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2025 年中考第三次模拟考试（山西卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 的绝对值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值等于它的相反数，即可作答．
【详解】解： 的绝对值是 ，
故选：C
2．中华美学文化熠熠生辉、璀璨夺目，其中或左右对映，或上下相称的对称美传承了几千年．下列四把
不同形状的团扇中，其外围扇骨的形状既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义：如
果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图
形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是
解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项分析即可得出答案．【详解】解：A、扇骨的形状是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、扇骨的形状既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、扇骨的形状是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、扇骨的形状是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．《九章算术》是中国古代数学经典著作，书中提及一种称之为“刍甍”的几何体，书中记载：“刍甍
者，下有袤有广而上有袤无广，刍，草也：甍、层盖也，”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部
只有长没有宽为一条棱的五面体，现有刍甍如图所示，其主视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查三视图，解题的关键是理解三视图的定义，根据主视图是从前面看到的图形求解即可．
【详解】根据题意得，其主视图为：
．
故选：A．
4．如图，小菲同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一个不全的题目．根
据小菲同学记录的内容，可得到被除式应该为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了整式乘除运算，熟练掌握多项式乘单项式乘法运算法则，是解题的关键．根据被
除式 除式 商，求出结果即可．【详解】解：被除式应该为：
．
故选：B．
5．自行车后面有尾灯，虽然这些尾灯自身并不发光，但在夜间骑行时，后方车辆的强光照射到尾灯上时，
光线会被强烈地反射回去，从而提醒汽车驾驶员注意前面有自行车．这一效果正是利用了角反射器的原理
最简单的角反射器是由两个互相垂直的平面镜组成的． 如图，自行车的尾部安装的反光镜，在车灯照射
下，能把光线按原来方向返回（即 ），根据光的反射可知 ，其原理如图所示，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义．由平角的定义求出 ，由平行线的性质
推出 ，求出 ，即可得到 的度数．
【详解】解：如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：A．6．2025年山西省初中学业水平体育考试项目在原有基础上，增加了足球、篮球、排球考试项目，九年级
（一）班的小明和小颖分别随机选择参加足球、篮球、排球中的一个项目，则他们选择同一个项目的概率
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得小明和小
颖分别随机选择一个项目的所有等可能的结果，再找出他们选择同一个项目的结果，然后利用概率公式计
算即可得．
【详解】解：将足球、篮球、排球考试项目分别记为 ，画出树状图如下：
由图可知，小明和小颖分别随机选择一个项目共有9种等可能的结果，其中，他们选择同一个项目的结果
有3种，
则他们选择同一个项目的概率为 ，
故选：C．
7．如图1，某科技小组进行野外考察时，利用压力一定时压强与接触面积成反比例关系，通过铺垫木板增
大接触面积来达到减小压强的效果，顺利通过了一片烂泥湿地.已知人对木板的压力 与人的质量
的关系如图2所示，若小明和小亮的质量分别为 和 ，且小明和小亮对木板的压强 与
木板面积 的关系如图3所示，点 为反比例函数图象 上的一个动点，过点 分别作 轴和 轴的
垂线，交 轴于点 ，交 轴于点 ，交另一反比例函数图象 于点 ，过点 作 轴的垂线，垂足为点，请你结合以上信息，判断下列说法中不正确的是（ ）
A．由图2可知，人对木板的压力与人的质量成正比
B．图3中图象 表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系
C．当木板面积为 时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大
D．四边形 的面积为定值，表示小明、小亮两人对木板的压力相差20N
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的应用，由于压力一定时，压强和受力面积成反比，压力于质量成正比例，
根据解析式逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由图 可得：人对木板的压力随人的质量的增大而增大，所以人对木板的压力与人的质量成
