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2025 年中考第一次模拟考试（常州卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．-2025的倒数为（ ）
A．-2025 B．2025 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了倒数的求解，根据乘积是1的两个数互为倒数，求出结果即可．
【详解】解： ，
的倒数是 ，
故选：D．
2．二次根式 有意义的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得 ，即可求解．
【详解】解：∵二次根式 有意义，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
3．下列各式中，计算结果是 的是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则对各
项进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法
则的掌握．
【详解】解：A、 不是同类项不能合并，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、 ，故C不符合题意；
D、 ，故D符合题意；
故选：D．
4．如图是由4个小正方体组成的几何体，从正面看的平面图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了从不同方向看几何体，需要具备一定的空间想象能力和分析能力．根据从正面看得到
的图形判断即可．
【详解】
从正面看的平面图是 ．
故选：D．
5．有理数 、 、 在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】本题主要考查了有理数与数轴， 有理数的减法运算等知识，根据数轴可得 ， ，
再根据有理数的减法运算法则，相反数的定义等求解即可．
【详解】解∶由数轴知∶ ， ，
∴ ， ，
故选：D．
6．“月壤”是月球表面上的一层细腻沙土，平均粒径约为 ，具有极高的科研价值．数据“
”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为 ，其中 ，n为由原数左
边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，
一般形式为 ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不
为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解： 用科学记数法表示为 ，故A正确．
故选：A．
7．如图，建筑工人砌墙时，经常先在墙的两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，这样做依据的数学道理是（
）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离
【答案】B
【分析】本题考查了直线的性质，根据两点确定一条直线即可得解，熟练掌握直线的性质是解此题的关键．
【详解】解：建筑工人砌墙时，经常先在墙的两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，这样做依据的数学道理是两点确定一条直线，
故选：B．
8．如图1，汽车行驶时，发动机的温度会升得很高，利用防冻冷却液在散热器管道内循环流动，将发动机
多余热量带走，能使发动机以正常工作温度运转．防冻冷却液主要由水和不易汽化、密度比水小的某种防
冻剂（简称原液）混合而成，防冻冷却液的凝固点和沸点与原液含量的关系图象如图2和图3所示（选用
时，防冻冷却液的凝固点应低于环境最低温度10 及以下，而沸点一般要高于发动机最高工作温度5
及以上）．阅读以上信息，则下列说法中正确的是（ ）
A．当原液含量逐渐增大时，防冻冷却液的凝固点逐渐降低，沸点逐渐升高
B．当防冻冷却液凝固点为 时，原液含量约为
C．若某品牌汽车的发动机工作温度为 ，所在地区最低温度为 ，则选用原液含量为
的防冻冷却液较合适
D．原液含量低于 时，其凝固点一直随原液含量的增大而升高
【答案】B
【分析】本题考查了函数图象，从函数图象中正确获取信息是解题关键．根据图2和图3函数图象的变化
即可判断选项A错误；根据图2的函数图象即可判断选项B正确；分别根据发动机工作温度和所在地区最
低温度确定原液含量，由此即可判断选项C错误；根据图2的函数图象即可判断选项D错误．
【详解】解：A、当原液含量逐渐增大时，防冻冷却液的凝固点先降低，再升高，沸点逐渐升高；则此项
错误，不符合题意；
B、当防冻冷却液凝固点为 时，原液含量约为 ，则此项正确，符合题意；
C、根据汽车的发动机工作温度可知，应该选用原液含量大于 的防冻冷却液；根据所在地区最低温度
可知，应该选用原液含量大于 的防冻冷却液；综合来看，选用原液含量为 的防冻冷却液较合适，
