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2025 年中考第二次模拟考试（河北卷）
数学·参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B A D C D C B C A D A
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13． /
14．
15．
16．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（7分）
【答案】(1) ；
(2) ，
【分析】本题考查了整式的相关运算及方程的解法，考查数学情境下的运算能力，推理能力．
（1）将小王和小张的计算所得结合求出m与n的值；
（2）将原整式的值代入计算即可求得．
【详解】（1）解：∵ ，
，
∴ ，解得： ；······································3分
（2）解：由（1）得 ，
∴原整式 为 ，
∴ ，······································5分
整理得 ，
解得 ， ······································7分
18．（8分）
【答案】(1)作业题1：第①步；作业题2：第②步
(2)选作业题1，见解析
【分析】本题主要考查分式的减法和解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
（1）观察解题过程即可得出结论；
（2）按照解分式方程的步骤和分式的减法法则进行计算，即可逐一解答．
【详解】（1）解：作业题1：第①步；作业题2：第②步；······································2分
（2）解：选作业题1：去分母，得 ．
去括号，得 ．
移项，得 ．
合并同类项，得 ．
系数化为1，得 ．······································6分
经检验， 是原分式方程的解．······································8分
选作业题2：．······································8分
19．（8分）
【答案】(1)3%，20，45%
(2)补全条形统计图见解析，30人
(3)
【分析】（1）先根据选取的优秀人数和百分比求出选取的人数，再根据总数、频数、百分比的关系即可
求得答案；
（2）根据及格的人数，补全条形统计图；再由不及格人数占比估计总体即可得到答案；
（3）画树状图列出所有等可能的结果，再找出一名“良好”，一名“优秀”的结果，利用概率公式可得
出答案．
【详解】（1）解：这次调查的人数为： （人），
， ， ，
故答案为：3%，20，45%；······································3分
（2）解：补全条形统计图如下：
······································4分
则 （人），······································6分
估计该校学生体质健康测试结果为“不及格”的总人数为30人；
（3）解：设3名“良好”分别为甲、乙、丙，1名“优秀”学生为丁，
画树状图如图：∵共有12种等可能的结果，其中两人是一名“良好”，一名“优秀”的结果是甲丁、乙丁、丙丁、丁甲、
丁乙、丁丙共6种，
∴所抽取的两人是一名“良好”，一名“优秀”的概率为 ．··································8分
【点睛】本题考查条形统计图、用样本估计总体、树状图法求概率及简单概率公式等知识，熟练掌握条形
统计图相关知识及列表法与树状图法求概率是解答本题的关键．
20．（8分）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握等边三角形的判定和性质是
解题的关键；
（1）根据 ，可得 ，进而判定 为等边三角形，根据弧长公式即可求解；
（2）连接 ，作 ，根据题意求得 的度数，然后根据勾股定理，即可求解；
【详解】（1）解： ，
；
，
为等边三角形，
，
则 ；······································3分
（2）解：连接 ，作 ；，
半圆O与直线 相切于点 ，
，
，
，
，······································6分
，
；······································8分
21．（9分）
【答案】(1)120，24，10；
(2)
(3)
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，待定系数法求函数解析式，线段的中点，数形结合是解答本题
的关键．
（1）根据函数图象可知 ，小球到达 时 ，进而可求出m和小球的速度；
（2）用待定系数法求解即可；
（3）根据中点的定义列方程求解即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知 ，小球到达 时 ，
∴小球的速度为 ．
∵撞击挡板 后反弹，以原速返回挡板 ，
∴ ．
故答案为：120，24，10；······································3分（2）解：直线 的函数解析式为 ，把 代入，得
，
解得 ，
∴ ；······································6分
（3）解：设挡板 运动后的位置为 ，由题意，得
，
∵小球恰好位于这两个挡板中点，
∴ ，
解得 ，
∴t的值为 ．······································9分
22．（9分）
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题考查解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键：
（1）过点C作 于点G， ，过点A作 于点H，分别解 ， ，