正比，故 正确，不符合题意；
小明和小亮的质量分别为 和 ，那么小明对木板的压力小于小亮对木板的压力，由物理知识可得：
压强 结合图 可得：在受力面积相同的情况下，小明对木板的压强小于小亮对木板的压强，所
以图 中图象 表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系， 正确，不符合题意；
设
∵经过点 ,
，
解得： ，
，当 时， ，
当 时， ，
∵木板面积为 ，
∴小明对木板的压强 ，
小亮对木板的压强 ，
，
∴当木板面积为 时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大 ，
∴ 正确，不符合题意；
由题意得：小明对木板的压强 ，小亮对木板的压强 ，则四边形 的面积
，也说明小明对木板的压力为 ，小亮对木板的压力 ，那么小明、小亮两人对
木板的压力相差 ，故 错误，符合题意；
故选: D．
8．如图所示，取一张菱形的纸片 ，先沿 对折，再沿 对折，最后沿 中点F与顶点D的连线
剪开，将阴影部分展开，平铺后是一个边长为2的正方形，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了菱形、正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，正确理解题意，知道裁剪后的图形是
解题的关键．
确定 为等腰直角三角形， ，继而由勾股定理可得 ，再在 中，由勾
股定理求解．
【详解】解：∵四边形 是菱形，∴ ，
∵平铺后是一个边长为2的正方形，
由折叠可知： 为等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
9．如图，从光源 发出一束光，经 轴上的一点 反射后，得到光线 ，光线 经 轴上一点
反射后，得到光线 ．若 ，且光线 所在直线的函数表达式为 ，则光线 所在
直线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的实际应用，延长 交 轴于点 ，把点 代入 ，求出直线
的解析式，进而求出点 的坐标，证明 ，进而求出 点坐标，根据两直线平行， 值相等，
结合 点坐标，求出 的解析式即可．
【详解】解：延长 交 轴于点 ，如图，把 代入 ，得： ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
由光的反射可知： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴设直线 的解析式为： ，把 代入，得： ；
∴ ；
故选D．
10．如图，阴影部分是由直径为 的半圆、扇形 、两腰长为4的等腰直角 围成的，则阴影部
分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题考查了扇形的面积，求不规则图形的面积，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线，分
割法求阴影部分的面积是解题的关键；根据阴影部分的面积 求解即可；
【详解】连接点B和 与圆的交点D，
是直径，
，
是等腰直角三角形，
， ，
阴影部分的面积 ，
故选： ．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．如图所示的是丽丽家正方形后院的示意图，丽丽家打算在正方形后院打造一个 的正方形游泳池和
一个 的正方形花园，剩下阴影部分铺满瓷砖，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查图形的变化规律，利用勾股定理找出 的规律是解题的关键．首先求出 、 、的长度，然后归纳命题中隐含的数学规律，即可解决问题．
【详解】解：由题意得：
大正方形的边长为 ，
∴阴影部分面积
故答案为：
12．中国高铁技术达到了世界领先水平，其座位设计也别具匠心，大多是安排 的座位数，中间是过道．
如此设计的理由除了乘坐安全、舒适度、空间容纳等因素外，还有人文关怀．如果出行人数为2个人可以
选两人座，3个人正好选三人座，4个人可以选2排两人座，5个人可以两人座和三人座各选一排，这样刚
好能坐下且旁边没有陌生人，小星计划与同学共计11人出行游玩，请写出一种刚好能坐下且旁边没有陌生
人的购票方案： （两人座和三人座各几排）
【答案】两人座1排和三人座3排（或两人座4排和三人座1排）
【分析】本题主要考查二元一次方程可能的整数解，根据题意列出二元一次方程并对可能得解进行求解即
可．
【详解】解：设两人座有x排，三人座有y排，则
，
那么，可能解 或 ．
故答案为：两人座1排和三人座3排（或两人座4排和三人座1排）．
13．叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物
的生长时，经常用一个简洁的经验公式 来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图
1），k是常数，则由图1可知k ＞1．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的 处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验
公式中k的值约为 （结果保留小数点后两位）．
【答案】
【分析】本题考查了数据的处理和应用，涉及反比例，方程等知识，理清题意，找到相等关系是解题的关
键．
根据 和 ，列出方程，求出k即可．
【详解】解：∵ ，
，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
14．问题背景：“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格．它将整个区 域分割为若干三角形，通过把
