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2025 年中考第三次模拟考试（河北卷）
数学·全解全析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下表是我国五个城市某年1月份的平均气温，温差最大的两个城市是（ ）
哈尔
城市 北京 武汉 广州 南京
滨
平均气温（单位：
3.8 13.1 2.4
）
A．北京、哈尔滨 B．广州、北京 C．武汉、北京 D．广州、哈尔滨
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数的大小比较法则得出 ，即
可得解．
【详解】解：∵ ，
∴温差最大的两个城市是广州、哈尔滨，
故选：D．
2．如图所示的几何体由6个完全相同的小正方体组合而成，挪动其中一块，放在其他位置后，使之主视图
是轴对称图形，下列做法不正确的有（ ）
A．①② B．③④ C．③ D．②③
【答案】C
【分析】根据主视图的定义，画出四个图形的主视图，根据轴对称图形的定义，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：①主视图为： ，是轴对称图形；
②主视图为： ，是轴对称图形；
③主视图为： ，不是轴对称图形；
④主视图为： ，是轴对称图形；
故选：C．
3．《孙子算经》中有一道题，翻译为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2
人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？小明在解此题时，设有 辆车，
列出方程： ．小明列此方程的等量关系依据是（ ）
A．车辆数量不变 B．乘车的总人数不变
C．每辆车乘车的人数不变 D．剩余的车辆数不变
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关
键．
设有 辆车，根据乘车的总人数不变，可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设有 辆车，
根据“若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车”可得乘车的总人数为 ；
根据“若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘”可得乘车的总人数为 ．
再根据乘车的总人数不变列出方程 ．
故选：B．
4．如图，小明从A处出发，沿北偏东 方向行走至 处，又沿北偏西 方向行走至 处，此时需把方
向调整至 ，才能与出发时的方向一致，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查平行线的性质及方位角，熟练掌握平行线的性质及方位角是解题的关键；由题意易
得 ， ， ，然后可得 ，则有 ，进而
问题可求解．
【详解】解：如图，
由图可知： ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选D．
5．若 ，则 （ ）
A． B．3 C． D．9
【答案】B
【分析】本题考查代数式求值，涉及算术平方根运算、立方根运算，先由条件求出 的值，代入代数式，
由立方根运算求解即可得到答案．熟记算术平方根运算、立方根运算是解决问题的关键．【详解】解：由 得 ；由 得 ，
，
故选：B．
6．已知 ， 都是实数，观察表中的运算，则 的值为（ ）
的运算
运算的结果 7
A．21 B． C．40 D．
【答案】D
【分析】本题考查解二元一次方程组，已知字母的值求代数式的值．根据题意先得出 ， ，后将
代入 中即可得到本题答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴将 ， 代入 得 ，
故选：D．
7．已知线段 ，如图，甲和乙两位同学用自己的方法确定了以 为半径， 为圆心的圆．对于这
两种作图方法，下列说法正确的是（ ）
A．甲和乙的方法均正确
B．甲和乙的方法均不正确
C．甲的方法正确，乙的方法不正确
D．甲的方法不正确，乙的方法正确【答案】A
【分析】判断出 都是等边三角形，利用垂径定理和勾股定理分别求出 、 即可求解．
【详解】解：甲：连接 ，由作图可知， ， 垂直平分线线段 ，
，
，
，
为等边三角形
垂直平分线线段 ，
平分 ，
，
，
，
，故甲的作图方式正确；
乙：连接 ，由作图可知， ， 垂直平分线线段 ，
，
，
，
为等边三角形
垂直平分线线段 ，
平分 ，
，
，
，
，故乙的作图方式正确．
故选：A．【点晴】本是考查了作图――应用与设计作图，垂径定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的
关键是题解题意．
8．某学校篮球队所有队员的年龄（单位：岁）只有12，13，14，15，16这五种情况，如图所示，其中部
分数据因破损无法看到，若队员年龄的唯一的众数与中位数相等，则年龄为14岁的队员人数可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的
那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．根据
众数和中位数的定义分别进行解答即可．
【详解】解：由图中数据可知小于14的4人，大于14的也是4人，
∴这组数据的中位数为14，
∵队员年龄的唯一的众数与中位数相等，
∴众数是14，
即年龄为14的人最多，
∴14岁的队员最少有4人．
故选：D．
9．某工厂接收到制作团扇的订单后分给一个小组．如果该小组每人制作9个，那么就比订单少做17个；
如果每人制作12个，那么就比订单多做4个．订单中要做的这批团扇有多少个？根据题意甲列方程为；乙列方程为 ．则下列说法错误的是（ ）
