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2025 年中考第二次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 的绝对值的相反数的倒数等于（ ）
A． B． C． D．12
【分析】本题考查绝对值，相反数，倒数，根据绝对值，相反数，倒数逐步求解即可．
【详解】解：∵ 的绝对值是 ， 的相反数是 ， 的倒数是 ，
∴ 的绝对值的相反数的倒数等于 ．
故选：C
2．截止2025年2月14日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破2000万次，刷
新了我国自主量子算力服务规模记录．其中数据“2000万”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为
，其中 ， 为正整数，确定a与n的值是解题的关键．
【详解】解：依题意，2000万 ，
即数据“2000万”用科学记数法表示为 ，
故选：C
3．已知 ，则 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．C． D．
【分析】本题主要考查了绝对值的性质，解一元一次不等式．根据绝对值的性质，可得 ，从而得
到 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
则的取值范围在数轴上表示正确的是：
故选：A．
4．低碳出行已深入人心，嘉嘉某周连续5天使用交通工具碳排放量（单位： ）数据统计如图所示，则
这5天碳排放量的中位数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】本题考查中位数，根据中位数的意义和计算方法求出结果即可．理解中位数的意义是正确计算的
前提．
【详解】解；根据题意可得嘉嘉某周连续5天使用交通工具碳排放量为 ，
故中位数为4，
故选：B．
5．一张标准对数视力表由一些形状相同但大小不一定相同的符号“E”组成的，我们可以借助平面直角坐
标系中的位似变换来对符号“E”进行放大或缩小．如图，两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似．
若点 ，点 ，点 ，则点D的坐标是（ ）A． B． C． D．
【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，
那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 ．利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征得到相似比为 ，
然后把C点的横纵坐标都乘以 得到其对应点D的坐标．
【详解】解：∵两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似，
而点 ，点 ，
∴相似比为 ，
∴点 的对应点D的坐标是 ，即 ．
故选：C．
6．学校组织七年级学生去红色基地研学，需要租赁客车，若每辆车乘40人，则有26人不能上车；若每辆
车乘45人，则有17个空座．设七年级的学生数为x，则以下列出的方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设七年级的学生
数为x，根据车的总辆数相同，列出方程即可．
【详解】解：设七年级的学生数为x，根据题意得：，
故选：D．
7．已知：如图，在 中， 是弦，点A是 的中点， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所
对的圆心角的一半是解答此题的关键．
【详解】解：连接 ．
点A是 的中点
．
．
故选∶B．
8．如图，图1有4颗星，图2有6颗星，图3有9颗星，……，按照此规律图10的星星颗数为（ ）
A．55 B．58 C．65 D．69【分析】本题考查了图形的变化类—规律型，根据题目总结出图形的变化规律是解题的关键．
根据题意得出图形中 的数量的变化规律是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，图1有 颗星，
图2有 颗星，
图3有 颗星，
图10有 颗星，
故选：B ．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．方程 的解是
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解： ，
或 ，
解得： ， ，
故答案为： ， ．
10．计算： ．
【分析】本题考查实数的混合运算，负整数指数幂，绝对值，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键．
先利用负整数指数幂，绝对值计算，再进行加减即可．
【详解】解：，
故答案为： ．
11．若点 是抛物线 上一点， ．
