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2025 年中考第二次模拟考试（全国通用）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列四个数中，无理数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的定义，特殊三角函数值，熟练掌握无理数的定义和特殊三角函数值是解答本
题的关键．
根据无理数的定义和特殊三角函数值解答即可．
【详解】解：A、 ，是有理数，故A选项不符合题意；
B、 ，是有理数，故B选项不符合题意；
C、 ，是无理数，故C选项符合题意；
D、 ，是有理数，故D选项不符合题意；
故选：C．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解答本题的关键，
要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，
旋转 度后与原图重合；
根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可．
【详解】解：A．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；B．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
3．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了合并同类项、完全平方公式、二次根式的加减、单项式的乘法等知识．根据合并同类
项、完全平方公式、二次根式的加减、单项式的乘法分别计算即可作出判断．
【详解】解：A． ，故本选项不符合题意；
B． ，故本选项不符合题意；
C． 与 不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
D． ，故本选项符合题意．
故选：D．
4．如图是一款手机支架，若张角 ，支撑杆 与桌面夹角 ，那么此时面板 与水平
方向夹角 的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，将实际问题转化成数学问题成为解
题的关键．
由题意可得： ，则 ；然后根据三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：由题意可得： ，∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：A．
5．为进一步推动书香校园建设，育才中学举行了“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本
校九年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如表所示：
人数 6 7 10 7
课外书数量
6 7 9 12
（本）
请根据这30名同学阅读课外书的数量，判断下列说法正确的是（ ）
A．样本为30名同学 B．众数是12本
C．中位数是9本 D．平均数是8.5本
【答案】C
【分析】此题考查了众数、中位数、平均数，根据众数、中位数、平均数的定义求解即可．
【详解】解：A．样本为本校七年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，故A选项不符合题意；
B．样本数据的众数为9，故B选项不符合题意；
C．样本数据的中位数是 ，故C选项符合题意；
D．平均数为 （本），故D选项不符合题意；
故选：C．
6．如图， 与 位似，位似中心为点O，若 ， 的面积为18，则 的
面积为（ ）．A．54 B．24 C．32 D．
【答案】C
【分析】本题考查了位似的性质，相似三角形的性质．先求出 ，再根据 与 位似得到
，由相似三角形的性质即可得到答案．
【详解】解： ，
∴ ，
∵ 与 位似，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
7．某班有 人参加义务植树劳动，他们分为植树和挑水两组，要求挑水人数是植树人数的 倍，设有 人
挑水， 人植树，则下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设有 人挑水， 人植树，根据题意列出方程组即可，根据
题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设有 人挑水， 人植树，
由题意得， ，
故选： ．
8．已知有两个全等的含 角的直角三角板，斜边长为2，其初始位置如下图左图所示，将一个三角板保
持不动，另一个三角板沿斜边向右下方平移，当四边形 是菱形时，平移距离 的长为（ ）A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】利用等角对等边的性质证得EA＝ED，再利用含30度角的直角三角形的性质即可解决问题．
【详解】∵ CDE是含 角的直角三角板，斜边长为2，
∴∠CDE＝90°，∠ECD＝30°，
∴ED＝ EC＝1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠CAB＝∠CAD＝30°，
∵∠CED＝60°，
∴∠ADE＝∠EAD＝30°，
∴AE＝DE＝1，
故选：A．
【点睛】本题考查直角三角形的性质、菱形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，利用含30度
角的直角三角形的性质求得DE＝1是解题的关键．
9．如图，点 是直径 的延长线上一点， 是 的切线，过切点 作弦 于 ，连接 ．若
， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】先求得 ，根据垂径定理可得 ，最后解 即可．
【详解】解： 如图：
由题意得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 过圆心，
∴ ，
在 中， ，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，垂径定理，直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握知识点是
解题的关键．
10．我们约定：一个函数图像与x轴交点的横坐标称为这个函数的零点．下列说法正确的是（ ）
A． 的零点是
B． 的零点是1和
C．若 有零点，则
D．在自变量取值范围为实数的一次函数中，存在一个一次函数没有零点
【答案】C
【分析】本题考查解方程及二次函数与一元二次方程的关系，根据0点定义直接列式即可判断A，B，根
据函数与x轴有交点，分 与 两类求解即可判断C，
【详解】解：当 时， ，解得： ，故 是 的零点，故A错误不符合
题意，当 时， ，解得： ， ，故 的零点是 和 ，故B错误不符合题
意，
当 时， ，若 ，解得 ，此时 ，若 ， 有零点，即
有解， ，解得： ，故C正确，符合题意，
一次函数 与x轴都有交点 ，故一次函数 有零点 ，故D错误不符合题意，
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可.