A．甲中 代表这个小组的人数 B．乙中 代表这批团扇的数量
C．这批团扇共有80个 D．这个小组共有8人
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据甲、乙所列方程，结合题意即可判断A，B选项，解两个
方程，即可判断C，D选项，即可求解．
【详解】解：根据题意甲列方程为 ；乙列方程为 ．
∴甲中 代表这个小组的人数，乙中 代表这批团扇的数量
解方程
解得： ，则这个小组共有 人，故D选项错误，
解方程
解得： ，则这批团扇共有80个，故C选项正确
故选：D．
10．淇淇用一张矩形纸张（记为 ）做折纸游戏，如图所示，他先沿折痕 折叠，使得 与 重
合，根据后续操作所得结论不一定正确的是（ ）
A．折叠使得 与 重合，折痕与 ， 交于E，F两点，则四边形 为菱形
B．沿过点 的直线折叠使得点 落在 上的点 处，则 为等边三角形
C．沿过点 的直线折叠使得点 落在 边上的点 处，折痕与 交于点 ，则四边形 为正方
形
D．沿过点 的直线折叠使得点 落在 边上的点 处，则 为等腰直角三角形
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，菱形的判定、等边三角形的判定，正方形的判定，正确掌
握相关性质内容是解题的关键．先根据每个选项的情况作图，再结合折叠的性质，得出对应边相等、运用数形结合思想进行分析，即可作答．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵折叠，
∴
故 ，
∴ ，
∴四边形 为菱形，
故A选项不符合题意；
连接 ，如图所示：
∵折叠，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵沿过点 的直线折叠使得点 落在 上的点 处，
∴ ，
即 ，
∴ 为等边三角形，故B选项不符合题意；
连接 ，如图所示：
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
即 ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
故C选项不符合题意；
连接 ，如图所示：
∵折叠，
∴ ，
∵
∴ 是直角三角形，
由于不能得出 与 之间的关系，故得不出 为等腰直角三角形，
故D选项符合题意；
故选：D．
11．如图，在 中， ， ，点 ， 分别在 ， 上将 沿 折叠得到，当 时， 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了折叠的性质、三角形的内角和定理、直角三角形的性质．首先根据三角形内角和
定理可以求出 ，根据折叠的性质可得： ，根据直角三角形两个锐角互余，可得：
，根据折叠的性质可以求出 ，再利用三角形内角和定理可以求出 ．
【详解】解：如下图所示，
在 中， ， ，
，
根据折叠的性质可得： ，
，
，
，
根据折叠的性质可得： ，
．
故选：C．
12．已知直线 过点 ，二次函数 的图象和直线 交于点C，D（C在
D的左侧），若 ，则满足条件的a的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合、一元二次方程的应用、两点之间的距离公式等知识，熟
练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．先利用待定系数法求出直线 的解析式为 ，与二次函数
的解析式联立可得 ，解方程可得 或 ，再设点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，且 ，则 是关于 的一元二次方程 的两个不相等
的实数根，然后分两种情况：① 和② ，分别求出 的值，根据 建立方程，解方程即
可得．
【详解】解：设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 得： ，
∴ ，
解得 或 ，
由题意，设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，且 ，
∴ 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根，
由①当 时， ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，
解得 或 ，经检验，都是方程的解，且符合题设；
②当 时， ，
则 ，
同理可得： ，
∴ ，
解得 或 （不符合题设，舍去），
经检验， 是方程的解，且符合题设；
综上，满足条件的 的值有 或 或 ，共3个，
故选：C．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．若 ，则 ．
【答案】18
【分析】本题考查了二次根式的化简以及二次根式的加减法．根据题意得到 ，
进而求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：18．
14．设一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ．【答案】3
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程
，若 是该方程的两个实数根，则 ，据此代入数值进行计
算，即可作答．
【详解】解：∵一元二次方程 的两个根为 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
则 ，
故答案为：3．
15．如图， 的顶点 在反比例函数 的图像上，顶点 在 轴上， 交 轴于点 ，若
，则 的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了反比例函数的k的几何意义的应用，三角形相似的判定及性质，解题的关键是求得
