文档内容
2025 年中考押题预测卷（无锡卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有
一项是符合题目要求的）
1．下列算式中与 相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的减法运算、有理数加法运算
【分析】本题考查了有理数的四则运算；
根据有理数的运算法则逐项计算即可．
【详解】解：A. ，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，符合题意；
D. ，不符合题意；
故选：C．
2．根据下列表格中的信息， 代表的分式可能是（ ）… 0 1 2 …
… 0 无意义 * * * …
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式值为零的条件、分式无意义的条件
【分析】本题主要考查了分式有无意义，及分式的值为0，
根据分式的分子等于0时，分式的值为0，可得分式的分子，再根据分式的分母等于0时，分式无意义得
出分母即可.
【详解】解：当 时， ，可知分式的分子中含有因式 ；
当 时，分式无意义，可知分式的分母中含有因式 ，
所以y代表的分式可能是 .
故选：B.
3．关于x的一元二次方程 的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．实数根的个数由b的值确定 B．没有实数根
C．两根互为倒数 D．若 ，则两根互为相反数
【答案】D
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题主要考查了根的判别式，利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【详解】解：由题知，
所以此一元二次方程有两个不相等的实数根，
两根之积等于 ，
当 时，方程变形为 ，解得 或 ，即两根互为相反数，
故选：D．
4．水是生命之源．为了倡导节约用水，随机抽取某小区7户家庭上个月家里的用水量情况（单位吨），数
据为：7，5，6，8，8，9，10，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．9，8 B．8.5，8 C．8，8 D．7，8
【答案】C
【知识点】求中位数、求众数【分析】本题考查了求中位数和众数，熟练掌握中位数和众数的求法是解题的关键．根据中位数和众数的
定义求解即可．
【详解】解：将这组数据从小到大排列：5，6，7，8，8，9，10．
所以这组数据的中位数是8，众数是8．
故选：C．
5．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的
图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．杨辉三角 B．割圆术示意图 C．赵爽弦图 D．洛书
【答案】B
【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此
题的关键．中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转 ，能够与自身重合的图形．轴对称
图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意．
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
6．如图，在矩形 中， ， ，将边 绕点 顺时针旋转，使点 正好落在 边上的点
处，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【知识点】求弧长、根据旋转的性质求解、根据特殊角三角函数值求角的度数
【分析】本题考查了矩形的性质，特殊角的锐角三角函数、弧长公式，首先根据矩形的性质可以得到：
， ，根据特殊角的锐角三角函数可得： ，再根据弧长公式
计算即可．
【详解】解： 四边形 是矩形，
， ，
由旋转可知 ，
又 ，
，
，
，
的长为 ．
故选：C．
7．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了这样一个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下
有九十四足，问雉兔各几何.”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，
从下面数，有94 只脚，问笼中各有多少只鸡和兔.设鸡有x 只，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握每只鸡脚数与每只兔脚数列出方程，是解题
的关键．
本题可设鸡有x只，则兔有 只，根据“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．”即
可得出等量关系，根据等量关系列出方程即可，
【详解】设有x只鸡，则有 只兔子，
可列方程为： ．故选：A．
8．如图， ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ．若点 在同一条直线上，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，由旋转的性质可得 ， ，
，由等腰三角形的性质可得 ，即可求解．
【详解】解：∵将 绕点B顺时针旋转 得到 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
9．如图，在 中，延长斜边 到点D，连接 ．若 ， ， ，
则 的长为（ ）
A． B．5 C． D．6
【答案】B
【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识．先求出 ， ，过点D作 交 延长线于点E，证明 ，得到 ，设 ,则 ，
，根据 列方程并解方程即可．
【详解】解：∵在 中， ， ，
， ；
过点D作 交 延长线于点E，
， ，
，
，
，
设 ,
则 ， ，
∵ ，
即 ，
解得 ，
即 的长为 ，
故选B．
10．定义：平面内任意两点 ， ，则 称为这两点之间的曼哈顿距离，
“曼哈顿距离”是十九世纪数学家赫曼·闵可夫斯基所创立的词汇．在此定义下，下列选项错误的是（
）A．若 ， ，则
B．若 ，Q在直线 上，则 最小值是3
C．若 ，满足 的所有点M组成的图形面积是2
D．若 ， ，且 ，则点M横坐标是1
【答案】D
【知识点】不等式的性质、一次函数与几何综合
【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质等知识，直接根据“曼哈顿距离”的定义判断选项A；设
，根据“曼哈顿距离”定义求出 ，然后分 ， ， 三种情况讨论
即可判断选项B；设 ，根据“曼哈顿距离”定义求出 ，然后分 ， ； ，
； ， ； ， ； ； 讨论，判断出符合题意的点M围成的图形，即可判断
选项C；设 ，根据“曼哈顿距离”定义求出 ，然后分 ； ； 三种
情况讨论，即可判断选项D．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故选项A正确，但不符合题意；
∵Q在直线 上，
∴设 ，
∵ ，
∴ ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
综上， ，
∴ 最小值是3，
故选项B正确，但不符合题意；
设 ，
∵ ， ，
∴ ，
当 ， 时， ，
∴ ；
当 ， 时， ，
∴ ；
当 ， 时， ，
∴ ；
当 ， 时， ，
∴ ；
当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴所有符合题意的点M组成的图形如图，∴所有点M组成的图形的面积为 ，
故选项C正确，但不符合题意；
设 ，
∵ ， ，且 ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，不符合题意，舍去；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，恒成立，
综上，当 时， ，
故选项D，符合题意；
