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2025 年中考第二次模拟考试（济南卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 的相反数是（ ）
A． B． C． D．2024
【答案】A
【分析】本题主要考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，即可得到答案，熟练掌
握相反数的定义是解题的关键．
【详解】解： 的相反数是 ，
故选：A．
2．DeepSeek是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数
在上线21天后达到了3370万．将3370万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握其表示方法是解题的关键．
科学记数法的表示形式为 ，其中 ， 为整数．
【详解】解： 万 ．
故选：C ．
3．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了小正方体的堆砌图形的三视图，从正面看得到的图形是主视图．根据从正面看得到的
图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边有一个小正方形，即：
故选：A．
4．下列各式运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除、完全平方公式、积的乘方和幂的乘方，熟记运算法则是解题关
键．
根据同底数幂的乘除法、完全平方公式、积的乘方和幂的乘方逐个计算即可．
【详解】A． ，所以A选项不符合题意；
B． ，所以B选项不符合题意；
C． ，所以C选项不符合题意；
D． ，所以D选项符合题意．
故选：D．
5．如图，已知 ， ， 是正 边形的三条边，在同一平面内，以 为边在该正 边形的外部作正
方形 ．若 ，则 的值为（ ）A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】A
【分析】本题考查的是正多边形的性质，正多边形的外角和，先求解正多边形的1个内角度数，得到正多
边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案.
【详解】解：∵正方形 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴正 边形的一个外角为 ，
∴ 的值为 ；
故选A
6．如图， 中， 的平分线交 于点 ，交 的延长线于点 ，若 ， ，则
的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的性质，等角对等边，相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质，
结合角平分线的定义，推出 ，进而求出 的长，证明 ，列出比例式进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的平分线交 于点 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选：A．
7．已知方程 有两个不相等的实数根，则k的取值（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】根据一元二次方程定义及根的判别式求出k的取值范围，此题考查一元二次方程的根的个数及根
的判别式．
【详解】解：根据题意得 且 ，
所以 且 ．
故选：D．
8．生物课上学习了淀粉遇碘变蓝知识，为探究生活中常见蔬菜是否含有淀粉，甲、乙两名同学同时从土
豆、玉米、黄瓜、芹菜四种蔬菜中随机抽取两种进行实验，则同时能观察到变蓝现象的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查树状图或列表法求概率，用A，B，C，D分别表示土豆、玉米、黄瓜、芹菜四中蔬菜，
列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：用A，B，C，D分别表示土豆、玉米、黄瓜、芹菜四中蔬菜，列出表格，如下：
A B C D
A A，B A，C A，DB B，A B，C B，D
C C，A C，B C，D
D D，A D，B D，C
共12种等可能的结果，其中同时能观察到变蓝现象的有A，B和B，A，2种情况，
∴ ．
故选C．
9．如图，在 中， ， ，作如下作图；
①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交 、 于点M、N；
②分别以点M、N为圆心，大于的 长为半径作弧，两弧在 内部交于点P；
③作射线 交 于点D；根据以上作图，判断下列结论正确的有（ ）
① 是等腰三角形 ② ③ ④
A．①② B．①②③
C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查了角的平分线基本作图，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌
握基本作图和性质是解题的关键．根据 ， ，得到 ，可判断②正确；结
合基本作图，得到 ，得到 ，可以判断①③正确；根据
得到 即 解答即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，∴②正确；
根据基本作图，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴①③正确；
根据题意，得 ，
∴ 即 ，
∴④正确；
故选D．
10．如图1，在平面直角坐标系中，点 、C分别在y轴和x轴上， 轴， ，点P从B点出发，
