文档内容
2025 年中考第三次模拟考试（全国通用）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是
（ ）
A．−32 B．|−3| C．−(−3) D．(−3) 2
【答案】A
【分析】本题考查幂的运算，绝对值的运算及相反数运算，根据几个定义逐个求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
−32=−9是负数，符合题意，
|−3|=3是正数，不符合题意，
−(−3)=3是正数，不符合题意，
(−3) 2=9是正数，不符合题意，
故选：A．
2．由若干个棱长都为1cm的小正方体组合而成的几何体如图所示，其左视图的面积为（ ）
A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．6cm2
【答案】C
【分析】题考查三视图，根据左视图的定义画出左视图即可．
【详解】解：组合体的左视图为：∴ 4cm2
左视图的面积为 ，
故选：C．
3．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖
总人口约为4500000000人，将这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.45×107 B．4.5×107 C．4.5×109 D．45×106
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：a×10n（1≤|a|<10，n为整数），先确定a的值，再
根据小数点移动的数位确定n的值即可，根据科学记数法确定a和n的值是解题的关键．
【详解】解：4500000000=4.5×109，
故选：C．
4．下列运算正确的是（ ）
A．√4=±2 B．a3÷a3=a C．m2 ⋅m3=m6 D．(−2x2) 3 =−8x6
【答案】D
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，同底数幂乘除法，幂、积的乘方运算，掌握整式的混合运算，
算术平方根的计算是解题的关键．
根据算术平方根的计算，同底数幂乘除法，幂、积的乘方运算进行判定即可．
【详解】解：A、√4=2，原选项计算错误，不符合题意；
B、a3÷a3=a0=1，原选项计算错误，不符合题意；
C、m2·m3=m5，原选项计算错误，不符合题意；
D、(−2x2) 3 =−8x6，正确，符合题意；
故选：D ．
5．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中有这样一个问题：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不
知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长10寸”，译为：拱高CD=1寸，弦AB=10寸，则圆柱
形木材直径是（ ）A．12寸 B．26寸 C．13寸 D．24寸
【答案】B
【分析】此题考直的是垂径定理及勾股定理的应用，解题的关键是掌据垂径定理和利用勾股定理列方程，
1
拫据垂径定理倡出AD= AB=5（寸），在Rt△ADO中，OD的长为(R−1)寸，则OD2+AD2=OA2，
2
据此列方程求出答案即可，
【详解】解：1尺=10寸．
1
根据题意可得AD= AB=5（寸）．
2
设圆O的半径为R寸，
在Rt△ADO，OD的长为(R−1)寸，
则OD2+AD2=OA2,
∴这块圆柱形木材的直径是：13×2=26（寸）．
故选：B．
6．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果a>b，那么a2>b2
B．面积相等的三角形全等
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角
【答案】D
【分析】本题考查了命题与真理，平行线的性质，全等三角形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、若1>−2，则12<(−2) 2，原命题是假命题，故选项不符合题意；
B、面积相等的三角形不一定全等，原命题是假命题，故选项不符合题意；
C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故选项不符合题意；
D、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，原命题是真命题，故选项符合题意；
故选：D．7．图为某市科技馆“科技与生活”和“挑战与未来”两个展厅的路线图．嘉嘉同学通过入口后，随机选
择一条道路前进，每逢路口再任选一条道路，最终到达任意一展厅后停止前进，则嘉嘉最后进入“科技与
生活”展厅的概率是（ ）
1 1 2 5
A． B． C． D．
