文档内容
2025 年中考押题预测卷（常州卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．﹣2025的绝对值是（ ）
1 1
A．− B． C．﹣2025 D．2025
2025 2025
【分析】根据绝对值的意义解答即可．
【解答】解：﹣2025的绝对值是2025，
故选：D．
【点评】本题主要考查了绝对值的意义，熟练掌握一个负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a+a＝a2 B．5a﹣3a＝2
C．3x•2x＝6x2 D．（﹣x）3÷（﹣x）2＝x
【分析】直接利用合并同类项法则、单项式乘以单项式以及同底数幂的除法法则分别计算判断即可．
【解答】解：A、a+a＝2a，故A不符合题意；
B、5a﹣3a＝2a，故B不符合题意；
C、3x•2x＝6x2，故C符合题意；
D、（﹣x）3÷（﹣x）2＝﹣x，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了合并同类项法则、单项式乘以单项式以及同底数幂的除法法则，正确掌握相关
运算法则是解题关键．
3．如图，是一个无盖正方体盒子，盒底标有一个字母m，现沿箭头所指方向将盒子剪开，则展开后的图形
是（ ）A． B．
C． D．
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【解答】解：∵正方体纸盒无盖，
∴底面m没有对面，故选项C、D不符合题意，
∵现沿箭头所指方向将盒子剪开，
∴底面与侧面的从左边数第1个正方形相连，只有A选项图形符合．
故选：A．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是
解题的关键．
4．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝35°，∠BOD的度数为（ ）
A．50° B．55° C．45° D．65°
【分析】由直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝35°，即可得∠BOD＝∠AOC＝
90°﹣35°＝55°．
【解答】解：由直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝35°，
得∠BOD＝∠AOC＝90°﹣35°＝55°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了垂直和对顶角，解题关键是正确计算．
5．点M（4，﹣3）关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣4，3） B．（﹣4，﹣3） C．（4，﹣3） D．（﹣3，4）
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：由M（4，﹣3）关于原点对称的点N的坐标是（﹣4，3），
故选：A．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互
为相反数是解题关键．
6．如图，在Rt△ABC中，D为BC上一点，DE⊥AB，且AE＝BE，若∠CAD＝4∠B，BD＝6，则AC＝（
）
A．3 B．3√3 C．4 D．5
【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵DE⊥AB，AE＝BE，
∴DE垂直平分AB，
∴AD＝BD＝6，
∴∠DAB＝∠B，
∵∠CAD＝4∠B，
∴∠CAB＝5∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠B＝∠DAB＝15°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝30°，
1
∴AC= AD＝3，
2
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握
线段垂直平分线的性质是解题的关键．
3
7．已知点A（1，m），B（ ，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，则m与n的大小关系是（ ）
2
A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．无法确定
【分析】由k＝2＞0根据一次函数的性质可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝2x+1中k＝2＞0，
∴该一次函数y随x的增大而增大，
3 3
∵点A（1，m），B（ ，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，且1＜ ，
2 2∴m＜n．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的性质，属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次项系数的
正负得出该函数的增减性是关键．
8．如图所示，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点M，N分别在边BC，AD上．连接MN，将四边形CMND沿
MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（ ）
A．2 B．√2 C．√3 D．√5
【分析】连接AC交MN于点F，设AB＝2m，则BC＝2AB＝4m，求得AC=√AB2+BC2=2√5m，因为
点C与点A关于直线MN对称，所以AM＝CM，MN垂直平分AC，则AF＝CF=√5m，由AB2+BM2＝
5 √5
AM2，得（2m）2+（4m﹣AM）2＝AM2，求得AM= m，则MF=√AM2−AF2= m，所以tan∠AMN
2 2
AF
= =2，于是得到问题的答案．
MF
【解答】解：连接AC交MN于点F，设AB＝2m，则BC＝2AB＝4m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC=√AB2+BC2=√(2m) 2+(4m) 2=2√5m，
∵将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处，
∴点C与点A关于直线MN对称，
∴AM＝CM，MN垂直平分AC，
1
∴BM＝BC﹣CM＝4m﹣AM，∠AFM＝90°，AF＝CF= AC=√5m，
2
∵AB2+BM2＝AM2，
∴（2m）2+（4m﹣AM）2＝AM2，
5
∴AM= m，
2√ 5 √5
∴MF=√AM2−AF2= ( m) 2−(√5m) 2= m，
2 2
AF √5m
= = =
∴tan∠AMN MF √5 2，
m
2
解法2：∵∠ABC＝∠CFM，∠ACB＝∠ACB，
∴△ABC∽△MFC，
∴∠AMF＝∠CMF＝∠BAC，
BC
∵tan∠BAC= =2，
AB
∴tan∠AMF＝2；
故选：A．
【点评】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅
助线是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分.请把答案直接填写在横线上）
9．（﹣4）2024×0.252025＝ 0.2 5 ．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
【解答】解：原式＝（﹣4×0.25）2024×0.25＝0.25；
故答案为：0.25．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
10．分解因式：2x3﹣128x＝ 2 x （ x + 8 ）（ x ﹣ 8 ） ．
【分析】利用提公因式法分解．
【解答】解：2x3﹣128x
＝2x（x2﹣64）
＝2x（x+8）（x﹣8）．
故答案为：2x（x+8）（x﹣8）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法是解决本题的关键．
√3−x
11．若式子 有意义，则实数x的取值范围是 x ≤ 3 且 x ≠﹣ 1 ．
1+x
【分析】根据二次根式有意义的条件以及分母不为零的条件得出3﹣x≥0，1+x≠0，计算即可得解．
【解答】解：由题可得，
3﹣x≥0，1+x≠0，
解得：x≤3且x≠﹣1，
故答案为：x≤3且x≠﹣1．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
12．2024年4月25日，神舟十八号载人飞船成功发射，宇航员顺利进入运行轨道约450000m的“天宫”
空间站．将数据450000用科学记数法表示为 4.5×1 0 5 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：450000＝4.5×105．
故答案为：4.5×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．数学实验课上，小明同学用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液
体中的高度h（单位：cm）是液体的密度 （单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/
cm3的水中时，h＝20cm，当密度计悬浮在ρ另一种液体中时，h＝25cm，则该液体的密度 ＝ 0.8
g/cm3． ρ
k
【分析】设h关于 的函数解析式为h= ，把 ＝1，h＝20代入求出解析式，把 h＝25 代入解析式即
ρ
ρ ρ
可得到结论．
k
【解答】解：设h关于 的函数解析式为h= ，
ρ
ρ把 ＝1，h＝20代入解析式，得k＝1×20＝20，
ρ 20
∴h关于 的函数解析式为h= ，
ρ
ρ
20 20
把h＝25 代入h= ，得25= ，
ρ ρ
解得： ＝0.8，
答：该ρ液体的密度 为 0.8g/cm3．
故答案为：0.8． ρ
【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
14．如图，小林从点P向西直走6米后，向左转，再走6米，如此重复，小林共走了72米回到点P，则
为 30 ° ． α
【分析】根据题意可知，小林走的是正多边形，先求出边数，然后再利用外角和等于360°，除以边数即
可求出 的值．
【解答】α解：设边数为n，根据题意，
n＝72÷6＝12，
则 ＝360°÷12＝30°．
