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2025 年中考第三次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．在下列四个数中，绝对值最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较
【分析】本题主要考查了绝对值的含义和求法，以及有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关
键是要明确：①正数都大于 ；②负数都小于 ；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反
而小．先求出每个数的绝对值，再比较即可．
【详解】解： ， ， ，
∵ ，
∴四个数中绝对值最大的数是 ．
故选：D．
2．未来的生活中，AI将扮演非常重要的角色．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称
图形也是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的
部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够
与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解
题的关键．
【详解】解： 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意；
、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意；
故选： ．
3．随着“一带一路”走深走实，中国已成为140多个国家和地区的主要贸易伙伴．近十年国内生产总值年
均增长 ，达到121万亿元，是全球经济发展的最大动力源．数据“121万亿元”用科学记数法表示为
（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【答案】D
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为 的形式，其中 ，n为整数，正
确确定a、n的值是解题的关键．
将“121万亿元”写成 其中 ，n为整数的形式即可．
【详解】解：121万亿元 ．
故选D．
4．如图 所示的几何体由五个大小相同的小正方体组合而成，将其中一个小正方体移动位置得到如图
所示的几何体，则下列说法正确的是（ ）A．主视图不变 B．左视图不变 C．俯视图不变 D．三视图均不变
【答案】B
【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，
从上边看得到的图形是俯视图．根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上
边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：图 和图 中，从左面看都是有两列，且左边一列有两个正方形，右边一列有一个正方形，
因此左视图不变．
故选：B．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】多项式除以单项式、幂的乘方运算、积的乘方运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，多项式除以单项式，积的乘方运算，完全平方公式的应用，根据
各自的运算法则一一计算即可得出答案．
【详解】解： ． ，原计算错误，故该选项不符合题意；
． ，原计算错误，故该选项不符合题意；
． ，原计算错误，故该选项不符合题意；
． ，计算正确，故该选项符合题意；
故选：D．
6．将一副三角板按如图方式放置，使 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角的定义及性质、两直线平行内错角相等、三角板中角度计算问题
【分析】本题考查了三角板的认识，三角形的外角，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
由题意可知， ， ，由 ，得到 ，再结合 ，
得到答案．
【详解】解：设 与 ， 分别交于点 ， ，如图所示：
由题意可知， ， ，
，
，
是 的外角，
．
故选：D．
7．关于 的方程 的解为正数．则 的取值范围为（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【答案】B
【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题主要考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数等知识点，解分式方程的验证环节是
解题的关键．
先解分式分式方程，然后根据分式方程的解为正数，列出关于a的不等式求解即可．【详解】解： ，
，
，
，
检验，当 ，即 方程无意义，故 ，
∵关于 的方程 的解为正数，
∴ ，即 ．
综上， 的取值范围为 且 ．
故选B．
8．从 ， ， ， ， 中任取两数作为 ， ，使抛物线 的开口向上，对称轴在 轴左
侧的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了列表法与树状图法，二次函数的性质，概率公式，首先根据题意得到 ， ，
然后利用列表法即可列举出所有各种可能的情况，然后利用概率公式即可求解．
【详解】解：∵抛物线 的开口向上，对称轴在y轴左侧，
∴ ， ，
∴ ；
列表如下：∴共有20种等可能结果，其中使抛物线 的开口向上，对称轴在y轴左侧的有2种结果，
∴使抛物线 的开口向上，对称轴在y轴左侧的概率为 ．
故选：B．
9．如图，已知矩形 ，点E是 边的中点， ， 与 相交于点F，连接 ，下列
结论：① ；② ③ ④ ，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角
形的判定与性质综合
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，设 ，得出
，勾股定理求出 ，过点 作 ，延长 交
于点 ，证明四边形 是矩形，得出 ，证明 ，根据相似三角形的
性质得出 ， ， ，故 ，③错误；求出
， ，即可判断①正确；表示出 ，得出
