文档内容
2025 年中考第二次模拟考试（常州卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 的倒数是（ ）
A．2025 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了绝对值的意义，倒数的定义，由绝对值的意义可得 ，再根据倒数的定义
即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ 的倒数是 ，
故选：C．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相除，根据运算法则对各选项分析
判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、 ，故此选项符合题意；
B、 ，故此选项不符合题意；
C、 ，故此选项不符合题意；
D、 ，故此选项不符合题意；故选：A．
3．在平面直角坐标系中，若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点M的坐
标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查坐标平面内点的坐标的特点与点的坐标的几何意义：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝
对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值. 根据“点M在第二象限”可知，点M的横坐标为负，纵坐标
为正，根据“点M到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ”可分别得出点M横坐标与纵坐标的绝对值，即
可得出坐标
【详解】解：∵点M在第二象限，
∴点M的横坐标小于0，纵坐标大于0，
∵点M到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ，
∴点M的坐标是 ，
故选：C
4．鲁班锁是一种广泛流传于民间的智力玩具，起源于中国古代正面建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班
锁的其中一个部件，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的
图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】
解：从正面看到的平面图形是：
故选：D．
5．如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线的性质，求一个角的余角，根据平行线的性质得出 ，再根据
余角的定义求解即可．
【详解】解：如下图：
∵直尺的两边平行，
∴ ，
∴ ，
故选：A
6．《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持
钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙
两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的 ，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的 ，则乙也有50
钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为 钱，乙持钱数为 钱，列出关于 、 的二元一次方程组
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系是解题关键．根据甲若得到乙所有钱的 ，则甲有50钱可列方程为 ，根据乙若得到甲所有钱的 ，则乙也有50钱可列方程为 ，由此
即可得．
【详解】解：由题意，可列二元一次方程组为 ，
故选：B．
7．在一场篮球赛中，某队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：187，188，192，193，194．因身高
为 m的队员受伤，教练让身高为 的队员替补上场．与换人前相比，换人后场上队员的身高
（ ）
A．平均数变小，方差变大 B．平均数变小，方差变小
C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大
【答案】B
【分析】
本题主要考查平均数和方差，根据平均数和方差的定义和意义即可得出答案．
【详解】
解：用一名身高 的队员换下场上身高 的队员，与换人前相比，场上队员身高的和变小，而人
数没变，
所以他们的平均数变小，
由于数据的波动性变小，所以数据的方差变小.
故选: B．
8．如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水，下列图象能大致
反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查函数的图象，利用分类讨论思想，根据不同时间段能装水部分的宽度的变化情况分
析水的深度变化情况是解题关键．分成3段分析可得答案．
【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面
上升更慢，
所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓．
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）
9．若式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数 即可求解，掌握二次根式有意义的条
件是解题的关键．
【详解】解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
10．根据某网站统计数据，截止至 年 月， 的总访问量已达到 次，其中