则此项错误，不符合题意；D、由图2可知，原液含量低于 时，其凝固点一直随原液含量的增大而降低；则此项错误，不符合题
意；
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）
9．实数 的算术平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键；
根据算术平方根的定义即可求出结果．
【详解】解： ；
故答案为：
10．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法和步骤是解题关键．先提出公因式 ，再根
据平方差公式分解即可．
【详解】原式 ．
故答案为： ．
11．计算： ．
【答案】3
【分析】本题考查积的乘方，同底数幂的乘法，正确变形再求值即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12．某弹簧的自然长度为13厘米，在弹性限度内，所挂物体质量每增加1千克的重物时弹簧长度增加0.5
厘米，那么弹簧长度y（厘米）与所挂重物的质量x（千克）的关系式为 ．
【答案】【分析】本题考查列函数关系式，根据弹簧的总长度等于原长加上伸长的长度，列出函数关系式即可．
【详解】解：由题意，得： ；
故答案为：
13．如图，在平直角坐标系中，点A的坐标为 ，点 的坐标为 ．以 ， 为边作矩形 ，
若将矩形 绕点 逆时针旋转 ，得到矩形 ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题
的关键；
先根据题意得到 ， ，再由矩形的性质可得 ， ，
，由旋转的性质可得， ， ，
，据此可得第二象限内 的坐标．
【详解】解：∵点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，
∴ ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵将矩形 绕点O逆时针旋转，得到矩形 ，点 在第二象限，
∴ ， ， ，
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ．
14．甲、乙两地1月份连续五天的日平均气温如下表（单位：℃）．
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天甲地气温 12 11 12 10 12
乙地气温 0 4 0
则甲、乙两地这5天日平均气温的方差大小关系为： ．（用“>”“<”或“=”填空）
【答案】<
【分析】本题考查方差，掌握方差的计算方法是解题的关键．先求出甲、乙地的平均气温，再根据方差公
式求出甲和乙的方差，然后进行比较，即可得出答案．
【详解】解：甲地的平均气温： ；
乙地的平均气温： ；
∵甲地的方差是： ；
乙地的方差是： ；
∴ ．
故答案为：＜．
15．如图，在 中半径 互相垂直，点 在劣弧 上．若 ，则 为 °．
【答案】29
【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；连接 ，由题意易得
， ，然后问题可求解．
【详解】解：连接 ，如图所示：∵半径 互相垂直，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为29．
16．如图，在 中， ，若 ，则 的值为 ．
【答案】 /
【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质．先利用等高的两个三角形面积的比等于底的比求得
，则 ，由 ，证明 ，得 ，进而可求出
的值．
【详解】解：∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
故答案为： ．
17．如图，点 在等边 的内部，且 ， ，将线段 绕点 按顺时针方向旋转
得到 ，连接 ，则 的值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和勾股定理的逆定理，连接 ，如图，先利用旋转
的性质得 ，则可判定 为等边三角形得到 ，再证明
得到 ，接着利用勾股定理的逆定理证明 为直角三角形， ，
然后根据正弦的定义求解．
【详解】解：连接 ，如图，∵线段 绕点C顺时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为直角三角形， ，
∴ ．
故答案为： ．
18．图1是一种拼装玩具的零件，它可以看作是底面为正六边形的六棱柱，其内部挖去一个底面为正方形
的长方体后得到的几何体，图2是该零件的俯视图，正方形 的两个相对的顶点A，C分别在正六边
形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），点E，F分别是正六边形的顶点．
已知正六边形的边长为2，正方形边长为a．
（1）连接 ， 的长为 ；（2）a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，解直角三角形，正确的找出正方形边长的最大值和最
小值是解题的关键．