【详解】解： ，
故答案为：
12． 实数范围内有意义，则 的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．直接利用二次根式有意义则
被开方数大于或等于零即可得出答案．
【详解】解：根据题意得 ，
解得 且 ，
故答案为： 且 ．
13．已知正多边形的一个外角等于 ，则这个正多边形的内角和是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查多边形的内角和外角，掌握定理是解题的关键．根据正多边形的外角和定理可求解多边形的边数，再由多边形的内角和定理可求解．
【详解】解：多边形的边数为： ，
正多边形的内角和的度数为 ，
故答案为： ．
14．快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度 是载重后总质量
的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量 时，它的最快移动速度 ；
当其载重后总质量 时，它的最快移动速度 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的应用．利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将 代入计算
即可．
【详解】解：设反比例函数解析式为 ，
∵机器狗载重后总质量 时，它的最快移动速度 ，
∴ ，
∴反比例函数解析式为 ，
当 时， ，
故答案为： ．
15．若 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 ．
【答案】11
【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数之间的关系，根据题意，得到： ，
，利用整体代入法，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ， ，
∴ ，∴
；
故答案为：11．
16．如图，正方形 的边长为 ，以 边为底向外作等腰 ，点 是对角线 上的一个动点，
连接 ， ，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】连接 交 于点 ，连接 ，由轴对称的性质得 ，判断出当P与 重合时，
的值最小，最小值为 的长．然后求出 ， ， ， ，得
到 ，然后利用勾股定理求出 的长即可求解．
【详解】解：连接 交 于点 ，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴点B与点D关于直线 对称，
∴ ，
∴ ，
∴当P与 重合时， 的值最小，最小值为 的长．
∵正方形 的边长为4，∴ ， ．
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形，正方形，解题的关键是掌握轴对称-最短路
线问题，利用轴对称-最短路线问题．
三、解答题（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分。解答应写
出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的意义，先根据平方差公式、零指数幂
和负整数指数幂的意义化简，再算加减．
【详解】解：
18．先化简，再求值： ，其中 的值是不等式组 的整数解．
【答案】 ，
【分析】本题考查分式的化简求值，求不等式组的整数解，先将括号内式子通分，变分式除法为分式乘法，
约分化简，再求出不等式组的最小整数解，代入化简后的式子求值即可．
【详解】解：；
由分式的意义，可知， ，
，
解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
不等式组 的解集为 ，
不等式组 的整数解是 ，0,1，2，其中 ，0,1不符合分式的意义，
x只能取2.
将 代入 得：原式 ．
19．如图，在平行四边形 中， ， 为 上两点，连接 ， ，且 ， ．
(1)求证： ．
(2)判定四边形 的形状，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)矩形；理由见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和矩形的判定等知识点．全等三角形的判定是本题的重点．
（1）根据题中的已知条件我们不难得出： ， ，又因为 ，那么两边都加上 后，
，因此就构成了全等三角形的判定中边边边 的条件．
（2）由于四边形 是平行四边形，只要证明其中一角为直角即可．
【详解】（1）证明： ， ， ，
．
四边形 是平行四边形，
．
在 和 中，
．
（2）解：四边形 为矩形．
理由如下：
，
．
四边形 是平行四边形，
．
．
，
四边形 是矩形．
20．为了激发学生对中国古诗词的学习兴趣，某校举行了古诗词比赛，比赛结束后随机抽取了部分学生成
绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组： ，B组： ．C组：
，D组： ，E组： ，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答
下列问题：(1)本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，并补全学生成绩频数直方图：
(2)若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
(3)学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加五一劳动节的文艺
汇演，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)400，60，D，
(2)估计该校成绩优秀的学生有1680人
(3)
【分析】（1）用C组的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数，由此即可求出m的值，根据总人
数及已知各组人数，计算出E组的人数，从而补全直方图；
（2）根据样本中优秀人数占比即可估计3000人中成绩优秀的数量；
（3）由画树状图的方法得到全部结果及满足题意的结果数，利用概率公式求解即可得到答案．
【详解】（1）解：本次调查一共随机抽取的学生总人数为 （名）；
∴B组的人数为 （名），即 ；
∴E组的人数为： （人），
补全学生成绩频数分布直方图如下：
（2）解： （人），答：估计该校成绩优秀的学生有1680人；
（3）解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有12种，
∴抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为 ．
【点睛】本题考查概率与统计综合，涉及扇形统计图与条形统计图数据关联、补全条形统计图、用样本估
计总体及列举法求概率等知识，熟记相关统计量及求法，熟练掌握列举法求概率是解决问题的关键．
