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2025 年中考第三次模拟考试（南京卷）
数学·全解全析
一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题
目要求的，请将正确的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．9的平方根是（ ）
A．±3 B．3 C．±√3 D．√3
1．【答案】A
【解析】∵（±3）2＝9，
∴9的平方根是±3，
故选：A．
2．下列运算正确的是（ ）
A．2a3+3a2＝5a5 B．（﹣a）2+a2＝0
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．3a3b2÷a2b＝3ab
2．【答案】D
【解析】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝a2+a2＝2a2，不符合题意；
C、原式＝a2﹣2ab+b2，不符合题意；
D、原式＝3ab，符合题意．
故选：D．
3．m=√15的取值范围是（ ）
A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜5
3．【答案】C
【解析】解：∵32＝9，42＝16，
∴3＜√15＜4，
即m=√15在3和4之间，
故选：C．
4．若x ，x 是方程x2﹣ax﹣2＝0的两个根，则（ ）
1 2
A．x ≠x B．x +x ＞0 C．x •x ＞0 D．x ＜0，x ＜0
1 2 1 2 1 2 1 2
4．【答案】A
【解析】解：∵Δ＝（﹣a）2﹣4×（﹣2）＝a2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数解，
即x ≠x ，所以A选项符合题意；
1 2
根据根与系数的关系得x +x ＝a，x x ＝﹣2＜0，
1 2 1 2
∴方程的两个根异号，所以C选项不符合题意；
∵a的符号不能确定，
∴B选项和D选项不符合题意．
故选：A．
5．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是靠近点D的CD的四等分点．已知EF＝a，BE＝b，
BF＝c．下列结论：①a2+b2＝c2；②a：b：c＝3：4：5；③∠EBF＝30°；④S△DEF ：S△ABE ：S△EBF ：
S△CBF ＝1：4：5：6，其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
5．【答案】C
【解析】解：设正方形的边长为4m，则AE＝DE＝2m，DF＝m，FC＝3m，
∵BE2＝AE2+AB2＝4m2+16m2＝20m2，EF2＝DE2+DF2＝4m2+m2＝5m2，BF2＝BC2+FC2＝16m2+9m2＝
25m2，
∴BE2+EF2＝BF2，
即a2+b2＝c2，
因此①正确；
∵a=√5m2=√5m，b=√20m2=2√5m，c=√25m2=5m，
∴a：b：c=√5m：2√5m：5m＝1：2：√5，
因此②不正确；
在Rt△BEF中，
EF a 1 1
∵sin∠EBF = = = ≠ ，
BF c √5 2
∴∠EBF≠30°，因此③不正确；
1 1
∵S△DEF =
2
DF•DE =
2
m×2m＝m2，
1 1
S△ABE ：=
2
AE•AB =
2
×2m×4m＝4m2，
1 1
S△EBF =
2
EF•BE =
2
×2√5m×√5m＝5m2，
1 1
S△CBF =
2
BC•CF =
2
×4m×3m＝6m2，
∴S△DEF ：S△ABE ：S△EBF ：S△CBF ＝1：4：5：6，
因此④正确；
综上所述，正确的结论有①④，
故选：C．
2
6．平面直角坐标系xOy中，已知A（2m，﹣m﹣1），B（2m+2，﹣m﹣2），C(n， )，其中m，n均为
n
常数，且n≠0．当△ABC的面积最小时，n的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．−√3 D．−√2
6．【答案】B
【解析】解：∵A（2m，﹣m﹣1），B（2m+2，﹣m﹣2），
∴|AB|=√(2m+2−2m) 2+(−m−2+m+1) 2=√22+12=√5，
此时，△ABC中，|AB|长度确定，设△ABC的高为h，
1
∴S = |AB|⋅ℎ，
△ABC 2
∴当△ABC的面积最小时，h最小，
{ −m−1=2mk+b
设直线AB为：y＝kx+b，则 ，
−m−2=(2m+2)k+b
1
解得：k=− ，
2
1 1
∴直线AB为：y=− （x﹣2m）﹣m﹣1=− x﹣1，
2 2
∴2y＝﹣x﹣2，x+2y+2＝0，2 4
|n+2× =2| |n+ +2|
点C到直线AB的距离为：n n n ，
