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2025 年中考第二次模拟考试（长沙卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．如果 与 互为相反数，那么 的值是（ ）
A． B． C． D．2025
【答案】D
【分析】此题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义．
根据相反数的定义解答即可．
【详解】解：∵ 与 互为相反数，
∴ ，
故选：D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方，解题的关键是：掌握相
关的运算法则．直接利用同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方直接求解即可．
【详解】解：A、 ， 不是同类项，不能合并，选项不符合题意；
B、 ，选项不符合题意；
C、 ，选项符合题意；
D、 ，选项不符合题意；
故选：C．
3．长沙市因地制宜，大力发展新质生产力，眼下长沙跻身“数字经济新一线城市”，数字经济总量达450000000000元，数据450000000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n
为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．
【详解】解：数据450000000000用科学记数法表示为 ．
故选：B．
4．如图，几何体是由一个圆锥和一个长方体组成，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据从正面看长方体和圆锥得到的图形，可得答案．
【详解】解：从正面看，“底座长方体”看到的图形是矩形，“上部圆锥体”看到的图形是等腰三角形，
且等腰三角形的底边长度小于矩形的边长，
因此选项A的图形符合题意，
故选A．
5．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】此题考查解一元一次不等式组，求出每个不等式的解集，把解集表示在数轴上，写出不等式组的
解集即可.
【详解】解：
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
∴不等式组的解集在数轴上表示为
∴不等式组的解集为 ，
故选：B
6．湖南是著名的吃货大省，“臭豆腐”、“口味虾”、“酱板鸭”、“茶颜悦色”更是声名远扬。若随
机从上面美食中选择两种进行品尝，则选中“臭豆腐”和“茶颜悦色”这个组合的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查画树状图法求概率，先画出相应的树状图，得共有12种等可能结果，小明选中“臭豆
腐”和“茶颜悦色”这个组合的结果有2种，再求出相应的概率，即可作答．
【详解】解：依题意，把“臭豆腐”、“口味虾”、“酱板鸭”、“茶颜悦色”分别记为 画树状
图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，小明选中“臭豆腐”和“茶颜悦色”这个组合的结果有2种，则选中
“臭豆腐”和“茶颜悦色”这个组合的概率是 ．
故选：B
7．如图， ， ， 两条直线与这三条平行线分别交于点 ， ， 和 ， ， ，若 ，，则 的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了平行线截线段成比例，分式的性质，掌握其计算方法是解题的关键．
根据题意可得 ， ，由此代入计算即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得， ，
当 时，原分式有意义，
∴ 的长为 ，
故选：C ．
8．如图， 是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，若 ．则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键；
首先利用圆的半径相等得 ，利用三角形的内角和定理求得∠ ，根据同弧
所对的圆周角是圆心角的一半求得 ，最后利用圆的内接四边形对角互补求得 ．【详解】解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
9．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，长沙市某工厂自今年1月开始限产进行技术升级。其月利
润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，技术升级完成前是反比例函数图象的一部分，完成后是一次
函数图像的一部分，下列选项正确的是（ ）
A． 月份的利润为 万元
B． 月份该厂利润达到 万元
C．技术升级完成前后共有 个月的利润低于 万元
D．技术升级完成后每月利润比前一个月增加 万元
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的综合，根据题意，分别求出一次函数、反比例函数解析式，
结合图示中的信息代入求值比较即可求解．
【详解】解：∵技术升级完成前是反比例函数图象的一部分，设反比例函数解析式为 ，且点
在反比例函数图象上，∴ ，
∴反比例函数解析式为： ，
当 时， ，即 ，
∵完成后是一次函数图像的一部分，设一次函数解析式为 ，且点 、 在一次
函数图象上，
∴ ，
解得， ，
∴一次函数解析式为 ，
∴A、 月份的利润为 万元，原选项错误，不符合题意；
B、当 时， （万元） 万元，原选项错误，不符合题意；
C、∵完成后是一次函数图像的一部分，
∴ ，
解得， ，且 ，