相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更加斑斓绚丽．如图，
当正五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当正五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分
割的三角形）．那么，当正五边形内有 个点时，可分得77个三角形．
【答案】
【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据题意先确定正五边形内点的个数与被分割成的三角形的个
数之间的关系，即可得出规律解答．
【详解】解：正五边形有1个点时，三角形个数为 （个）；
正五边形内有2个点时，三角形个数为 （个）；如图，
正五边形内有3个点时，三角形个数为 （个）；
以后每增加一个点，必然在某一个三角形内部，图形增加2个三角形，
以此类推有正五边形内有n个点时，可分成的三角形的个数为 个，
令 ，
解得： ，
故答案为：37．
15．已知，如图 ，点C在 上， ， ， ，若 ，则
．
【答案】
【分析】作 交 的延长线于点N，先根据 证明 ，得到 ，设
，则 ，根据平行线的性质可证明 ，得到 得到
，解出 ，从而得出 ，进而得出结果即可．
【详解】解：如图，作 交 的延长线于点N，， ， ，
，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理得： ，
或 （小于零舍掉），
，即 ，
又 ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，一元二次方程
的应用，准确作出辅助线是解答本题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算： ；
（2）下面是小亮进行分式化简的过程，若正确，就从“ ”中选一个合适的值代入求解；若错误，
就写出正确的化简过程．
【答案】（1）7；（2）错误，见解析
【分析】此题考查了实数的混合运算、分式的化简．
（1）先计算零指数幂，求立方根，最后再计算加减法即可．
（2）先通分，然后再计算，最后约分即可．
【详解】解：（1）原式 ；
（2）错误，正确化简过程为：
．
17．（8分）随着科技的进步和农业现代化的发展，无人机喷洒农药技术得到了广泛的推广和应用，相比传统的人工打药，无人机的作业速度更快，覆盖面积更广．已知每小时使用一台无人机对玉米地喷洒农药
的面积是一个人打药面积的8倍，使用一台无人机对600亩玉米地喷洒农药的时间比一个人对200亩玉米
地打药的时间少25小时．
(1)求每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积和一个人打药的面积．
(2)王伯伯种植了220亩玉米，他想用最多两个小时完成对所有玉米地的打药作业．现有两台无人机可供使
用，若每个人打药的效率相同，则王伯伯至少还需要多少个人同时打药？
【答案】(1)一个人打药的面积为5亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为40亩
(2)王伯伯至少还需要27个人同时打药
【分析】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设一个人打药的面积为x亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为 亩，由题意易得
，然后进行求解即可；
（2）设王伯伯还需要y个人同时打药，由题意易得 ，然后进行求解即可．
【详解】（1）解：设一个人打药的面积为x亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为 亩，由题意
得：
，
解得： ，
经检验： 是原方程的解，
∴ ，
答：一个人打药的面积为5亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为40亩．
（2）解：设王伯伯还需要y个人同时打药，由题意得：
，解得： ；
答：王伯伯至少还需要27个人同时打药．
18．（9分）为进一步提升学生的安全意识，某校举办了安全知识竞赛，竞赛包含理论知识和实践操作两
个项目．现从全校学生中随机抽取部分学生的理论知识成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析．所
有学生的理论知识成绩均高于60分（成绩得分用 表示，共分成四组：A． ；B． ；
C． ；D． ），下面给出了部分信息：
信息一：
信息二：理论知识成绩在C组的数据为：81，81，82，82，83，84，84，84，84，85，86，86，86，87，
88，88，88，89，89，89．89
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)请通过计算补全频数分布直方图；
(2)求所抽取学生理论知识成绩的中位数；
(3)请估计全校500名学生的理论知识成绩高于80分的人数；
(4)某班甲、乙两位学生的理论知识成绩与实践操作成绩如表，学校规定将每位学生的理论知识和实践操作
成绩按 的比例计算其总成绩，请通过计算说明甲、乙两位学生谁的总成绩更高？
学 理论知识成 实践操作成
生 绩/分 绩/分
甲 92 82
乙 85 90
【答案】(1)见解析
(2)(3)300名
(4)甲学生的总成绩高
【分析】本题主要查了频数分布直方图，中位数，加权平均数等：
（1）先求出抽取的学生的总人数，可求出B组的频数，即可求解；
（2）根据题意可得位于正中间的两个数分别为83，84，即可求解；
（3）用500乘以成绩高于80分的人数的频率，即可求解；