，即可判断②错误；勾股定理求出 ，根据等面积法即可判断④．
【详解】解：∵点E是 边的中点， ，
设 ，
∵四边形 是矩形，， ，
∴ ，
过点 作 ，延长 交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
，
，
，
∴ ， ， ，故 ，③错误；
，
，
∴ ，故①正确；
∴ ，
∴ ，故②错误；
∵ ，∴ ，
∴ 不垂直，故④错误；
∴正确的是①，共1个，
故选：A．
10．三个超市出售同一种商品，其标价相同，年底各超市分别对该商品进行降价销售：
甲超市第一次降价 ，第二次降价 ；
乙超市第一、二次降价均为 ；
丙超市一次性降价 ．
其中a，b为不相等的正数，则降价后该商品卖的最贵的超市为（ ）
A．甲超市 B．乙超市 C．丙超市 D．一样多
【答案】B
【知识点】列代数式、计算多项式乘多项式、运用完全平方公式进行运算、完全平方公式分解因式
【分析】本题考查的是列代数式，利用完全平方公式分解因式，设商品原价为1，可得甲超市的价格为
，乙超市的价格为 ，丙超市的价格为 ，设 ， ，再
进一步计算与比较大小即可．
【详解】解：设商品原价为1，
甲超市的价格为 ，
乙超市的价格为 ，
丙超市的价格为 ，
设 ， ，
∴ ，
，，
∵ ，则 ，
∴ ，
∵
，
∴到乙超市购买最贵．
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式： ．
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解，熟练运用提公因式法和公式法分解因式是解答本题的关键．
先提出公因式 ，再根据完全平方公式分解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12．若 是关于x的方程 的两实数根，且满足 ，则k的值为 ．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】根据所给一元二次方程有实数根，得出关于k的不等式，利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的
关键．
【详解】解：∵一元二次方程 有两实数根，且 ，
∴ ，
解得 ．
又 是方程 的两个根，
则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ， （舍去），
故 ．
故答案为：3．
13．已知关于 的不等式组 有且仅有 个整数解，则所有满足条件的整数 的和为
．
【答案】
【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据题目的条件得到 是解答本题的关键．
先求解不等式组，根据不等式组有且仅有 个整数解得 ，进而得到满足条件的整数 的值，再
求和即可．
【详解】解：解不等式组 ，得 ，不等式组有且仅有 个整数解，
，
，
所有满足条件的整数 的值分别为 ， ， ， ， ，
所有满足条件的整数 的和为 ，
故答案为： ．
14．如图，已知 ，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与 相交于点B，C；分别以
B，C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线 ．分别以A，B为
圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线 分别与 ， 相交于点F，Q．若
，则F到 的距离为 ．
【答案】
【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形
【分析】如图，过 作 于 ，证明 ， ， ，再证明
，再结合勾股定理可得答案.
【详解】解：如图，过 作 于 ，由作图可得： ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 到 的距离为 ；
故答案为：
【点睛】本题考查了作图−复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，等腰三
角形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步操作．
15．如图，点A，B，C，D，E在 上，D是 的中点， ．若 ， ，则
°．
【答案】85
【知识点】等边对等角、利用弧、弦、圆心角的关系求解、圆周角定理
【分析】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理，等腰三角形的性质．连接
，由三角形内角和定理与等腰三角形的性质得 ，由圆心角、
弧、弦的关系求出 的度数，根据圆周角定理求出 的度数，从而求出 的度数即可．
【详解】解：如图，连接 ．∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵D是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：85．
16．如图，春节期间，广场上空用红色无人机（〇）和黄色无人机（Δ）组成如下图案：结合上面图案中“〇”和“△”的排列方式及规律，当正整数 时，使得红色无人机（〇）比黄
色无人机（△）的个数多 台．
【答案】8
【知识点】图形类规律探索
【分析】本题考查了图形规律，根据题意总结规律是解题的关键，根据所给图形，分别求出图形中〇和△
的个数，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由所给图形可知，
第 个图案中〇的个数为 ，△的个数为 ；
第 个图案中〇的个数为 ，△的个数为 ；
第 个图案中〇的个数为 ，△的个数为 ；
…，
所以第 个图案中〇的个数为 个，△的个数为（ ）个．
由 得，
（舍去）， ，
所以 的值为 ．
故答案为： ．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）计算： ；
（2）先化简，再求值： ，其中m满足 ．
【答案】（1） ；（2） ，
【知识点】实数的混合运算、分式化简求值、零指数幂、特殊三角形的三角函数
【分析】本题考查分式的化简求值，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，熟练
掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）利用零指数幂，绝对值的性质，算术平方根的定义，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值计算即可；
（2）先将括号内的分式通分并计算后再利用分式的乘除法则化简，再整体代入求值即可．【详解】解：（1）
；
（2）
，
∵ ，
∴原式 ．
18．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，
将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“ ”记为1分，“ ”记为2分，“
”记为3分，“ ”记为4分，“ ”记为5分．现随机将全校学生以20人为
一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：第1小组得分条形统计图 第2小组得分扇形统计图 第3小组得分折线统计图
平均 中位 众
数 数 数
第1小
3.9 4 a
组
第2小
b 3.5 5
组
第3小
3.25 c 3
组
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为__________度；
②请补全第1小组得分条形统计图；
(2) __________， __________， __________；
(3)从第二组中得5分的同学中选取男、女生各两人，并从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状
图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)①18；②见解析
(2)5； ；3
(3)
【知识点】求众数、列表法或树状图法求概率、折线统计图、求中位数
【分析】本题考查统计图，求中位数和众数，利用列表法求概率，从统计图中有效的获取信息是解题的关
键：
（1）①利用360度乘以“得分为1分”所占的比例求出圆心角的度数；②根据总数减去其它组的人数求出
分的人数，补全条形图即可；
（2）根据平均数，中位数和众数的计算方法，进行求解即可；
（3）根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可．【详解】（1）解：① ；
故答案为：18；
②第1小组“得分为4分”这一项的人数为 （人），
补全第1小组得分条形统计图如下，
（2）由条形图可知，得到5分的人数最多，故 ；
由扇形图可知： ；
由折线图可知，第10个和第11个数据均为3分，
∴ ；
（3）由题意，列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2
男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2
女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2
女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1
共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果有8种，
∴ ．
19．根据以下材料，探索完成任务．
探究车牌识别系统的识别角度某小区为解决“停车难”这个问题，一楼地
材
面改造一个地下停车库．图1是该地下停车
料
库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高
1
， 长 ．
图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，图3中摄像头 点位于 点正上方
三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为 ，车辆进
入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭．
（参考数据： ）
材
料
2
材
汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速 ．（
料
）
3
问题解决：
(1)确定斜坡坡度：如图1，求 的值；
(2)如图3，当 时，求 长，并判断此时车辆以最高限速行驶到达 点时，闸门 是否已经打
开，车辆能否顺利通过，请通过计算说明．
【答案】(1) 的值为
(2)闸门没有打开，理由详见解析
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅
助线是解题的关键．
（1）直接根据坡度的定义求解即可；
（2）过点 作 于 ，设 ，则 ，利用 得到 ，从
而求出 ，利用 求出 ，从而得到 ，从而计算出车辆以最高限速行驶
到达 点的时间，从而得解．
【详解】（1）解： ， ， 长 ，的值为： ；
（2）解：闸门没有打开，理由如下：
过点 作 于 ，
， ，
设 ，则 ，
， ，
，
，
，
，
，
解得： ，
，
车辆以最高限速行驶到达 点的时间为：
秒， ，
闸门没有打开．
20．如图1，反比例函数 与一次函数 的图象交于点 ，点 ，一次
函数 与 轴相交于点 ．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接 ， ，求 的面积；
(3)如图2，点 是反比例函数图象上 点右侧一点，连接 ，把线段 绕点 顺时针旋转 ，点 的
对应点 恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点 的坐标．
【答案】(1)反比例函数的解析式为 ，一次函数的表达式为 ；
(2)16
(3)点E的坐标为 ．
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．熟知反比例函
数及一次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）将 代入反比例函数的解析式求得m的值，再将 代入 ，即可求解；
（2）利用 的面积 ，即可求解；
（3）先设出点E的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点F的坐标即可解决问题．
【详解】（1）解：将 代入反比例函数 ，
解得 ，
∴ ，
将 代入 ，
得 ，将 ，点 代入 ，
，解得 ，
∴ ；
（2）解：设一次函数 与x轴交于点D，