∴5月的利润低于 万元；
技术升级完成前利用为100万元时， ，则当 时，这两个月的利润低于100万元；
∴技术升级完成前后有3月、4月、5月共3 个月的利润低于 万元，故原选项错误，不符合题意；
D、技术升级完成后的利润为 ，
∴ （万元），
∴技术升级完成后每月利润比前一个月增加 万元，故原选项正确，符合题意；
故选：D ．
10．将1，2，3 … n这n个数据顺时针排成一圈，从1开始，顺时针方向采取保留一个划去一个的规则，
直至只留下一个数，将这个数记为 ．当n取不同值时，可得到对应情况下的 ，并将所有 形成一组新数据．下列说法中，正确的个数为（ ）
①无论n为多少， 一定为奇数；
② ；
③记 的前n项和为 ，则 ；
④当n从1取到18时，将形成的新数据 依次顺时针排成一圈，从 开始，再进行同一种操作，最后留下
来的数为3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查的是新定义的含义，运算推理的探究，掌握探究的方法是解本题的关键，先分别求解当
时，剩下 ，当 时，剩下 ，当 时，剩下 ，当 时，剩下 ，当 时，剩下 ，当
时，剩下 ，当 时，剩下 ，当 时，剩下 ，当 时，剩下 ，再进一步推理探究即可．
【详解】解：当 时，剩下 ，
当 时，剩下 ，
当 时，剩下 ，
当 时，剩下 ，
当 时，剩下 ，
当 时，剩下 ，
当 时，剩下 ，
当 时，剩下 ，
当 时，剩下 ，
归纳可得：第一圈划去的都是偶数，最后剩下的一定是奇数，故①符合题意；
当 时，第一圈把偶数都划去了，剩下8个数，最后剩下1，
∴ ，故②符合题意；
由①的方法可得：
，∴ ，故③符合题意；
当n从1取到18时，将形成的新数据 依次顺时针排成一圈，从 开始，再进行同一种操作，最后留下来
的数是 ，而 ，故④符合题意；
故选D
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解： ．
【答案】
【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式先提公因式，再用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：
故答案为 ．
12．已知关于x的方程 有增根，则m的值为 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了分式方程的增根，掌握增根的定义成为解题的关键．
由题意可知关于x的方程 的增根为 ，再将分式方程化成整式方程，然后将 代入求
出m的值即可．
【详解】解：∵关于x的方程 有增根，
∴ 是该分式方程的增根，
将分式方程 化为整式方程为 ，
将 代入可得： ，即 ．故答案为1．
13．一个小组共有 名学生，在体育课的一次“定位投篮”的测试中，他们分别投了 个，这
个学生这次测试成绩的方差为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了方差，先求出数据的平均数，再利用方差公式计算即可求解，掌握方差公式是解题的
关键．
【详解】解：这组数据的平均数 ，
∴方差 ，
故答案为： ．
14．如图，在 中， ，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交
于 ， 两点，作直线 ，直线 与 相交于点 ，连接 ，若 ，则 的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了作图 基本作图，尺规作图、线段垂直平分线的性质．根据题意可知： 是线段
的垂直平分线，所以 ，再判断出 ，于是 ．
【详解】解：由已知可得， 是线段 的垂直平分线，设 与 的交点为 ，
，
，
， ，
，
，
，
故答案为： ．
15．如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角
，点 都在格点上，则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直
角三角形解决问题．
如图，连接 ， ，证明 ， 、C、B共线，再根据 解题即可．
【详解】解：如图，连接 ， ，设菱形的边长为 ，由题意得 ， ， ， ，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 、 、 共线，
在 中，
．
故答案为： ．
16．琮为内圆外方之器，如图1，此玉琮素面琢磨细腻，色泽温润，两端射口稍露，比例恰到好处．图2
是“琮”的横截面示意图，其“外方”是一个正方形，“内圆”圆O的圆心与正方形的中心重合，正方形
的四个角上各有一个腰长为 的等腰直角三角形，圆O与其斜边相切，若圆O的半径为 ，则正
方形的边长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了正方形的性质，切线的性质，等腰三角形的性质，三角函数，熟练掌握以上性质是解
题的关键；连接 ，根据正方形的性质，等腰三角形的性质可得 ，由切
线的性质，可得 ，再由正方形的性质求解即可；
【详解】如图，连接 ，设 与 交于点M，是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在 中， ，
圆O与正方形的四个角上的等腰直角三角形的斜边相切，
，
，
是正方形，O是正方形的中心，
，
，
故答案为：10
三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分第 22、23题每小
题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤)
17．计算： ．
【答案】
【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再计算加减法即可．