= =
√5 √5
由图可知，
4 √ 4
点C在第三象限会使h最小时，n＜0，n+ ≤2 n⋅ =4，
n n
4
当且仅当n= ，n＝﹣2时，才会有最小值，
n
故选：B．
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
1 √2 2
7．﹣（﹣3）的倒数是 ； 的平方是 ．
3 3 9
1 2
7．【答案】 ； ．
3 9
1 1 √2 2
【解析】解：∵ = ，（ ）2= ，
−(−3) 3 3 9
1 √2 2
∴﹣（﹣3）的倒数是 ； 的平方是 ，
3 3 9
1 2
故答案为： ； ．
3 9
8．若式子√x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x ≥﹣ 1 ．
8．【答案】见试题解答内容
【解析】解：根据题意得：x+1≥0，
解得x≥﹣1，
故答案为：x≥﹣1．
9．设x 、x 是方程x2﹣3x+m＝0的两个根，且x +3x ＝5，则m的值为 2 ．
1 2 1 2
9．【答案】2．【解析】解：∵x 、x 是方程x2﹣3x+m＝0的两个根，
1 2
∴x +x ＝3，x x ＝m．
1 2 1 2
∵x +x +2x ＝5，
1 2 2
∴3+2x ＝5，
2
∴x ＝1，
2
∴x ＝2，
1
∵x x ＝m．
1 2
∴m＝2．
故答案为：2．
10．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转66°得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B＝ 57
°．
10．【答案】57．
【解析】解：由旋转得，∠BAD＝66°，AB＝AD，
1
∴∠B=∠ADB= (180°−∠BAD)=57°．
2
故答案为：57．
11．用一张半径为20的扇形纸片制成一个圆锥（接缝忽略不计），如果圆锥底面的半径为10，那么扇形
的圆心角为 18 0 度．
11．【答案】见试题解答内容
【解析】解：设扇形的圆心角为n°，
n×π×20
根据题意得2 ×10= ，解得n＝180，
180
π
即扇形的圆心角为180°．
故答案为180．
{ x−a≥0
12．已知关于x的不等式组 只有四个整数解，则实数a的取值范围是 ﹣ 3 ＜ a ≤﹣ 2 ．
5−2x＞1
12．【答案】见试题解答内容{ x−a≥0⋯①
【解析】解： ，
5−2x＞1⋯②
解①得：x≥a，
解②得：x＜2．
∵不等式组有四个整数解，
∴不等式组的整数解是：﹣2，﹣1，0，1．
则实数a的取值范围是：﹣3＜a≤﹣2．
故答案为：﹣3＜a≤﹣2．
13．如图，已知点O是△ABC 的外心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠OBC＝20°，则∠CAI＝
35 °．
13．【答案】35°．
【解析】解：连接OC，则OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB＝20°，
∵∠OBC+∠OCB+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝140°，
1
∴∠BAC= ∠BOC＝70°，
2
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
1
∴∠CAI= ∠BAC=35°，
2
故答案为：35°．
14．将二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+4的图象绕原点O旋转180°，所得到的图象对应的函数表达式是 y ＝ 2（ x + 1 ） 2 ﹣ 4 ．
14．【答案】y＝2（x+1）2﹣4．
【解析】解：二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+4的图象顶点坐标为（1，4），
因为二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+4的图象绕原点旋转180°后得到的抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4），
所以旋转后的抛物线解析式为y＝2（x+1）2﹣4．
故答案为：y＝2（x+1）2﹣4．
k
15．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数y= (k＞0，x＞0)的图象上，延长AB交x
x
轴于点C，且AB＝BC，D是第二象限一点，且DO∥AB，若△ADC的面积是12，则k的值为 8 ．
15．【答案】8．
【解析】解：连接OA，OB，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥x轴于G，