（1）正方形 的两个相对的顶点 ， 分别在正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点 ， 在
正六边形内部（包括边界），点 ， 分别是正六边形的顶点．
（2）当正方形 的顶点 、 、 、 在正六边形的边上时，正方形的边长的值最大，解直角三角
形得到 ，当正方形 的对角线 在正六边形一组平行的对边的中点上时，正方形边长 的值最小，
是正方形的对角线，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：如图，过点 作 ，垂足为点 ， ，垂足为点 ，连接 ， ，
则 ， ，
是正六边形的一条对角线，
，
在 中， ， ，
，
，
故答案为： ；
如图①，当正方形 的对角线 在正六边形一组平行的对边的中点上时，
正方形边长 的值最小， 是正方形的对角线，，
，
如图②，当正方形 的四个顶点都在正六边形的边上时，正方形边长 的值最大， 是正方形的对
角线 ，
设 时，正方形的边长最大，
，
，
设直线 的解析式为 ， ， ，
，
，
直线 的解析式为 ，将 代入得 ，
此时， 取最大值，
，
正方形边长 的取值范围是： ．
故答案为： ．
三、解答题（本大题共10个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）化简： ；
（2）解分式方程： ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】此题考查了二次根式的混合运算，平方差公式和完全平方公式，解分式方程，解题的关键是掌握
以上运算法则．
（1）首先利用平方差公式和完全平方公式求解，然后合并即可；
（2）先去分母化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．
【详解】解：（1）原式
．
（2）方程两边乘以 得： ．
移项得： ．
解得： ．
检验：当 时， ．
所以原分式方程的解为 ．20．（6分）解不等式组：
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别求出不等式①②的解集，再将不等式①②的解集分别表
示在数轴上即可得出答案．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
将不等式①和②的解集分别表示在数轴上：
由数轴可知，不等式组的解集为 ，
∴不等式组的解集为： ．
21．（8分）清朝康熙年间编校的《全唐诗》包含四万多首诗歌，逾三百万字，是后人研究唐诗的重要资
源．小云利用统计知识分析《全唐诗》中李白和杜甫作品的风格差异．下面给出了部分信息：
a．《全唐诗》中，李白和杜甫分别有896首和1158首作品；
b．二人作品中与“风”相关的词语频数统计如下表．
词语 春 清 秋
东风 悲风 北风
频数人数 风 风 风
李白 72 24 28 6 26 8
杜甫 19 4 6 10 30 14
注：在文学作品中，东风即春风，常含有生机勃勃之意和喜春之情，如：等闲识得东风面，万紫千红总是
春；北风通常寄寓诗人凄苦的情怀，抒写伤别之情，如：千里黄云白日曛，北风吹雁雪纷纷．
根据所给信息，回答下列问题：
(1)补全条形图；(2)在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语是______，大约每______首诗歌中就会出现一次该词语
（结果取整数），而杜甫最常使用的词语是______；
(3)下列推断合理的是______．
①相较于杜甫，与“风”有关的词语在李白的诗歌中更常见；
②李白更常用“风”表达喜悦，而杜甫更常用“风”表达悲伤．
【答案】(1)见解析
(2)春风；12；秋风
(3)①②
【分析】本题考查的是条形统计图，频数（率分布图和用样本估计总体，熟练掌握各种统计图及统计分析
数据的计算方法是解题的关键．
（1）根据二人作品中与“风”相关的词语频数统计表即可补全条形统计图；
（2）在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语，也是出现次数最多的词语，即春风；用 春风
出现的频数，即可得到答案；杜甫最常使用的词语就是出现次数最多的词语；
（3）先求出与“风”相关的词语在李白的诗歌中的占比，再求出与“风”相关的词语在杜甫的诗歌中的
占比，两者进行比较，即可得出答案．
【详解】（1）解：补全条形图如图．
（2）解：由题可知，在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语，也是出现次数最多的词语，即春
风；
（首）；
杜甫最常使用的词语就是出现次数最多的词语，即秋风；
故答案为：春风；12；秋风；（3）解：①与“风”有关的词语在李白的诗歌中占 ，
②而在杜甫的诗歌中占 ．
由于 ，所以相比较杜甫，与“风”有关的词语在李白的诗歌中更常见，故①推断合理；
李白常用的“风”是“春风”，表达喜悦，而杜甫常用的“风”是“秋风”，表达悲伤，故②推断合理．
22．（8分）通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞
溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是A：盐酸(呈酸性)，B：硝酸
钾溶液(呈中性)，C：氢氧化钠溶液(呈碱性)，D：氢氧化钾溶液(呈碱性)．
(1)小明将酚酞溶液随机滴入其中一瓶溶液，结果变绿色是______事件(填“随机”“必然”或“不可能”)；
(2)小明将随机选择的两瓶溶液同时滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰
好都变红色的概率(可用A，B，C，D表示)．
【答案】(1)不可能
(2)
【分析】本题考查了事件的分类，用列表或画树状图的方法求概率，熟记用列表或画树状图的方法及概率
公式是解题的关键．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可；
【详解】（1）解：根据题意“通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色” 可得结果
变绿色是不可能事件；
故答案为：不可能．
（2）解：列表如下；
由表知，共有12种等可能出现的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色有 ， 共2种结果，所以两
瓶溶液恰好都变红色的概率为 ．
第2
A B C D
瓶第1瓶
AB
C
D
23．（8分）如图， 平分 ，垂足分别为点 ．
(1)求证： ；
(2)如果 ， ，求 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，含 角的直角三角形的性质，熟悉相关
性质是解题的关键．
（1）证明 ， ，进而证明 ，即可得证；
（2）根据平行线的性质和含 的直角三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明： 平分 ， ， ，
， ；
在 和 中，
，
，
；
（2）解：由（1）可知 ，
平分 ， ，
， ，∵ ，
， ，
，
，
∵在 中， ，
，
．
24．（8分）如图，点反比例函数 的图象经过 ， 两点，连接 ， ，过点B作
轴，交 于点 ，若 为 的中点，且点 坐标为 ．
(1)求 的值；
(2)连接 并延长，交 轴于点 ，求点 的坐标；
(3)连接 ，求 的面积．
【答案】(1)8
(2)
(3)6
【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的综合，求一次函数和反比例函数解析式，三角形面积的
计算，解题的关键是数形结合熟练掌握待定系数法．
（1）根据中点坐标求出点C的坐标，再代入反比例函数解析式求出k的值即可；
（2）先求出点 ，再求出直线 表达式为： ，求出当 时， ，求出点 ；
（3）根据 求出结果即可．
【详解】（1）解：∵点 为 ， 是 的中点，∴点 为 ，
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 轴，点 为 ，
∴把 代入 得： ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
解得 ，
∴ ；
（3）解：
．25．（8分）有一块长 ，宽 的矩形铁皮．
(1)如图 ，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为 的无盖长方体盒
子，求裁去的正方形的边长．
(2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图 的裁剪方案，阴
影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若想折出底面积为 的有盖盒子，则
裁剪下来的边角料面积为__________ ．
【答案】(1)截去的小正方形的边长 ；
(2) ．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据长方形的面积公式列一元二次方程
求出边长．
设正方形的边长为 ，根据长方体盒子的底面积为 ，列一元二次方程求解，要把不符合题意
的解舍去；
设左侧阴影正方形的边长为 ，根据盒子的底面积为为 ，列一元二次方程求出阴影正方形的
边长，再求出盒子底面的长和宽，从而可以求出右侧阴影长方形的长，根据长方形的面积公式求出边角料
的面积．
【详解】（1）解：设正方形的边长为 ，根据题意可得： ，
整理得： ，
分解因式得： ，
解得： ， (舍去)，
答：裁去的正方形的边长为 ；
（2）解：设左侧阴影正方形的边长为 ，
根据题意可得： ，
整理得： ，
分解因式得： ，
解得： ， (舍去)，
盒子的底面宽为 ，长为 ，
右侧阴影长方形的长为 ，
裁剪下来的边角料面积为 ，
故答案为： ．
26．（10分）【材料阅读】
材料一：在平面直角坐标系 中，对两点 和 ，定义两点间距离：
．
材料二：数学课上，李老师提出如下问题：如图1，在 中， ， ，求
的最小值．经过思考后，小明提出了自己的想法：延长 到点D，使得 ，则 ，连接 …．【概念理解】
