
∴ ，
∴ ，即 ．
请结合上述材料，解决以下问题：
(1)请补充上述证明过程中①②所缺的内容(用含 的代数式表示)；
(2)若该凸透镜 的焦距为20 ，物体距凸透镜 的距离为30 ，物高为10 ，则物体 所成的像
的高度为__________ ；(3)如图2，由物理学知识知“经过点 且平行于主光轴 的光线 经凸透镜 折射后经过点 ”，小
明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线 始终经过主光轴 上一定点．若该凸透镜 的焦
距为20 ，物高为10 ，试说明这一物理现象．
【答案】(1)① ②
(2)20
(3)见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，理解题意，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
（1）分别证明 ， ，由相似三角形的性质可得 ，整理可得
，等号两边同时除以 ，即可获得答案；
（2）结合（1），首先解得 ，结合 ，代入数值求解即可；
（3）设 与 交于点 ，证明四边形 为矩形，易得 ，再证明 ，由相似
三角形的性质可得 ，结合（1）可得 ，等号两边同时加1，整理可得 ，结合
可得出 ，即可说明这一物理现象．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
同理可得 ，
∴ ，即 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
故答案为：① ；② ；……………………………………4分
（2）由（1）可知， ， ，
当 ， ， 时，
可得 ，解得 ，
∴可有 ，解得 ，
即物体 所成的像 的高度为 ．
故答案为：20；……………………………………8分
（3）如下图，设 与 交于点 ，
根据题意， ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，由（1）可知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距，光线 始终经过主光轴 上一定点，该定点透镜为焦
点．……………………………………14分