3 2 3 6
【答案】C
【分析】本题考查用树状图法求概率．画树状图，共有6种等可能的情况，其中小宣最后进入“科技与生
活”展厅的结果有4种，再由概率公式求解即可．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合两步或两步以上完成的事件．解题的关键是掌握：概率=所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：如图，设入口之后的三条道路分别为左，中，右，并用A表示“科技与生活”展厅，用B表
示“挑战与未来”展厅，画出如下树状图：
6
∴由图可知，嘉嘉通过入口后一共有 种不同的可能路线，嘉嘉是任选一条道
路，则走各种路线的可能性认为是相等的，而其中进入A展厅的有4种可能，进入B展厅的有2种可能，
4 2
∴进入B展厅（“科技与生活”展厅）的概率是： = ．
6 3
故选：C．
8．随着全球经济发展，环境保护受到国家的重视．张老师购置了新能源电动汽车，这样他驾车上班比乘
公交车所需的时间少用了12分钟，张老师家到学校的距离为8千米．已知电动汽车的平均速度是公交车的
2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（ ）
8 8 8 8
A． +12= B． = +12
x 2.5x x 2.5x
8 1 8 8 8 1
C． + = D． = +
x 5 2.5x x 2.5x 5
【答案】D【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式是关键．
根据电动汽车与公交车平均速度间的关系，可得出电动汽车的平均速度是2.5x千米/小时，利用时间=路程
÷速度，结合张老师驾车上班比乘公交车所需的时间少用了12分钟，即可列出关于x的分式方程．
【详解】解：∵电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，且乘公交车平均每小时走x千米，
∴电动汽车的平均速度是2.5x千米/小时．
8 8 12
根据题意得： = + ，
x 2.5x 60
8 8 1
即 = + ．
x 2.5x 5
故选：D．
9．在同一平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2−a的图象和一次函数y=ax−a的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次
函数图象与实际是否相符，判断正误即可．解题的关键是熟记一次函数y=ax−a在不同情况下所在的象限，
以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
【详解】解：A、由一次函数y=ax−a的图象可判断矛盾，故不符合题意；
B、由一次函数y=ax−a的图象可得：a<0，此时二次函数y=ax2−a的图象应该开口向下，和y轴的正
半轴相交，且与一次函数交于同一点(0,−a)，故选项不符合题意；
C、由一次函数y=ax−a的图象可得：a<0，此时二次函数y=ax2−a的图象应该开口向下，和y轴的正
半轴相交，且与一次函数交于同一点(0,−a)，故选项不符合题意；
D、由一次函数y=ax−a的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2−a的图象应该开口向上，和y轴的负
半轴相交，且与一次函数交于同一点(0,−a)，故选项符合题意．故选：D．
10．如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F，G分别在边AB，BC，CD上，且AF⊥EG．当
CF=2BF时，EF+AG的最小值为（ ）
A．2√10 B．3√10 C．2√5 D．3√5
【答案】C
【分析】过点G作GM⊥AB，过点F作FH∥EG，过点G作GH∥EF，设AF与GE交于点N，首先求
出AF=√AB2+BF2=√10，然后证明出△ABF≌△GME(ASA)，得到AF=≥=√10，证明出四边形
EFHG是平行四边形，得到EF+AG=GH+AG≥AH，当点A，G，H三点共线时，EF+AG取值最小
值，即AH的长度，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】如图所示，过点G作GM⊥AB，过点F作FH∥EG，过点G作GH∥EF，设AF与GE交于点
N
∵正方形ABCD的边长为3，
∴AB=BC=3
∵CF=2BF
∴BF=1
∴AF=√AB2+BF2=√10
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠MAD=∠D=∠ABF=90°
∴四边形AMGD是矩形
∴AD=MG∴AB=MG，
∵AF⊥EG
∴∠AMG=∠ANG=90°
∴∠BAF=∠MGE
又∵∠ABF=∠GME=90°