．
过点 作 轴于点 ，根据 ，得出 ，证明 ，得出
，求出 ，再求出 ，根据反比例函数中 的几何意义，得 ，结合 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 轴于点 ，
，
， ，
，
，
，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
根据反比例函数中 的几何意义，得 ，
．
又 ∵ ，
．
故答案为：3．
16．如图，在 中， ， ， 是 的底边上的高，且 ．线段 是的中线，点P是线段 上一点，连接 ．将线段 绕点E逆时针旋转 至点 ，交 的延
长线于点F，若点P为 中点， ，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查旋转的性质、含30度直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理及三角函数，
熟练掌握旋转的性质、含30度直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理及三角函数是解题的关键；
过点E作 于点H，连接 ，过点F作 于点G，由题意易得
， ，则有 ，
然后可证 ，则 ， ，进而通过
及30度角的三角函数可进行求解．
【详解】解：过点E作 于点H，连接 ，过点F作 于点G，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的底边上的高，且 ，
∴ ， ，∵点P为 中点，
∴ ，
∵线段 是 的中线，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由旋转的性质可知： ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
设 ，则有 ，
在 中， ，
解得： ，
∴ ，
∴ ；
故答案为 ．三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（7分）甲、乙两人输入相间的 值，分别按图所示的两条运算程序依次计算，所得结果大者胜出．
(1)当甲得到的计算结果为 时，求 的值以及乙的计算结果；
(2)若甲胜出，求 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次不等式，代数式求值，根据题意列出方程或不等式是解题
的关键；
（1）根据运算程序列出方程，得出 的值，进而代入乙的运算程序进行计算即可求解；
（2）根据题意列出不等式，解不等式，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，
解得：
乙的计算结果为：
（2）解：依题意，
∴
∴
解得： ．
18．（8分）有一矩形纸板长和宽分别为 和 ，如果以 边所在直线为轴旋转一周所形成的几何体 ，和
以 边所在直线为轴旋转一周所形成的几何体 ，哪个体积更大进行研究．(1)当 时，直接判断 和 的大小；
(2)当 时，判断 和 的大小；
(3)当 不确定时，判断 和 的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)当 时， ；当 时， ；当 时，
【分析】本题主要查了图形的旋转问题，矩形的性质等：
（1）根据题意可得， ，即可求解；
（2）根据题意可得， ，即可求解；
（3）根据题意可得， ，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得： ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：根据题意得： ，
，
，（3）解： ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
19．（8分）眼睛是人类观察世界的重要器官，是人类从外界获取信息，与外界沟通的重要媒介，眼睛是
心灵的窗口，每年6月6日是全国“爱眼日”，今年“爱眼日”的主题——爱眼、护眼、远离眼盲．某中
学为了解本校学生视力健康状况，组织趣味数学小组按下列步骤来开展统计活动．
一、确定调查对象
（1）有以下三种调查方案：
方案一：从七年级抽取260名学生，进行视力状况调查；
方案二：从七年级、八年级中各随机抽取260名学生，进行视力状况调查；
方案三：从全校1800名学生中随机抽取800名学生，进行视力状况调查．
其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是________．
二、收集整理数据
按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别．数学兴趣小组随机抽取本校部分学生
进行调查，绘制成统计表和一幅不完整的统计图．
抽取的学生视力状况统计表
类别 A B C D
视力 视力 视力
视力 4.9
健康状 轻度不
正常 中度不良 重度不良
况 良人数 160 m n 56
三、分析应用数据
（2）调查视力数据的中位数所在类别为________类；
（3）该校共有学生1800人，求出m，n的值并估算该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数；
（4）为更好保护视力，结合上述统计数据分析，请你提出一条合理化的建议．
【答案】（1）方案三；（2）B；（3） ，该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总
人数792名；（4）建议见详解
【分析】本题主要考查中位数、扇形统计图及调查统计，解题的关键是理解题意；