【详解】解：原式
．【点睛】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，熟知相关计算
法则是解题的关键．
18．先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ；
【分析】直接利用整式的混合运算法则化简进而合并得出答案．
【详解】原式
,
当 时,
原式 ．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算二次根式的运算，正确合并同类项是解题关键．
19．如图所示的图案是由正方形和三角形组成的，有着一定的规律，请完成下列问题：
(1)第4个图案中，三角形有______个，正方形有______个；
(2)若用字母 分别代替三角形和正方形，则第1、第2个图案可表示为多项式 则第5个图
案可表示为多项式______；
(3)在（2）的条件下，若第5个图案所表示的多项式值为90，且 求 的值．
【答案】(1)16，16
(2)
(3)
【分析】本题考查了规律型的图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．
（1）观察图形得出规律，即可得出第4个图案中，三角形有16个，正方形有16个；
（2）根据第1、2个图案可表示多项式 ， ，可知第5个图案可表示为多项式 ；（3）根据（1）得出的规律，列式计算即可求解．
【详解】（1）观察图形可知：
第1个图案中，三角形有 个，正方形有 个；
第2个图案中，三角形有 个，正方形有 个；
第3个图案中，三角形有 个，正方形有 个；
第4个图案中，三角形有 个，正方形有 个；
故答案为：16，16；
（2）第1第2个图案可表示为多项式 ， ，可知第5个图案可表示为多项式 ，
故答案为： ；
（3） 第5个图案所表示的多项式值为90，
，
又 ，
，
的值为：2．
20．如图，在 中， ， 是 上一点，延长 至点 ，使得 ，延长 至
点 ，使得 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据等式的性质得出 ，再根据 证明 与 全等即可；
（2）根据等腰三角形的性质得 ，全等三角形的性质得出 ，即可作答．
此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是根据 证明 与 全等进行解答．
【详解】（1）证明： ，
，
即 ，
在 与 中，
，
；
（2）解： ， ，
，
∵ ， ，
∴
∴ ．
21．某中学举行了 年奥运会相关知识的竞赛，赛后随机抽查部分参赛同学成绩，并制作成图表如下．
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
(1)表中的数 ；
(2)请在图中补全频数分布直方图；
(3)若绘制扇形统计图，分数段 所对应扇形的圆心角的度数是 ；
(4)全校共有 名学生参加比赛，估计该校成绩不低于 分的学生有多少人？
【答案】(1)
(2)见详解
(3)
(4)估计该校成绩不低于80分的学生有 人．
【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念和计算，掌握频数的计算，根据频数估算总体，圆心角的计算方法是解题的关键：
（1）根据频率的和为 ，即可求解；
（2）根据频数与频率估算总体的数量可得抽样数量，由此可得m的值，即可补全频数分布直方图；
（3）根据圆心角度数的计算方法即可求解；
（4）根据频数估算总体的数量的方法即可求解．
【详解】（1）解：由题意得， ，
故答案为： ；
（2）解： （人），
∴ ，
补全频数分布直方图如图，
（3）解： ，
故答案为： ；
（4）解： ，
∴估计该校成绩不低于 分的学生有 人．
22．为庆祝我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在北京时间 年 月 日举行的联
合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第 届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非
物质文化遗产代表作名录，市面上推出一款以蛇年为主题的窗花．某喜庆店第一次用 元购进这款窗花，
很快售完，又花 元第二次购进这款窗花．已知每个窗花第二次购进的单价比第一次便宜 元，且第二
次购进的数量是第一次的 倍．
(1)求该店两次购进这款窗花各多少个？
(2)第二次购进这款窗花后仍按第一次的售价出售，若要便两次进的窗花销售完后的总利润不低于 元，
则每个窗花的售价至少为多少元？
【答案】(1)答：第一次购进窗花 个，则第二次购进窗花 个
(2)答：每个窗花的售价至少为 元【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列
出方程，进行解答，即可．
（1）设第一次购买窗花的单价为 元，则第二次购买窗花的单价为 元，根据题意列出方程，
，解出 ，进行解答，即可；
（2）根据利润等于售价减去单价，根据题意，列出一元一次不等式，进行解答，即可．
【详解】（1）解：设第一次购买窗花的单价为 元，则第二次购买窗花的单价为 元，
∵某喜庆店第一次用 元购进这款窗花，很快售完，又花 元第二次购进这款窗花，第二次购进的数
量是第一次的 倍，
∴ ，
解得： ，
经检验， 是方程的解，
∴第一次购进窗花是数量为： 个，第一次购进窗花是数量为： 个，
答：第一次购进窗花 个，则第二次购进窗花 个．
（2）解：由（1）得，第一次购买窗花的单价为 元，则第二次购买窗花的单价为 元，
设每个窗花的售价为 元，
∵两次进的窗花销售完后的总利润不低于 元，
∴ ，
∴ ，
答：每个窗花的售价至少为 元．