【分析】本题考查抛物线上的点，根据抛物线上的点的坐标满足函数解析式，将 代入 ，进
行求解即可。
【详解】解：把 代入 ，得： ；
故答案为：
12．如图，用 长的篱笆靠墙(墙足够长)围成一个面积是 的长方形鸡场，鸡场有一个 的门，
设与墙垂直的边长为 ，所列方程是 ．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出墙的对面的一条边的长是解答关键．
设与墙垂直的边长为 ，根据篱笆总长为 ，表示墙的对面的一条边的长，再利用长面积公式求解．
【详解】解：设与墙垂直的边长为 ，
则墙的对面的一条边的长为 ，
所以列出方程为 ．
故答案为： ．
13．社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为
， ，则旗杆 的高度为 m．
【分析】本题考查解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数，求出 的值即可．
【详解】解：由题意： ，∴ ；
故答案为： ．
14．圆 中，弦 与直径 平行，点 在 上，当 时， ，则 ．
【分析】过点 作 ，连接 ，垂径定理，得到 ，斜边上的中线得到 ，等
边对等角，结合平行线的性质，推出 ，进而得到 ，得到 ， ，
推出四边形 为菱形，设 ， 的半径为 ，利用勾股定理列出方程进行求解，
再根据 结合余弦的定义，进行求解即可．
【详解】解：过点 作 ，连接 ，则： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形， ， ，
∵ ，
∴四边形 为菱形，∴ ，
设 ， 的半径为 ，则： ，
在 中，由勾股定理，得： ，
在 中，由勾股定理，得： ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ．
15．如图，在 中，边 与x轴交于点C，且 ，某一反比例函数的图象经过点A，若点B的
坐标为 ， ，则这个反比例函数的表达式是 ．
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形，正确求得点
A坐标是解答的关键．过A作 轴于D，根据坐标与图形性质和三角形的面积公式求得 ，
利用等腰三角形的判定与性质求得 ，进而求得 ，然后利用待定系数法求解即
可．
【详解】解：过A作 轴于D，如图，∵点B的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设这个反比例函数的表达式是 ，
∵这个反比例函数的图象经过点A，
∴ ，
∴这个反比例函数的表达式是 ，
故答案为： ．
16．如图是一种笔记本电脑支架，它有 到 共 个档位调节角度．相邻两个档位间的距离为 ．将某
型号电脑打开置于水平托架上，屏幕侧宽 与托架侧宽 都是 ， 是支点且 ．当支架
调到 档时， ；调到 档时，托架 绕点 旋转至 ，支点 旋转至点 时， ，
．若眼睛 的水平视线恰好经过点 ．测点 的俯角为 ，则眼睛与屏幕的距离 为．
【分析】本题考查解直角三角形的应用、旋转的性质、勾股定理，把所求的线段合理分割，整理成直角三
角形中相关的边是解决本题的关键．
延长 交 于点 ，作 于点 ，可得矩形 ，从档位 到 一共 个档位，之间有
个间隔，所以 ， ，设 ，则 ，根据勾股定理可
得 的长，作 于点 ，根据勾股定理可得 的长，进而可得 的正弦值和余弦值，根据
的正弦值和余弦值及 的长可得 的长和 的长，即可求得 的长，那么就求得了 和
的长，易得 是等腰直角三角形，那么 ，即可求得 的长度．
【详解】解：延长 交 于点 ，作 于点 ，可得矩形 ，
， ， ，
， ，
，
到 共 个档位调节，相邻两个档位间的距离为 ，
， 到 共 个档位，
，
设 ，则 ，
，
，，
，
解得： ，
作 于点 ，
，
，
，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
由题意得： ，
，
，
，
，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共10题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．解不等式组 ．
【分析】本题主要考查解不等式组，掌握不等式的性质，取值方法是解题的关键．
先根据不等式的性质分别求出各不等式的解集，再根据取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，
大大小小无解”即可求解．
【详解】解： ，
解不等式①得， ，
解不等式②得 ，
∴不等式组的解集为 ．
18．如图，点 ， 分别在 ， 上， ， ， 相交于点 ， ．
求证： ．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．第一步
又 ， ，
∴ 第二步
∴ 第三步(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程．
