文档内容
2025 年中考第三次模拟考试（北京卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2． 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数
在上线21天后达到了 万．将 万用科学记数法表示为（ ）A． B． C． D．
3．将直角三角板 （ ）按下图的方式摆放在一条直线 上，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知在一个不透明的箱子里共有5个红球和3个白球，它们除颜色外其余都相同，则从箱子里随机摸出
一个球，是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，数轴上标注了实数a，b，c对应点的位置， ，下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若关于x的一元二次方程 无实数根，则实数c的值可能为（ ）
A． B．4 C．5 D．
7．如图，已知 ，求作： ，使 ．
作法：（1）以点 为圆心，任意长为半径作 ，分别交 ， 于点 ， ，连接 ；
（2）以 为圆心， 的长为半径作弧，交 于点 ，连接 ， ；
（3）作射线 ， 即为所求作的角．下列结论正确的是（ ）
A． 的依据是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等B．
C．
D． 是等腰三角形
8．如图，在正方形 中， 、 交于点 ， 为 延长线上的一点，且 ，连接 ，
分别交 于点 ，连接 ，给出下面三个结论：
① 平分 ；
② ；
③ ．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
第 II 卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分）
9．若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．因式分解： ．
11．方程 的解为 ．
12．在平面直角坐标系 中，若函数 的图象经过点 和 ．则 ．
13．某校拟招聘一名优秀的数学教师，设置了笔试、面试、试讲三项水平测试，综合成绩按照笔试占 ，
面试占 ，试讲占 进行计算，小徐的三项测试成绩如图所示，则她的综合成绩为 分．14．如图， ， 分别与 相切于点 ， ， 交 于点 ，四边形 是平行四边形，若
，则 ，劣弧 ．
15．如图，在正方形中，点 在 上， 于点 ， 于点 .若 ， ，则
的面积为 ．
16．小黄、小刘、小李三人进行乒乓球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要
分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现小李
共当裁判 局，小刘、小黄分别进行了 局、 局比赛，在这半天的训练中，三人共进行了 局
比赛，其中第 局比赛的裁判是 ．
三、解答题（本大题共12个小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算：18．解不等式组：
19．已知 ，求代数式 的值．
20．在平面直角坐标系 中，将函数 向上平移2个单位，与 的图象交于点 ．
(1)求 的值；
(2)当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于函数 的值，且小于函数
的值，直接写出 的取值范围．
21．某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为 ，流速为
；开水的温度为 ，流速为 ．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一
杯 温度为 的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间．
物理常识
开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：
开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度．
22．如图，在 中， ， ，点D在 上，过点D作 交 于点E，延长
到点F，使 ，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ，求 的长．
23．某校九年级两个班要举行韵律操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位： ），数
据整理如下：
．1班 168 171 172 174 174 176 177 179
2班 168 171 175 176 176 176 177 177．每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如表：
班
平均数 中位数 众数
级
1班 173.875 174 174
2班 174.5
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中 的值；
(2)如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高越整齐．据此推断：在1班和2班的选手中，
身高比较整齐的是 班（填“1”或“2”）；
(3)1班的6位首发选手的身高分别为168，172，174，174，176，177．如果2班已经选出4位首发选手，
身高分别为168，175，176，176，要使得2班6位首发选手的平均身高不低于1班6位首发选手的平均身
高，且方差尽可能小，则选出的另外两名选手的身高分别是 和 ．
24．如图，在 中， ，以 为直径作 ，过点 作 的切线交 的延长线于点
，点 在 上，作 交 的延长线于点 ， 与 交于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
25．某机器工作至电量剩余 时开始充电．充电系统提供两种不同的充电模式，机器剩余电量 （单位：
）与充电时间 （单位：min）的关系如下表所示：
2
充电时间 （ ） 0 5 10 15 25 30
0
模式一剩余电量 （ 1 7
25 55 85 100
） 0 0
模式二剩余电量 （ 1 9
31 57 78 97 100
） 0 0(1)① ；
②通过数据分析，发现可以用函数来刻画 与 ， 与 之间的关系，在给定的平面直角坐标系（图 ）中
画出这两个函数图象；
(2)充电系统通过调节充电电流 （单位：安培 ）来控制电量，已知充电模式一的初始电流为 安培，剩
余电量每增加 ，充电电流将减小 安培，则 分钟时充电模式一的充电电流 安培；充电模式二
的充电电流与充电时间的函数关系如图 所示．根据以上数据并结合函数图象判断：当两种充电模式的电
流相同时，剩余电量相差约 ．
26．在平面直角坐标系 中，已知 ， 是抛物线 上两点．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)若对于 ， ，都有 ，求 的取值范围．
27．已知 ，点 ， 分别在射线 ， 上，将线段 绕点 逆时针旋转 得
到线段 ，过点 作 的垂线交射线 于点 ．
(1)如图1，当点 在射线 上时，点 恰好是 的中点，请写出 与 之间的关系，并证明；(2)如图2，若 与 之间的关系如（1）所求，当点 在 外部时，作 ，交射线 于点 ；
①依题意补全图形；
②用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系 中，对于点 ，给出如下定义：若点 以点 为中心顺时针旋
转 后，能与点 重合，则称点 为线段 的“完美等直点”．
(1)如图1，当 时，线段 的“完美等直点”坐标是______；
(2)如图2，当 时，若直线 上的一点 ，满足 是线段 的“完美等直点”，求点
的坐标及 的值；
(3)当 时，若点 在以 为圆心， 为半径的圆上，若 是线段 的“完美等直点”，
直接写出 的横坐标 的取值范围．