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由扇形统计图可知A、B两个类别的总和为 ，然后根据中位数的意义可进行求解；
（3）根据统计表及扇形统计图可进行求解；
（4）只要关于保护视力的建议都可以．
【详解】解：（1）有以下三种调查方案：
方案一：从七年级抽取260名学生，进行视力状况调查；
方案二：从七年级、八年级中各随机抽取260名学生，进行视力状况调查；
方案三：从全校1800名学生中随机抽取800名学生，进行视力状况调查．
其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是方案三；
故答案为方案三；
（2）由扇形统计图可知：A、B两个类别的总和为 ，所以中位数所在的类别是B类；
故答案为B；
（3）由题意得：
，
∴ ，
∴ （名）；答：该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数792名；
（4）所提建议：大力宣传保护视力的重要性，并加大学生的自我意识，在用眼过度时要注意休息和做做
眼保健操．
20．（8分）如图1是工业上用的一款切割铁皮的铡刀，图2是其侧面示意图，其中矩形 是切割槽，
刀刃与手柄下边缘在同一条弧上，即 ，经测量可知 , ．将手柄向下压，直至 所
在的圆（ ）与 相切于点M，如图3所示，此时 恰好经过点D．
(1)求 的半径．
(2)如图4所示，将手柄往上抬，使点E恰好落在 的延长线上， 与 交于点F．经研究发现，此时
与 相切于点E，连接 ， ，求 的值．
【答案】(1)1.5m
(2)
【分析】（1）连接 交 于点N，则 ，得 ，连接 ，设 的半径为r ，
则 ，根据勾股定理得 ，解方程即可解答．
（2）连接 ，则 ， ．过点O作 于点H，由矩形的判定与性质得到
，连接 ， ，则 ， ，再根据圆周角定理得到
即可解答．
本题考查了矩形的判定与性质，角平分线的性质，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握作辅助线是解题的关
键．【详解】（1）解：如图（1），连接 交 于点N，则 ，
∴ ， ，
∴
连接 ，设 的半径为r ，则 ．
由勾股定理，得 ，
∴ ，解得 ．
故 的半径为 ．
（2）如图（2），连接 ，则 ， ．
过点O作 于点H．
又∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ．
连接 ， ，则 ，
∴ ．
又∵ ，∴ ，
∴ ．
21．（9分）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量 （千克）与销售
价格 （元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：
销售价格 （元/千克） 30 35 40 45 50
45 15
日销售量 （千克） 600 300 0
0 0
(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定 与 之间的函数表达
式，并直接写出 与 的函数表达式为______；
(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
(3)农经公司每销售1千克这种农产品需支出 元 的相关费用，当 时，农经公司的日获利
的最大值为2430元，求 的值．（日获利 日销售利润 日支出费用）
【答案】(1)
(2)这批农产品的销售价格定为 元/千克，才能使日销售利润最大
(3)2
【分析】本题主要考查一次函数，二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，销售问题中数量关系
是解题的关键．
（1）先判断 与x成一次函数关系，设 与x之间的函数表达式为 ，运用待定系数法即可
求解；
（2）设日销售利润为w元，由题意得： ，根据一次函数图象的性质即可求解；
（3）设日获利为w元，由题意得： ，结合二次函数图象的性质，分类讨论，即可求解．
【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：销售价格每增加5元，日销售量减少 ，
∴ 与 成一次函数关系，设 与 之间的函数表达式为 ，
将 代入，得：，
解得： ，
∴ ；
（2）解：设日销售利润为 元，由题意得：
，
∵ ，抛物线开口向下，
∴当 时， 有最大值 ．
∴这批农产品的销售价格定为 元/千克，才能使日销售利润最大；
（3）解：设日获利为 元，由题意得：
，
对称轴为 ，
当 时， ，则当 时， 有最大值，将 代入，得：
，
当 时，
，解得 （舍去）；
当 ， ，则当 时， 有最大值，将 代入，得：
当 时，
，
解得： （舍去）；
综上所述， 的值为 ．
22．（9分）情境
嘉嘉和淇淇利用水槽和射灯进行综合实践探究，如图1，图2所示，一水槽放置在水平面上，射灯支架
垂直于水平面，射灯AB发出垂直于 的光线， 和 的夹角 ， ．
操作
嘉嘉进行了两步实验操作：
①如图1，光线投射到空水槽底部 处．
②如图2，向水槽注水，光线投射到水面 处，然后发生折射，最后投射到底部 处．
探究
(1)请求出 长（结果保留一位小数）；
(2)在图2中，嘉嘉认为需要知道折射角的度数，才能求 的长度，淇淇认为不需知道折射角度数就可以
求出 长．你认为谁的看法正确，并写出理由．（注： ， ，
）
【答案】(1) cm(2)淇淇看法正确，见解析
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）作 于 ，利用矩形的性质，通过求得 ，然后根据锐角三角函数解直角三角形；
（2）延长 ， 交底部于C，D，结合平行四边形的判定和性质进行推理说明．
【详解】（1）解：如图，作 于 ，
由题意可得四边形 是矩形，
．
又∵ ，
， ．