【分析】（1）根据证明过程即可求解．
（2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论．
【详解】（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，
故答案为：二．
（2）证明：∵ ，
，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
．
19．先化简，再求值： ，其中 ．
【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．先将先括号内通分，去括号，除式分子分解因式，再约分化简，继而将a的值代入计算可得．
【详解】解： ，
当 时，
原式 ．
20．为提升学生的核心素养，长沙县某教育教学联合体开展了城乡读书交流活动．该教育教学联合体的某
成员校号召全体师生积极捐书．为了解所捐书的种类，校团委对部分书籍进行了随机抽样调查，所捐书籍
分为四类：文学类（记作A类），艺术类（记作B类），科普类（记作C类），其他类（记作D类）．学
生张华根据收集的数据绘制了如图1，图2所示的不完整的统计图，请根据统计图提供的信息，解答下面
的问题：
(1)木次随机抽样调查的书籍的本数是________本；a=________；D类扇形圆心角的度数等于________°；
(2)通过计算，补全图①中的条形统计图．
(3)本次活动，该校一共捐书1000本，请你估计文学类的书籍约有多少本？
【分析】（1）由科普类（记作C类）书籍的数量及其所占百分比可得抽取的总数量，再求出A、D类各自
所占百分比即可解题；
（2）用样本容量减去其他类别的数量即可求出B类书的具体数量，从而补全图形；
（3）用总数量乘以样本中文学类书籍数量所占比例可得．
【详解】（1）解：本次抽样调查的书有 （本）；
A类所占百分比为 ，
D类所占百分比为 ，
D类扇形圆心角的度数为 ，
故答案为：100，25，54；
（2）随机抽样调查B类书的数量为 （本），补全统计图如下：
（3）估计文学类（D类）书籍的本数为 （本）．
21．如图所示，在平行四边形 中， 于E， 于F， ， ，
，
(1)求 的度数；
(2)求平行四边形 的周长．
【分析】本题主要查了平行四边形的性质，直角三角形的性质：
（1）根据平行四边形的性质可得 ， ，从而得到 ，再由 ，
，可得 ，即可求解；
（2）根据平行四边形的性质可得 ，在 和 中，根据直角三角形的性质
可得 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴ ，
∴ ；（2）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴平行四边形 的周长为 ．
22．如图，已知 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
(1)将 关于O点中心对称，试作出对称后的 ，并写出点 的坐标 ；
(2)计算四边形 的面积．
【分析】本题考查了利用中心对称的性质进行网格作图，点的坐标，割补法求面积； 掌握中心对称的性
质，能根据具体图形割补成规则图形是解题的关键，
（1）由中心对称的性质可作图即可，由图可得点的坐标；
（2） 的面积可转化为1个矩形的面积减去4个直角三角形的面积，即可求解；
【详解】（1）解：如图所示，△ABC 为所求．
1 1 1由图可知点 的坐标
故答案为： ；
（2）解：如图所示：
．
23．如图， 为 的直径，C为 上一点，D为 的中点，过C作 的切线交 的延长线于
E，交 的延长线于F，连 ．
(1)求证： 与 相切；
(2)若 ， ，求 的半径．
【分析】本题考查三线合一、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关定理并能利用等面
积法解决问题是关键．
（1）连接 ，由三线合一得 ，根据垂直平分线的性质可得 ，证明 ，
利用全等三角形的性质可得 即可；
（2）先利用勾股定理求得 ，设 ，再根据等面积法列 即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，是 的切线，
，
为 的中点， ，
，则 垂直平分 ，
，
， ，
，
，
与 相切；
（2）解： ， ，
，
由（1）可知 ， ，
，
设 ，
，
，
，
解得 ，
故 的半径为 ．
24．如图，一条抛物线和直线l交于点O、B，其中O是平面直角坐标系的原点，B点坐标是 ，在抛物线上．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)求 的面积；
(3)在直线l下方的抛物线上有一点P，当 的面积取得最大值时，求此时P点的坐标．
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到：待定系数法、一次函数表达式的确定、轴对称、最值
问题，综合性强，难度大．