用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为 的形式，其中， 为整数即可求解，解题的关键要正确确定 的值以及 的值．
【详解】解： ，
故答案为： ．
11．已知 ，则 的值为 ．
【答案】21
【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．根据平方差公式求解即
可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为：21．
12．我国南方一些地区的农民戴的斗笠是圆锥形．已知圆锥的母线长为 ，底面圆的半径为 ，则
圆锥的侧面积为 ．（结果用 表示）
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的相关计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，
扇形的半径等于圆锥的母线长．
根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和
扇形面积公式计算即可．
【详解】解：圆锥的侧面积 ，
故答案为： ．
13．一元二次方程 的一个解为 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，由题意可得 ，解方程即可得解．
【详解】解：∵一元二次方程 的一个解为 ，
∴ ，
解得： ，故答案为： ．
14．在一个不透明的盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球．小杰想估计其中的白球数量．做
了以下实验，从袋中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．得到如表所示的
数据．请估算盒子里白球的个数有 个．
摸球的次数 20 40 60 80 120 160 200
摸到白球的次数 15 33 49 63 97 126 160
摸到白球的频率
【答案】8
【分析】本题考查由频率估计概率，最后计算出小球个数．根据题意通过表格可知白球的概率约为 ，
再由小球总数即可计算出本题答案．
【详解】解：根据表格可得摸到白球的概率约为 ，
∵盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球，
∴白球个数： （个），
故答案为：8．
15．如图，矩形 中， ，连接 ．以点 为圆心，以任意长为半径作弧，交 ，
分别于点 ，分别以点 为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧相交于点 ，作射线 ，
交 于点 ．则 的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，角平分线的作图与角平分线的性质，证明
是解本题的关键．证明 ， ， ，如图，过H点作 于M，可得 ，证明 ，求出 ，得到 ，从而可得答案．
【详解】解：∵矩形 中 ， ，
∴ ， ， ，
如图，过H点作 于M，
由作法得 平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ 的面积为 ．
故答案为： ．
16．如图， 交 于点 切 于点 点在 上，若 ，则 为 ．【答案】 /38度
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，利用圆周角定理求出
是解题的关键．先由圆周角定理得到 ，由切线的性质得到 ，即可利用三角形内角和
定理求出 的度数．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 切 于点C，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
17．如图，在矩形 中， 是边 上两点，且 ，连接 ， 与 相交于点 ，
连接 ．若 ， ，则 的值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的余弦值．根据矩形的性质可证
，得到 ， ，如图所示，过点 作 于点 ，可证
， ， ， ，在 中由勾股定理得到 的长，再根
据余弦的定义计算即可求解．【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图所示，过点 作 于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，且 ，
∴在 中， ，
∴ ，
故答案为： ．
18．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为 ， ， ，点 为线段 上的一个动点，连接 ，过点P作 交y轴于点Q，当点 在 上运动时，点Q随之运动，设点Q的
坐标为 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分三种情况讨论：①当点 在 之间时，当延长 交 轴于点 ，即过点 作 ，垂
足为 ，根据已知条件证明 ，得到 ，设 ，则 ， ，从而
得到 与 的函数关系式，求出最值，从而求出 的最值即可；
②过点 作 ，延长 交 轴于点 ，连接 ，当点 运动到点 处时，根据已知条件求出 ，
两点坐标，再根据其它各点坐标求出 ， ， ， ， ，从而根据勾股定理求出 和
的平方和， 于 的平方和，列出方程求出 即可；
③过点 作 轴于点 ，延长 交 轴于点 ，连接 ，当点 运动到点 时，根据已知条件求
出 ， 两点坐标，再根据其它各点坐标求出 ， ， ， ，从而根据勾股定理求出 ， ，
和 的平方和， 于 的平方和，列出方程求出 即可．
【详解】解：①如图所示：当点 在 之间时，当延长 交 轴于点 ，即过点 作 ，垂足
为 ，
，
，
，
，
，，
，
，
设 ，其中 ，则 ，设 ，
，
，
， ，
当 时， 有最大值 ，
，
当 时， 有最小值0，
，
的取值范围为： ；
②如图1所示，过点 作 ，延长 交 轴于点 ，连接 ，当点 运动到点 时，
， ，
轴，
，
， ，
， ， 轴，
，，
， ， ，
，
， ，
轴 轴，
，
，
，
，
，
，
，
；
