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2025 年中考第三次模拟考试（山西卷）
数学
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 的绝对值是（ ）
A．2 B． C． D．
2．中华美学文化熠熠生辉、璀璨夺目，其中或左右对映，或上下相称的对称美传承了几千年．下列四把
不同形状的团扇中，其外围扇骨的形状既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．《九章算术》是中国古代数学经典著作，书中提及一种称之为“刍甍”的几何体，书中记载：“刍甍
者，下有袤有广而上有袤无广，刍，草也：甍、层盖也，”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部
只有长没有宽为一条棱的五面体，现有刍甍如图所示，其主视图为（ ）A． B． C． D．
4．如图，小菲同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一个不全的题目．根
据小菲同学记录的内容，可得到被除式应该为（ ）
A． B． C． D．
5．自行车后面有尾灯，虽然这些尾灯自身并不发光，但在夜间骑行时，后方车辆的强光照射到尾灯上时，
光线会被强烈地反射回去，从而提醒汽车驾驶员注意前面有自行车．这一效果正是利用了角反射器的原理
最简单的角反射器是由两个互相垂直的平面镜组成的． 如图，自行车的尾部安装的反光镜，在车灯照射
下，能把光线按原来方向返回（即 ），根据光的反射可知 ，其原理如图所示，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．2025年山西省初中学业水平体育考试项目在原有基础上，增加了足球、篮球、排球考试项目，九年级
（一）班的小明和小颖分别随机选择参加足球、篮球、排球中的一个项目，则他们选择同一个项目的概率
是（ ）
A． B． C． D．
7．如图1，某科技小组进行野外考察时，利用压力一定时压强与接触面积成反比例关系，通过铺垫木板增
大接触面积来达到减小压强的效果，顺利通过了一片烂泥湿地.已知人对木板的压力 与人的质量
的关系如图2所示，若小明和小亮的质量分别为 和 ，且小明和小亮对木板的压强 与
木板面积 的关系如图3所示，点 为反比例函数图象 上的一个动点，过点 分别作 轴和 轴的
垂线，交 轴于点 ，交 轴于点 ，交另一反比例函数图象 于点 ，过点 作 轴的垂线，垂足为点，请你结合以上信息，判断下列说法中不正确的是（ ）
A．由图2可知，人对木板的压力与人的质量成正比
B．图3中图象 表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系
C．当木板面积为 时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大
D．四边形 的面积为定值，表示小明、小亮两人对木板的压力相差20N
8．如图所示，取一张菱形的纸片 ，先沿 对折，再沿 对折，最后沿 中点F与顶点D的连线
剪开，将阴影部分展开，平铺后是一个边长为2的正方形，则 等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，从光源 发出一束光，经 轴上的一点 反射后，得到光线 ，光线 经 轴上一点
反射后，得到光线 ．若 ，且光线 所在直线的函数表达式为 ，则光线 所在
直线的函数表达式为（ ）A． B． C． D．
10．如图，阴影部分是由直径为 的半圆、扇形 、两腰长为4的等腰直角 围成的，则阴影部
分的面积为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．如图所示的是丽丽家正方形后院的示意图，丽丽家打算在正方形后院打造一个 的正方形游泳池和
一个 的正方形花园，剩下阴影部分铺满瓷砖，则阴影部分的面积为 ．
12．中国高铁技术达到了世界领先水平，其座位设计也别具匠心，大多是安排 的座位数，中间是过道．
如此设计的理由除了乘坐安全、舒适度、空间容纳等因素外，还有人文关怀．如果出行人数为2个人可以
选两人座，3个人正好选三人座，4个人可以选2排两人座，5个人可以两人座和三人座各选一排，这样刚
好能坐下且旁边没有陌生人，小星计划与同学共计11人出行游玩，请写出一种刚好能坐下且旁边没有陌生
人的购票方案： （两人座和三人座各几排）13．叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物
的生长时，经常用一个简洁的经验公式 来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图
1），k是常数，则由图1可知k ＞1．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的
形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的 处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验
公式中k的值约为 （结果保留小数点后两位）．
14．问题背景：“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格．它将整个区 域分割为若干三角形，通过把
相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更加斑斓绚丽．如图，
当正五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当正五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分
割的三角形）．那么，当正五边形内有 个点时，可分得77个三角形．
15．已知，如图 ，点C在 上， ， ， ，若 ，则
．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算： ；
（2）下面是小亮进行分式化简的过程，若正确，就从“ ”中选一个合适的值代入求解；若错误，就写出正确的化简过程．
17．（7分）如图，在 中， ， ，直线 过点A， ．过点
作 于D．在 的延长线上取点 ，使得 ，连接 ， ．
(1)依题意用没有刻度的直尺和圆规补全图形（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；
(2)用等式表示 ， ， 之间的数量关系，并证明（请补全下方思路）．
思路：
①在 的延长线上取点F，使得 ，连接 ．