（4）分别求出甲、乙两位学生的总成绩，再比较，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：抽取的学生的总人数为 名，
∴B组的频数为 ，
补全频数分布直方图，如下：
（2）解：根据题意得：位于正中间的两个数分别为83，84，
∴所抽取学生理论知识成绩的中位数为 ；
（3）解： 名
即理论知识成绩高于80分的人数为300名；
（4）解：甲学生的总成绩为 分，
乙学生的总成绩为 分，
∵ ，
∴甲学生的总成绩高．
19．（7分）如图，在 中， ， ，直线 过点A， ．过点
作 于D．在 的延长线上取点 ，使得 ，连接 ， ．(1)依题意用没有刻度的直尺和圆规补全图形（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；
(2)用等式表示 ， ， 之间的数量关系，并证明（请补全下方思路）．
思路：
①在 的延长线上取点F，使得 ，连接 ．
②由 垂直平分 ，依据线段的垂直平分线的性质可得___________，结合已知 可得 ；
根据等腰三角形的“三线合一”可得 ；
③设 ，可以用含 的代数式表示出 ___________， ___________，从而
证明出 ；
④于是可证 （___________），从而得到 _________（用含 ， 的代数式
表示）．
【答案】(1)作图见解析
(2) ； ； ； ；
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）①根据题意画出图形即可；
②依据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的“三线合一”即可求解；
③证出 ，由直角三角形的性质即可求解；
④根据全等三角形的性质与判定即可得出结论．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：①在 的延长线上取点F，使得 ，连接 ．
②由作图知 垂直平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ；③设 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
④∴ ，
∴ ，
故答案为： ； ； ； ； ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三
角形的性质与判定是解题的关键．
20．（7分）研学实践：迎泽大桥是太原迎泽大街上的标志性桥梁，而新建的桥头堡作为其重要组成部分，
已成为太原市的新地标．某校研学小组在了解“桥头堡”的历史背景后，利用测量工具测量了桥头堡的相
关数据．
数据采集：如图，点A是桥头堡的顶端， 是桥面，在点B处用测角仪测得顶端A的仰角 为 ，然
后沿 方向后退，在点C处用测角仪测得顶端A的仰角 为 ，用皮尺测得测角仪的高
，点B与点C之间的距离为 ．
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点M，C，B，N在同一水平直线上．请根据上述数据，计
算桥头堡顶端 到桥面 的距离．（结果精确到 ．参考数据： ， ，
， ）
【答案】桥头堡顶端 到桥面 的距离约为【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
过点 作 于点 ，连接 ，并延长交 于点 ，先证出 ， ，
，再设 ，解直角三角形可得 的长，然后根据 建立方程，解
方程可得 的值，最后根据 求出 的长，由此即可得．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，连接 ，并延长交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴平行四边形 是矩形，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
由题意得： ， ，
设 ，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，∴ ，
答：桥头堡顶端 到桥面 的距离约为 ．
21．（9分）阅读与理解
【问题情境】
创新题推荐阅读理解题请阅读下列材料，完成相应的任务：
著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事
休．”数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽
象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，解决更加广泛领域的问题．
【问题探究】比如有这样一个题目：设有两只电阻，分别为 和 ，问并联后的电阻值 是多少？
我们可以利用公式 求得 的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下：
【方案设计】如图①，在直线 上任取两点 ， ，分别过点 ， 作直线 的垂线，并在这两条垂线上分
别截取 ， ，且点 ， 位于直线 的同侧，连接 ， ，交于点 ，过点 作 直
线 ，则线段 的长度就是并联后的电阻值 ．
【猜想验证】证明： ， ，
，
又 ，
∽ （依据1），
（依据2）．
同理可得： ，
，，
，
即： ．
【问题解决】任务：
(1)上面证明过程中的“依据 ”和“依据 ”分别是谁：
依据1：______；
依据2：______．
(2)如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知 千欧， 千欧，请在图③中（1个单位长度代表
千欧）画出表示该电路图中总阻值 的线段长．