∴AH∥BG，
∵AB＝BC，
∴CG＝HG，
∴AH＝2BG，
k
∵A、B两点在反比例函数y= (k＞0，x＞0)的图象上，
x
k
∴设B（a， ），
a
a 2k
∴A（ ， ），
2 a
∵OD∥AB，
∴S△AOC ＝S△ADC ＝12，
1
∴S△AOB = S△AOC＝6 ，
2
1
∵S△AOH ＝S△OBG = k，
2∴S△AOH ﹣S△EOH +S△AEB ＝S△OBG ﹣S△EOH +S△AEB ，即S四边形AHGB ＝S△AOB ＝6，
1 1 2k k a
∴ （AH+BG）•HG= ×（ + ）×（a− ）＝6，
2 2 a a 2
∴k＝8，
故k的值为8，
故答案为：8．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D，E分别在边BC，AC上，F为DE的中点，
若BD＝CE，则CF的长的最小值为 √2 ．
16．【答案】√2．
【解析】解：∵∠ACB＝90°，F为DE的中点，
1
∴CF= DE，
2
∴当CF的长最小时，DE最小，
设BD＝CE＝x，
∴CD＝4﹣x，
在Rt△DEC中，DE2＝CE2+CD2＝x2+（4﹣x）2＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8，
∵2＞0，
∴当x＝2时，DE2的最小值为8，
∴DE的最小值为2√2（舍去负值），
∴CF的长的最小值为√2．三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤）
1 a−3 2
17．（7分）化简并求值：( − )÷| |，其中a＝﹣2．
a−1 a2−1 a−1
2
17．【答案】− ，2．
a+1
【解析】解：∵a＝﹣2，
∴a﹣1＝﹣3＜0，
(a+1)−(a−3) 1−a
∴原式= •
(a+1)(a−1) 2
4 1−a
= •
(a+1)(a−1) 2
2
=− ，
a+1
当a＝﹣2时，
2
原式= =2．
−2+1
{2x+1＞x−5，
18．（7分）解不等式组 x+1 并写出不等式组的负整数解．
＞x−1，
3
18．【答案】﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1．
{2x+1＞x−5 ①
【解析】解： x+1 ，
＞x−1 ②
3
解不等式①，得：x＞﹣6；
解不等式②，得：x＜2，
∴该不等式组的解集为﹣6＜x＜2，
∴该不等式组的负整数解为﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1．
19．（8分）如图，在△ABC中，D是边BC的中点，M，N分别在AD及其延长线上，CM∥BN，连接
BM，CN．
（1）求证：四边形BMCN是平行四边形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形BMCN是菱形？判断并说明理由．19．【答案】（1）证明见解析；
（2）AB＝AC，理由见解析．
【解析】（1）证明：∵CM∥BN，
∴∠DBN＝∠DCM，
∵D是边BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDN和△CDM中，
{∠DBN=∠DCM
BD=CD ，
∠BDN=∠CDM
∴△BDN≌△CDM（ASA），
∴DN＝DM，
∴四边形BMCN是平行四边形．
（2）解：当△ABC满足AB＝AC时，四边形BMCN是菱形，理由如下：
由（1）可知，四边形BMCN是平行四边形，
∵AB＝AC，D是边BC的中点，
∴AN⊥BC，
∴平行四边形BMCN是菱形．
20．（8分）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的
甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲、乙两位同学得分的折线图：b．丙同学得分：
10，10，10，9，9，8，3，9，8，10
c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：
同学 甲 乙 丙
平均数 8.6 m 8.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为 8. 6 ；丙同学得分的众数是 1 0 ；
（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价
越一致．据此推断：甲、乙两位同学中，评委对 甲 的评价更一致（填“甲”或“乙”）；
（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得