②由 垂直平分 ，依据线段的垂直平分线的性质可得___________，结合已知 可得 ；
根据等腰三角形的“三线合一”可得 ；
③设 ，可以用含 的代数式表示出 ___________， ___________，从而
证明出 ；
④于是可证 （___________），从而得到 _________（用含 ， 的代数式
表示）．
18．（8分）随着科技的进步和农业现代化的发展，无人机喷洒农药技术得到了广泛的推广和应用，相比
传统的人工打药，无人机的作业速度更快，覆盖面积更广．已知每小时使用一台无人机对玉米地喷洒农药
的面积是一个人打药面积的8倍，使用一台无人机对600亩玉米地喷洒农药的时间比一个人对200亩玉米
地打药的时间少25小时．(1)求每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积和一个人打药的面积．
(2)王伯伯种植了220亩玉米，他想用最多两个小时完成对所有玉米地的打药作业．现有两台无人机可供使
用，若每个人打药的效率相同，则王伯伯至少还需要多少个人同时打药？
19．（9分）为进一步提升学生的安全意识，某校举办了安全知识竞赛，竞赛包含理论知识和实践操作两
个项目．现从全校学生中随机抽取部分学生的理论知识成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析．所
有学生的理论知识成绩均高于60分（成绩得分用 表示，共分成四组：A． ；B． ；
C． ；D． ），下面给出了部分信息：
信息一：
信息二：理论知识成绩在C组的数据为：81，81，82，82，83，84，84，84，84，85，86，86，86，87，
88，88，88，89，89，89．89
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)请通过计算补全频数分布直方图；
(2)求所抽取学生理论知识成绩的中位数；
(3)请估计全校500名学生的理论知识成绩高于80分的人数；
(4)某班甲、乙两位学生的理论知识成绩与实践操作成绩如表，学校规定将每位学生的理论知识和实践操作
成绩按 的比例计算其总成绩，请通过计算说明甲、乙两位学生谁的总成绩更高？
学生 理论知识成绩/分 实践操作成绩/分
甲 92 82乙 85 90
20．（7分）研学实践：迎泽大桥是太原迎泽大街上的标志性桥梁，而新建的桥头堡作为其重要组成部分，
已成为太原市的新地标．某校研学小组在了解“桥头堡”的历史背景后，利用测量工具测量了桥头堡的相
关数据．
数据采集：如图，点A是桥头堡的顶端， 是桥面，在点B处用测角仪测得顶端A的仰角 为 ，然
后沿 方向后退，在点C处用测角仪测得顶端A的仰角 为 ，用皮尺测得测角仪的高
，点B与点C之间的距离为 ．
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点M，C，B，N在同一水平直线上．请根据上述数据，计
算桥头堡顶端 到桥面 的距离．（结果精确到 ．参考数据： ， ，
， ）
21．（9分）阅读与理解
【问题情境】
创新题推荐阅读理解题请阅读下列材料，完成相应的任务：
著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事
休．”数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽
象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，解决更加广泛领域的问题．
【问题探究】比如有这样一个题目：设有两只电阻，分别为 和 ，问并联后的电阻值 是多少？
我们可以利用公式 求得 的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下：
【方案设计】如图①，在直线 上任取两点 ， ，分别过点 ， 作直线 的垂线，并在这两条垂线上分
别截取 ， ，且点 ， 位于直线 的同侧，连接 ， ，交于点 ，过点 作 直线 ，则线段 的长度就是并联后的电阻值 ．
【猜想验证】证明： ， ，
，
又 ，
∽ （依据1），
（依据2）．
同理可得： ，
，
，
，
即： ．
【问题解决】任务：
(1)上面证明过程中的“依据 ”和“依据 ”分别是谁：
依据1：______；
依据2：______．
(2)如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知 千欧， 千欧，请在图③中（1个单位长度代表
千欧）画出表示该电路图中总阻值 的线段长．(3)受以上作图法的启发，小明提出了已知 和 ，求 的一种作图方法，如图④，作 ，使
， ，过点 作 的垂线，并在垂线上截取 ，使点 与点 在直线 的同一
侧，作射线 ，交 的延长线于点 ，则 即为 ．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明；
若不正确，请说明理由．
22．（12分）项目化学习：
项目主题：拱桥水位研究
项目背景：人通过拱桥方便快捷，同时安全
驱动问题：人如何通过拱桥时安全、便捷。
建立模型：
如图，是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面 的距离为 ，秋季水位
会下降约 ，此时水面 宽度约为 ．
(1)如图1，以 的中点O为原点， 所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
问题解决：(2)一天小明妈妈带着小明乘坐脚踏游船想要从桥下通过，已知游船的宽度约为 ，船顶高
出水面约为 ，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔 ，请问当
水位处于正常水位（即水面为 ）时，游船是否能够通过？并说明理由；
(3)如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与
水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点到水面 的距离为 ，求这串彩灯的最大长度．
23．（13分）综合与探究
问题情境
如图，在矩形 中，点 是边 上一点，连接 的平分线与 的延长线相
交于点 ，过点 作 于点 ．
(1)【问题发现】判断 的形状，并说明理由：
(2)【问题探究】
过点 作 交 的延长线于点 ，根据题意在如图②中补全图形，探究线段 与线段 的数量
关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
在（2）的条件下， ，连接 ，当 是等腰直角三角形时，直接写出 的值．
