文档内容
2025 年中考第三次模拟考试
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列实数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．3.14
【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： ， 等；开方开不尽的数；
以及像 等有这样规律的数．无理数即无限不循环小数．
【详解】解：A． 是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B． 是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C． 是无理数，故本选项符合题意；
D．3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：C．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，积的乘方运算，合并同类项，根据以上运算法则逐一分析即可．
【详解】解： ，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选：B
3．电影院中的第a排b号位，简记为 ，那么 （ ）
A．表示 排a号
B．表示第b排a号位
C．表示b排或a号
D．与 不可能代表同一个位置
【分析】本题考查了用有序数对表示位置，根据题意进行解答即可．
【详解】解：∵电影院中的第a排b号位，简记为 ，
∴ 表示第b排a号位，
故选：B．
4．某厂对一个班组生产的零件进行调查．该班组在六天中每天所出的次品数如下（单位：个）：0，2，
0，0，3，2．那么该班组在六天中产出的次品数的众数、中位数分别是（ ）
A．2个，0个 B．2个，1个 C．0个，0个 D．0个，1个
【分析】该题考查了中位数和众数，将已知数据重新排列，再根据中位数和众数的定义求解即可．
【详解】解：将这组数据重新排列为0，0，0，2，2，3，
所以这组数据的中位数为 个，
众数是0，
故选：D．
5．欹（ ）器，它是中国最早最神奇的实物座右铭，是古代一种倾斜易覆的盛水器，水少则倾，中则正，满则覆，寓意“满招损，谦受益”．如图是一件欹器和它的主视图，其左视图为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题考查了由几何体判断三视图，从左边看到的图形是左视图，注意能看到的线用实线画，看不
到的线用虚线画．根据左视图是从左边看到的图形解答即可．
【详解】解：由题意可得：其左视图为：
故选：C
6．实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题主要考查了实数与数轴，正确得到 ， 是解题的关键．
根据数轴可知 ， ，然后逐一判断即可．
【详解】解：由数轴可知， ， ，
∴ 、 ，原选项错误，不符合题意；
、 ，原选项错误，不符合题意；、 ，原选项错误，不符合题意；
、 ，原选项正确，符合题意；
故选： ．
7． 掀起了“人工智能”的热潮，某单位利用 公司研发的两个 模型 和 共同处
理一批数据．已知 单独处理数据的时间比 少2小时，若两模型合作处理，仅需 小时即可完成．设
单独处理需要 小时．则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出等量关系．设 单独处理需要 小时，则
单独处理数据的时间 小时，根据两队合作 小时完成，可得出方程．
【详解】解：设 单独处理需要 小时，则 单独处理数据的时间 小时，
依题意得 ，
故选：B．
8．为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如
图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便
立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当
B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（ ）
A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒
【分析】设 灯旋转的时间为 秒，求出 的取值范围为 ，再分① ，② 和③
三种情况，先分别求出 和 的度数，再根据平行线的性质可得 ，
由此建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设 灯旋转的时间为 秒，灯光束第一次到达 所需时间为 秒， 灯光束第一次到达 所需时间为 秒，
灯先转动2秒， 灯才开始转动，
，即 ，
由题意，分以下三种情况：
①如图，当 时， ，
，
，
，
，即 ，
解得 ，符合题设；
②如图，当 时， ，
，
，
，
，即 ，
解得 符合题设；
③如图，当 时， ，
，
同理可得： ，即 ，
解得 ，不符题设，舍去；
综上， 灯旋转的时间为1秒或 秒，
故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间 的取值范围，并
据此分三种情况讨论是解题关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．3月8日晚间，据灯塔专业版数据，《哪吒2》全球票房（含预售及海外）已超 亿元， 亿用科学
记数法表示为 ．