故答α案为：30°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角，根据题意判断出所走路线是正多边形是解题的关键．
15．如图，AB∥CE，∠A＝40°，CE＝DE，则∠C的度数是 20 ° ．
【分析】由AB∥CE可得∠A＝∠CEA＝40°，利用三角形的外角可得∠CEA＝∠C+∠D，又因为∠C＝
∠D，所以可求出∠C的度数．
【解答】解：∵AB∥CE，∠A＝40°，
∴∠A＝∠CEA＝40°，∵CE＝DE，
∴∠C＝∠D，
∵∠CEA＝∠C+∠D，
∴∠C＝∠D＝20°，
故答案为：20°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，掌握平行线的性质以及三角形外角的性质：三角形的一个外角
等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
16．圆O中，弦DE与直径AB平行，点C在OA上，当AD＝AC时，∠DCE＝90°，则cos∠DAB＝
√3−1
．
2
【分析】依据题意，过点 O作OF⊥DE，连接 CF，OE，可得到 DF＝EF，CF＝DF，又∠ADC＝
∠DCF，进而得到AD∥CF，结合AD＝AC，推出四边形ACFD为菱形，设AC＝CF＝DF＝AD＝x，
O的半径为r，结合OF⊥AB，利用勾股定理列出方程进行求解，再根据∠DAB＝∠FCO结合余弦的
⊙定义，进行求解即可．
【解答】解：过点O作OF⊥DE，连接CF、OE，
1
∴DF＝EF= DE．
2
又∵∠DCE＝90°，
1
∴CF= DE＝DF＝EF．
2
∴∠CDF＝∠DCF．∵AD ＝ AC，
∴∠ADC＝∠ACD．
∵DE∥AB，
∴∠CDF＝∠ACD．
∴∠ADC＝∠DCF．
∴AD∥CF．
∴四边形ACFD为平行四边形．
又∵AD＝AC，
∴四边形ACFD为菱形．
∴AC＝CF＝DF＝AD．
设AC＝CF＝DF＝AD＝x，O的半径为r，
∴OC＝r﹣x，EF＝x．在Rt△COF中，由勾股定理，
∴OF2＝CF2﹣OC2．
在Rt△EOF中，由勾股定理，
∴OF2＝OE2﹣EF2.∴CF2﹣OC2＝OE2﹣EF2．
∴x2﹣（r﹣x）2＝r2﹣x2．
√3+1 1−√3
∴r= x或r= x（舍去）．
2 2
√3+1 √3−1
∴OC＝r﹣x= x﹣x= x．
2 2
OC √3−1
∴COS∠DAB＝COS∠FCO= = ．
CF 2
√3−1
故答案为： ．
2
【点评】本题主要考查垂径定理，勾股定理，解直角三角形，斜边上的中线，菱形的判断和性质，熟练
掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形，利用双勾股定理构建方程进行求解是解题的关键．
17．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E，F，G分别为AD，AB，BC上的点，连接EG，DF，若AE＝
AF＝CG，则2DF+EG的最小值为 6√10 ．【分析】作 HA＝BA，JC＝CD，证明△HAE≌△DAF（SAS），△HAE≌△GCJ（SAS），得到
2DF+EG＝HE+JG+EG≥HJ，在Rt△HJI 中，应用勾股定理，即可求解，．
【解答】解：延长BA到点H，使HA＝BA，延长CD到点I，使ID＝CD，延长DC到点J，使 JC＝
CD，连 接HJ，HI，
∵正方形ABCD，
∴AB＝CD＝AD＝6，∠HAD＝∠ADI＝∠BCJ＝90°，
∵HA＝BA，JC＝CD，
∴四边形HADI是正方形，HA＝HI＝ID＝CJ＝AD＝6，
∵AE＝AF＝CG，∠HAE＝∠DAF＝∠GCJ＝90°，HA＝DA＝JC，
∴△HAE≌△DAF（SAS），△HAE≌△GCJ（SAS），
∴DF＝HE＝JG，即：2DF＝HE+JG，
∵2DF+EG＝HE+JG+EG≥HJ，
∵2DF+EG的最小值为HJ的长度，
在Rt△HJI 中，IJ＝ID+DC+CJ＝6+6+6＝18，HJ=√HI2+IJ2=√62+182=6√10，
故答案为：6√10．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，两点之间，线段最短，解题
的关键是：构造全等三角形得到2DF+EG＝HE+JG+EG≥HJ．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC，BE＝AD＝4，BE关于DE对称的直线交AC于F，
11
则AF的长为 ．
4
【分析】先过点D分别作AB、EF、AC的垂线段，利用“AA”证明△BDE∽△CFD，从而列比例式求
出CF的长度，再利用勾股定理求出AC的长度，AC﹣CF即为最后结果．
【解答】解：如图，连接DF，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥EF于点N，DP⊥AC于点P，
∵AB＝AC，AD⊥AB，
1
∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD= BC＝3，
2
∵DM⊥AB，DP⊥AC，
∴DM＝DP，
∵∠BED＝∠FED，DN⊥EF，DM⊥AB，
∴DM＝DN，∴DN＝DP，
∵DN⊥EF，DP⊥FC，
∴∠EFD＝∠CFD，
∴∠MDE＝∠NDE，∠NDF＝∠PDF，
1
∴∠EDF= ∠MDP＝90°﹣∠BAD，
2
∴∠B＝∠C＝90°﹣∠BAD，