∴△ABF≌△GME(ASA)
∴AF=≥=√10
∵FH∥EG，GH∥EF
∴四边形EFHG是平行四边形
∴EG=FH=AF=√10
∴EF+AG=GH+AG≥AH
∴当点A，G，H三点共线时，EF+AG取值最小值，即AH的长度
∵AF⊥EG
∴AF⊥EH
∴AH=√AF2+FH2=2√5．
故选：C．
【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，矩形和平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判
定，解题的关键是作出辅助线构造平行四边形．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：a3−4a2+4a= ．
【答案】a(a−2) 2
【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式=a(a2−4a+4)=a(a−2) 2；
故答案为：a(a−2) 2．
12．关于x的一元二次方程3x2−2x−c=0有两个相等的实数根，则实数c的值为 ．
1
【答案】−
3【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握根的判别式与一元二次方程根的关系是解题
的关键．对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若Δ=b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若
Δ=b2−4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=b2−4ac<0，则方程没有实数根，据此可得
(−2) 2−4×3×(−c)=0，求解即可．
【详解】解：由题意得：(−2) 2−4×3×(−c)=0，
1
解得：c=− ，
3
1
故答案为：− ．
3
13．如图，△ABC与△≝¿位似，点O为位似中心，OB=2BE．若△ABC的面积为4，则△≝¿的面积是
．
【答案】9
【分析】根据位似比为2:3推知两个三角形的相似比为2:3．根据“相似三角形的面积之比等于相似比的
平方”作答．本题考查了位似变换，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相
似比的平方．
【详解】解：∵△ABC与△≝¿位似，点O为位似中心，OB=2BE
∴OB∶OE=2∶3
即△ABC与△≝¿的位似比为2:3，
∴△ABC与△≝¿相似，相似比为2:3，
∴△ABC与△≝¿的面积比为4:9．
∵△ABC的面积为4，
∴△≝¿的面积是9．
故答案为：9
k
14．如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴，点E在双曲线y= （k
x为常数，k>0）上，将正六边形ABCDEF向上平移√3个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为
．
【答案】4√3
【分析】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、反比例函数与几何综合，作EH⊥x轴
与H，连接OE，证明△OED是等边三角形，得出DE=OD，设OD=2m，则OH=m，HE=√3m，得出
E(m,√3m)，D(2m,0)，根据平移的性质可得点(2m,√3)在双曲线上，代入计算即可得解．
【详解】解：如图，作EH⊥x轴与H，连接OE，
∵原点O为正六边形ABCDEF的中心，
∴OE=OD，∠EOD=360°÷6=60°,
∴△OED是等边三角形，
∴DE=OD，
∵EH⊥OD，
1
∴OH=DH= DO，
2
√3
∴EH=√DE2−DH2= OD，
2
设OD=2m，则OH=m，HE=√3m，
∴E(m,√3m)，D(2m,0)，∵将正六边形ABCDEF向上平移√3个单位长度，点D恰好落在双曲线上，
∴点(2m,√3)在双曲线上，
∵点E也在双曲线上，
∴k=2m⋅√3=m⋅√3m，
解得：m=2或m=0（舍去），
∴k=2m⋅√3=4√3，
故答案为：4√3．
15．2024年12月4日，我国的“春节”申遗成功，为了增添节日气氛，小刚家计划购买一条彩带，按如
图所示的方式从圆柱的点 处缠绕到圆柱的点 处（点 在下底面，点 在上底面，点 在点 的正上
方），若圆柱的底面周长为 ，高为 ，则需要购买彩带的长度最短为 ．
【答案】√149
【分析】本题主要考查了平面展开—最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解
是解题的关键．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长5dm，长方形的长等于