【分析】本题考查了科学记数法，其表示形式为 ，其中 ， 为整数，正确确定 和 的值
是解题的关键．
因为 ，即可得到答案．
【详解】解： 亿 ，
故答案为： ．
10．在一个不透明的盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球．小杰想估计其中的白球数量．做
了以下实验，从袋中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．得到如表所示的
数据．请估算盒子里白球的个数有 个．
摸球的次数 20 40 60 80 120 160 200
摸到白球的次数 15 33 49 63 97 126 160
摸到白球的频率
【分析】本题考查由频率估计概率，最后计算出小球个数．根据题意通过表格可知白球的概率约为 ，
再由小球总数即可计算出本题答案．
【详解】解：根据表格可得摸到白球的概率约为 ，
∵盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球，
∴白球个数： （个），
故答案为：8．
11．根据《国家学生体质健康标准》的单项指标中“男生立定跳远单项评分表”的规定，九年级男生及格
的标准是 ，九年级小贤跳出了 ，记为 ；九年级小明跳出了 ，记为 m．
【分析】本题考查正数和负数及有理数的减法，用小明跳出的成绩减去男生及格的标准即可解答．
【详解】解： ，故答案为： ．
12．若抛物线 与 轴有交点，则 的取值范围是 ．
【分析】本题考查方程与二次函数的关系，根的判别式，数形结合思想是解这类题的关键．
根据抛物线与x轴有交点， 的方程就有两个的实数根，根的判别式 ．据此列不等式求
解即可中．
【详解】解：∵抛物线 与 轴有交点，
∴方程 有两个的实数根，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
13．如图为一个正n边形的一部分， 和 延长后相交于点 ．若 ，则正n边形的内角和
是 度．
【分析】本题主要考查了正多边形的外角和、等腰三角形的性质等知识点，掌握正多边形外角和定理和正
多边形外角相等及等腰三角形性质是解题的关键．
,先利用三角形内角和可求出正多边形的外角，再根据正多边形外角相等以及多边形外角等于 ，即可求
出正多边形的边数，最后根据多边形的内角和定理即可解答．
【详解】解：由题意得： ，
∴ ，即正n边形的一个外角为 ，
∴该正多边形的边数为： ，∴该正多边形的内角和为 ．
故答案为： ．
14．如图，光源 发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B的反射光线 交x轴于点 ，
则入射光线 所在直线的解析式为 ．
【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握光的反射定律，轴对称性质，待定系数法求一次函数解析式，
是解题的关键．
作点C关于y轴的对称点D，连接 ，根据轴对称和光的反射可得 ，得点A、B，D共线，
根据 ，得 ，设 所在直线的解析式为 ,把 ， 代入，解解方程组即
得 ．
【详解】解：作点C关于y轴的对称点D，连接 ，如图，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点A、B，D共线，
∵ ， ，
∴ ，设 所在直线的解析式为 ,
则 ，
解得 ，
∴ ．
故答案为： ．
15．有一列分数： ，则第 个分数是 ．
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，这一列数的分子是从1开始的连续的奇数，分母
是从3开始的3的倍数，据此规律求解即可．
【详解】解： ，
观察可知，这一列数的分子是从1开始的连续的奇数，分母是从3开始的3的倍数，
∴第n个数为 ，
∴第 个数为 ，
故答案为： ．
16．在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼 的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼
顶部M的仰角是 ，沿着山坡向上走55米到达B处，在B处测得大楼顶部M的仰角是 ，斜坡 的
坡度 （坡度是指坡而的铅直高度与水平宽度的比），则大楼 的高度为 米．（结果保留整
数，参考数据： ）【分析】过点B作 ，垂足为D，过点B作 ，垂足为E，根据题意可得：
，根据已知可设 米，则 米，然后在 中，利用勾股定理进行
计算可求出 和 的长，再设 米，则 米，最后在 中，利用锐角三
角函数的定义求出 的长，再在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而求出 的
长，进而列出关于y的方程，进行计算即可解答．
【详解】：过点B作 ，垂足为D，过点B作 ，垂足为E，
由题意得： ，
∵斜坡 的坡度 ，
∴设 米，则 米，
在 中， （米），
∵ 米，
∴ ，解得： ，
∴ 米， 米，
∴ 米，
设 米，
∴ 米，在 中， ，
（米），
在 中， ，
∴ 米，
∴ 米，
∴ ，解得： ，
∴ （米），
∴大楼 的高度约为187米．
故答案为：187．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题等知识点，结合图形添加适当
的辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共10题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．解不等式组： ．