分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是 丙
（填“甲”或“乙”或“丙”）．
20．【答案】（1）8.6；10；
（2）甲；
（3）丙．
1
【解析】解：（1）由题意得，m= ×（7×4+9×2+10×4）＝8.6；
10
丙同学得分中10出现的次数最多，故众数是10．
故答案为：8.6；10；
1
（2）甲同学的方差S2
甲
= ×[2×（7﹣8.6）2+2×（8﹣8.6）2+4×（9﹣8.6）2+2×（10﹣8.6）2]＝1.04，
10
1
乙同学的方差S2
乙
= ×[4×（7﹣8.6）2+2×（9﹣8.6）2+4×（10﹣8.6）2]＝1.84，
10
∵S2
甲
＜S2
乙
，
∴评委对甲同学演唱的评价更一致．故答案为：甲；
1
（3）甲同学的最后得分为 ×（7+8×2+9×4+10）＝8.625；
8
1
乙同学的最后得分为 ×（3×7+9×2+10×3）＝8.625；
8
1
丙同学的最后得分为 ×（8×2+9×3+10×3）＝9.125，
8
∴在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙，
故答案为：丙．
21．（8分）珠海某企业接到加工“无人船”某零件5000个的任务．在加工完500个后，改进了技术，每
天加工的零件数量是原来的1.5倍，整个加工过程共用了35天完成．求技术改进后每天加工零件的数量．
21．【答案】见试题解答内容
【解析】解：设技术改进前每天加工x个零件，则改进后每天加工1.5x个，
500 5000−500
根据题意可得 + =35
x 1.5x
解得x＝100
经检验x＝100是原方程的解，则改进后每天加工150，
答：技术改进后每天加工150个零件．
22．（8分）某校开展“美丽宿迁，与你同行”主题活动，景点有三个：
A．项王故里B．宿迁市博物馆C．古黄河水景公园．
每位参与的同学都可以从中随机选择一个景点．
1
（1）参加此次活动的小军选择的景点为“项王故里”的概率是 ；
3
（2）请用列表或画树状图的方法，求小军和小华选择的景点都是“项王故里”的概率．
1
22．【答案】（1） ；
3
1
（2） ．
9
【解析】解：（1）∵有三个公园，分别是A．项王故里B．宿迁市博物馆C．古黄河水景公园，
1
∴小军选择的景点为“项王故里”的概率为
3
1
故答案为： ．
3（2）根据题意画列表如下：
A B C
A （A，A） （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
共有9种等可能的结果，其中小军和小华选择的景点都是“项王故里”的结果有1种，
1
∴小军和小华选择的景点都是“项王故里”的概率是 ．
9
m
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y= （m≠0）的图象交于点A
x
（3，1），且过点B（0，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）如果点P是x轴上一点，且△ABP的面积是3，求点P的坐标．
23．【答案】见试题解答内容
m
【解析】解：（1）∵反比例函数y= （m≠0）的图象过点A（3，1），
x
m
∴3=
1
∴m＝3．
3
∴反比例函数的表达式为y= ．
x
∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（3，1）和B（0，﹣2）．
{3k+b=1
∴ ，
b=−2{ k=1
解得： ，
b=−2
∴一次函数的表达式为y＝x﹣2；
（2）令y＝0，∴x﹣2＝0，x＝2，
∴一次函数y＝x﹣2的图象与x轴的交点C的坐标为（2，0）．
∵S△ABP ＝3，
1 1
PC×1+ PC×2＝3．
2 2
∴PC＝2，
∴点P的坐标为（0，0）、（4，0）．
24．（8分）小华在山脚A处测得山顶C的仰角为37°，从A处出发沿着坡角为14°的坡道行至B处．测得
他沿垂直方向上升高度BE为0.1km，在B处测得山顶C的仰角为56°，求山CD的高度．
（参考数据：tan14°≈0.25，tan37°≈0.75，tan56°≈1.50．）
24．【答案】山CD的高度约为0.5km．
【解析】解：过点B作BF⊥CD，垂足为F，
由题意得：BE＝DF＝0.1km，BF＝DE，BE⊥AD，CD⊥AD，
在Rt△ABE中，∠BAE＝14°，
BE 0.1
∴AE= ≈ =0.4（km），
tan14° 0.25
设DE＝BF＝x km，
∴AD＝AE+DE＝（x+0.4）km，在Rt△ADC中，∠CAD＝37°，
∴CD＝AD•tan37°≈0.75（x+0.4）km，
在Rt△BCF中，∠CBF＝56°，
∴CF＝BF•tan56°≈1.5x（km），
∵CF+DF＝CD，
∴1.5x+0.1＝0.75（x+0.4），
4
解得：x= ，