21．小明准备利用无人机测量建筑物 的高度．如图所示，小明先将观测点选在建筑物 对面的楼房
的楼上一点A，利用无人机先测得建筑物 的顶端M的俯角为 ，又遥控无人机沿与地面 保持
平行方向由点A飞行 米到达点B处，此时测得该建筑物 底端N的俯角为 ，又测得点H的俯角为
，已知 与 均垂直地面 ，垂足分别为N，H（点A，B，M，N，H在同一平面内）．
(1)求 的长；
(2)求建筑物 的高度．（结果精确到1米）（参考数据： ， ， ，
， ， ， ， ， ）
【答案】(1) 米
(2) 米
【分析】本题考查了解直角三角形和三角函数的知识，掌握以上知识是解题的关键；
（1）本题根据 ，然后即可求解；
（2）本题根据 ，求得 ，即 ，再根据 ，即可求解；【详解】（1）解：由题得 ， ，
∴在 中， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
解得： ，
故 的长为 米；
（2）解：延长 和 相交于点 ，如图：
，
由题得： ，四边形 为矩形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴建筑物 的高度为 米；
22．某电子厂生产一款成本为50元的无线领夹麦克风，如图1，投放市场进行销售，其销售单价不低于成
本且不高于95元．市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量 （个）与销售单价 （元）符合一次函
数关系，如图2所示．(1)求出 与 的函数解析式；
(2)当销售单价应定为多少元时，该公司每天可获得2400元的销售利润；
(3)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1) 与 的函数关系式为：
(2)当销售单价为70元时每天获得2400元的销售利润
(3)销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元
【分析】本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识
点．
（1）由待定系数法可得函数的解析式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列方程可解；
（3）设每天获得的利润为w元，由题意得二次函数，写成顶点式，根据二次函数的性质可求得答案．
【详解】（1）解：设一次函数为 ，
将点 ， 代入得：
，
解得， ，
∴ 与 的函数关系式为： ；
（2）解：由题意得： ，
化简得： ，
解得： ， ，（不符合题意，舍去）．
答：当销售单价为70元时每天获得2400元的销售利润；
（3）解：设每天获得的利润为 元，由题意得，
，
．
∵ ， ，
∴当 时， 有最大值， ．
答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元．
23．如图1，在 中，直径 ，P是线段 延长线上的一点， 切 于点C，D是 上一点，
切 ，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)当 时（如图2），求 的长；
(3)若四边形 是菱形（如图2），求弧 与线段 围成的阴影图形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）如图1，连接 ，则有 ，再证明 可得 ，
根据切线的性质可得 ，进而得到 ，即可证明结论；
（2）如图2，连接 ，由（1）可知， ，再证明四边形 为正方形，再求出 ，由勾股定理可得 ，再根据线段的和差即可解答；
（3）如图3，连接 ，设 ，则 ，根据菱形的性质、切线的性质可得
，进而得到 ，最后根据 以及扇形的面积公式即可解答．
【详解】（1）证明：如图1，连接 ，则有 ．
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ 切 于点C，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 是 的切线．
（2）解：如图2，连接 ，由（1）可知， ．
当 时，四边形 为矩形．
又∵ ，∴四边形 为正方形．
∵ ，
∴ ，即
∴ ，
∴ ．
（3）解：如图3，连接 ，设 ，则 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ．则 ，
∵ 是 的切线，即 ．
∴ ，即 ．
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线的判定、勾股定理、全等三角形的判定与性质、扇形的面积公
式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
24．如图，抛物线 与 轴相交于点 、点 ，与 轴相交于点 ．(1)请直接写出点 ， ， 的坐标；
(2)点 在抛物线上，当 取何值时， 的面积最大？并求出 面积的最大值．
(3)点 是抛物线上的动点，作 // 交 轴于点 ，是否存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四
边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ， ；
(2) ， 面积的最大值 ；
(3)存在， 或 或 ．
【分析】（1）令 得到 ，求出x即可求得点A和点B的坐标，令 ，则 即可
求点C的坐标；
（2）过P作 轴交BC于Q，先求出直线BC的解析式，根据三角形的面积，当平行于直线BC直线
与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时， 的面积最大，利用三角形面积公式求解；
（3）根据点 是抛物线上的动点，作 // 交 轴于点 得到 ，设 ，当点F
在x轴下方时，当点F在x轴的上方时，结合点 ，利用平行四边形的性质来列出方程求解．
【详解】（1）解：令 ，则 ，
解得 ， ，
∴ ， ，
令 ，则 ，
∴ ；
（2）解：过P作 轴交BC于Q，如下图．
设直线BC为 ，将 、 代入得
，
解得 ，
∴直线BC为 ，
根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时，
的面积最大，∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 时，PQ最大为 ，
而 ，
∴ 的面积最大为 ；
（3）解：存在．
∵点 是抛物线上的动点，作 // 交 轴于点 ，如下图．
∴ ，设 ．
当点F在x轴下方时，
∵ ，
即 ，∴ ，
解得 （舍去）， ，
∴ ．
当点F在x轴的上方时，令 ，
则 ，
解得 ， ，
∴ 或 ．
综上所述，满足条件的点F的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数与平行四边形、二次函数与面积等问题的综合题，主要考查求点的坐标，平行四
边形的性质，面积的表示，涉及方程思想，分类思想等．