③如图2所示，过点 作 轴于点 ，延长 交 轴于点 ，连接 ，当点 运动到点 时，
， ，轴，
， ，
， ， ，
， ， ，
， 轴，
，
，
轴，
，
， ，
，
，
，
轴 轴，
，
，
，
，
的取值范围是： ，
综上可知： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用 几何动点问题，勾股定理，相似三角形的性质和判定，坐标与
图形等知识，解题关键是根据已知条件求出有关点的坐标和有关线段．
三、解答题（本大题共10个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）计算： ；（2）化简： ．
【答案】（ ） ；（ ） ．
【分析】（ ）首先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂和化简绝对值，然后计算加减；
（ ）首先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，然后计算加减即可．
【详解】解：（ ）原式
；
（ ）原式
．
【点睛】此题考查了完全平方公式，单项式乘以多项式，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，
解题的关键是掌握以上运算法则．
20．（6分）解不等式组： ，并将解集在数轴上表示出来
【答案】 ，解集在数轴上表示见详解
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示解集；分别求出不等式组中两不等式的解集，
用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集，解集
在数轴上表示出来，即可求解；掌握不等式组的解法，并会在数轴上的表示解集是解题的关键．
【详解】
解：由①得
，
由②得
，
原不等式组的解集为 ；
解集在数轴上表示为：21．（8分）某校为了解本校学生对小说、散文、诗歌、寓言四类书籍的喜爱情况，随机抽取了部分学生
进行问卷调查，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)请补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，“寓言”所对应的扇形圆心角是______°；
(3)若该校有2600名在校学生，请你估计喜爱“小说”的有多少人？
【答案】(1)见解析
(2)54
(3)1040人
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用．解题的关键是从两种统计图中获取有效信
息，利用部分与整体的关系来求解．比如从条形统计图中得到各类的具体人数，从扇形统计图中得到各类
人数占比，再根据相应的公式进行计算．
（1）从条形统计图可知喜爱散文的有 50 人，从扇形统计图可知喜爱散文的人数占被调查总人数的 ，
根据“部分量 部分量所占百分比 总量”来计算被调查的学生人数，用被调查的总人数减去喜爱小说、
散文、寓言的人数，就得到喜爱诗歌的人数，再补全条形统计图即可．
（2）先求出喜爱寓言的人数占总人数的百分比，再根据 “扇形圆心角度数 该部分占总体的百分
比” 计算 “寓言” 所对应的扇形圆心角；
（3）先求出喜爱小说的人数在被调查人数中的占比，再用全校总人数乘以这个占比，就可估算出全校喜
爱小说的人数．
【详解】（1）解：调查学生的总数为： （人），
喜爱诗歌的人数为： （人）．
补充条形统计图如下：（2）解：“寓言”所对应的扇形圆心角是： ；
（3）解：该校2600名学生中，喜爱“小说”的有：
（人）．
22．（8分）有三部影片在春节档上映，分别是《哪吒之魔童闹海》《射雕英雄传：侠之大者》《唐探
1900》．笑笑和淘气两名同学分别从这三部电影中随机选择一部观看，假设这两名同学选择观看哪部电影
不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．
(1)淘气选择观看《哪吒之魔童闹海》的概率是___________；
(2)求笑笑和淘气两名同学恰好选择观看同一部电影的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．熟练掌握列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的
结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
（1）依题意，一共有三部电影，则运用概率公式算出淘气选择观看《哪吒之魔童闹海》的概率，即可作
答．
（2）列表得出所有等可能的情况数即可，再根据表格列出恰好选择观看同一部电影的情况数，然后根据
概率公式即可得出答案．
【详解】（1）解：依题意，一共有三部电影，
故淘气选择观看《哪吒之魔童闹海》的概率 ．
故答案为： ．
（2）解：依题意，将《哪吒之魔童闹海》《射雕英雄传：侠之大者》《唐探1900》分别记为 ，且记笑笑和淘气分别为 ，运用 表示两个人的选择情况，列表如下，
∴由表可知， 等可能出现的结果为： 、 、 、 、 、 、 、
、 ，一共有 种．笑笑和淘气两名同学选择观看同一电影的情况有 种，即 、 、
．
∴笑笑和淘气两名同学恰好选择观看同一部电影的概率 ．
23．（8分）如图，在平行四边形 中，点 是边 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点
，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)当四边形 是矩形时，若 ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质等知识，熟
练掌握矩形的性质是解题的关键．
（ ）由四边形 是平行四边形，得 ，即 ，根据平行线的性质得 ，
又点 是边 的中点，所以 ，然后由三角形的判定方法即可求证；（ ）由四边形 为矩形，则 ， ， ，则 ，然后由三角形的外角
性质和等腰三角形的性质得 ，