23．如图，在四边形 中， ， ，对角线 ， 交于点 ， 平分 ，过
点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)详见解析
(2) ，
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，菱形的性质与判定，直角三角
形性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
（1）根据 ， 平分 可得到 ，从而可得 ，从而可
证得四边形 是平行四边形，结合 可证得平行四边形 是菱形；
（2）根据菱形的性质可知 ， ， ，再根据 ，直角三角形性质可知
，最后根据勾股定理即可确定 ，再由相似三角形的判定和性质即可得出 ．
【详解】（1）证明： ，
，
为 的平分线，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
平行四边形 是菱形；
（2）解： 四边形 是菱形，
， ， ，
，
，
，
，在 中， ， ，
．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ．
24．对某一个函数给出如下定义，当自变量x满足 （m，n为实数， ）时，函数y有最大值，
且最大值为 ，则称该函数为理想函数．
(1)当 ， 时，在① ；② 中，______是理想函数；
(2)当 时，反比例函数 是理想函数，求实数m的值；
(3)已知二次函数 是理想函数，且最大值为 ，将该函数图像向左平移 个单
位长度所得图像记为C，若图像C的顶点为D，与x轴交于A，B（A在B的左侧），与y轴交于点E，点
M，G分别为 的外心和内心，求以 为边长的正方形面积．
【答案】(1)②
(2)
(3)
【分析】由当 ， 时，可得 ， ，再根据一次函数的性质分别求出函数的最
大值，判断是等于6即可；
（2）由 时， ，可得 ，根据 、 、 时反比例函数
的增减性求得y的最大值，再利用y的最大值为 列等式求解即可；
（3）由最大值为最大值为 ，可得 ，即 ，再由 ，可得 ，从而可得 ，对称轴为直线 ，当 ，即 ，不符合题意，当
，即 时， ，即 时，则当 时，y取最大值，
，解得： ，从而求得图像C： ，求出点A、B、E、D的
坐标，判断 是直角三角形，从而可知点M是 的中点，内切圆的半
，再利用勾股定理即可求出结果．
【详解】（1）解：当 ， 时， ， ，
①在函数 图像中，y随x的增大而增大，
当 时，y的最大值为： ，
②在函数 图像中，y随x的增大而减小，
当 时，y的最大值为： ，
∴ 是理想函数，
故答案为：②；
（2）解：当 时， ，
∴ ，即 ，
当 时， ，在反比例函数 的图像中，y随x的增大减小，
则当 时，y的最大值为： ，
∴ ，即 ，解得： ，
当 时， ，在反比例函数 的图像中，y随x的增大而增大，
则当 时，y的最大值为： ，∴ ，即 ，此方程无根，
当 时， ，函数y没有最大值，不符合题意，
∴ ；
（3）解：∵最大值为 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
此时 ，
∴对称轴为直线 ，
当 ，即 ，
∴当 时， 时，y的最大值为： ，
∴ ，解得： ，
∵ ，
∴ （舍），
当 ，即 ，
若 ，即 时，则当 时，y取最大值，
∴ ，解得： ，
∵ ，
∴ ，此时图像C： ，
∴ ，
当 时， ，当 时， ，解得： ， ，
∴ ， ， ，∴ ， ， ，
∴在 中， ，
∴ 是直角三角形，
过点G作 ，过点G作 ，
又∵点M，G分别为 的外心和内心，则点M是 的中点， ，
∴ ， ，内切圆的半 ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴以 为边长的正方形面积为： ．
【点睛】本题考查新定义、勾股定理及逆定理、切线的性质定理、外接圆和内接圆的性质、二次函数顶点
式、一次函数的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
25．如图，已知圆O是四边形 的外接圆， 是直径．连接 交 于点E．(1)如图1，D是弧 的中点，当 ，求 的度数；
(2)如图2， ，将 绕点A顺时针旋转90°至 ，其中 与 重合，求证：
；
(3)如图3， ，F是 的中点，连接 ，过D点作 交 于点M，当 时，求
的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用等弧对等弦，等腰三角形的性质和圆周角定理解答即可；
（2）利用圆周角定理和勾股定理求得 ，利用等腰直角三角形的性质得
到 ，利用旋转的性质，勾股定理和等腰直角三角形的性质求得 ；利用等式的性
质和等量代换，通过计算 即可得出结论；
（3）设 ，则 ，利用全等三角形的判定与性质求得 ，利用勾股定理
求得 ，再利用相似三角形的判定与性质求得 ，计算即可
解答 ．
【详解】（1）解：∵D是弧 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ．（2）证明：∵ 是直径，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵将 绕点A顺时针旋转 至 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ,
,
．
∴ ．
（3）解：∵F是 的中点，
∴ ，
设 ，则
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了垂径定理、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、
勾股定理等知识点，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键．