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
11．分解因式： ．
【答案】
【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握提公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．
提公因式x，而后运用平方差公式分解．【详解】解： ．
故答案为： ．
12．2025年，智能语音交互应用 横空出世，凭借创新的语音合成技术和丰富的语音指令功能，
吸引全球大量用户．截止3月31且，它的下载量达到了125000000次．数“125000000”用科学记数法表示
为 ．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成 的形
式，其中 ， 为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】解：
故答案为： ．
13．如图，以正五边形 的边 向内作正方形 ，连接 ，则 的度数为 ．
【答案】 /171度
【知识点】等边对等角、正多边形的内角问题
【分析】本题考查正多边形的性质，等腰三角形的性质，由正多边形的每个内角相等，求出 ，
，得到 ，由等腰三角形的性质可得结论．解题的关键是
掌握正多边形的每个内角相等．
【详解】解：∵以正五边形 的一边向内作正方形 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
14．我们知道等腰三角形的两个底角相等，简记为“等边对等角”，则它的逆命题是 命题．（填
“真”或“假”）
【答案】真
【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假、等边对等角
【分析】本题考查了命题及逆命题，先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命
题的逆命题，继而也能判断出真假，掌握互逆命题的定义是解题的关键．
【详解】解：∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”，是真命题，
故答案为：真．
15．反比例函数 的图象上有两点 ， ．当 时，写出一个符合条件 的值为
．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据点 ， 在反比例函数 的图象上，
得到 ， ，再根据 ，得到 ，求解即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵点 ， 在反比例函数 的图象上，
∴ ， ，
∴ ， ，
当 时，即 ，
∴ ，
∴ ，∴ 的值可以为 ，
故答案为： （答案不唯一）．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，以原点 为位似中心，相似比为 ，作
的位似 ，则线段 的对应线段 的长为 ．
【答案】
【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解答本题的关键．
根据位似变换的性质得到 ，再根据 、 两点的坐标得到 ，所以 ．
【详解】解： ， ，
，
与 是以原点 为位似中心，位似比为 的位似图形，
，
故答案为： ．
17．如图，二次函数 （b，c均为常数）的图象与x轴交于点A，B，点P是x轴上方的图
象上一点， 轴于点Q，则 的长为 ．【答案】3
【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、抛物线与x轴的交点问题、一
元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了二次函数的应用、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，
综合性较强，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．设点 的坐标为 ，点 的坐标
为 ，点 的坐标为 ，则 ， ， ，再将点 代入二次函数
的解析式可得 ，根据一元二次方程的根与系数的关系可得 ， ，然
后证出 ，根据相似三角形的性质可得 ，从而可得 ，解方程即可得．
【详解】解：设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴ ， ， ，
将点 代入二次函数 得： ，
∴ ，
∵二次函数 （ 均为常数）的图象与 轴交于点 ，
∴ 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，∵ 轴，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （不符合题意，舍去），
即 ，
故答案为：3．
18．如图，四边形 中， ， ，连接 并过点D作对角线 的垂线交 于点
E，交 于点F，若 ， ， ，则 的长为 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、三角函数综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质与判定求线段长
【分析】连接 ，过点D作 于点M，过点D作 ，交 的延长线于点N，证明四边形
是正方形，再利用 ，勾股定理列式解答即可．
【详解】解：连接 ，过点D作 于点M，过点D作 ，交 的延长线于点N，由
，
∴四边形 是矩形，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴四边形 是正方形，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
则 ，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1） （2） ．
【答案】(1) (2)
【知识点】实数的混合运算、分式加减乘除混合运算、负整数指数幂、特殊三角形的三角函数
【分析】本题考查了实数的运算，分式的运算，解题的关键是∶
（1）根据零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值计算即可；
（2）先计算括号内，然后把除法转换为乘法，最后约分即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
20．（8分）（1）解方程： ； （2）解不等式组：
【答案】（1） ；（2）
【知识点】解分式方程（化为一元一次）、求不等式组的解集
【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟知相关计算方法是解题的关键．
（1）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无
解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
去分母得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验，当 时， ，
∴ 是原方程的解；
（2）
解不等式①得： ，解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 ．
21．（8分）如图，在等腰 中， ， 平分 ，过点A作 交 的延长线于
D，连接 ，过点D作 交 的延长线于E．
(1)判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)四边形 是菱形，理由见解析
(2) 的长为
【知识点】证明四边形是菱形、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA
（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了菱形的证明、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记定理内容是解题关
键．
（1）证 得 ，可得四边形 是平行四边形，即可进一步求证；
（2）由题意得 是等边三角形，根据 即可求解.