求出 的长，求和即可得出结果；
（2）分 和 两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：过点C作 于点G，作 ，过点A作 于点H．如图，．
，
．
∴在 中， ．
．
∴在 中， ．
点A到 的距离 ．······································4分
（2）当直线 与 所成锐角为 时，
情况一：如图，当 时，过点B作 于点K．
，
由（1）知： ，
∴点B到 的距离： ．······································6分
情况二：如图，当 时，则： ，
∴ ，
点B到 的距离 ；······································8分综上：点B到 的距离为 或 ．······································9分
23．（11分）
【答案】(1) ，
(2)①见解析；②见解析
(3)① ；②
【分析】（1）利用正弦函数的定义求得 ，当 时， 取得最小值，利用等积法即可求解；
（2）①利用尺规作图的方法作出图形即可；
②先求得 ，再利用 即可证明 ；
（3）①分别用 表示出 ， ， 和 的值，证明 ，利用相似三角形的性质列式计算
即可求解；
②分两种情况讨论，当P在 上时，当 时，点A落在 的边上，即可求出x的范围；当P
在 上时，如图，过P作 于Q，设 与直线 交于H，根据三角函数，分别用x表示出
，证明 ，求出 ， ，当 且 时，点A落在 的边
上或内部，进而求出x的范围即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
当 时， 取得最小值，
∵ ，即 ，
∴ ，即 的最小值为 ；
故答案为： ， ；······································2分
（2）解：①所作图形如图，
②由作图知 ，
∵ ，即 ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ；······································4分
（3）解：①D落在对角线 上，如图，
由题意得 ， ， ， ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ；······································6分
②当P在 上时，如图，
，
，
当 时，点A落在 的边上，
，
解得： ，
，······································8分
当P在 上时，如图，过P作 于Q，设 与直线 交于H，，
，
， ， ，
， ，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
当 且 时，点A落在 的边上或内部，
，
解得： ，，······································10分
综上所述，当 时，点A落在 的边上或内部．··································11分
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角函数，勾股定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的
判定，解题的关键是分类讨论思想的运用，正确的作图．
24．（12分）
【答案】(1)
(2)
(3) （秒）
(4) （秒）
【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用、相似三角形的相似比、动点问题、菱形的性质等知识点，
熟练掌握待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的相似比、平行直线函数解析式的 值相等、菱形的
性质定理是解题的关键．
（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可解答此题；
（2）利用相似三角形的判定和相似比即可解答此题；
（3）分析当三角形的底边固定，高最大时三角形的面积最大，利用直线平行和直线与抛物线相切求得
点坐标，进而根据题意求得 点、 点坐标，求得 长可求 值；
（4）根据题意可表示出涉及到的点 、点 、点 坐标，假设出点 坐标，根据菱形的性质对边相等表
示出点 坐标，在利用菱形的性质邻边相等，列出方程，解方程即可求得 值．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点 和点 ，
∴ ，
，
解得： ，
所以抛物线的函数解析式为 ．······································3分
（2）解：根据顶点坐标公式可求顶点 的坐标为 ，∵点 和点 关于直线 对称，且 ，
∴ 点坐标为 ，
，
， ，
，
又 ，
，
∵M为 的中点，
，
．······································6分
（3）解：当 边 上的高最大时， 的面积最大，
即平行于直线 且与抛物线相切时， 的面积最大，
设直线 的解析式为 ，且 点坐标为 ，点 的坐标为 ，
解得： ，
设平行于直线 且与抛物线相切的直线为 ，
∵两直线平行，
，
，
∵直线与抛物线相切，
，
整理，得： ，，
解得： ，
，
抛物线和直线解析式联立得
，
解得： ，
即： ，
此时， 点横坐标为 ，代入 得：
，
即： ，
，
，
（秒）．······································9分
（4）解： ，
，
根据题意可知点 和点 的纵坐标相等，
∴将 代入 得：
，
，∵ ，
，
，
可设 点坐标为 ，
则 ，
当四边形 为菱形时， ，
即： ，
整理，得： ，
∴ 点坐标为 ，
根据题意，由勾股定理可得：
，
，
即： ，
整理，得： ，
解得： （舍去）， ，
（秒）．······································12分