圆柱的高7dm，在展开图中，根据题意，利用两点之间线段最短，求出AC+BD即可．
【详解】解：圆柱体的侧面展开图如图所示，
最短长度为AC+BD
=√149(dm)．
故答案为：√149．16．已知关于y的不等式组¿有且仅有2个整数解，则所有满足条件的整数m的和为 ．
【答案】0
m+2
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据题目的条件得到0≤ <1是解答本题的关键．
5
m+2
先求解不等式组，根据不等式组有且仅有2个整数解得0≤ <1，进而得到满足条件的整数m的值，再
5
求和即可．
【详解】解：解不等式组¿，得¿，
∵不等式组有且仅有2个整数解，
m+2
∴0≤ <1，
5
∴−2≤m<3，
∴所有满足条件的整数m的值分别为−2，−1，0，1，2，
∴所有满足条件的整数m的和为−2+(−1)+0+1+2=0，
故答案为：0．
三、解答题（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分。解答应写
出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算：
(1) −2
−2sin60°+(π−3.14) 0+|1−√3|
2
【答案】4
【分析】本题考查实数的运算，特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，先计算负整数指数幂，特
殊角的三角函数值，零指数幂，化简绝对值，再加减即可．
【详解】解：
(1) −2
−2sin60°+(π−3.14) 0+|1−√3|
2
=4．
x2−4x+4 ( 3 )
18．先化简，再求值： ÷ x+1− ，其x=3．
x−1 x−1
x−2 1
【答案】 ,
x+2 5
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先根据异分母分式的减法法则进行括号内计算，再计算除法，把x=3代入计算即可．
x2−4x+4 ( 3 )
【详解】解： ÷ x+1−
x−1 x−1x−2 3−2 1
将x=3代入得，原式＝ = = ．
x+2 3+2 5
19．为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随
机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），按劳动时间分为四组：A组“t<5”，B组“
5≤t<7”，C组“7≤t<9”，D组“t≥9”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次抽样调查的样本容量是 ，C组所在扇形的圆心角的大小是 ；
(2)直接写出平均每周劳动时间的中位数在哪一组；
(3)该校共有1500名学生，请你估计其中平均每周劳动时间不少于7h的学生人数．
【答案】(1)100，108°
(2)B组
(3)600(人)
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，掌握统计数
据的意义．
（1）根据统计图中D组的数据，可以求得本次抽取的人数；用C组人数所占百分比乘以360°即可得到C
组所在扇形的圆心角的大小；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出B组的人数，从而根据中位数的定义求解即
可；
（3）用1500乘以不少于7h的学生人数的占比，即可计算出该校平均每周劳动时间不少于7h的学生人数．
【详解】（1）解：这次调查活动共抽取10÷10%=100（人），
∴这次抽样调查的样本容量是100，
30
C组所在扇形的圆心角的大小是360°× =108°，
100
故答案为：100；108°；
（2）解：B组的学生有：100−15−30−10=45（人），样本的最中间的2个数据是第50和51个，
而15+45=60>51，
故平均每周劳动时间的中位数在B组；
30+10
（3）解：1500× =600（人）．
100
∴估计该校平均每周劳动时间不少于7h的学生人数大约有600人．
20．随着自媒体的盛行，网购及直播带货成为一种趋势，某农产基地准备借助自媒体对某种水果做营销，
采用线上及线下两种销售方式，统计销售情况发现，该水果的销售量和总收入如表（总收入=销售量×单
价）：
线上销售水果量（单位：kg 线下销售水果量（单位：kg
总收入（单位：元）
） ）
第一批 40 60 1380
第二批 60 40 1320
(1)求该水果线上、线下的销售单价各是多少元/kg；
(2)若某公司计划从该地采购该水果1000kg，因保质期问题，准备采用线上、线下相结合的方式，因实际
1
需要，线下采购该水果量不得少于线上采购该水果量的 ，请你帮该公司算一算，当线下采购多少kg水果
9
时最省钱？
【答案】(1)该水果线上的销售单价是12元/kg，线下的销售单价是15元/kg