以 的速度沿边 匀速运动，点Q从点 出发，沿线段 匀速运动．点P与点Q同时
出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为 ， 的面积为 ，
已知S与t之间的函数关系如图2中的曲线段 、线段 与曲线段 ．下列说法正确的是（ ）
①点 的运动速度为 ；②点 的坐标为 ；③线段 段的函数解析式为 ；④曲线 段
的函数解析式为 ；⑤若 的面积是四边形 的面积的 ，则时间 ．
A．①②③④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤
【答案】B
【分析】结合函数图象可得当 时， ，此时 的面积为 ，进而求出 为 ，即可得出点 的速度，进而求出 的长，由此即可判断①②；当点 在 上时，过点 作 于点
，根据三角形的面积公式可求出此时的 ，由此即可判断③；过点 作 于点 ，从而可得
， ，再解直角三角形可得 ，利用三角形的面积公式即可判断
④；先求出四边形 的面积，从而可得 的面积，分三种情况： 、 和 ，
分别列出方程，解方程即可判断⑤．
【详解】解：由函数图象可知，当 时， 的面积的函数关系式改变，则 在 上运动 秒，
∴当 时， ，此时 的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的运动速度为 ，则说法①正确；
当运动到 秒时，函数关系式改变，则 ，
如图，过 作 于点 ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，则说法②错误；
如图，当点 在 上时，过点 作 于点 ，
∵ ， ，
∴线段 段的函数解析式为 ，则说法③正确；
∵点 从点 运动到点 所需时间为 ，点 沿线段 匀速运动到终点时，所需时间
为 ，
∴ ，
当 时，如图，过点 作 于点 ，
则 ， ，
∵ ，
∴设 ，则 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴曲线 段的函数解析式为 ，则结论④正确；
∵ ，
∴ 的面积 ．
当 时，此时 的边 ， 边上的高为 ，
∴ ，解得 或 （不符合题设，舍去）；
当 时，则 ，解得 （不符合题设，舍去）；
当 时，则 ，解得 或 （不符合题设，舍去）；
综上，若 的面积是四边形 的面积的 ，则时间 或 ，则说法⑤错误；
综上，说法正确的是①③④，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的几何应用、解直角三角形、一元二次方程的应用、勾股定理等
知识，综合性强，有一定的难度，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”、分式有意义的条件“分式
的分母不等于0”，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的和分式的分母不等于0是解题关键．根据二次根
式的被开方数是非负的和分式的分母不等于0求解即可得．
【详解】解：∵代数式 在实数范围内有意义，
∴ ，且 ，∴ 且 ，
故答案为： 且 ．
12．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的10名运动员的成绩如下表所示：
成绩 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80
人数/名 1 3 2 3 1
则这10名运动员成绩的中位数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了求数据的中位数，熟悉中位数的概念是解题的关键．
按照求中位数的方法进行即可．
【详解】解：把数据按从小到大排列，最中间的两个数为第5、6两个数据，它们分别是 ， ，
∴中位数为： ．
故答案为： ．
13．将含 的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知 ，点B，C对应的刻度分别为
，则线段 的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出 是解题的关键．根据平行
线的性质得出 ，进而可得 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵直尺的两边平行，
∴ ，
又 ，
∴ 是等边三角形，
∵点 ， 表示的刻度分别为 ，
∴ ，
∴
∴线段 的长为 ,故答案为： ．
14．小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到
公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：
分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为 ．
【答案】3分钟
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意确定相关点的坐标、求出直线的解析式成为解答本题
的关键．
先根据题意求得A、D、E、F的坐标，然后再运用待定系数法分别确定 、 、 的解析式，再分别
联立 与 和 求得两次相遇的时间，最后作差即可．
【详解】解： 如图：
根据题意可得 ， ， ， ，
设 的解析式为 ，则 ，
解得
∴直线 的解析式为 ，
同理：直线 的解析式为： ，直线 的解析式为：
联立 ，
解得 ，
联立 ，
解得 ．
∴两人先后两次相遇的时间间隔为 分钟．
故答案为：3分钟．
15．如图，矩形纸片 ，点E在线段 上，将 沿 向上翻折，点C的对应
点 落在线段 上，点M，N分别是线段 与线段 上的点，将四边形 沿 向上翻折，点B
恰好落在线段 的中点 处．则线段 的长 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了翻折变换、正方形的性质，矩形的性质，勾股定理等知识， 作 于 ，连接
