文档内容
2025 年中考第一次模拟考试（常州卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8
D B D D D A B B
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．
10．
11．3
12．
13．
14．<
15．29
16． /
17． /
18． ，
三、解答题（本大题共10个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）
【详解】解：（1）原式．
（2）方程两边乘以 得： ．
移项得： ．
解得： ．
检验：当 时， ．
所以原分式方程的解为 ．
20．（6分）
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
将不等式①和②的解集分别表示在数轴上：
由数轴可知，不等式组的解集为 ，
∴不等式组的解集为： ．
21．（8分）
【详解】（1）解：补全条形图如图．
（2）解：由题可知，在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语，也是出现次数最多的词语，即春
风；
（首）；
杜甫最常使用的词语就是出现次数最多的词语，即秋风；
故答案为：春风；12；秋风；（3）解：①与“风”有关的词语在李白的诗歌中占 ，
②而在杜甫的诗歌中占 ．
由于 ，所以相比较杜甫，与“风”有关的词语在李白的诗歌中更常见，故①推断合理；
李白常用的“风”是“春风”，表达喜悦，而杜甫常用的“风”是“秋风”，表达悲伤，故②推断合理．
22．（8分）
【详解】（1）解：根据题意“通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色” 可得结果
变绿色是不可能事件；
故答案为：不可能．
（2）解：列表如下；
由表知，共有12种等可能出现的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色有 ， 共2种结果，所以两
瓶溶液恰好都变红色的概率为 ．
第2瓶
A B C D
第1瓶
A
B
C
D
23．（8分）
【详解】（1）证明： 平分 ， ， ，
， ；
在 和 中，
，
，；
（2）解：由（1）可知 ，
平分 ， ，
， ，
∵ ，
， ，
，
，
∵在 中， ，
，
．
24．（8分）
【详解】（1）解：∵点 为 ， 是 的中点，
∴点 为 ，
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 轴，点 为 ，
∴把 代入 得： ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，当 时， ，
解得 ，
∴ ；
（3）解：
．
25．（8分）
【详解】（1）解：设正方形的边长为 ，
根据题意可得： ，
整理得： ，
分解因式得： ，
解得： ， (舍去)，
答：裁去的正方形的边长为 ；
（2）解：设左侧阴影正方形的边长为 ，
根据题意可得： ，
整理得： ，
分解因式得： ，解得： ， (舍去)，
盒子的底面宽为 ，长为 ，
右侧阴影长方形的长为 ，
裁剪下来的边角料面积为 ，
故答案为： ．
26．（10分）
【详解】解：（1）①由题意得 ，
故答案为：3；
②由题意可设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 ，
经检验，均是方程的解，
∴ 或 ，
故答案为：(2,3)或 ；
（2）当 时， 最小，如图：
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，故答案为： ；
（3）如图，点M即为所求：
过点B作 轴，垂足为点 ，在点 右侧 轴上截取 ，连接 并延长与菱形边的交点即为点
，
∵ ，
∴ ，
过点 作 轴于点 ，则 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
而
∴ ；
（4）由对称得： ，
即 为 中点，
∴ ，
取 的中点 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴点 轨迹为以 为直径的圆，圆心记作 ，∵ ，
则 ，
在 轴上取点 ，使得 ，过点 作 轴于点 ，
则 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴
∴当 与 相切于左侧时， 最大，即 最大，即 最大，如图：
过 作 轴于 ，如图：
∵ 与 相切，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∴在等腰 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴当点 与点 重合时， 最小，过点 作 交 延长线于点 ，如图：
∵ ， ，
∴在 中，由勾股定理得： ，∴ ，
∴此时 ，
∴ ，则 ，
所以 ．
27．（10分）
【详解】解：（1）[特例感知]
∵四边形 是正方形，
∴ ，
当 时，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）[深入探究]
思路一：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
当 时， ，
∵ 是三角形 的外角，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
如图，在 边上取一点 使 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
思路二：由思路一可得 ，
在 的延长线上取一点 使， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（3）[例比迁移]
如图所示，连接BD交 于点 ，∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中点， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ；
（4）[联系拓广]第一种情况，直线 与直线 所夹的锐角 时，如图所示，连接 ，过点 作 延
长线于点 ，
∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ， ，
∵点 是CD的中点，
∴ ，
过点 作 于点 ， ，
在 中， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
第二种情况，直线 与直线 所夹的锐角 时，如图所示，连接 交 与点 ，
由第一种情况可得， ， ， ，
∴ ，在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得， ，
在 中， ，
∴ ；
综上所述， 的长为 或 ．
28．（10分）
【详解】（1）解：把A(0,3)代入抛物线解析式得∶ ．
再把 代入抛物线解析式得， ，解得： ．所以抛物线的解析式为 ．
（2）解：∵A(0,3)， ，
∴ 轴， ， ， ．
∵ 轴，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，即： ．
∵ ， ，
∴ ， ．
∴ ．解得： ， （不合题意，舍去）．
∴ ．
（3）解：①由 ， 两点坐标，运用待定系数法可求得：直线 的解析式为
如图，当点 在直线 上方时， ．∴ ， ．
∴ ．
如图，当点 在直线 下方时， ．
， ．
所以 ．
综上可知， ．
②∵A(0,3)，
∴ ，
∵ ，
∴ ，由 ， 两点坐标，运用待定系数法可求得：直线 的解析式为
如图，当点 在直线 上方时， ．
∴ ，
∴ ，解得 ，
∵ ；
如图3：当 时，有最大值 ，当 时，有最小值3，
∴ ；
如图，当点 在直线 下方时， ．∴ ，
∴ ，解得 ，
∵ ；
如图3：当 时，有最小值 ，即 ；
综上，当 时， 的取值范围 或 ．