再通过平行四边形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵点 是边 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：∵四边形 为矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ 的度数为 ．
24．（8分）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于 两点，与
轴交于点 ．(1)求一次函数的解析式；
(2)设 为线段 上的一个动点（不包括 两点），过点 作 轴交反比例函数图象于点 ，当
的面积是3时，求点 的坐标．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，灵活运用这些性质解决问
题是解题关键．
（1）先求出 ，再利用待定系数法即可求解；
（2）设点 的坐标为 ，则 ，由
，即可求解．
【详解】（1）解：把 代入 中，得：
，
又∵ 在一次函数 的图象上，
，解得 ，
∴一次函数的解析式为 ；
（2）解：当 时， ，
∴ ，
设点 的坐标为 ，则 ，
，
∴ ，
解得： ， （不合题意，舍去），
．
25．（8分）某车站的一组智能通道闸机如图1所示，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机会自动
识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面
图，扇形 和 是闸机的“圆弧翼”，BC和EF均垂直于地面，双翼边缘的端点A与点D在同一水
平线上，且它们之间的距离为 ，双翼的边缘 ，且与闸机箱的夹角 ．
(1)求当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度；
(2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过
一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．
【答案】(1)
(2)一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为 人
【分析】本题考查了 直角三角形的应用，分式方程的应用；（1）连接 ，并向两方延长，分别交 于 ，根据题意得到 ，再根据
直角三角形的性质得到 ， ，代入 计算即可；
（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为 人，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：连接 ，并向两方延长，分别交 于 ，
由点 在同一条水平线上， 均垂直于地面可知， ，
所以 的长度就是 与 之间的距离，
在 中， ， ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
∴当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度 ；
（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为 人，
根据题意得， ，
解得： ，
经检验， 是原方程的根，
当 时， ，
答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为 人．
26．（10分）在平面直角坐标系 中， 的半径为2，对于点 ， 和 的弦 ，给出如下定义：
若弦 上存在点 ，使得点 绕点 逆时针旋转 后与点 重合，则称点 是点 关于弦 的“等边
旋转点”．(1)如图，点 ，直线 与 交于点 ， ．
①点 的坐标为______，点 ______（填“是”或“不是”）点 关于弦 的“等边旋转点”；
②若点 关于弦 的“等边旋转点”为点 ，则 的最小值为______，当 与 相切时，点 的坐标
为______；
(2)已知点 ， ，若对于线段 上的每一点 ，都存在 的长为 的弦 ，使得点
是点 关于弦 的“等边旋转点”，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)① ，是；② ；
(2) 或
【分析】（1）①连接 ，设 与 轴交于点 ，勾股定理求得 的长得出 点的坐标，进而勾股定
理求得 得出， 是等边三角形，结合新定义，即可求解；
②根据新定义可得 ，则 是等边三角形，根据点 是线段 上的点，最小值
即为垂线段的长度，结合图形，即可求解；根据切线的性质可得 轴，根据等边三角形的性质可得
，即可得出 点的坐标；
（2）设 是 上任意一点，根据新定义将 顺时针 得到的点在 上，分析旋转后的线段 与圆
弧的位置关系，以及点 的位置，解直角三角形，求得最值，进而求得 的范围，即可求解．
【详解】（1）解：①连接 ，设 与 轴交于点 ，∵ 的半径为2，
∴ ， ，
∴
∴
∵ ，
∴ ，则 ，
∵
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴
∴点 是点 关于弦 的“等边旋转点”
故答案为： ，是；
②根据新定义可得 ，则 是等边三角形，
∴ 到 的距离最小值即 的长，
∵ ， ，
∴ 的最小值为 ；
如图所示，当 与 相切时， 轴，此时点 与点 重合，∵ 是等边三角形，
∴
∴
故答案为： ； ．
（2）解：由（1）可得 ， ，则 是半径为 的圆的一条切线在半径为 的圆
的内部，
如图所示，连接 ，则 ，
当 运动时，构成的图形是以 为圆心，半径为 ， 的同心圆的圆环
∵若对于线段 上的每一点 ，都存在 的长为 的弦 ，使得点 是点 关于弦 的“等边
旋转点”， 设 是 上任意一点，
∵ ，即点 为 轴上的点，则 绕 上一点 顺时针 得到的点在 上，即 是等边三角形，
∴ 在以 为圆心，半径为 ， 的同心圆的圆环内时（包括边界），符合题意，
如图所示，
当 时，先求得最小值，如图所示，其中 旋转后对应的线段 在圆环内，
当 与 重合，且 时， 在半径为 的 上，此时
当 距离最远时，此时 重合，如图所示，连接 ，过点 作 轴于点 ，∵ 是等边三角形， ， ，
∴ ，