∵∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，
∴∠FDC＝∠BED，
∵∠B＝∠C，∠FDC＝∠BED，
∴△BDE∽△CFD，
BE BD
∴ = ，
DC CF
DC⋅BD 9
∴CF= = ，
BE 4
∵AD＝4，CD＝3，∠ADC＝90°，
∴AC=√AD2+CD2=√32+42=5，
9 11
∴AF＝AC﹣CF＝5− = ．
4 4
11
故答案为： ．
4
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，勾股定理及角平分线的性质等知识，
能够利用两角对应相等的两个三角形相似列比例式求线段长度是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共10个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）|﹣1|+3﹣2﹣（﹣2024）0；
（2）m（m+1）+（m+2）（m﹣2）．
【分析】（1）算出绝对值，负整数指数幂和零指数幂，再相加减即可；
（2）先展开，再合并同类项．
【解答】解：（1）|﹣1|+3﹣2﹣（﹣2024）0
1
＝1+ −1
91
= ；
9
（2）m（m+1）+（m+2）（m﹣2）
＝m2+m+m2﹣4
＝2m2+m﹣4．
【点评】本题考查整式混合运算和实数的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．
{ 3x−1≤8
20．（6分）解不等式组： 4x−1 并把解集在数轴上表示出来．
＞x−1
3
【分析】分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小
找不到”确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3x﹣1≤8得：x≤3，
4x−1
解不等式 ＞x﹣1得：x＞﹣2，
3
则不等式组的解集为﹣2＜x≤3，
将解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同
小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（8分）根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育
培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级
记分法呈现：“x＜60”记为1分，“60≤x＜70”记为2分，“70≤x＜80”记为3分，“80≤x＜90”
记为4分，“90≤x≤100”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3
个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：平均数 中位数 众数
第1小组 3.9 4 a
第2小组 b 3.5 5
第3小组 3.25 c 3
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为 1 8 度；
②请补全第1小组得分条形统计图；
（2）a＝ 5 ，b＝ 3. 5 ，c＝ 3 ；
（3）已知该校共有4200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛
成绩不低于90分？
【分析】（1）①求出第2小组“得分为1分”的学生所占被调查20人的百分比，进而求出相应的圆心
角的度数；
②求出样本中第一小组“得分为4分”的学生人数，即可补全条形统计图；
（2）根据中位数、众数、平均数的计算方法进行计算即可；
（3）求出三个小组60人中，“得分为5分”的学生所占的百分比，估计总体中“得分为5分”所占的
频数
百分比，根据频率= 进行计算即可．
总数
【解答】解：（1）①360°×（1﹣30%﹣15%﹣10%﹣40%）
＝360°×5%
＝18°，
故答案为：18；
②第一小组中，得分为4分的人数为20﹣1﹣2﹣3﹣8＝6（人），补全条形统计图如下：（2）第一小组学生得分出现次数最多的是5分，共出现8次，因此第一小组学生成绩的众数是5分，
即a＝5，
1×5%+2×30%+3×15%+4×10%+5×40%
第二小组20名学生成绩的平均数为 =3.5（分），即b＝
5%+30%+15%+10%+40%
3.5，
3+3
将第三小组20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为 =3（分），所以中位
2
数是3分，即c＝3，
故答案为：5，3.5，3；
8+8+2
（3）4200× =1260（名），
20+20+20
答：该校4200名学生中大约有1260名学生竞赛成绩不低于90分．
【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，扇形统计图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，
掌握中位数、众数，平均数的计算方法，理解三个统计图中各个数量之间的关系是正确解答的关键．
22．（8分）九年级十班的甲、乙两位同学练习百米赛跑：操场上从内道到外道，标有 1，2，3，4四个跑
道．他们抽签占跑道；
1
（1）若甲抽到2道，则乙抽到3道的概率是 ；