【详解】（1）解：四边形 是菱形，
理由：∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵
∴
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：∵ 平分 ，∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 4 ，
22．（8分）小白和小天准备从《九章算术》《周髀算经》和《五经算术》三部古代数学著作中选择一本
进行阅读．现制作背面完全相同的三张卡片，正面分别写有《九章算术》《周髀算经》和《五经算术》的
名字．
(1)将这三张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，小白先从中抽出一张，抽到《周髀算经》的概率是
__________．
(2)将（1）中小白抽出的卡片与剩余两张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，小天再从中抽出一张，请利
用列表法或画树状图法，求两人抽到同一张卡片的概率．
【答案】(1)
(2) ，树状图见解析
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了概率计算，用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握用列表法或画树状图法求概率的
方法是解题的关键．
（1）用概率公式计算即可；
（2）设《九章算术》《周髀算经》和《五经算术》分别为 ，画树状图，得到共有 种等可能的结果，
其中两人抽到同一张卡片的结果有 种，用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：由题意得共有 种等可能的结果，其中抽到《周髀算经》的结果有 种，小白先从中抽出一张，抽到《周髀算经》的概率是 ；
故答案为： ；
（2）解：设《九章算术》《周髀算经》和《五经算术》分别为 ，画树状图如下，
共有 种等可能的结果，其中两人抽到同一张卡片的结果有 种，
两人抽到同一张卡片的概率为 ．
23．（8分）“地球一小时”是世界自然基金会应对全球气候变化所提出的一项全球性节能活动，提倡于
每年三月最后一个星期六的当地时间20:30，家庭及商业用户关上不必要的电灯及耗电产品一小时，以此
来表示他们对于应对气候变化行动的支持，为了解小区居民的用电情况，某小区物业随机抽取了部分家庭
72小时的用电情况，并整理成如下不完整的频数分布表和频数直方图．
居民用电情况频数分布表 居民用电情况频数直方图
频数（户
组别 用电量/度 百分比
数）
A 2 5%
B m 10%
C 12 a
D 14 35%
E n 20%
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
(1)频数分布表中， ________；调查总户数为________；
(2)计算m，n的值，补全频数直方图；
(3)尝试总结该小区的居民用电情况，并给出两条节约用电的建议．
【答案】(1) ；40(2) ，图见解析
(3)见解析
【知识点】频数分布表、频数分布直方图
【分析】本题考查了频数分布表和频数直方图，读懂频数分布表是解题关键．
（1）利用A组的频数除以其百分比即可得调查总户数，再利用 的频数除以调查总户数可得 的值；
（2）根据频数等于调查总户数乘以百分比分别求出 的值，据此补全频数直方图即可；
（3）根据频数直方图总结该小区的居民用电情况，再给出两条节约用电的建议：①平时不使用的电器及
时拔掉插销；②只在有人长待的房间开灯，其他房间随用随关．
【详解】（1）解：调查总户数为 （户），
则 ，
故答案为： ；40．
（2）解： ，
，
则补全频数直方图如下：
（3）解：由居民用电情况频数直方图可以得出，在72小时内，居民用电在15度以上的户数较多，
∴用电较多的人群占比较大，说明大家用电较为浪费．
建议：①平时不使用的电器及时拔掉插销，②只在有人长待的房间开灯，其他房间随用随关．（答案不唯
一）
24．（10分）如图1是东罗马鎏金银盘，这只鎏金银盘是舶来品，专家鉴定为东罗马帝国的产品．不过，
它大约是一千五六百年前舶来的，现今落脚于甘肃省博物馆，成为众多馆藏文物中的“异类”——正是这
个“异类”见证了千年前丝绸之路东西方贸易的繁荣．如图2，把它看作一个圆，点 为圆心，点 为上一点．
(1)请用不带刻度的直尺和圆规，在图2中作出 的内接正方形 ；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)根据（1）中画出的图形，过圆心 作 边的垂线，分别交 和 于点 ， ，若 的半径为