15
∴CD＝1.5x+0.1＝0.5（km），
∴山CD的高度约为0.5km．
25．（8分）如图，已知 O和∠ ，求作点P，使得PA、PB分别是 O的两条切线，且∠APB＝ ．
（要求：用两种方法作⊙图．保留α作图痕迹） ⊙ α
25．【答案】见解析．
【解析】解：图形如图所示：
26．（9分）已知点A（x ，y ）、B（x ，y ）在二次函数y＝x2+mx+n的图象上，当x ＝1，x ＝3时，y ＝
1 1 2 2 1 2 1
y ．
2
（1）①m＝ ﹣ 4 ；
②若抛物线与x轴只有一个公共点，则n的值为 4 ．
（2）若P（2a﹣3，b ）；Q（5，b ）是图象上的两点，且b ＜b ，求a的取值范围．
1 2 1 2
（3）若对于任意实数x ，x 都有y +y ≥2，则n的取值范围是 n ≥ 5 ．
1 2 1 226．【答案】（1）①﹣4．
②4．
（2）1＜a＜4．
（3）n≥5．
【解析】解：（1）①∵当x ＝1，x ＝3时，y ＝y ，
1 2 1 2
x +x 1+3
∴抛物线的对称轴为直线x= 1 2= =2，
2 2
m
∴− =2，
2
∴m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
②∵若抛物线与x轴只有一个公共点，
∴关于x的方程x2﹣4x+n＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4n＝0，
∴n＝4．
故答案为：4．
（2）由（1）可知抛物线的对称轴为直线x＝2，
点Q（5，b ）关于直线x＝2的对称点为Q′（﹣1，b ）．
2 2
∵抛物线的开口向上，
∴当﹣1＜2a﹣3＜5时，b ＜b ，
1 2
解得1＜a＜4．
（3）∵抛物线y＝x2﹣4x+n＝（x﹣2）2+n﹣4，
∴当x＝2时，函数有最小值n﹣4．
∵对于任意实数x ，x 都有y +y ≥2，
1 2 1 2
∴2（n﹣4）＝2n﹣8≥2，
解得n≥5．
故答案为：n≥5．
27．（9分）综合与实践
如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD，以CD为直角边在
CE CB
CD的右侧构造Rt△CDE，∠DCE＝90°，连接BE， = =m．
CD CA特例感知
（1）如图1，当m＝1时，BE与AD之间的位置关系是 AD ⊥ BE ，数量关系是 AD ＝ BE ；
类比迁移
（2）如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想；
拓展应用
（3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图3．已知AC＝6，设AD＝
x，四边形CDFE的面积为y．求y与x的函数表达式，并求出y的最小值．
27．【答案】（1）AD⊥BE，AD＝BE，理由见解析；
（2）BE＝mAD，AD⊥BE，证明见解析；
（3）①y与x的函数表达式为y＝x2﹣6√2x+36（0＜x≤6√2），y的最小值为18．
【解析】解：（1）AD⊥BE，AD＝BE，
CE CB
理由：∵ = =1，
CD CA
∴CE＝CD，CB＝CA，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°，∠ACD＝∠BAE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°，
∴∠ABE＝90°，
∴AD⊥BE；
故答案为：AD⊥BE，AD＝BE；
（2）BE＝mAD，AD⊥BE，
证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，BE BC
∵ = =m，
AD AC
∴△ADC∽△BEC，
BE BC
∴ = =m，∠CBE＝∠A，
AD AC
∴BE＝mAD，
∵∠A+∠ABC＝90°，
∴∠CBE+∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝90°，
∴AD⊥BE；
（3）①连接CF交DE于O，
由（1）知，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，
∴AB＝6√2，
∴BD＝6√2−x，
∵AD＝BE＝x，∠DBE＝90°，
∴DE2＝BD2+BE2＝（6√2−x）2+x2，
∵点F与点C关于DE对称，
∴DE垂直平分CF，
∴CE＝EF，CD＝DF，
∵CD＝CE，
∴CD＝DF＝EF＝CE，
∵∠DCE＝90°，
∴四边形CDFE是正方形，
1 1
∴y= DE2= [（6√2−x）2+x2]，
2 2
∴y与x的函数表达式为y＝x2﹣6√2x+36（0＜x≤6√2），
∵y＝x2﹣6√2x+36＝（x﹣3√2）2+18，
∴y的最小值为18．