3
（2）请列表或画树状图求甲、乙在相邻跑道的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解；
（2）找出甲、乙在相邻跑道的结果数，然后根据概率公式求解．
1
【解答】解：（1）甲抽到2道，则乙抽到3道的概率为 ；
3
1
故答案为： ；
3
（2）画树状图为：共有12种等可能的结果，甲、乙在相邻跑道的结果数为6，
6 1
所以甲、乙在相邻跑道的概率= = ．
12 2
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表或树状图展示所有等可能的结果，再找出某事件所占
得结果数，然后根据概率公式计算这个事件的概率．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＞AC．
（1）作∠ACB角平分线CD，交AB于点D（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）已知在BC边上有一点E，且EC＝AC，BE＝AD，连接DE，若∠A＝72°，求∠B的度数．
【分析】（1）利用基本作图作∠ACB的平分线即可；
（2）先证明△ACD≌△ECD得到AD＝ED，∠A＝∠CED＝72°，则BE＝DE，所以∠B＝∠EDB，然后
利用三角形外角性质计算∠B的度数．
【解答】解：（1）如图，CD为所作；
（2）∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
在△ACD和△ECD中，
{
CA=CE
∠ACD=∠ECD，
CD=CD
∴△ACD≌△ECD（SAS），∴AD＝ED，∠A＝∠CED＝72°，
∵BE＝AD，
∴BE＝DE，
∴∠B＝∠EDB，
∵∠CED＝∠B+∠EDB＝2∠B，
1 1
∴∠B= ∠CED= ×72°＝36°．
2 2
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形
的判定与性质．
k
24．（8分）如图，一次函数 y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y= (k≠0)的图象交于点A（2，
x
4）、B（n，﹣2）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线AB与x轴交于点C，P（m，0）是x轴上一点，若△PAC的面积等于12，求m的值．
【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）先求出CP＝|m+2|，再根据△PAC的面积等于12列出方程求出m值即可．
【解答】解：（1）∵两个函数的图象交于点A（2，4）、B（n，﹣2）．
∴k＝2×4＝n×（﹣2），
解得k＝8，n＝﹣4，
∴A（2，4），B（﹣4，﹣2），
8
∴反比例函数解析式为y= ，
x
∵一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象过点A（2，4），B（﹣4，﹣2），
{ 2a+b=4 {a=1
，解得 ，
−4a+b=−2 b=2
∴一次函数解析式为y＝x+2；（2）∵一次函数图象交x轴于点C，
∴C（﹣2，0），
∵P（m，0）是x轴上一点，
∴CP＝|m+2|，
∵△PAC的面积等于12，
1
∴ ×|m+2|×4= 12，
2
解得m＝4或﹣8．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．
25．（8分）为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，已知乙
种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且用150元购买甲种花卉的数量比乙种花卉多1株．
（1）求甲、乙两种花卉每株的价格；
（2）已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，其中甲花卉不多于90株，求购买花卉所需最少费用．
【分析】（1）设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为1.2x元，根据用150元购买甲
种花卉的数量比乙种花卉多1株，列出分式方程，解方程即可；
（2）设该部门需购买甲种花卉m株，购买花卉所需费用为y元，则需购买乙种花卉（120﹣m）株，由
题意列出y关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为1.2x元，
150 150
由题意得： − = 1，
x 1.2x
解得：x＝25，
经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝1.2×25＝30，
答：甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元；
（2）设该部门需购买甲种花卉m株，购买花卉所需费用为y元，则需购买乙种花卉（120﹣m）株，
由题意得：y＝25m+30（120﹣m）＝﹣5m+3600，
∵﹣5＜0，
∴y随m的增大而减小，
∵m≤90，
∴当m＝90时，y有最小值＝﹣5×90+3600＝3150，
