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2025 年中考第二次模拟考试（河北卷）
数学·全解全析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．四个数 中一定为负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正数和负数，求绝对值，有理数乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
先将各项数化简，再根据负数一定小于0，进行判断即可．
【详解】解：A、|－3.14|=3.14，为正数，故此选项不符合题意；
B、当 为负数时， 是正数，故此选项不符合题意；
C、 为负数，故此选项符合题意；；
D、 为正数，故此选项不符合题意；．
故选：C．
2．2024年国庆节假期，全国文化和旅游市场平稳有序，假日7天，某地接待游客约 人次，则日均
接待游客人次用科学记数法表示约为（ ）
A． 人次 B． 人次
C． 人次 D． 人次
【答案】B
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．
解题关键是正确确定a的值以及n的值．
科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a
时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时，n是正整数；当原
数的绝对值 时，n是负整数．【详解】解： (人次)．
故选：B．
3．公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图1所示），一个钉头形代表1，
一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边
的数字代表个位．然后是十位、百位，根据符号记数的方法，图2所示的符号表示一个两位数，则这个两
位数是（ ）
A．25 B．15 C．11 D．52
【答案】A
【分析】本题考查了用符号表示数，图形的规律探索，理清题目中的符号表示的意义是解答本题的关键，
一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，这个两位数是由2个10，5个1组成的，是25．
【详解】解：根据符号记数的方法，如图符号表示一个两位数，则这个两位数是25．
故选：A．
4．如图所示表示1~7组种子发芽率，前五组种子发芽率的中位数为 ，第6组从甲、乙、丙选一个，
第7组从丁、戊选一个，若这7组的种子发芽率仍为 ，则选择的可以是（ ）
A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、戊 D．乙、丁
【答案】D
【分析】本题主要考查了用中位数做决策，由图像可知，要使选定7组种子发芽率的中位数仍为 ，则
需要选择 以上的一组种子和 以下的一组种子，根据选项即可得出正确的答案．
【详解】解：依题意，A.甲、丁的发芽率都超过 ，不合题意，
B.乙、戊发芽率都低于 ，不合题意，
C.丙、戊发芽率都低于 ，不合题意，
D.乙、丁发芽率一个低于 ，一个高于 ，符合题意，故选：D．
5．如图是用12个大小相同的正方体搭成的长方体（正方体用胶水相互紧密粘连），分成两部分，其中一
部分有7个正方体，则“？”一部分几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义．
左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可．
【详解】根据题意得，“？”一部分几何体的左视图是：
故选：C．
6．体育老师对一班和二班学生参加体育兴趣小组的情况进行了统计（每人只能参加一个兴趣小组），并
得到了如图所示的统计图，则下列说法一定正确的是（ ）
A．一班和二班参加乒乓球兴趣小组的人数一样多
B．二班参加足球兴趣小组的人数占二班总人数的
C．一班参加羽毛球兴趣小组的人数比二班参加羽毛球兴趣小组的人数多
D．二班参加羽毛球兴趣小组和参加足球兴趣小组的人数一样多
【答案】D
【分析】本题考查了扇形统计图，熟练掌握扇形统计图的定义及其应用是解题的关键．由于不知道一班和二班人数，所以两个班级的具体项目的人数无法比较，知道同一班级中的各项目的百分比即可比较参加项
目人数多少，据此解答即可．
【详解】解：A、由于不知道一班和二班人数，
∴虽然一班和二班参加乒乓球兴趣小组的占其班级百分比相同，但人数不一定相等，
∴选项A错误，不符合题意；
B、二班参加足球兴趣小组的人数占二班总人数的百分比为 ，
∴选项B错误，不符合题意；
C、由于不知道一班和二班人数，
∴无法比较两班参加羽毛球兴趣小组的人数的多少，
∴选项C错误，不符合题意；
D、∵二班参加羽毛球兴趣小组的人数占二班总人数的百分比为 ，参加足球兴趣小组的人数占二班总
人数的百分比为 ，相等，
∴二班参加羽毛球兴趣小组和参加足球兴趣小组的人数一样多，
∴选项D正确，符合题意；
故选：D．
7．甲、乙、丙三人用同一张矩形纸张接力进行如图所示的操作：甲任意画一个 ，折叠纸张使得点A
与点C重合，折痕与 边交于点O；乙再折出射线 ，点E在 延长线上；丙再折叠纸张使得 落