(3)受以上作图法的启发，小明提出了已知 和 ，求 的一种作图方法，如图④，作 ，使
， ，过点 作 的垂线，并在垂线上截取 ，使点 与点 在直线 的同一
侧，作射线 ，交 的延长线于点 ，则 即为 ．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明；
若不正确，请说明理由．
【答案】(1)依据1：两组角对应相等的两个三角形相似；依据2：相似三角形的对应边成比例
(2)见解析(3)小明的方法正确，证明见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题
的关键．
由相似三角形的判定与性质可得出答案；
在 上取点 ，使 ，在 上取点 使 ，连接 ， 交于点 ，过点 作
于点 ，则可得出答案；
证明 ，得出 ，求出 的长，则可得出答案．
【详解】（1）证明： ， ，
，
又 ，
（两组角对应相等的两个三角形相似 ，
（相似三角形的对应边成比例 ．
故答案为：两组角对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例；
（2）解：如图，线段表示 的长．
在 上取点 ，使 ，在 上取点 ，使 ，连接 ， 交于点 ，过点 作
于点 ，
则线段 为所求线段；
（3）解：小明的方法正确．
理由： ，
，
，
，
，，
由题意可知 ， ， ，
，
，
，
，
．
22．（12分）项目化学习：
项目主题：拱桥水位研究
项目背景：人通过拱桥方便快捷，同时安全
驱动问题：人如何通过拱桥时安全、便捷。
建立模型：
如图，是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面 的距离为 ，秋季水位
会下降约 ，此时水面 宽度约为 ．
(1)如图1，以 的中点O为原点， 所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
问题解决：(2)一天小明妈妈带着小明乘坐脚踏游船想要从桥下通过，已知游船的宽度约为 ，船顶高
出水面约为 ，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔 ，请问当
水位处于正常水位（即水面为 ）时，游船是否能够通过？并说明理由；(3)如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与
水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点到水面 的距离为 ，
求这串彩灯的最大长度．
【答案】(1)坐标见解析，
(2)游船能够通过，见解析
(3) 米
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出当 时的 的值，比较即可得解；
（3）设彩灯的长度为w，求出 关于 的关系式，再根据二次函数的性质即可得解．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为： ，
由题意得：拱顶的坐标为 ，点D的坐标为 ，
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：游船能够通过．
理由：由（1）得：抛物线解析式为： ；
当 时， ，
，
∴游船能够通过；
（3）解：如图：设此时彩灯右边与抛物线交于点 ，
，
∵彩灯两端的最低点到水面 的距离为 米，秋季水位会下降约 米，
∴彩灯的最低点Q在直线 上，
∴点N为 ，
，
设彩灯的长度为w，
，
，
时，w最大， ．
答：这串彩灯的最大长度为 米．
23．（13分）综合与探究
问题情境
如图，在矩形 中，点 是边 上一点，连接 的平分线与 的延长线相
交于点 ，过点 作 于点 ．
(1)【问题发现】判断 的形状，并说明理由：(2)【问题探究】
过点 作 交 的延长线于点 ，根据题意在如图②中补全图形，探究线段 与线段 的数量
关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
在（2）的条件下， ，连接 ，当 是等腰直角三角形时，直接写出 的值．
【答案】(1)等腰直角三角形，见解析
(2)补充图形见解析， ，见解析
(3) 或
【分析】（1）根据矩形的性质得到 ，由 ， ，再根据 平分 ，得到
，根据 ， ，即可得出结论；
（2）过点 作 交 延长线于点 ，证明 ，即可得证；
（3）当 ，过点 作 于点 ，连接 ，证明 ，进而证明
，得出 ，即可求解．当 时，设 ， ， ，则
，进而解直角三角形得出 即： ，即可求解．
【详解】（1）解： 是等腰直角三角形；
理由如下，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形；（2）解：补全图形如图，
，理由如下，
过点 作 交 延长线于点 ，
由（1）知： 中 ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：当 ，过点 作 于点 ，∵ ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
；
∴ ；当 时，则 ，如图，
∵四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ， ， ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由①②得： ，
解得： ，将 代入①得， ，
整理得， ，即： ，
∴ ；
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形
的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰
直角三角形是解决问题的关键．