答：购买花卉所需最少费用为3150元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一次函数关系式．
26．（10分）我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图 1），通过对梯形ABCD面积
的不同方法计算，来验证勾股定理．a、b、c分别是Rt△ABE和Rt△ECD的边长，易知AC=√2c，这
时我们把关于x的形如ax2+√2cx+b=0的一元二次方程称为“勾氏方程”．
解决下列问题：
（1）方程2x2+3√2x+√5=0 是 （填“是”或“不是”）“勾氏方程”；
（2）求证：关于x的“勾氏方程”ax2+√2cx+b=0必有实数根；
（3）如图2， O的半径为8，AB、CD是位于圆心O异侧的两条平行弦，AB＝2m，CD＝2n，m≠n．
若关于x的方程⊙mx2+8√2x+n=0是“勾氏方程”，连接AD，求∠BAD的度数．
【分析】（1）根据“勾氏方程”的定义即可判断；
（2）利用勾股定理以及“勾氏方程”的定义即可解决问题；
（3）如图，连接OD，OB，作OE⊥CD于E，作EO的延长线交AB于F，利用勾股定理求出OE＝m，
OF＝n，在利用全等三角形的判定与性质推导出∠DOB＝90°即可解决问题．
【解答】（1）解：是，理由如下：
∵方程2x2+3√2x+√5=0 中，a=2，√2c=3√2，b=√5，
∴c＝3，
∴a2+b2＝c2，a，b，c能构成直角三角形，
∴方程2x2+3√2x+√5=0是“勾氏方程”；
（2）证明：∵关于x的方程ax2+√2cx+b=0是“勾氏方程”，
∴a，b，c构成直角三角形，c是斜边，
∴c2＝a2+b2，
∵Δ＝（√2c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab，
∴Δ＝2（a2+b2﹣2ab）＝2（a﹣b）2≥0，
∴关于x的“勾氏方程”ax2+√2cx+b=0必有实数根；
（3）解：连接OD，OB，作OE⊥CD于E，作EO的延长线交AB于F，如下图：∵关于x的方程mx2+8√2x+n=0是“勾氏方程”，
∴m，n，8构成直角三角形，其中，8是斜边，
则m2+n2＝82，
∵OE⊥CD，AB∥CD，
1
∴OF⊥AB，DE= CD=n，
2
1
∴BF= AB=m，∠BFO＝∠DEO＝90°，
2
∴DE2+OE2＝OD2，OF2+BF2＝OB2，即n2+OE2＝82，OF2+m2＝82，
又m2+n2＝82，
∴OE＝m，OF＝n，
∴DE＝OF，OE＝BF，
∴△OED≌△BFO（SSS），
∴∠EOD＝∠OBF，
∵∠OBF+∠BOF＝90°，
∴∠EOD+∠BOF＝90°，
∴∠DOB＝90°，
1
∴∠BAD= ∠DOB=45°．
2
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理、一元二次方程根的判别式、全等三角形的判定及性质、圆周
角定理，垂径定理的应用等知识，解题关键是挖掘新定义中最本质的关系：勾氏方程ax2+√2cx+b=0
满足a2+b2＝c2，利用这个关系即可转化边并证明边相等．
27．（10分）如图，在等腰△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝ ，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，
α
1
∠ADE= ∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．
2
（1）如图①，当 ＝90°，点D在边AC上时，线段BE与线段CF的数量关系是 BE ＝ 2 CF ；
（2）如图②，当α＝90°，点D不在边AC上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否成立？若
成立，请给予证明；α 若不成立，请说明理由；（3）如图③，当a（0＜ ≤90°）为任意角度时，直接写出线段BE与线段CF的数量关系（用含 的
式子表示）． α α
【分析】（1）证出BD＝2CF，证明△BAE≌△BAD（SAS），由全等三角形的性质得出BE＝BD，则可
得出结论；
（2）延长BC至点G，使得CG＝BC，连接DG，AG，证明△ACB≌△ACG（SAS），由全等三角形的
性质得出∠BAC＝∠GAC＝45°，AB＝AG，证明△BAE≌△GAD（SAS），由全等三角形的性质得出BE
1
＝DG，由三角形中位线定理得出FC= DG，则可得出结论；
2
（3）延长BC至点G，使得CG＝BC，连接DG，AG，证明△EAD∽△BAG，由相似三角形的性质得出
EA BA BE AE
= ，证明△BAE∽△GAD，由相似三角形的性质得出 = ，由（2）可知DG＝2CF，则
AD AG DG AD
可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CB＝CA，
∴∠BAC＝45°，
∵∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠BAD＝45°，
∴AE＝AD，
∵F是BD的中点，
∴BD＝2CF，
在△BAE和△BAD中，
{
AE=AD
∠BAE=∠BAD，
AB=AB
∴△BAE≌△BAD（SAS），
∴BE＝BD，
∴BE＝2CF；
故答案为：BE＝2CF；（2）成立．
证明：延长BC至点G，使得CG＝BC，连接DG，AG，