【分析】本题考查的知识点是解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组．
根据一元一次不等式组的解法求解即可．
【详解】解：解不等式①， ，
，
得 ；
解不等式②， ，
，
得 ，
原不等式组的解集为 ．
18．先化简，再求代数 的值，其中： ．
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，特殊角三角函数值的混合计算，分母有理化，先把除法变成乘
法，再利用乘法分配律去括号，然后通分化简，接着根据特殊角三角函数值求出a的值，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
当 时，原式 ．
19．文海中学开设 的校本课程，购买了 ， 两种型号的机器人模型，已知 型机器人模型单价比
型机器人模型单价多 元，购买 台 型机器人模型的费用比购买 台 型机器人模型的奇用多 元．
(1)请问 型， 型机器人模型的单价分别是多少元？
(2)现在学校要求买 、 两种机器人模型，刚好用完一万现金，有几种方案呢？
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关
键．
（ ）设 型机器人模型的单价是 元， 型机器人模型的单价是 元，根据题意得 ，然后
解方程组即可；
（ ）设学校购买 台 型机器人模型， 台 型机器人模型，根据题意得 ，然后解
出正整数解即可．
【详解】（1）解：设 型机器人模型的单价是 元， 型机器人模型的单价是 元，
根据题意得： ，
解得： ，
答： 型机器人模型的单价是 元， 型机器人模型的单价是 元；（2）解：设学校购买 台 型机器人模型， 台 型机器人模型，
根据题意得： ，
整理得： ，
∵ 、 均为正整数，
∴ 或 ，
答：有 种方案．
20．如图，在 中，D是 中点．
(1)求作： 的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若l交 于点E，连接 并延长至点F，使 ，连接 ．补全图形，并证明四边形
是平行四边形．
【分析】本题考查了尺规作图，中位线的性质，平行四边形的判定．
（1）利用尺规作图作出线段 的垂直平分线l即可；
（2）由D，E分别为 ， 的中点，根据中位线的性质，得到 ， ，结合
，得到 ，即可证明结论成立．
【详解】（1）解：直线l如图所示，
；
（2）证明：补全图形，如图，由（1）作图知，E为 的中点，
∵D，E分别为 ， 的中点，
∴ ， ，
∵ ，即： ，
∴ ，
∵ ，
∴ 四边形 是平行四边形．
21．如图，在 中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)当 ， ， 时，求 的长．
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义
等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）证 ，运用平行四边形的性质得 ，再证 ，得 ，即可得出
结论；
（2）由锐角三角函数定义和勾股定理求出 ， ，再证 ，则 ，
得 ，求出 ，进而得出答案．
【详解】（1）证明： ，
， ，，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解：在 中， ，
设 ，则 ，
由勾股定理得： ，
解得： 或 （舍去），
， ，
由（1）得：四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
，
解得： 或 ,（舍去），
即 ．22．为了了解学生的睡眠情况，我校随机抽取了部分学生，对他们每天的睡眠时间进行了调查，将睡眠时
间分为五个小组， 、 、 、 、 ，其中， 表
示学生的睡眠时间（单位：小时），并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据上述信息，回答下列问题：
(1)在本次随机抽取的样本中，调查的样本容量为________；
(2) ________；
(3)补全条形统计图；
(4)我校某校区约有学生3600人，请你估计该校区“平均每天睡眠时间不少于8小时”的学生大约有
________人．
【分析】（1）根据D组的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的样本容量；
（2）根据A组、B组的学生数及样本容量可求 ；
（3）根据C组所占的百分比及样本容量求出C组的学生数，据此补全条形统计图；
（4）根据扇形统计图中的数据，可以计算出该校学生平均每天睡眠时间不少于8小时的人数．
本题考查总体、个体、样本、样本容量，条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，理解两个统计图中
数据之间的关系是正确解答的前提．
【详解】（1）解：在本次随机抽取的样本中，调查的样本容量为 ；
故答案为：100；
（2）∵ ， ，
∴ ， ；
∴ ；
故答案为：45；
（3）C组学生数为： （人），
补全条形统计图如下，（4）估计该校区“平均每天睡眠时间不少于8小时”的学生大约有： （人）；
故答案为：1260．
23．实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间