在Rt 中， ．
（2）解：淇淇看法正确．理由如下：
延长 ， 交底部于C，D．
由题意得 ， ，
四边形 是平行四边形，
．
同理， ．
．
23．（11分）在平面直角坐标系中，经过点 的抛物线 与 轴交于点 ．(1)写出 ， 之间满足的数量关系；
(2)条件Ⅰ：点 在抛物线 上，且 轴；
条件Ⅱ：关于 的方程 有两个实数根 ， ，且 ．
请从条件Ⅰ、Ⅱ中任选一个，求抛物线 的解析式；
(3)在（2）的基础上，将抛物线 向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度后得到抛物线 ，抛
物线 与 轴正半轴交于点 ，与 轴交于点 ．
①定义：对于点 ， ，若点 的坐标为 ，则点 为线段 的特殊点．已
知点 ， 是抛物线 上的两个动点，连接 ， 为线段 的特殊点．当点 在 轴
的下方时，求点 纵坐标 的取值范围；
②已知直线 与抛物线 交于 ， 两点（线段 在线段 的下方），连接 ， ，直线 与
直线 交于点 ．如图，当 时，点 的横坐标是定值，请你直接写出该定值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)① ；②点 的横坐标为定值
【分析】（1）把 代入 即可；（2）选Ⅰ利用对称轴的表达式运算求解；选Ⅱ利用韦达定理列式运算即可；
（3）①先平移二次函数的图象得到 ，即可表达出 和 的坐标，根据特殊点的运算方式
表达出 即可得到 的表达式，分析求解即可；
②求出直线 的解析式，得到直线的 值，设点 的坐标为 ，点 的坐标为
，求出直线 和直线 的解析式，联立这条直接解答即可．
【详解】（1）解：将点 代入 中，得到 ；
（2）解：选条件Ⅰ：
∵ 轴， ，
∴抛物线 的对称轴为直线 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴抛物线 的解析式为 ；
选条件Ⅱ：
由题意可得 ，
解得 ，
∴ ，
∴抛物线 的解析式为 ；
（3）①抛物线 的解析式为 ，
由题意可得抛物线 的解析式为 ，∴ ， ，
∴点 的纵坐标 ，
当 时，解得 ， ，
∵点 在 轴的下方，
∴ ，
∵ ，当 时， 取得最小值， ；当 时， 取得最大值， ，
∴ ；
②点 的横坐标是3．
由①可得 ， ．
当 时， ，
∴ ，可得直线 的解析式为 ，
设点 的坐标为 ，点 的坐标为
∵ ∥ ，设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标可以表示为 ，
设直线 的解析式为 ，将 ， 代入，解得 ， ，
∴直线 的解析式为 ，同理可得直线 的解析式为 ，
∵直线 与 交于点 ，
∴ ，
整理得 ，
∵线段 在线段 的下方，
∴ ，
∴ ，即点 的横坐标为定值3．
【点睛】本题为二次函数综合题，涉及到了二次函数的图象性质，一次函数的图象性质，待定系数法求函
数解析式等知识点，熟悉掌握函数的图象性质是解题的关键．
24．（12分） 中， ．
(1)如图1，沿过点 的直线折叠 使点 落在 上的点 处，折痕与BC交于点 ．通过尺规作图确
定点 ，点 的位置，并直接写出 ， 的长度（保留作图痕迹，不写作图过程）；
(2)将折叠后的 中的点 在 边上滑动，记为点 ，点 在 边上滑动．
①如图2，当 时，求点 到 的距离；
②如图3，点 在边 上时，求 的长度；
③直接写出点 与点 距离的最大值．
【答案】(1)见解析
(2)①点 到 的距离为12，② ，③点 与点 距离最大值为
【分析】（1）以点A 为圆心， 的长为半径画弧，交 于一点D，再作 的垂直平分线，与 的
交点，即为点E，根据勾股定理算出 ，结合等面积法算出 的长度，即可作答．（2）①先整理得 ，则 ，根据 且
，则 ，结合折叠性质得 ，则 ，代入数值计算，即
可作答．
②同理设 ，则 ，整理得 ，证明 ，故
，所以 ，由（1）得 ， ，即可作答．
③结合圆周角定理得 ，故 ，所以 中，
， ，证明 ， ，代入数值得
，分别运用勾股定理算出 ， ，即可
作答．
【详解】（1）解：如图，点D，E即为所求的点，连接 ，
∵ ，
∴ ，
由作图得 ，
则 ，
∴ ，
则 ，
∴ ， ．（2）解：①如图1，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
设 ，则
在 中， ，
则在 中， ，
∴ ，
∵ 且 ，
∴ ，
∵将折叠后的 中的点 在 边上滑动，记为点 ，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∴当 时，点 到 的距离为12，
②如图2，过点D作 于点 ，过 作 于点
，
设 ，则 ，
∵将折叠后的 中的点 在 边上滑动，记为点 ，
∴图2的 等于（1）中的 ，图2的 等于（1）中的 ，∴ ， ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
则
故 ，
∴ ，
∵由（1）得 ，
∴ ；
③如图3，作 的外接圆 ，过 作 于点 ，连接 ， ，
∵∴
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
同理得 ，
∴在 中， ， ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴
由（1）得出 ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴在 中， ，
∴ ，
当D，P，C在同一直线上时 与 距离最大，且为
∴最大距离为 ，即点 与点 距离最大值为
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形的相关运算，折叠
的性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