交 于 ，连接 ，此时根据正方形的性质可得 ， ，应用勾股
定理计算得出 再根据由折叠的性质得 ，在 中根据勾股定理求得 长度，最后根据 ，计算求得 的长度即可．
【详解】解：如图，作 于 ，连接 交 于 ，连接
由题意可知，四边形 是正方形， 是等腰直角三角形，
， ，
在 中， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
，
由折叠的性质可知： ， ，
，
，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（7分）计算： ．
【答案】3【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，绝对值，准确熟练地进
行计算是解题的关键．先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：
17．（7分）解不等式组： ，并写出它的所有整数解．
【答案】 ，整数解为 ，0，1．
【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解．先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集，
最后找出整数解即可．
【详解】解： ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
原不等式组的解集是 ，
整数解为 ，0，1．
18．（7分）如图，菱形 中， 、 分别为边 、 上的点，且 ，连接 、 ．求
证： ．
【答案】详见解析
【分析】此题考查菱形的性质．根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可．
【详解】证明： 四边形 是菱形，
，
，
，即 ，
在 和 中
，
，
．
19．（8分）解答：
如何设计摇椅椅背有坐垫长度？
某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，
图2为其侧面设计图．其中 为椅背，
为坐垫， 、D为焊接点，且 与 平
素
材 行，支架 所在直线交于圆弧形底座
一 所在圆的圆心 ．设计方案中，要求 两
点离地面高度均为5厘米， 两点之间距
离为70厘米．
经研究， 时，舒适感最佳．现
用来制作椅背 和坐垫 的材料总长度为
160厘米，设计时有以下要求：
素
（1）椅背长度小于坐垫长度；
材
二 （2）为安全起见，摇椅后摇至底座与地面
相切于点 时（如图3）， 点比 点在竖
直方向上至少高出12厘米．（
）
任
务 计算底座半径 根据素材求底座半径 ．
一
任
务 探究摇摆规律 计算图3中点 距离地面的高度．
二
【答案】任务一：125厘米；任务二：19.6厘米；任务三： ．
【分析】任务一：过点 作 垂直地面于 ，过点 作 于 ， 的延长线于地面交于点 ，
可得 厘米， 厘米，设底座半径 厘米，则 厘米，然后在
中由勾股定理求出 即可得出答案；任务二：过点 作 垂直地面于 ， 于 ，设 ，则四边形 为矩形，进而得
， ，然后在 和 中由勾股定理列出关于 的方程，
解方程求出 即可得出答案；
【详解】解：任务一：过点 作 垂直地面于 ，过点 作 于 ， 的延长线于地面交于点
，如图所示：
可得 厘米， 厘米，
设底座半径 厘米，则 厘米，
厘米，
在 中， 厘米， 厘米， 厘米，
由勾股定理得： ，
即： ，
解得： ，
底座半径 的长度为125厘米；
任务二：过点 作 垂直地面于 ， 于 ，如图所示：
设 ，
底座与地面相切于点 ，
垂直地面于点 ，
四边形 为矩形，
，由任务一可知： ，
，
在 中， ， ，
由勾股定理得： ，
在 中， ， ，
由勾股定理得： ，
，
解得： ，
点 距离地面的高度为19.6厘米；
20．（8分）如图，在 中， 是 的内接三角形， 是 的直径，在 上取一点D，使
，过点C的切线 分别与 的延长线交于点E，F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) ．
【分析】（1）连接 ，利用圆周角定理和切线的性质求得 ， ，
推出 ，由等边对等角求得 ，推出 ，由等角对等边即
可证明 ；
（2）先推出 ，推出 ，求得 ， ，在 中，
由勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：连接 ，∵ 是 的直径， 是 的切线，切点为点C，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：同理 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形．正确引出辅助线解决问题是解
题的关键．
21．（9分）学校为调查学生对安全知识的了解情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行测试，将测试成绩整理后分成五组（成绩用 表示，单位：分）： ； ； ；
； ．下面是给出部分信息：
a：“ ”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，87，88，88，88，89
b：不完整的学生测试成绩频数分布直方图和扇形统计图如下：
请根据图中信息解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)在扇形统计图中，“ ”这组的圆心角为 ：
(3)抽取的样本中学生成绩的中位数为 分；
(4)成绩80分及以上的为优秀等次，估计全校3000名学生中，优秀等次的约有多少人？
【答案】(1)图见解析
(2)
(3)
(4) 人
【分析】（1）由频数分布直方图可知， 组人数为 人，由扇形统计图可知， 组人数占比为 ，由