在 上，点B的对应点为点D，连接 ． 对下列两个结论判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：由操作步骤可直接得到四边形 为平行四边形，判定依据是一组对边平行且相等；
结论Ⅱ：在 中，若 ，则四边形 为矩形．
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对，Ⅱ对 D．Ⅰ对，Ⅱ不对
【答案】C
【分析】本题考查了折叠性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的
关键．先根据折叠得 ，证明四边形 为平行四边形，再结合有一个角是直角的平
行四边形是矩形，即可作答．【详解】解：∵折叠，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
判定依据是对角线互相平分；
故结论Ⅰ不正确；
∵在 中， ，
∴ ,
∵四边形 为平行四边形，
∴四边形 为矩形，
故结论Ⅱ是正确的；
故选：C．
8．如图，一次函数 的图象经过平面直角坐标系中四个点： ， ， ， 中
的任意两个．则符合条件的k的最大值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】B
【分析】本图考查一次函数的性质，待定系数法求解析式，根据题意，当经过 两点时， 最大，进而
待定系数法求解析式，即可求解．
【详解】解：当 ， 越大，则直线与 轴的夹角越大，
∴当经过 两点时， 最大，
将 ， ，代入
解得：故选：B．
9．如图，在 中， ， ，将 绕点B按顺时针方向旋转一定角度，得到 ，
点 恰好落在 上，连接 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由旋转的性质可得 ， ， ， ，由等边对等角可得
， ，进而可得 ， ，由内错角相等两直线平行可得
，由此可证得四边形 是平行四边形，于是可得 ，然后根据
即可求出 的度数．
【详解】解：由旋转的性质可得：
， ， ， ，
，
，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
故选： ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，内错角相等两直线平行，平行四边形的判定与性质等
知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键．10．在平面直角坐标系中，点 和图形 在第一象限内，过点 作 轴和 轴的垂线、垂足分别为
， ，若图形 中的任意一点 满足 且 ．则称四边形 是图形 的一个覆盖，
为这个覆盖的特征点．如：如图， ， ， ， ，四边形 是线段 的一个覆
盖， 为这个覆盖的特征点．若在直线 上存在图中 的覆盖的特征点，则 的值可
以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的性质，解不等式组，理解题意，掌握一次函数的性质是解题的关键．
设 ，根据覆盖的特征点的定义，当 为线段 的覆盖的特征点时，求得 的范围，当 为线
段 的覆盖的特征点时，求得 的范围，即可求解；
【详解】解：设 ，
当 为线段 的覆盖的特征点时，则 ，解得 ；
当 为线段 的覆盖的特征点时，则 ，解得 ，
综上所述，当 时， 为 的覆盖的特征点，
∴选项 符合题意，故选： ．
11．如图，在 中， ，两个边长为1的正方形 ， 的顶点D，E，F，I，J均在
的边上，当 时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了解直角三角形，正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．根据题意
得到 ，将两个三角形的面积求出即可得到答案．
【详解】解：过点 作 于点 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，．
故选：D．
12．如图，抛物线 经过点 、 ，则下列结论，正确的有（ ）
①若 、 在该抛物线上，当 时，m的取值范围是 ；②若抛物线与y轴交于点
，当 时y的最大值与最小值的差为6，则n的值为 或 ；③平面直角坐标系内，
线段 的端点为 ， ，当抛物线 与线段MN有交点时，a的取值范围是
；④以 为直径的圆与x轴下方抛物线有交点，则a的取值范围是 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】运用抛物线的解析式，抛物线的图象性质，一元二次方程的求解，点与圆的位置关系求解．
【详解】∵拋物线上点 、 关于对称轴对称，
∴拋物线对称轴为直线 ，
∵拋物线开口向上，∴当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小，
当 ，即 时， 、 ，两点在对称轴上或右侧， 恒成立；
当 且 即 时，若 ，则 ，解得 ，
即 ；
当 时， 、 两点均位于对称轴左侧， ；
所以当 时， ；
故①错误；
设拋物线解析式为 ，把 代入可得 ，
∴拋物线的解析式为 ，
当 时， 时y有最大值为5， 时y有最小值为 ，
∵y的最大值与最小值的差为6，
∴ ，解得 或 （舍去）；