（1）①已知点 ，则 ______．
②函数 的图象如图2所示，点B在图象上， ，点B的坐标是_______．
（2）材料二中， 的最小值为______．
【新知应用】结合材料一和材料二，完成下列问题：
（3）如图3，在平面直角坐标系 中，已知菱形 ，若点M在菱形边上，且 ．
请利用无刻度直尺和圆规在图中作出满足条件的点M．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）如图4，已知点 ，点 ，直线 经过点M，原点 关于直线 的对称点为 ，直接写出
取值范围．
【答案】（1）①3；② 或 ；（2） ；（3）作图见解析；（4）
【分析】（1）①由定义即可求解；②由题意可设 ，则由定义得到 ，再解
方程即可；
（2）当 时， 最小， ，解 即可；
（3）过点B作 轴，垂足为点 ，在点 右侧 轴上截取 ，连接 并延长与菱形边的交点
即为点 ，则 ，过点 作 轴于点 ，则 为等腰直角三角形，故 ，进而证明 ， ，即可得出
；
（4）由对称得： ，则 ，取 的中点 ，则 ，则
，确定点 轨迹为以 为直径的圆，圆心记作 ，显然 ，在 轴上取点 ，
使得 ，过点 作 轴于点 ，则 为等腰直角三角形，故
，那么当 与 相切于左侧时， 最大，即
最大，即 最大，过 作 轴于 ，再利用勾股定理以及解直角三角形即可求解
，则 ，而当点 与点 重合时， 最小，过点 作
交 延长线于点 ， 在 中，由勾股定理得： ，那么 ，则此时
，故 ，则 ，即可求出取值范围．
【详解】解：（1）①由题意得 ，
故答案为：3；
②由题意可设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 ，
经检验，均是方程的解，∴ 或 ，
故答案为：(2,3)或 ；
（2）当 时， 最小，如图：
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
故答案为： ；
（3）如图，点M即为所求：
过点B作 轴，垂足为点 ，在点 右侧 轴上截取 ，连接 并延长与菱形边的交点即为点
，
∵ ，
∴ ，
过点 作 轴于点 ，则 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
而∴ ；
（4）由对称得： ，
即 为 中点，
∴ ，
取 的中点 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴点 轨迹为以 为直径的圆，圆心记作 ，
∵ ，
则 ，
在 轴上取点 ，使得 ，过点 作 轴于点 ，
则 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴
∴当 与 相切于左侧时， 最大，即 最大，即 最大，如图：
过 作 轴于 ，如图：∵ 与 相切，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∴在等腰 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴∵ ，
∴当点 与点 重合时， 最小，过点 作 交 延长线于点 ，如图：
∵ ， ，
∴在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴此时 ，
∴ ，则 ，
所以 ．
【点睛】本题考查了新定义，涉及解直角三角形，圆的切线的性质，两点间距离公式，垂线段最短，反比
例函数的图象与性质等知识点，难度较大，正确理解题意，进行转化是解题的关键．
27．（10分）综合与探究
如图，在平行四边形 中， 分别是边 ， 上的点， 与 交于点 ．
（1）【特例感知】
如图（a），若四边形 是正方形，当 时，则线段 与 的数量关系是________；
（2）【深入探究】
如图（b），若四边形 是菱形，且 ，则线段 与 满足怎样的数量关系？
请证明你的猜想；
关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题．
思路一 思路二如图，在 边上取一点 使
如图，在 的延长线上取一点 使， ，……
，……
（3）【类比迁移】
如图（c），若四边形 是菱形， 为 的中点， ，请求出 的值；
（4）【联系拓广】
如图（d），在平行四边形 中， ， ， ， 是 边的中点，当点 在直线
上运动，且直线 与直线 所夹的锐角为60°时，请直接写 的长．
【答案】（1）[特例感知] （2）[深入探究]思路一： ，证明见详解；思路二： ，
证明见详解（3）[例比迁移] （4）[联系拓广] 的长为 或
【分析】（1）[特例感知]根据正方形的性质可得
，当 时，即 ，可得
，可证 ，由此即可求解；
（2）[深入探究]思路一：四边形 是菱形，可得
， ，根据 是三角形 的外
角， ，可证 ，如图，在 边上取一点 使 ，则 ，可证，由此可证 ，即可求解；思路二：由思路一可得 ，
在 的延长线上取一点 使， ，可得 ，可证 ，由此即可求解；
（3）[例比迁移]如图所示，连接BD交 于点 ，可得 是等边三角形， ，可证
，得到 ，再证 ，可得 ， ，即 ，由
此即可求解；