（1）把 ， ， 代入，用待定系数法即可求解；
（2）求直线l的表达式是： ；过点A作 轴交直线l于点D，求 的面积和即可；
（3）过点P作 轴交直线l于点M，则：M点的横坐标和P点的横坐标一样，设 ，
则 ，则 ，求
即可，进而可求坐标．
【详解】（1）解：设抛物线对应的函数表示式为 ，
依题，它经过 ， ， ，
则： ，解得： ，
∴抛物线对应的函数表示式为 ；
（2）解：因为直线l经过原点，设直线l的表达式： ，
把 代入，
得： ，
，
∴直线l的表达式是： ；
过点A作 轴交直线l于点D，
则：D点的横坐标和A点的横坐标一样，都是3，
∴在 中，令 ，则 ，
，
， 的高均为3，
∴ ；
（3）解：过点P作 轴交直线l于点M，则：M点的横坐标和P点的横坐标一样，设 ，则 ，则：
；
∴当 时， 取得最大值，
此时， ，
P点坐标是 ．
25．小实家的新房户型结构平面图如图所示，主卧与次卧是两个面积相等的正方形，阳台是直径与主卧边
长相等的半圆（ 取3，墙体厚度不计）．
(1)请算出小实家两个卧室和客厅的面积总和．(2)小实家打算将两个卧室和客厅全部铺上实木地板，卫生间、厨房全部铺上柔光砖，阳台铺木纹砖，铺贴
费用如下表：
实木地 柔光 木纹
类别
板 砖 砖
平均费用（元/
200 90 80
）
问：小实家铺贴地面的总金额是多少元（结果精确到百位，并用科学记数法表示）？
【分析】本题考查有理数混合运算的应用，根据图形列出算式是解决本题的关键．
（1）先求出每个卧室的边长，再根据图形求出客厅和卧室的面积之和即可；
（2）根据题意列出算式即可求解．
【详解】（1）解：∵主卧与次卧是两个面积相等的正方形，
∴卧室的边长为 m，
∴客厅的长为 m，
∴两个卧室和客厅的面积总和 ；
（2）解： （元）
26．【模型建构】
如图1，已知线段 ， 所在直线交于点O，其所夹锐角为 ．小明在学习了平移之后，将图1中的线
段 ， 其中的一条线段经过不同的平移变换后，得到多个以点A，B，C，D其中三个点为顶点的平行
四边形．例如：图2是将线段 沿 方向平移线段 的长度得到 ，图3是将线段 沿
方向平移线段 的长度得到 ．【模型应用】
（1）小明受到上述模型建构的启发，运用两种方法构造出平行四边形解决下面问题：
如图4，在 中， ， ，点D，E分别在 ， 延长线上，且 ，
，求证： ．
方法一：过点E作 ，且 ，连接 ， ，将证明 ，转化为证明 ；
方法二：过点C作 ，且 ，连接 ， ，将证明 ，转化为证明 ．
请你依照小明的解题思路，任选一种方法，写出证明过程．
（2）小明又尝试将(1)中问题进行变式提出了新问题，请你应用【模型建构】构造平行四边形的方法或者
按照自己的思路解答下面问题：
如图5，在 中， ，E为 上一点，D为 延长线上一点，且 ， ，连
接 交 于点G，求 的度数．
（3）如图6，在 中， ，D，E分别是边 ， 上的点，且 于点H，若 ，
， ，请直接写出 的长．
【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质得到 ；方法一：如图1，过点 作
，且 ，连接 ， ，证明四边形 是平行四边形．得到 ，
，再证明 ， ，进而证明 是等边三角形，利用等边三角形的性
质得到 即可．
方法二：如图2，过点 作 ，且 ，四边形 是平行四边形．由 ，
证明 ，得到 ， ，再证明 是等边三角形得到
即可．
（2）方法一：如答图3，过点 作 ，且 ，连接 ，证明四边形 是平行四边形，得到 ， ，再证明 得到即可得结论；
方法二：如答图4，过点 作 ，且 ，连接 ，证明四边形 是平行四边形
得到 ， ，再证明 ，得到 ， ，进而求得
即可；
（3）如答图5，过点 作 ，且 ，连接 ，作 于点 ，证明四边
形 是平行四边，得到 ， ，进而 ，则 ，
在 中，利用勾股定理分别求解即可．
【详解】解：（1）证明： ， ，
，
方法一：如图1，过点 作 ，且 ，连接 ，
四边形 是平行四边形．
， ，
，
， ，
，
即 ，
，
，
，
，
，
，是等边三角形．
．
方法二：如图2，过点 作 ，且 ，连接 ，
四边形 是平行四边形．
， ，
，
， ，
，
即 ，
，
，
，
， ，
， ，
，
是等边三角形，
．
（2）方法一：如图3，过点 作 ，且 ，连接 ，
四边形 是平行四边形，， ，
，
，
，
，
， ，
，
， ，
， ，
，
，
；
方法二：如图4，过点 作 ，且 ，连接 ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
；（3）如图5，过点 作 ，且 ．连接 ，作 于点 ，
四边形 是平行四边形．
， ，
，
，
在 中，
由勾股定理，得 ．
于点 ，
，
中，有 ．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰
直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质应用和全等三角形的性质，“一题多解”的方
法运用是解答的关键．