在 中，
∴
解得： （负值舍去）
∴
当 时，∵ 上任意一点旋转后对应的点在圆环内，则线段 在圆环内，
先求得最小值，即 的最大值，则 重合，
如图所示， 在半径为 的 上时， 是等边三角形则最小值 ，
如图所示，当 在半径为 的 上且与其相切时， 取得最大值时，如图所示，连接 ，
∴ ，
∵∴
解得：
∴
综上所述： 的取值范围为： 或
【点睛】本题考查了几何新定义，旋转的性质，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，坐标与图形，
解直角三角形，分析理解新定义是解题的关键．
27．（10分）如图1，二次函数 与 轴相交于点 、 （点A在点 的左侧），与 轴相交
于点 ，抛物线的顶点为点 ．
(1)直接写出点 、 、 的坐标；
(2)如图1，连接 ，点 为抛物线上一点，使 ，求点 的坐标；
(3)如图2，直线 与抛物线相交于 两点（点 在 轴左侧，点 在 轴右侧），过点
与点 的直线交抛物线于 ，若直线 必与某条直线平行，求这条直线的函数解析式．
【答案】(1) ， ，
(2) 或
(3)
【分析】（1）将解析式化为顶点式，当 及 时，即可求解；（2）由待定系数法得直线 的解析式为 作点B关于y轴的对称点F，连接 ①当点P在x轴
下方时，如图中点 处，连接 交 于E，点B、点F关于y轴的对称，由对称的性质及等腰三角形的
性质得 ，设点E坐标为 ，由勾股定理得 ，即可求出 ，
由待定系数法得直线 的解析式为 ，即可求解； ②当点P在x轴上方时，如图中点 处，
与 关于x轴对称 ，同理可求；
（3） ， ， ，由待定系数法得直线 的解析为 中
，同理可得直线 的解析为 ，可得 ， 联立
，由根与系数的关系 ，同理可求 ，代入可求 ，
即可求解．
【详解】（1）解：
，
，
当 时， ，
令 ，
，解得： 或 ，
， ．
（2）解：∵ ， ．
∴ ，
设直线 的解析式为 ，则有
，
解得： ，
∴直线 的解析式为
作点B关于y轴的对称点F，连接 ，如图，
①当点P在x轴下方时，如图中点 处，
连接 交 于E，
点B、点F关于y轴的对称，
∴ ，
，
，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
设点E坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， （舍去），
∴ ，
设直线 的解析式为 ，则有
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
联立得 ，
解得： ， （舍去）
∴ ；
②当点P在x轴上方时，如图中点 处，∵ ，
∴ 与 关于x轴对称，
，
同理可求经过 的直线 的解析式为 ，
联立得 ，
解得： （舍去）， ，
∴
综上，点P的坐标为 或 ．
（3）解：设 ， ， ，
，
，
，
，
设直线 的解析为 ，则有
，解得： ，
，
设直线 的解析为 ，
经过 ，
同理可求 ，
直线 的解析为 ，
，
直线 的解析为 ，
联立 ，
整理得： ，
，，
联立 ，
整理得： ，
，
得：
，
，
，
直线 的解析式为 ，
直线 必与直线 平行，
故这条直线的函数解析式为 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合应用中的角度问题，待定系数法，轴对称的性质，等腰三角形的判定及
性质，一元二次方程根与系数的关系；掌握二次函数综合应用中的角度问题的典型解法，并能熟练利用待
定系数法及一元二次方程根与系数的关系进行求解是解题的关键．
28．（10分）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图1， 为一凸透镜， 是凸透镜的焦点．在凸透镜左边的主光轴上垂直放置一小蜡烛 ，透过透镜后呈的像为 ．光路图如图所示：平行于主光
轴的光线 ，通过透镜折射后经过焦点，并与经过凸透镜光心的光线 汇聚于 点．
(1)若像距 ，物距 ，小蜡烛的高度 ，则蜡烛的像 _____；
(2)当 时，设 ， ，求 关于 的函数关系式；
(3)如图2，在凸透镜左边的主光轴上垂直放置一小蜡烛 ，透过透镜后呈的像为 ，作正方形 、
正方形 、矩形 、矩形 ．
①在线段 上作出凸透镜的焦点 的位置；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
②若矩形 的面积为12，求 的面积．
【答案】(1)2
(2) 关于 的函数关系式为
(3)①作图见解析；② 的面积为6
【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质求得 ，利用线段的和差求得
，代入化简即可得出结论；
（3）①过点A作 于点F，连接 ，交 于点E，则点E为出凸透镜的焦点E的位置；
②利用矩与正方形的性质，设 ，则 ，利用（2）的结论得到 ，
利用三角形的面积公式求得 的面积 ，再利用矩形的面积求得 的值，则结论可求
【详解】（1）解：（1）由题意得： ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故答案为：2；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
由题意得：四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴y关于x的函数关系式为 ；
（3）解：①过点A作 于点F，连接 ，交 于点E，则点E为出凸透镜的焦点E的位置，如
图：②∵正方形 、正方形 、矩形 、矩形 ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由（2）知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
∵矩形 的面积为12，
∴ ，
∴ 的面积 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，三角形的面积，矩形
的面积，基本作图，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
