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2025 年中考第二次模拟考试（山西卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．有理数 的相反数是（ ）
A． B．2024 C． D．
【答案】B
【详解】解： 的相反数是2024．
故选：B．
2．在数学研究中，我们往往将两个数学对象比较，找出它们相似的地方，从而推出其他属性也有类似的
地方，如：我们学习“同底数幂除法”时常与“同底数幂乘法”类比；学习“相似三角形”时常与“全等
三角形”类比等．这种学习方法体现的数学思想是（ ）
A．转化思想 B．整体思想 C．数形结合思想 D．类比思想
【答案】D
【详解】解：由题意知，这种学习方法体现的数学思想是类比思想．
故选D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、 ，故A不符合题意；
B、 ，故B符合题意；
C、 无法合并，故C不符合题意；
D、 ，故D不符合题意；
故选：B．4．将如图所示的图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体与下列花瓶形状最相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：根据面动成体可以得出， 旋转一周后的形状最相似的是 ，
故选：B．
5．计算 的结果等于（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】解： ，
故选：A．
6．若点 在平面直角坐标系的第四象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：∵点 在第四象限内，∴ ，
解得 ，
∴ 的取值范围在数轴上可表示为：
故选： ．
7． 年春节期间，辽宁省文化和旅游厅推出繁荣文化和旅游消费的措施，积极弘扬春节文化，大力促
进文旅消费．据测算，春节8天假期，辽宁全省共计接待游客约 人次，同比增长 ．数据
用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解： ，
故答案为：D；
8．若点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解： 点 ， ， 都在反比例函数 的图象，
，
，
故选：D．
9．已知二次函数 的x与y的部分对应值如表：
x … 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …下列结论正确的是（ ）
A．
B． 的解集是
C．若点 ， ， ，在该函数图象上，则
D．对于任意的常数m，必有
【答案】D
【详解】解：根据图表先找到二次函数的对称轴为 ，即 ，由图表的数据和二次函数的图象可
知，抛物线开口向下，所以可得 ，易得 ，故选项A错误，不符合题意；
由表格可知当 时， ，由二次函数图象的对称性可知当 时， ，所以 的解
集是 ，故选项B错误，不符合题意；
由表格和图象的性质可知当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小，因为
，所以 ；因为 ，所以 ，同理易得 ，则在该函数图像上 ，
故选项C错误，不符合题意；
当 时， 是函数的最大值，当 时， 是函数的一个任意值，所以
，即必有 ，故选项D正确，符合题意．
故选项为：D
10．如图，圆心重合的两圆半径分别为4、2， ，则阴影部分图形的面积为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【详解】解：所求扇环的圆心角为 ，
阴影部分图形的面积 ．
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．若分式 的值为2，则 ．
【答案】9
【详解】解：根据题意可得： ，
解得， ，
经检验： 是原方程的解,
故答案为：9．
12．生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙、丙、丁四
个品种大豆的光合作用速率，科研人员从这四个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的
光合作用速率（单位： ），统计结果如表：
品种 甲 乙 丙 丁
速率平均数 24 25 23 25
方差 7.6 15.6 6.8 4
则这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是 ．
【答案】丁
【详解】解：根据表中数据可知，乙、丁两品种大豆光合作用速率平均数为25，大于甲和丙两品种大豆光
合作用速率，
而乙品种大豆光合作用速率的方差为15.6，大于丁品种大豆光合作用速率的方差，即丁品种大豆光合作用
速率的稳定性强，
∴这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是丁．
故答案为：丁．13．如图，在 中， 平分 ， ， ，则 ．
【答案】
【详解】解：如图，过 作 于 ， 于 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
，
故答案为 ．
14．欢欢同学通过学习数学和物理句识，知道了电磁波的波长 会随着电磁波的频率 的变化
而变化．已知波长 与频率 是反比例函数关系，如表是它们的部分对应值．若 ，则电磁波的
波长 ．
频率
10 15 50
波长 30 20 6
【答案】4【详解】解：设波长 关于频率 的函数解析式为 ，
把点 代入上式中得： ，
解得： ，
；
当 时， ，
答：当 时，此电磁波的波长 为 ．
故答案为：4．
15．如图，在矩形 中， ，点E在边 上， ，在矩形内找一点P，
使得 ，则线段 的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：点P在 所对圆周角 的圆O上运动，
当 的延长线过圆心O时， 有最小值，连接 ， ，过O作 于H，过O作 于
M，
， ，
， ，， ， ， ，
， ，
， ，
， ， 四边形 是矩形， ，
， 四边形 是矩形， ， ，
， ， ，
， ， 的最小值是 ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算： ；
（2）解方程： ．
【答案】（1） （2）
【详解】解：（1） ，
，
；
（2） ，
方程两边同时乘以 ，得 ，
解得： ，
检验：当 时， ，
原分式方程的解是 ．17．（8分）如图，点A，C分别在 的边 和 上．
(1)尺规作图：在 的右侧作 （不写做法，保留痕迹）