(2)当线下采购900kg该水果时最省钱
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系
式．
（1）设该水果线上的销售单价是x元/kg，线下的销售单价是y元/kg，利用总收入=销售单价×销售数量，
结合第一、二两批该水果的销售量和总收入，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该公司线上采购该水果mkg，则线下采购该水果(1000−m)kg，根据线下采购该水果量不得少于
1
线上采购该水果量的 ，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设该公司采购
9
1000kg该水果共花费w元，利用总价=单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性
质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设该水果线上的销售单价是x元/kg，线下的销售单价是y元/kg，根据题意得：¿，
解得：¿．
答：该水果线上的销售单价是12元/kg，线下的销售单价是15元/kg；
（2）解：设该公司线上采购该水果mkg，则线下采购该水果(1000−m)kg，
1
根据题意得：1000−m≥ m，
9
解得：m≤900．
设该公司采购1000kg该水果共花费w元，则w=12m+15(1000−m)，
即w=−3m+15000，
∵−3<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=900时，w取得最小值．
答：当线下采购900kg该水果时最省钱．
21．数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据表格内容完成任务．
课
探究经十路非机动车道遮阳栅相关问题
题
素
材 济南经十路沿线非机动车道上的遮阳棚，采用高级玻
背 璃丝纤维材料，能够抵抗雨淋和日晒，如图1．
景
抽 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图．如图2，
象 立柱FD与地面MN垂直，CD的长为2m，
测 AB=CB=4m，∠ABC=22°．经过点B的太阳光线
量 照射在点E处．
任
务 求出遮阳棚前端B到地面MN的距离．
1
任
务 当太阳光线与地面夹角∠BEN为61°时，求非机动车道有效遮阳宽度DE的长．
2
（结果精确到0.01m．参考数据：sin11°≈0.191，cos11°=0.982，tan11°=0.194，sin61°≈0.875，
cos61°=0.485，tan61°=1.804）【答案】任务1：2.76m；任务2：DE的长为2.40m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的方法是解题的关键．
任务1：作BG⊥DF，BH⊥MN，由等腰三角形的性质可得∠GBC=11°，在Rt△BGC中，
GC=BC×sin11°，结合图形即可求解；
任务1：在Rt△BGC中，∠BGC=90°，GB=BC×cos11°，可知DH=GB=3.928m，在Rt△BHE中，
BH
∠BHE=90°，EH= ，再结合DE=DH−EH，即可求解．
tan61°
【详解】解：任务1：作BG⊥DF，BH⊥MN，
∵AB=CB=4m，∠ABC=22°，
∴∠GBC=11°，
在Rt△BGC中，∠BGC=90°，
GC=BC×sin11°≈4×0.191=0.764m，GD=GC+CD=0.764+2=2.764m，
又∵FD⊥MN
∴四边形DGBH为矩形
∴BH=GD=2.764≈2.76m
答：遮阳棚前端B到地面MN的距离为2.76m；
任务2：在Rt△BGC中，∠BGC=90°，
GB=BC×cos11°≈4×0.982=3.928m，
∵四边形DGBH为矩形
∴DH=GB=3.928m，
在Rt△BHE中，∠BHE=90°，
答：非机动车道有效遮阳宽度DE的长为2.40m．
22．问题情境：
如图1，四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AD于点F．猜想证明：
（1）判断四边形AECF的形状，并说明理由；
深入探究：
（2）将图1中的△ABE绕点A逆时针旋转，得到△AHG，点E，B的对应点分别为点G，H．如图2，当
线段AH经过点C时，GH所在直线分别与线段AD，CD交于点M，N．猜想线段CH与MD的数量关系，
并说明理由．
【答案】（1）四边形AECF为矩形；理由见解析
（2）CH=MD；理由见解析
【分析】（1）由AE⊥BC，CF⊥AD，得∠AEC=90°，∠AFC=90°，再根据菱形的性质
AD∥BC，则∠AFC+∠ECF=180°，∠ECF=180°−∠AFC=90°，从而证明
∠AEC=∠ECF=∠AFC=90°即可；