，则 的长为______________ ．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明、利用垂径定理求值
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，垂径定理，勾股定理，熟知垂径定理和正方形的性质和判
定定理是解题的关键．
（1）连接 并延长，交 于C，过点O作 的垂线，分别交 于B、D，则四边形 即为所求；
（2）由正方形的性质和勾股定理求出 的长，由垂径定理得到 的长，再利用勾股定理求出 的长即
可得到答案．
【详解】（1）解；如图所示，连接 并延长，交 于C，过点O作 的垂线，分别交 于B、D，
则四边形 即为所求；
分别为 的直径，则 相等且互相垂直平分，则四边形 是正方形；
（2）解：∵四边形 是正方形，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
25．（10分）2025年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，影片通过粒子水墨技术、动态水墨
渲染引擎等技术，将传统水墨画意境融入 动画，打造出兼具古典神韵与现代视觉冲击力的场景，形成
独特的文化辨识度，向全球展示了“既古老又充满活力的中国形象”． 影片将封神神话中的角色（如哪
吒、敖丙）赋予现代价值观，使传统文化符号与当代人民心理形成共振．某文创店果断订购了印有“哪
吒”图案和“敖丙”图案的两种书签．经统计，订购30张“哪吒”书签与20张“敖丙”书签，成本共计
430元；而订购45张“哪吒”书签和25张“敖丙”书签，则需花费605元．
(1)求“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是多少元？
(2)该文创店计划购进“哪吒”、“敖丙”两种书签共90张， “哪吒”种书签的购进数量不超过“敖丙”
种书签数量 ，已知“哪吒”、“敖丙”两种书签的销售单价分别为15元和12元，如何规划购买方案，
才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是9、8元
(2)当购进“哪吒”书签40张，“敖丙”书签50张时，获得最大利润，最大利润是440元
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用．解决本题的关键是列出利润与购
买“哪吒”书签的数量之间的函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案．
（1）设“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是x、y元，根据两种不同的购买方案所需要的费用
列方程组求解即可；
（2）设购进“哪吒”书签m张，“敖丙”书签 张，设这批书签全部售出后获利W元，可以得到所获利润与购买“哪吒”书签的数量之间的一次函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案即可．
【详解】（1）解：设“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是x、y元，
由题意知： ，
解得 ，
答：“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是9元，8元．
（2）解：设购进“哪吒”书签m张，“敖丙”书签 张，
由题意知： ，
解得： ，
设这批书签全部售出后获利W元，
则 ，
∵ ，
∴W随m的增大而增大，
∴当 时， ，W有最大值， 元．
答：当购进“哪吒”书签40张，“敖丙”书签50张时，获得最大利润，最大利润是440元．
26．（10分）如图， 是 的直径，D是 上的点， 是 的切线且切点为点D，过点A作
的垂线，垂足为点E，直线 交 的延长线于点F．
(1)求证： 平分 ；
(2)若 ， ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、求
角的正切值
【分析】（1）连接 ，由题意可证 ，利用平行线的性质，可得
，即可证得 平分 ；（2）连接 ，过点C作 于点M，过点D作 于点N，首先根据勾股定理可求得 ，
根据面积可求得 ，再根据勾股定理可求得 ，再根据圆周角定理可证得 ，即可求
得 的长，据此即可解答．
【详解】（1）证明：如图：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
（2）解：如图：连接 ，过点C作 于点M，过点D作 于点N，
，
是⊙O的直径，
，
，
，
，∴ ，
，
， ，
，
，
，
是 的直径， ，
，
，
， ，
，
．
27．（12分）综合与探究
【问题情境】
如图1，小美将矩形纸片 折叠，使点B落在射线 上，点B的对应点记为 ，折痕与边 ，