当 时， 时y有最大值为5，当 时y有最小值为 ，不符合题意；
当 时，当 时y有最大值为 ，当 时y有最小值为 ，
∵y的最大值与最小值的差为6，
∴ ，解得 或 ，均不满足 ，故不符合题意；故②错误；
把 、 代入 ，得 ，解得 ，
∴ ，
把 代入可得， ，解得 ，
把 代入可得， ，解得 ，
∵当抛物线与线段 有交点，∴a的取值范围是 ，故③正确；
∵抛物线经过点 、 ，
∴ ，
∴以 为直径的圆的半径为2，
∵抛物线 的顶点坐标为 ，
∴当以 为直径的圆与x轴下方抛物线有交点时， ，解得 ，
∴a的取值范围是 ，故④错误．
故选A．
【点睛】本题考查二次函数解析、抛物线的图象性质，一元二次方程的求解，点与圆的位置关系，数形结
合思想是解题的关键．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．化简 的结果是 ．
【答案】 /
【分析】此题主要考查分式化简，约分至最简形式是解题的关键．此题涉及的知识点是分式的化简，根据
约分要求进行计算可得结果．
【详解】解： ．
故答案为： ．
14．已知代数式 与 的值互为相反数，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了相反数的性质，解分式方程，先根据两个分式互为相反数列出方程，再求出解即
可．
【详解】∵代数式 与 互为相反数，∴ ，
解得 ．
经检验， 是原方程的解．
故答案为： ．
15．如图，在正六边形 中，连接对角线 ， ， ， ， ， 与 交于点 ，
与 交于点为 ， 与 交于点 ．若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查正多边形问题，根据多边形是正六边形可得出
得出
， 可得 由勾股定理得出
，可得 是等边三角形，从而得出 ．
【详解】解：∵六边形 是正六边形，
∴
∴ ，
∴
在 中，
∵
∴解得： ，
同理可得， ，
∴
∵
∴ 是等边三角形，
∴ ．
故答案为： ．
16．点 ， ， 在同一直线上，点 ， ， 在同一条直线上， ，部分数据如图所
示，将 沿虚线剪成三块，其中两块为梯形，一块为三角形，阴影部分的面积记为 ．将 沿虚
线剪成三块，三块均为三角形，阴影部分的面积记为 ，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形的面积，理解相似
三角形的面积比既是对应边比的平方是解题的关键．
根据题意先求出 ，即可得出 ，根据三角形的面积可得出 ，再由
得出 ，即可求出 ．
【详解】解：如图， 如图标注，由题意知，四边形 ， 为梯形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（7分）小王和小张在计算 为常数)时，都抄错了题目，情况如下：小王按照 计算，得 ；
小张按照 计算，得
(1)求 的值；
(2)当原整式的值为 时，求 的值．
【答案】(1) ；
(2) ，
【分析】本题考查了整式的相关运算及方程的解法，考查数学情境下的运算能力，推理能力．
（1）将小王和小张的计算所得结合求出m与n的值；
（2）将原整式的值代入计算即可求得．
【详解】（1）解：∵ ，
，
∴ ，
解得： ；
（2）解：由（1）得 ，
∴原整式 为 ，
∴ ，
整理得 ，
解得 ，
18．（8分）课堂上，数学老师展示了两道作业题及其错误的解答过程：
作业题1 作业题2解分式方程： ．
解：去分母，得 ①
化简分式： ．
去括号，得 ②
移项，得 ③ 解： ①
合并同类项，得 ④
②
系数化为1，得 ⑤
③
经检验， 是原分式方程的解．
(1)分别写出作业题1，作业题2的解答过程中是从第几步开始出现错误的；
(2)从两道作业题中任选一题，写出正确的解答过程．
【答案】(1)作业题1：第①步；作业题2：第②步
(2)选作业题1，见解析
【分析】本题主要考查分式的减法和解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
（1）观察解题过程即可得出结论；
（2）按照解分式方程的步骤和分式的减法法则进行计算，即可逐一解答．
【详解】（1）解：作业题1：第①步；作业题2：第②步；
（2）解：选作业题1：去分母，得 ．
去括号，得 ．
移项，得 ．
合并同类项，得 ．
系数化为1，得 ．
经检验， 是原分式方程的解．
选作业题2：．
19．（8分）某校为了解学生身体健康状况，从全校1000名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取
了部分学生的测试数据进行初步整理（如表）．并绘制出不完整的条形统计图（如图）．
学生体质健康统计表
成绩 频数 百分比
不及格 3
及格 20%
良好 45
优秀 32 32%
(1)分别求出表中 、 、 的值；
(2)请补全图中的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“不及格”的总人数；
(3)为听取测试建议，学校选出了3名“良好”和1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加
学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人是一名“良好”，一名“优
秀”的概率．