(2)在射线 上取一点B，使 ，连接 ，则四边形 的形状是_____
【答案】(1)见解析(2)平行四边形
【详解】（1）解：如图， 即为所求作的角；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形．
18．（7分）2024年国家提出推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全国面振兴后，
甲村经济发展进入了快车道．为了解甲村去年下半年经济发展状况，从该村400户家庭中随机抽取了部分
家庭调查其去年下半年的收入情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图．
组 分组x（万 频数 每组平均收入（万
别 元） （户） 元）
A 4 7
B 5 8.3
C m 9D 3 9.5
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
(1)表格中 ______，所抽取家庭去年下半年家庭收入的中位数落在 组；
(2)求所抽取家庭去年下半年家庭收入的平均数；
(3)估计去年下半年甲村400户家庭中收入不低于8.5万元的户数．
【答案】(1) ， (2) 万元(3) 户
【详解】（1）解： （户），
抽取的总户数为 ，且 ， ，
所抽取家庭去年下半年家庭收入的中位数落在 组，
故答案为： ， ；
（2）解： （万元），
所抽取家庭去年下半年家庭收入的平均数为 万元；
（3）解： （户），
估计去年下半年甲村400户家庭中收入不低于8.5万元的约有220户．
19．（8分）2025年哈尔滨第九届亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”以东北虎为原型设计，寓意“哈尔滨
欢迎您”，深受市民和游客喜爱．某特许商品零售店推出吉祥物毛绒玩偶，每件进价35元．根据市场调研，
若售价定为50元时，每天可售出200件，售价每下降1元，销量增加20件．
(1)若商家决定降价销售，设每件降价x元 ，求每日销量y（件）与x（元）的函数关系式；
(2)在（1）条件下，若商家要想获利3080元，且让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价多少元？
【答案】(1) (2)这种玩偶每件应降价 元
【详解】（1）解：根据题意：每件降价x元 ，
每日销量y（件）与x（元）的函数关系式为 ；
（2）解：设这种玩偶每件应降价 元，
根据题意列方程得 ，
解得： 或 ，
为了让顾客获得更大实惠，这种玩偶每件应降价 元．
20．（8分）为营造浓厚的阅读氛围，建设馨香书坊，提升民众生活幸福感，某书坊要在门外安装遮阳篷，
便于读者休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷 长为4米，与水平面的夹角为 ，且靠墙端离地高
为 米，当太阳光线 与地面 的夹角为 时，求阴影 的长．（结果精确到 米．参考数据：
， ， ）
【答案】阴影 的长约为 米．
【详解】解：过 作 于 ， 于 ，如图：
在 中，
（米）， （米），
，
四边形 是矩形，
米， （米），
在 中，
，
米，
（米），
阴影 的长约为 米．
21．（8分）阅读与思考．
阅读材料：教材呈现：如图是人教版八年级上册数学教材第 页的部分内容．
角平分线
我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，如
图 ， 是 的平分线，P是 上任一点，作 ， ，垂足
分别为点D和点E，将 沿 对折，我们发现 与 完全重合．由此即有：
角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等．
已知：如图 ， ，点P在 上， ， ，垂足分别
为D，E，求证： ．
分析：图中有两个直角三角形 和 ，只要证明这两个三角形全等，便可证得
．
定理证明：请根据教材中的分析，结合图1，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
如图2， 的周长是 ， 分别平分 和 ， 点 ，若 ，则
的面积为__________．
【答案】定理证明：见解析；定理应用：
【详解】定理证明：证明：∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，∴ ；
定理应用：解：如图2，连接 ，作 于 ， 于 ，
∵ 分别平分 和 ， ， ， ，
∴ ，
∵ 的周长是 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
22．（13分）【问题发现】
（1）如图 ， 和 均为等边三角形，点 ， ， 在同一条直线上，连接 ，容易发现：
线段 ， 之间的数量关系为______； 的度数为______．
【类比探究】
（2）如图 ， 和 均为等腰直角三角形， ，点 ， ， 在同一条直线
上，连接 ．试探究线段 ， ， 之间的数量关系及 的度数，并说明理由．
【问题解决】
（3）如图 ， ， ， ， ，请直接写出 的值．
【答案】 ， ， ，理由见解析 8【详解】 解： 和 均为等边三角形，
， ， ，
，
，
在 和 中 ，
，
；
，
，
，
；
故答案为： ， ；
， ，
理由如下： 和 均为等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
在 和 中 ，
，
， ，
，
；
，
，；
如下图所示，过点 作 交 于点 ，
由 知 ，
， ，
又 ，
，
在 中， ，
，
．
23．（13分）二次函数 的图象经过点 ， ，与y轴交于点C，点P为第
二象限内抛物线上一点，连接 、 ，交于点Q，过点P作 轴于点D．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接 ，当 时，求直线 的表达式；
(3)请判断： 是否有最大值，如有请求出最大值以及点P的坐标，如没有请说明理由．
【答案】(1)
(2)(3) 有最大值为 ，P点坐标为
【详解】（1）解：由题意可得：
解得： ，
∴二次函数的表达式为 ；
（2）设 与y轴交于点E，
当二次函数的表达式为 中 时， ，
∴ , ,
∵ 轴， ，
， ， ， ，设 ，
则 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
解得 ， ，
设 所在直线表达式为
解得 ∴直线 的表达式为 ．
（3）设 与 交于点N．
过B作y轴的平行线与 相交于点M．由A、C两点坐标分别为 ，
由待定系数法可得 所在直线表达式为
∴M点坐标为 ，
∵ ，∴ ，
设 ，则
，∴当 时， 有最大值0.8，
此时P点坐标为 ．