分别交于点E，F．
【活动猜想】
（1）如图2，当点 与点 重合时，请判断四边形 的形状并证明；
【问题解决】
（2）如图3，在矩形纸片 中，若边 ， ， 与 交于点 ．①请判断 与对角线 的位置关系，并说明理由；
②当 时，请求出此时 的长．
【答案】（1）四边形 是菱形，证明见解析；（2）① ，理由见解析；② 或
【知识点】含30度角的直角三角形、矩形与折叠问题、证明四边形是菱形、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）根据矩形的性质及轴对称的性质，可证明四边形 的四条边相等，即可证明菱形；
（2）①先证明 是等边三角形，再证明 ，即可得出答案；
②当点 在线段 上时，设 与 交于点G，先证明 ，再求得 ，即可列方程求解；
当点 在线段 的延长线上时，设直线 与直线 交于点H，同理 ，再求得 ，再
列方程求解即可．
【详解】（1）解：四边形 是菱形，理由如下，
将矩形纸片 折叠，使点B落在点 处，
， ， ，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
四边形 是菱形；
（2）解：① ；
理由： 四边形 是矩形，
， ， ， ，
，
在 中， ，
，
是等边三角形，，
，
将矩形纸片 折叠，使点B落在射线 上，点B的对应点记为 ，
， ，
，
，
，
；
②如图，点 在线段 上时，设 与 交于点G，
四边形 是矩形，
，
由①知 ，
，
，
，
与 是折叠图形中的对应角，
，
，
，
，
当 时， ，
，
，
，
，，
，
，
解得 ，
；
如图，点 在线段 的延长线上时，设直线 与直线 交于点H，
，
，
，
，
，
，
即 ，
，
同理可得 ，
，
解得 ，
；综上所述， 或 ．
28．（14分）如图1，抛物线 交 轴于 、 两点，交 轴于点 ．
(1)直接写出点 、 、 的坐标：___________；
(2)如图2．点 是第三象限抛物线上一点，过点 作直线 的平行线交 轴于点 ，连 ，若 为
，求点 的坐标：
(3)如图3，原点 关于点 的对称点为点 ，过原点的直线 交抛物线于 、 两点（点 在 轴下
方），连 交抛物线于另一点 ，连接 ，若 ，求直线 的解析式．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)
【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合)、其他问题
(二次函数综合)
【分析】本题考查二次函数综合，涉及到抛物线与坐标轴交点坐标，解直角三角形，抛物线与角度综合，
抛物线与直线交点问题；
（1）分别令 ， ，即可求出抛物线与坐标轴的交点坐标；（2）连接 ，设 交 轴于点 ，过 作 于 ，先求出直线 解析式为 ，由平行
可得 ，设直线 解析式为 ，则 ，得到 ，设
，则 ， ，再根据角平分线的性质得到 ，然后根据
列方程求出 得到 ，即可得到直线 解析式为 ，最后与抛
物线联立求出点 坐标；
（3）先求出 ，则设直线 解析式为 ，与抛物线联立得到 ，
，设直线 解析式为 ，与抛物线联立得到 ， ，得到
，设 ，则 ， ，过 作 轴，过
作 于 ，过 作 于 ，则 ，根据 ，
求出 ，即可联立直线 解析式与抛物线求出 ，然后求出直线 解析式即可．
【详解】（1）解：令 ，则 ；令 ，则 ，解得 ，
∵抛物线 交 轴于 、 两点，交 轴于点 ，
∴ ， ， ，
故答案为： ， ， ；
（2）解：连接 ，设 交 轴于点 ，过 作 于 ，∵ ， ， ，
∴ ， ，设直线 解析式为 ，
代入 得 ，解得 ，
∴直线 解析式为 ，
∵过点 作直线 的平行线交 轴于点 ，
∴ ，设直线 解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∵ 为 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，把 代入 得 ，解得 ，
∴直线 解析式为 ，
联立 ，解得 ，
∵点 是第三象限抛物线上一点，
∴ ，此时 ，
∴ ；
（3）解：∵原点 关于点 的对称点为点 ，
∴ ，
∴设直线 解析式为 ，
联立 ，整理得 ，
∴ ，
设直线 解析式为 ，则 ， ，
联立 ，整理得 ，
∴ ，
∴ ，设 ，则 ， ，
过 作 轴，过 作 于 ，过 作 于 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
整理得 ，
∴直线 解析式为 ，
联立 ，整理得 ，解得 ，
∵点 在 轴下方，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴设直线 解析式为 ，
把 代入得 ，解得∴直线 解析式为 ．