【答案】(1)3%，20，45%
(2)补全条形统计图见解析，30人
(3)
【分析】（1）先根据选取的优秀人数和百分比求出选取的人数，再根据总数、频数、百分比的关系即可
求得答案；
（2）根据及格的人数，补全条形统计图；再由不及格人数占比估计总体即可得到答案；（3）画树状图列出所有等可能的结果，再找出一名“良好”，一名“优秀”的结果，利用概率公式可得
出答案．
【详解】（1）解：这次调查的人数为： （人），
， ， ，
故答案为：3%，20，45%；
（2）解：补全条形统计图如下：
则 （人），
估计该校学生体质健康测试结果为“不及格”的总人数为30人；
（3）解：设3名“良好”分别为甲、乙、丙，1名“优秀”学生为丁，
画树状图如图：
∵共有12种等可能的结果，其中两人是一名“良好”，一名“优秀”的结果是甲丁、乙丁、丙丁、丁甲、
丁乙、丁丙共6种，
∴所抽取的两人是一名“良好”，一名“优秀”的概率为 ．
【点睛】本题考查条形统计图、用样本估计总体、树状图法求概率及简单概率公式等知识，熟练掌握条形
统计图相关知识及列表法与树状图法求概率是解答本题的关键．
20．（8分）如图，半圆O与直线 相切于点 ， 为半圆O的直径， ．P为直线 上的一动点，过点P作射线 ， ，射钱 随点P的移动而平移．
(1)如图1，移动点P，使得射线 与半圆O交于点D，E，连接 ， ．当 时，求 的长．
(2)如图2，移动点 ，使得射线 经过点C，射线 与半圆O交于另一点F，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握等边三角形的判定和性质是
解题的关键；
（1）根据 ，可得 ，进而判定 为等边三角形，根据弧长公式即可求解；
（2）连接 ，作 ，根据题意求得 的度数，然后根据勾股定理，即可求解；
【详解】（1）解： ，
；
，
为等边三角形，
，
则 ；
（2）解：连接 ，作 ；，
半圆O与直线 相切于点 ，
，
，
，
，
，
；
21．（9分）如图1，光滑桌面 的长为 ，两端竖直放置挡板 和 ，小球P（看作一点）从挡
板 出发，匀速向挡板 运动，撞击挡板 后反弹，以原速返回挡板 ，过程中小球和挡板 的
距离 与时间 的关系图象如图2所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞击和反弹时间忽略
不计）
(1)图中 ______， ______，小球的速度为______ ．
(2)求图2中直线 的函数解析式．
(3)若小球从挡板 向挡板 运动的过程中，同时，挡板 以 的速度匀速向挡板 运动，运动
过程中（小球与挡板 撞击前），当小球恰好位于这两个挡板中点处时，运动时间为 ，请直接写出t的
值．【答案】(1)120，24，10；
(2)
(3)
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，待定系数法求函数解析式，线段的中点，数形结合是解答本题
的关键．
（1）根据函数图象可知 ，小球到达 时 ，进而可求出m和小球的速度；
（2）用待定系数法求解即可；
（3）根据中点的定义列方程求解即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知 ，小球到达 时 ，
∴小球的速度为 ．
∵撞击挡板 后反弹，以原速返回挡板 ，
∴ ．
故答案为：120，24，10；
（2）解：直线 的函数解析式为 ，把 代入，得
，
解得 ，
∴ ；
（3）解：设挡板 运动后的位置为 ，由题意，得
，
∵小球恰好位于这两个挡板中点，
∴ ，
解得 ，
∴t的值为 ．
22．（9分）佳佳新购买了一款手机支架，其结构平面示意图如图1所示， 是手机托板， 是支撑杆，
是底座，量得 ，她调整支架的角度，研究其运动特点，发现 的度数不变， 可以绕点C在平面内旋转，当 与 重合时停止旋转．
(1)如图2，当点A，点B，点E刚好在一条直线上时，已知 ，求点A到 的距
离（结果精确到 ）；
(2)当直线 与 所成锐角为 时，直接写出点B到 的距离（结果保留根号）．（参考数据：
）
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题考查解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键：
（1）过点C作 于点G， ，过点A作 于点H，分别解 ， ，
求出 的长，求和即可得出结果；
（2）分 和 两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：过点C作 于点G，作 ，过点A作 于点H．如图，
．
，
．
∴在 中， ．
．∴在 中， ．
点A到 的距离 ．
（2）当直线 与 所成锐角为 时，
情况一：如图，当 时，过点B作 于点K．
，
由（1）知： ，
∴点B到 的距离： ．
情况二：如图，当 时，则： ，
∴ ，
点B到 的距离 ；
综上：点B到 的距离为 或 ．
23．（11分）如图1，在平行四边形 中， 于点 ，且 ．点 从点出发，沿 向终点 运动，设点 在该折线上运动的路径长为 ，连接 ．
(1) 的长为________，当点 在 上运动时， 的最小值为_______；
(2)点 是 的中点，如图2，
①请用无刻度的直尺和圆规过点 作 的垂线 ，垂足为点 （保留作图痕迹，不写作法）；
②求证： ；