此即可求出本次随机抽取的学生总人数，用总人数减去其他各组人数即可求出 组人数，进而可补全频数
分布直方图；
（2）由频数分布直方图可知，“ ”这组的人数为 人，而本次随机抽取的学生总人数为 人，由
此即可求出“ ”这组的圆心角；
（3）根据中位数的定义求解即可；
（4）用样本估计总体即可．
【详解】（1）解：由频数分布直方图可知： 组人数为 人，
由扇形统计图可知： 组人数占比为 ，本次随机抽取的学生总人数为： （人），
组人数为： （人），
补全频数分布直方图如下：
（2）解：“ ”这组的圆心角为：
，
故答案为： ；
（3）解：抽取的样本中排在第 名和第 名的成绩分别为 和 ，
抽取的样本中学生成绩的中位数为： （分），
故答案为： ；
（4）解： （人），
答：估计全校 名学生中，优秀等次的约有 人．
【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，由扇形统计图求总量，求扇形统计图的圆心角，求中位数，用
样本估计总体等知识点，熟练掌握中位数的概念及频数分布直方图和扇形统计图是解题的关键．
22．（10分）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19
元．经过市场调查发现，该文具每天的销售量 （件）与销售单价 （元）之间满足一次函数关系，部分
数据如下表所示：
1
销售单价 /元 … 12 14 …
3
3
每天的销售量 /件 … 36 32 …
4
(1)求 与 之间的函数关系式；(2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
(3)该超市要使每天销售这种文具的利润最大，销售单价应为多少元？最大利润是多少元？
【答案】(1) 与 之间的函数关系式为
(2)销售单价为18元
(3)该超市要使每天销售这种文具的利润最大，销售单价应为19元，最大利润是198元
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用、一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题
关键．
（1）设 与 之间的函数关系式为 ，利用待定系数法求解即可得；
（2）设销售单价为 元，则每天的销售量为 件，根据利润 （销售单价 购进单价） 销售量
建立方程，解方程可得 的值，再根据 确定 的值即可得；
（3）设该超市每天销售这种文具的利润为 元，根据利润 （销售单价 购进单价） 销售量可得 关于
的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：设 与 之间的函数关系式为 ，
将点 和 代入得： ，
解得 ，
所以 与 之间的函数关系式为 ．
（2）解：设销售单价为 元，则每天的销售量为 件，
由题意得： ，
解得 或 ，
∵该文具购进的价格是每件10元，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，
∴ ，
∴ ，
答：销售单价为18元．
（3）解：设该超市每天销售这种文具的利润为 元，由题意得：
，
∵该文具购进的价格是每件10元，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，
∴ ，
又∵二次函数 的对称轴为直线 ，且 ，
∴当 时， 随 的增大而增大，
∴当 时， 取得最大值，最大值为 ，
答：该超市要使每天销售这种文具的利润最大，销售单价应为19元，最大利润是198元．
23．（10分）如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于 两点（
为常数）．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图像直接写出不等式 的解集；
(3)点 是平面内任意一点，若以 为顶点的四边形为平行四边形，求 点的坐标．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3) ， ，
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求一次函数、反比例函数的解析式，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先把 代入 ，求出 ，再求出 ，然后把 和 都代入 ，
求出 ，即可作答．
（2）运用数形结合思想以及一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于 两
点，即可作答．
（3）根据平行四边形的对角线互相平分，则进行分类讨论，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，将 点的坐标 代入 ，
得： ，
；
∵一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于 两点，
∴把 代入反比例函数 ，
得： ，
∴ ，
则将 和 分别代入 ，
得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
根据图象可知：∵一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于 两点，
不等式的解集为： 或 ．
（3）解：①以 为对角线时： ，
∴ 中点 的坐标为 ．
平行四边形对角线互相平分，
，
即 为 的中点．
∵ ，
点坐标为 ．
②当 为对角线时，
∴ 中点 的坐标为 ．
平行四边形对角线互相平分，
，
即 为 的中点．
∵ ，
点坐标为 ，
③以 为对角线时，
∴ 中点 的坐标为 ．
平行四边形对角线互相平分，
，
即 为 的中点．
∵ ，
∴点 坐标分别为 ．满足条件的点 有三个，坐标分别是 ， ， ．