（4）[联系拓广]根据题意，分类讨论：第一种情况，直线 与直线 所夹的锐角 时，如图
所示，连接 ，过点 作 延长线于点 ，运用勾股定理分别得到 ，
，过点 作 于点 ， ，求出 ，证明 ，得到
的值，再证明 ，得到 ，即可得到 的值；第二种情况，直线
与直线 所夹的锐角 时，如图所示，连接 交 与点 ，在 中，求出 ，
再根据 即可．
【详解】解：（1）[特例感知]
∵四边形 是正方形，
∴ ，
当 时，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）[深入探究]
思路一：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
当 时， ，
∵ 是三角形 的外角，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
如图，在 边上取一点 使 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
思路二：由思路一可得 ，
在 的延长线上取一点 使， ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（3）[例比迁移]
如图所示，连接BD交 于点 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中点， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ；
（4）[联系拓广]
第一种情况，直线 与直线 所夹的锐角 时，如图所示，连接 ，过点 作 延
长线于点 ，
∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ， ，
∵点 是CD的中点，
∴ ，
过点 作 于点 ， ，
在 中， ，∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；第二种情况，直线 与直线 所夹的锐角 时，如图所示，连接 交 与点 ，
由第一种情况可得， ， ， ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得， ，在 中， ，
∴ ；
综上所述， 的长为 或 ．
【点睛】本题主要考查特殊四边形，全等三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判
定和性质的综合运用，掌握特殊四边形的判定和性质，构造全等三角形的方法，相似三角形的判定和性质，
数形结合分析，分类讨论思想等知识的综合运用是解题的关键．
28．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线 的图象经过A(0,3)， 两点，点 为 轴
右侧抛物线上不与点 重合的一动点，作 轴于点 ，交直线 于点 ，交直线 于点 ，设点
的横坐标为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接 ，当点 在 上方， 时，求点 的坐标．
(3)令 ．
①求 关于 的函数解析式；
②当 时，请直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)① ；② 或 ．【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与几何的综合、相似三角形的判定与性质、二次函数的
性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）将A(0,3)、 两点代入抛物线求得b、c的值即可解答；
（2）先说明 ，进而得到 ．由 、 ，可得 、
，然后代入 解方程即可解答；
（3）①易得直线 的解析式为 ，然后分 和 两种情况分别列出函数解析式即可；②
易得 ，即 ；然后分 和 两种情况求得m的取值范围，然后运用二次函数的性质取
得取值范围即可．
【详解】（1）解：把A(0,3)代入抛物线解析式得∶ ．
再把 代入抛物线解析式得， ，解得： ．
所以抛物线的解析式为 ．
（2）解：∵A(0,3)， ，
∴ 轴， ， ， ．
∵ 轴，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，∴ ，即： ．
∵ ， ，
∴ ， ．
∴ ．解得： ， （不合题意，舍去）．
∴ ．
（3）解：①由 ， 两点坐标，运用待定系数法可求得：直线 的解析式为
如图，当点 在直线 上方时， ．
∴ ， ．
∴ ．
如图，当点 在直线 下方时， ．
， ．所以 ．
综上可知， ．
②∵A(0,3)，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由 ， 两点坐标，运用待定系数法可求得：直线 的解析式为
如图，当点 在直线 上方时， ．
∴ ，
∴ ，解得 ，
∵ ；
如图3：当 时，有最大值 ，当 时，有最小值3，∴ ；
如图，当点 在直线 下方时， ．
∴ ，
∴ ，解得 ，
∵ ；
如图3：当 时，有最小值 ，即 ；
综上，当 时， 的取值范围 或 ．