(3)延长 到点 ，使得 ，以 ， 为邻边作平行四边形 ．
①当点 在 上，平行四边形 对角线 所在的直线恰好经过点 时，如图3，求 的值；
②当点 落在平行四边形 的边上或内部时，直接写出 的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)①见解析；②见解析
(3)① ；②
【分析】（1）利用正弦函数的定义求得 ，当 时， 取得最小值，利用等积法即可求解；
（2）①利用尺规作图的方法作出图形即可；
②先求得 ，再利用 即可证明 ；
（3）①分别用 表示出 ， ， 和 的值，证明 ，利用相似三角形的性质列式计算
即可求解；
②分两种情况讨论，当P在 上时，当 时，点A落在 的边上，即可求出x的范围；当P
在 上时，如图，过P作 于Q，设 与直线 交于H，根据三角函数，分别用x表示出
，证明 ，求出 ， ，当 且 时，点A落在 的边
上或内部，进而求出x的范围即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， 取得最小值，
∵ ，即 ，
∴ ，即 的最小值为 ；
故答案为： ， ；
（2）解：①所作图形如图，
②由作图知 ，
∵ ，即 ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：①D落在对角线 上，如图，由题意得 ， ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
②当P在 上时，如图，，
，
当 时，点A落在 的边上，
，
解得： ，
，
当P在 上时，如图，过P作 于Q，设 与直线 交于H，
，
，
， ， ，
， ，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
，
，
，，
，
， ，
当 且 时，点A落在 的边上或内部，
，
解得： ，
，
综上所述，当 时，点A落在 的边上或内部．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角函数，勾股定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的
判定，解题的关键是分类讨论思想的运用，正确的作图．
24．（12分）如图，抛物线 与x轴负半轴交于点 ，与 轴正半轴交于点 ，与 轴交
于点 ，抛物线的顶点为 ，过点 向 轴作垂线，交 轴于点 ，以 和 为邻边在第二象限
内作矩形 ．动点 从点 出发，沿 向点 运动，运动的速度为每秒 个单位长度．设点 的运
动时间为 秒，过点 作 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，交抛物线于点 ．(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)当 为 的中点时，求 的长．
(3)如图1，连接 ，当 的面积最大时，求 的值．
(4)如图2，点 运动的同时，点 从点 出发沿 向点 运动，运动的速度为每秒 个单位长度， 为矩
形 内一点，且点 在点 的正下方，当四边形 为菱形时，直接写出 的值．
【答案】(1)
(2)
(3) （秒）
(4) （秒）
【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用、相似三角形的相似比、动点问题、菱形的性质等知识点，
熟练掌握待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的相似比、平行直线函数解析式的 值相等、菱形的
性质定理是解题的关键．
（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可解答此题；
（2）利用相似三角形的判定和相似比即可解答此题；
（3）分析当三角形的底边固定，高最大时三角形的面积最大，利用直线平行和直线与抛物线相切求得
点坐标，进而根据题意求得 点、 点坐标，求得 长可求 值；
（4）根据题意可表示出涉及到的点 、点 、点 坐标，假设出点 坐标，根据菱形的性质对边相等表
示出点 坐标，在利用菱形的性质邻边相等，列出方程，解方程即可求得 值．【详解】（1）解：∵抛物线经过点 和点 ，
∴ ，
，
解得： ，
所以抛物线的函数解析式为 ．
（2）解：根据顶点坐标公式可求顶点 的坐标为 ，
∵点 和点 关于直线 对称，且 ，
∴ 点坐标为 ，
，
， ，
，
又 ，
，
∵M为 的中点，
，
．
（3）解：当 边 上的高最大时， 的面积最大，
即平行于直线 且与抛物线相切时， 的面积最大，
设直线 的解析式为 ，且 点坐标为 ，点 的坐标为 ，
解得： ，
设平行于直线 且与抛物线相切的直线为 ，
∵两直线平行，，
，
∵直线与抛物线相切，
，
整理，得： ，
，
解得： ，
，
抛物线和直线解析式联立得
，
解得： ，
即： ，
此时， 点横坐标为 ，代入 得：
，
即： ，
，
，
（秒）．
（4）解： ，，
根据题意可知点 和点 的纵坐标相等，
∴将 代入 得：
，
，
∵ ，
，
，
可设 点坐标为 ，
则 ，
当四边形 为菱形时， ，
即： ，
整理，得： ，
∴ 点坐标为 ，
根据题意，由勾股定理可得：
，
，
即： ，
整理，得： ，
解得： （舍去）， ，
（秒）．