∵AC＝AC，∠ACB＝∠ACG＝90°，
∴△ACB≌△ACG（SAS），
∴∠BAC＝∠GAC＝45°，AB＝AG，
∴∠BAG＝∠BAC+∠GAC＝90°，
∴∠EAD＝∠BAG＝90°，
∴∠EAD﹣∠BAD＝∠BAG﹣∠BAD，
即∠BAE＝∠GAD，
1
∵∠EAD＝90°，∠ADE= ∠ACB=45°，
2
∴∠AED＝∠ADE，
∴AE＝AD，
∵AB＝AG，
∴△BAE≌△GAD（SAS），
∴BE＝DG，
∵BF＝FD，BC＝CG，
∴CF是△BDG的中位线，
1
∴FC= DG，
2
∵BE＝DG，
1
∴CF= BE；
2
（3）延长BC至点G，使得CG＝BC，连接DG，AG，∵AC＝BC＝CG，
∴∠BAG＝90°，
∵∠EAD＝90°，
∴∠EAB＝∠DAG，
∵AC＝CG，
∴∠CAG＝∠AGC，
1
∴∠AGC= ∠ACB，
2
1
又∵∠ADE= ∠ACB，
2
∴∠AGC＝∠ADE，
∴△EAD∽△BAG，
EA BA
∴ = ，
AD AG
又∵∠EAB＝∠DAG，
∴△BAE∽△GAD，
BE AE
∴ = ，
DG AD
由（2）可知DG＝2CF，
α AE
又∵tan∠ADE＝tan = ，
2 AD
BE α
∴ =tan ，
2CF 2
α
∴BE＝2CF•tan ．
2
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，锐角三角函数
的定义，相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用．灵活运用这些性质解决问题
是解题的关键．
28．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+b与x轴负半轴相交于点A，与x轴正半轴相交于点B，与y轴正半轴相交于点C，AO＝OC＝6．
（1）求a，b的值；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上一点，设点P的横坐标为t，连接PA、PC，PA交y轴于点D，
设△PCD的面积为S，求S与t的函数关系式．（不要求写出自变量t的取值范围）
（3）如图2，在（2）的条件下，连接PO并延长至点Q，使OQ＝PO，直线BQ交抛物线第三象限于点
3
F，连接PF交y轴于点E，直线PF的解析为y＝kx− t+6（k为常数），求点P的坐标．
2
【分析】（1）利用线段的长度得到A（﹣6，0），C（0，6），再利用待定系数法解答即可；
1 1
（2）由题意得：P（t，− t2+6），过点P作PE⊥OB于点E，则OE＝t，PE=− t2+6，利用相似三
6 6
角形的判定与性质求得OD＝t﹣6，再利用三角形的面积公式解答即可；
1
（3）利用中心对称的性质得到Q（﹣t，
t2−6），利用待定系数法求得直线直线BQ的解析式为y
6
t−6
=− x+t﹣6，与抛物线的解析式联立求得点F的坐标，将P，F的坐标代入直线PF的解析式，解方
6
1
程组即可求得t值，代入P（t，− t2+6），化简运算即可得出结论．
6
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+b与x轴负半轴相交于点A，与y轴正半轴相交于点C，AO＝OC＝
6，
∴A（﹣6，0），C（0，6），
{ b=6
∴ ，
(−6) 2a+b=0{ 1
a=−
∴ 6，
b=6
1
∴抛物线的解析式为y=− x2+6．
6
（2）∵点P为第一象限抛物线上一点，设点P的横坐标为t，
1
∴P（t，− t2+6），
6
过点P作PE⊥OB于点E，如图，
1
则OE＝t，PE=− t2+6，
6
∵PE⊥OB，OD⊥OB，
∴OD∥PE，
∴△ADO∽△APE，
OA OD
∴ = ，
OE PE
6 OD
=
∴6+t 1 ，
− t2+6
6
∴OD＝t﹣6，
∴CD＝OC﹣OD＝6﹣（6﹣t）＝t，
1 1
∴S= CD⋅OE= t2 ．
2 2
1
∴S与t的函数关系式为S= t2 ；
2
1
（3）由（2）知：P（t，− t2+6），
6∵OQ＝PO，
1
∴Q（﹣t，
t2−6），
6
1
令y＝0，则− x2+6＝0，
6
∴x＝6或﹣6，
∴B（6，0），
∴OB＝6．
设直线BQ的解析式为y＝kx+c，
{
6k+c=0
∴ 1 ，
−kt+c= t2−6
6
{ t−6
k=−
∴ 6 ，
c=t−6
t−6
∴直线BQ的解析式为y=− x+t﹣6．
6
t−6
{y=− x+t−6
6
∴ ，
1
y=− x2+6
6
{
x=t−12
{x=6
∴ 或 1 ，
y=0 y=− (t−12) 2+6
6
1
∴F（t﹣12，− (t−12) 2+6）．
6
3
∵直线PF的解析为y＝kx− t+6，
2
1 3
{ − t2+6=kt− t+6
6 2
∴ ，
1 3
− (t−12) 2+6=(t−12)k− t+6
6 2{t=3 {k=2
∴ 或 （不合题意，舍去），
k=1 t=0
9
∴P（3， ）．
2
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的
阿布的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，利用点
的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