令 ，则 ，令 ，则 ，
∴ 的面积 ；
（3）解：设点E的坐标为 ，
过点A作y轴的平行线l，分别过点E和点F作l的垂线，垂足分别为M和N，
由旋转可知，
， ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，，
∴ ．
∴ ， ．
∵ ，点E的坐标为 ，
∴ ， ，
∴点F的坐标为 ．
∵点F在函数 的图象上，
∴ ，
解得 ， （舍去），
所以点E的坐标为 ．
21．如图， 是 的直径，点 在 上， 的平分线 交 于点 ，过点 作直线 ，
交 的延长线于点 ．
(1)试判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ， ，求 的半径和阴影部分的面积．
【答案】(1)直线 与 相切，理由见解析
(2) 的半径为 ，阴影部分的面积为【知识点】根据平行线判定与性质证明、证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积、解直角三角
形的相关计算
【分析】（1）连接 ， ，由等边对等角得 ，由角平分线的定义得 ，所
以 ，进而求得 ，再结合 得 ，即可得解；
（2）连接 ， ，由 得 ，证明 是等边三角形得 ，进而
求得 ，所以 ， ，
由解直角三角形的知识得 ，所以 ，最后根据扇形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：直线 与 相切，理由如下：
连接 ， ，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
是 的半径，
直线 与 相切；
（2）解：如图，连接 ， ，，
，
，
，
是等边三角形， ，
，
，
，
，
， ，
， ，
，
，
即 的半径为 ，阴影部分的面积为 ．
【点睛】本题考查了切线的判定定理，等边对等角，角平分线的定义，平行线的判定与性质，等边三角形
的判定与性质，解直角三角形，由特殊三角函数值求角度，扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答
本题的关键．
22．已知二次函数 （a为常数， ．
(1)若 ，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点．
(2)若 ，求证：当 时， ．(3)若该函数的图象与 轴有两个公共点 ， ，且 ，则 的取值范围是．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) 或
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、其他问题(二次函数综合)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题，熟知二次函数的图象和性质是
解题的关键．
（1）证明 即可解决问题．
（2）将 代入函数解析式，进行证明即可．
（3）先求得 对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，再对 和
进行分类讨论即可．
【详解】（1）证明：因为 ，
又因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以该函数的图象与 轴有两个公共点．
（2）证明：将 代入函数解析式得，
，
所以抛物线的对称轴为直线 ，开口向下．
则当 时，
随 的增大而增大，
又因为当 时， ，
所以 ．
（3） 对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
①当 时，抛物线开口向上，要保证二次函数与x轴两个交点在 与 之间（不包含这两点），则只需保证顶点在x轴下方， 时， ， 时， ，
即 ，解得：
②当 时，抛物线开口向下，要保证二次函数与x轴两个交点在 与 之间（不包含这两点），
则只需保证顶点在x轴上方， 时， ， 时
即 ，解得 ，
综上，当 或 时，二次函数与x轴两个交点在 与 之间（不包含这两点），
故答案为： 或 ．
23．在 中， ， ，点D是 上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为
中心，将线段 顺时针旋转 得到线 ．
(1)如图1，当 时，求 的度数；
(2)如图2，连接 ，当 时， 的大小是否发生变化？如果不变求， 的度数；
如果变化，请说明理由；
(3)如图3，点M在CD上，且 ，以点C为中心，将线CM逆时针转 得到线段CN，连接
EN，若 ，求线段EN的取值范围．
【答案】(1)
(2) 的大小不发生变化， ，理由见解析(3)
【知识点】含30度角的直角三角形、等边对等角、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）由旋转的性质得 ，由等边对等角和三角形内角和定理得到 ，由三角
形外角的性质得 ，进而可求出 的度数；
（2）连接 交 于点O，证明 得 ，再证明 即可求出 的度
数；
（3）过点C作 于H，求出 ，则 ；由旋转的性质得 ，
， ，设 ，则 ；如图所示，过点D作
于G，则可得到 ， ，由勾股定理得 ；证明
，在 中，由勾股定理得 ；再求出 ，即可得到
．
【详解】（1）解：由旋转的性质得 ．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： 的大小不发生变化， ，理由如下：
连接 交 于点O，由旋转的性质得 ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图所示，过点C作 于H，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
由旋转的性质得 ， ， ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
如图所示，过点D作 于G，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得
，
∴ 或 （舍去）；
∵点D是 上一个动点（点D不与A，B重合），
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性
质，等边对等角等，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键．