24．（12分）在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 ， 分别在 轴， 轴上， ．抛物线
与 轴交于 ， 两点．
(1)如图1，若抛物线经过点 ，求抛物线的表达式；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接 ， 为线段 上一点，连接 ，若 ，请判断 和
是否相等，并说明理由；
(3)若抛物线 的顶点为 ，取 的中点 ，则以 ， ， 为顶点的三角形能否
为直角三角形？若能，请直接写出 的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 和 相等，理由见解析
(3) 或 或 或
【分析】（1）根据矩形的性质先求解C的坐标，再结合A的坐标，利用待定系数法求解解析式即可；
（2）如图，连接 ，求解 ，结合 ， ，设 ，可得
， ，从而可得答案；
（3）先求解 ，可得 ， ，可得 ，， ，再分三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵矩形 的顶点 ， 分别在 轴， 轴上， ，
∴ ，
∵抛物线 与 轴交于 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的表达式为 ；
（2）解：如图，连接 ，
∵矩形 的顶点 ， 分别在 轴， 轴上， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，设 ，
∴ ， ，
∵在 中， ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 和 相等；
（3）解：∵抛物线 与 轴交于 ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线为 ，
∴顶点为 ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
，
如图，当 时，则 为直角三角形；∴ ，
解得： 或 ；
当 时，则 为直角三角形；如图，
∴ ，
解得： ；
当 时，则 为直角三角形；
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
∴该方程无解；综上： 为直角三角形，则 或 或 或 ．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与角度问题，直角
三角形问题，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
25．（12分）如图1四边形 和四边形 有公共顶点A
(1)如图2，若四边形 和四边形 都是正方形，当正方形 绕点A逆时针旋转 角（
）时，BM和DN的数量关系是______，位置关系是______；
(2)如图3，若四边形 和四边形 都是矩形，且 ，判断 和 的数量关系和
位置关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若 ， ，矩形 绕点A逆时针旋转 角（ ），当
时，求线段 的长．
【答案】(1)相等，垂直；
(2)数量关系： ；位置关系： ．
(3)3，或
【分析】（1）先证明 得到 和 的数量关系，同时得到 ．然后延长
交 、 于点E、F，在 和 中用三角形内角和公式即可得到 和 的位置关系；
（2）由已知条件可推出 ，得到 和 的数量关系，同时得到 ．然后
使用同(1)中相同的方法可得到 和 的位置关系；
（3）当 时，由已知条件可证得以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，此时存在两种
位置情况，故进行分类讨论：①当 位于 上方时， 由平行四边形的性质可推出 ，再利用
小问(2)的结论可求出 的长；②当 位于 下方时，由平行四边形的性质可推出 ，且能证明B、N、P在同一直线上，因此可在 中使用勾股定理求出BM的长，再利用小问(2)的结论可求
出 的长．
【详解】（1）相等，垂直．理由如下：
如图：
∵四边形 和四边形 都是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∴ ， ．
延长 交 、 于点E、F，
在 和 中，
∵ ， ，且 ，
∴ ，
∴ ．
（2）数量关系： ，位置关系： ．理由如下：
如图：
∵四边形 和四边形 都是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
延长 交 于点O，交 于点H，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即 ．
（3）∵ ， ， ，
∴ ，
分类讨论：连结 ．
①如图：
当 位于 上方时，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ．②如图：
当 位于 下方时，连结 ，
同理可得，四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴
又 ，
∴B、N、P在一条直线上，
∴ ，
∴ ， ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ．
综上所述，DN的长为 或 ．
【点睛】本题是一道几何综合探究题．先从特殊的图形探究发现规律，再拓展到一般的图形，然后使用发
现的规律来解决相应的几何问题．在探究的过程中，重点考查了正方形、矩形、平行四边形的性质，全等
三角形、相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用等，涉及到的数学思想方法有图形运动思想，分类讨
论思想等．其中，善于发现特殊图形和一般规律是解决这一类问题的关键．