x（时）变化的图象如图（图象由线段 与部分双曲线 组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中
的酒精含大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
(1)求部分双曲线 的函数表达式，并写出相应的自变量的取值范围；
(2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上 在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上 能否驾去上
班？请说明理由．
【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是
解题的关键．
（1）首先求得线段 所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解；
（2）把 代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断．
【详解】（1）解：设直线 的解析式为 ，
直线 过 ，
，
，直线 的解析式为 ，
当 时， ，即 ，
设双曲线的解析式为 ，
将点 代入得： ，
；
（2）解：由 得，
当 时， ，
从晚上 到第二天早上 时间间距为10小时，
，
第二天早上 能驾车去上班．
24．如图， 为 的直径， ，过点A作 的切线，交 的延长线于点E．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【分析】（1）如图：连接 ，根据同圆中，等弧相等性质可得 ，再利用等边对等角及等
量代换即可证得 从而证得结论；
（2）如图：连接 ，利用直径所对的圆周角是直角结合（1）中平行线的性质可求得 ，从而得
到 ，根据直角三角形的锐角三角函数的值结合勾股定理即可解答．
【详解】（1）证明：如图：连接 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：如图，连接 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，∴ ，解得： ，
，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，解得∶ ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定及性质、切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数值及勾股定理解
直角三角形的应用等知识点，熟练掌握圆周角定理及平行线的判定及锐角三角函数值及勾股定理解直角三
角形的应用是解题的关键．
25．（1）【问题呈现】
如图1， 和 都是等边三角形，连接 ， ．易知 _________．
（2）【类比探究】
如图2， 和 都是等腰直角三角形， ．连接 ， ．则 _________．
（3）【拓展提升】
如图3， 和 都是直角三角形， ，且 ．连接 ， ．
①求 的值；
②延长 交 于点 ，交 于点 ．求 的值．
【分析】（1）利用等边三角形的性质及 证明 ，从而得出结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质，证明 ，进而得出结果；（3）①先证明 ，再证得 ，根据相似三角形的性质进而得出结果；
②在①的基础上得出 ，进而 ，再根据勾股定理及正弦的定义进一步得出结
果．
【详解】解：（1）∵ 和 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1；
（2）∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）① ，
，
，
，
， ，
，
，；
②由（1）得： ，
，
，
，
.
【点睛】本题考查了求正弦函数，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形
的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 、 ，与y轴交于点
，连接 ．又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含点
O和点B），且分别交抛物线、线段 以及x轴于点P、D、E．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接 、 ，当直线l运动时，求使得 和 相似的点P的坐标；
(3)作 ，垂足为F，当直线l运动时，求 面积的最大值．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设 ，①当 时， ，此时不存在满足条件的 点；②当 时， ，可求 ；
（3）根据题意可得 ，则 ，设 ，则 ，
，当 时，求 面积的最大值即可．
【详解】（1）解：将A、B、C三点代入 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
①当 时， ，
解得 （舍）或 （舍）；
②当 时， ，
解得 或 （舍），
∴ ；（3）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
当 时， 面积的最大值为 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，
直角三角形的性质是解题的关键．