（2）由四边形ABCD为菱形，则AB=AD，∠B=∠D，再由旋转性质可知AB=AH，∠B=∠H，证
明△HAM≌△DAC(ASA)，最后根据全等三角形的性质和线段和差即可求解．
【详解】解：（1）四边形AECF为矩形，理由如下：
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEC=90°，∠AFC=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠AFC+∠ECF=180°，∠ECF=180°−∠AFC=90°，
∴∠AEC=∠ECF=∠AFC=90°，
∴四边形AECF为矩形；
（2）CH=MD，理由如下：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
∵△ABE旋转得到△AHG，∴AB=AH，∠B=∠H，
∴AH=AD，∠H=∠D，
在△HAM和△DAC中，
¿，
∴△HAM≌△DAC(ASA)，
∴AM=AC，
∴AH−AC=AD−AM，
∴CH=MD．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，旋转的性质，等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的
应用是解题的关键．
23．如图，在⊙O中，AB是直径，CF是∠ACB的平分线，分别交AB于点E，⊙O于点F，点D在BA
的延长线上，连接AC，CD，DC=DE．
(1)求∠ACF的度数．
(2)求证：DC是⊙O的切线．
1
(3)连接AF，过点E作EH⊥AF于点H，若AO=3，tan∠EFH= ，求EF的长．
2
【答案】(1)45°
(2)见解析
(3)√10
【分析】（1）根据直径所对圆周角为直角即可求解；
（2）如图，连接OC，OF，由圆周角定理得∠AOF=2∠ACF=90°，再由DC=DE，OC=OF，得
∠DCE=∠DEC，∠OCE=∠OFE，进而求得∠DCO=90°，即可证明结论；
（3）先证△AHE是等腰直角三角形，得HE=HA，由勾股定理求得AF=√2AO=3√2，结合
EH 1 EH AH 1
tan∠EFH= = ，得 = = ，可得HF=2AH=2√2，AH=EH=√2，再利用勾股定理即可
HF 2 HF HF 2求解．
【详解】（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵CF是∠ACB的平分线，
1
∴∠ACF= ∠ACB=45°．
2
（2）证明：如图，连接OC，OF．
∵∠ACF=45°，
∴∠AOF=2∠ACF=90°
∵DC=DE，OC=OF，
∴∠DCE=∠DEC，∠OCE=∠OFE，
∴∠DCO=∠DCE+∠OCE=∠DEC+∠OFE=∠OEF+∠OFE=180°−90°=90°．
∵OC是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线．
（3）∵EH⊥AF，∠BAF=∠BCF=45°，
∴△AHE是等腰直角三角形，
∴HE=HA．
在Rt△AOF中，AF2=AO2+OF2=2OA2，
∴AF=√2AO=3√2．
EH 1
∵tan∠EFH= = ，
HF 2
EH AH 1
∴ = = ，
HF HF 2
∴HF=2AH=2√2，AH=EH=√2，
在Rt△EHF中，EF=√EH2+H F2=√(√2) 2+(2√2) 2=√10．【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定及性质，切线的判定，勾股定理，利用正切值求线段长
度等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
c
24．定义：若一次函数y=ax+b和反比例函数y=− 交于两点(x , y )和(x , y )，满足x =k y (x 0)与反比例函数y = 交于A, B两点，它们的“−a属合成”函数为y ，若
1 2 x 3
点A在直线y=−ax+5上，求y 的解析式；
3
3
(3)如图，若y=ax+b与y=− 的“2属合成”函数的图象与x轴交于M, N两点（M在N点左侧），它
2x
的顶点为D(1, y )，P为第三象限的抛物线上一动点，NP与y轴交于点E，将线段DE绕点D逆时针旋转
0
90°得到线段DF，射线ME与射线FN交于点G，连接MP，若∠MGN=2∠MPN，求点P的坐标．
【答案】(1)存在，k=−1，“−1属合成”函数解析式为y=x2−2x−3
(2)y 的解析式为y =x2+3x−4或y =−x2+√41x−4
3 3 3
(3)P(1−2√2, −2)
【分析】（1）根据“k属合成”函数的定义，联立方程组求解即可；
4
（2）设两函数图象的交点横坐标为x 和x (x 0)与反比例函数y = 的两个交点为A(x ,y ),B(x ,y )(x
